1、學習必備歡迎下載求數列通項公式的常用方法若題設中已知數列的類型，我們可用其性質及有關公式來求解。例 1 ：若等差數列an 滿足bn=(1 )an，且b1+b2+b3=21 ,b 1b2b3= 1，求通頂公式an. TOC o 1-5 h z 288121解析： 由b1b2b3=a1+a2+a3=3a2=1， 根據題設可設等差數列a n的公差為d， 則由b1+b2+b3=，88() 1-d +() 1+() 1+d=d=2 或 d=-2 ，an=a2+(n-2)d=2n-1或 an=5-2n 。22281. （ 20XX 年 高 考 （ 廣 東 理 ） ）（ 數 列 ） 已 知 遞 增 的 等

2、差 數 列an 滿 足a11 , a3a22 4 , 則a 7 1,且 a4,a5 1,a6 成等差數列.求數列an 的通項公式;Sn 為數列an 的前 n 項和已知an .已知實數列an是 等比數列,其中.設 an 是公比大于1 的等比數列，S3 7 ，且a1 3， 3a2， a3 4構成等差數列（ 1 ）求數列an 的等差數列a1b11a3 b521 ， a5 b313.設 an 是等差數列，bn是各項都為正數的等比數列，且（）求an ， bn的通項公式；2.解： （）設等比數列an 的公比為q（q R） ，a7a1q61 ，得 a1 q 6，從而a4a1q3 q 3，42a5a1qq51

3、a6a1qq因為a4， a5 1， a6 成等差數列，所以a4 a6 2(a5 1)，即 q 3 q 1 2(q 2 1)， q 1(q 2 1) 2(q 2 1)a1 a2 a3 7，解得a22 所解： ( 1)由已知得: (a1 3) (a3 4)133a2.223. 設數列an 的公比為q ，由 a2 2 ，可得a12， a3 q2q 又S3 7 ，可知 2 2 2q 7 ，即qa1 1 故數列an 的通項為22q2 5q 2 0，解得q1 2，1q2由題意得q1，q 2 2n1an 2 1 2d q4.解： （）設an 的公差為d ，bn 的公比為q ，則依題意有q 0且1 4d q2

4、 13，解得 d 2， q 2所以 an 1 (n 1)d 2n 1， bn qn 1 2n 11n1q 2 故ana1qq 6 qn 1 64 1 n 1 Sn與an的關系S1,(n 1)n=1 時，S1=a1，當n 2 時， anSn Sn 1,(n 2)例 1 ：已知數列a n 的前n 項和Sn=10n+1，求通項公式an.解析：當n 2 時，an=Sn-Sn-1 =10n+1-(10 n-1+1)=9 10n-1 ，又當 n=1 時，a1=S1=11 不適合上式，通項公11(n 1)式 an=。9 10n 1(n 2)例2：正項數列a n 的前n 項和為Sn，若2 Sn =an+1(n

5、 N*) ，求通項公式an解析：根據題設2 Sn =an+1 得4Sn=an2+2an+1，當n 2 時，有4Sn-1 =an-12+2an-1 +1 ，二式相減，得4an=an -a n-1 +2(a n-a n-1 ) ，即 an -a n-1 -2(a n+an-1 )=0 ，由an0 知 an-a n-1 =2，所以a n 是2 為公差的等差數列，當n=1 時，由4S1=a12+2a1+1a1=1，故an=2n-1.數列an 的前 n 項和為 Sn ， Sn 2n 3 ;求 an.已知數列an 的前 n項和Sn滿足：log2(Sn 1) n 1 ，求通項an ；2S2設數列an滿足首項

6、a11 ，前 n 項和Sn與通項an滿足：an2Sn(n 2)，求通項an.2Sn 1已知數列an 滿足： a1 2a2 3a3nan n(n 1)(n 2) ，求通項an .n1已知數列2n-1an 的前n 項和Sn 9 6n 求數列an的通項公式；設 b n 3 log | an | ，求數列1 的前 n 項和n2 3bn設an的前n 項和為Sn,且滿足sn=n2+2n-1, 求an的通項公式答案： 5.1) an6n1(2)nn1三、累加法和累乘法若已知數列的遞推公式為an+1=an+f(n) 可采用累加法，數列的遞推公式為an+1=an f(n) 則采用累乘法。累加法 遞 推式為：an

7、+1=an+f(n ) (f(n)可求和)可能要用到的一些公式：1222 32n2 n(n 1)(2n 1)613 23 33 n3 n(n 1)222 3 n n(n 1)2例 1、已知數列a中 ,a1=1,an+1=an+ 2n ,求 an解： 令 n=1,2, ,n-1 可得a2-a1=22a3-a2=23a4-a3=2將這個式子累加起來可得an-an-1=2n-1an-a1=f(1)+f(2)+ +f(n-1) f(n)可求和 an=a 1+f(1)+f(2)+ +f-(1n)當 n=1 時,a1 適合上式故an=2 n-1累乘法遞推式為：an+1 =f(n)a n( f(n)要可求積

8、)例 1 、 在數列an中,a1=2,a n+1=(n+1)a n/n,求an解： 令 n=1,2, ,n-1 可得a2/a1 =f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)將這個式子相乘后可得an/a1=2/1 3/24 /3 n/(n-1) 即an=2n當 n=1 時，an也適合上式an=2n*anan 1 n (n N ，且 n 2) ；數列 an 滿足首項a13， nan(n 1)an 1，求通項an TOC o 1-5 h z 已知數列an 滿足 a1 1 ，Sn(n 1)an (n 1)，求an 的通項公式.nn2n4、設數列an 滿足首項a11 ，

9、a1a2a3ann2an，求通項an .n2n設 a n 是首項為1 的正項數列且(n+1) an+12-na n2+an+1 an=0(n=1,2,3) ，求它的通項公式an.1在數列 an 中， a1 3 , an 1 an，求通項公式ann(n 1)22設數列 an是首項為1 的正項數列，且(n 1)an 1 nan an 1an0( n=1,2,3 ) ，則它的通項公.式是an =(答案 5. 解析：由(n+1) an+1 -na n +an+1 an=0 得 (a n+1+an)(n+1)a n+1-na n=0, 又an,a n+10, an+1=an，則n1 TOC o 1-5

10、h z a2=a1,a3=a2an=nan-1，把 n 個式子累乘得:an=() () ( n ) a1，又 a1=1 故得an=。23n23nn四、待定系數法( 1)對于形如an+1=pan+q(p,q 為常數 )的遞推公式都可以采用此法，即可設an+1-t=p(a n-t) 再設法求出參數t.例 1 在數列 an中a1=1，當n 2 時，有an=3an-1+2，求其通項an.解析：由題設知an+1=3an+2，可化為an+1-t=3(a n-t) ，即an+1=3an-2t ，比較系數得-2t=2 ，即 t1，于是an+1+1=3(an+1) ，故數列a n+1是公比為3 的等比數列，首項

11、為a1+1=2，則an+1=2 3n-1，即an=2 3n-1-1 。a1 1 ， an 1 8an 1 . 3.ana11 ，an 11；2.n2、遞推式為an+1=pan+qn (p,q 為常數 )思路： 1)當 p=q 時，在an+1 =pa n+q n 兩邊同時除以qn+1 得 an+1 /qn+1=p/qa n/qn+i/q構造數列bn,bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q 故可利用上類型的解法得到bn=f(n)再將代入上式即可得an2)當p q 時，構造等比數列an+1-t qn =p(a n-t qn-1)，在求數列an例2、數列an中 ,a1=5/6,a n+1=(

12、1/3)a n+(1/2) n,求an解： 在an+1=(1/3)a n+(1/2) n兩邊同時除以(1/2) n+1 得2n+1an+1=(2/3) 2nan+1構造數列bn,bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利用上類型解法解得bn=3-2 (2/3)n2nan=3-2 (2/3)nan=3 (1/2)n-2 (1/3)n1. a111n4 ， an 2an 1 2 (n 2)數列an中 ,a1=1,a n+1=3an+3n,求an、遞推式為：an+2=pan+1+qan ( p,q為常數)思路：設an+2 =pa n+1 +qa n 變形為an+2 -xan+1 =y(a

13、n+1 -xan)也就是an+2=(x+y)a n+1-(xy)an，則可得到x+y=p,xy= -q解得x,y， 于是 bn 就是公比為y的等比數列(其中bn=an+1-xan)這樣就轉化為前面講過的類型了例 3、已知數列an中 ,a1 =1,a 2=2,a n+2 =(2/3) an+1 +(1/3) an,求an解：設 an+2=(2/3)a n+1+(1/3)a n可以變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2 =(x+y)a n+1 -(xy)an， 則可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取 x=1,y= -1/3構造數列 bn ， bn=an+1-an故數

14、列 bn 是公比為-1/3 的等比數列即bn=b 1(-1/3)b1=a2-a1=2-1=1n-1bn=(-1/3) n-1n-1an+1 -an=(-1/3)故我們可以利用上一類型的解法求得an=1+3/4 1-(-1/3) n-1(n ? N*)a11 ， a22 ， an 3an 1 2an 2 (n 3)；a11 ， a22 ， 3anan 12an 2 (n 3)；( 4)遞推式為：an+1=pan+qn+k (p,q為常數 )已知數列an 中，a13，滿足an2an 1 2n 1(n2)；猜證法 （ 觀察法+數學歸納法）根據給出的公式，先求出數列的前n 項，從中觀察出規律，猜出通項

15、公式，再用數學歸納法證明。即歸納推理，一般用于解決選擇、填空題。過程：觀察概括、推廣猜出一般性結論。例 1 、數列an 的前四項為：11、 102、 1003、 10004、，則an 。分析： 11 10 1,102 102 2,1003 103 3,10004 104 4即 an 10n nn1例 2：已知數列a n 滿足a1=1， Sn=an，求通項an.2n3解析：由a1=1，當 n=2 時，a1+a2= a2a2=2a1=2，當n=3 時，a1+a2+a3=2a32a3=3，同理可得a4=4，猜想得an=n，下面用數學歸納法證明。k21當n=1，2，3 時，已驗算成立，2假設n=k 時

16、，猜想成立，即ak=k，當n=k+1 時，Sk+1=ak+1，2又Sk= k 1 ak= k k ，二式相減，得22aK+1=k 2ak+1- k2 k kak+1=k(k 1)ak+1=k+1，即n=k+1時 TOC o 1-5 h z 2222猜想也成立，由1 2知對于一切自然數n 都有an=n.六、 不動點法（ 對于分式不等式） 形如 an 1pan的遞推式qanpa例 1 ： 已知數列 an 中，其中a1 1, ，且當n 2 時，ann 1 ，求通項公式an。n1n 2an 11n11，a1a111解： 將 anan 1 兩邊取倒數得：112，這說明 1 是一個等差數列，首項是2an

17、1 1an an 1an11公差為 2，所以 11 （n 1） 2 2n 1，即an1.an2n 1若a1=1，-=2，求通項an.anan 1若a1=1， an-1-a n=2an-1an，求通項an.若a1=1， an= an 1 ，求通項an .2an 11七、取對數法2例11：若數列 an 中，a1=3 且an 1 an （ n 是正整數），則它的通項公式是an =（20XX年上海高考題） .解 由題意知an0，將an1an 2兩邊取對數得lgan12lg an，即 g an 12， 所以數列lg an 是以lganlga1=lg3為首項，公比為2的等比數列，lganlga1 2n 1

18、lg 32n 1 ，即an32n 1.八、 恒等變形法將給出式恒等變形，使之轉化為與an或 Sn有關的等差和等比數列，此法有一定的技巧性。2S2例 1：在數列a n中，已知a1=1， an=n (n 2)，求通項an.2Sn 12S2解析：當n2 時，an=Sn-Sn-1 =, 則2 SnSn-1=-Sn+Sn-1, 兩邊同除以2Sn 12) ， 又 a1=S1=1， 則=1， 數列 是以S11Sn=，當 n 2 時，2n 11(n 1)Snan=Sn-Sn-1 =2n 111 =1 為首項， 2 為公差的等差數列，S112n 3(2n 1)(2n 3)式，an=(2n 1)(2n 3)(n 2)SnSn-1 得 1 -1=2 (nSnSn 11=1+(n-1) 2=2n-1 ，Snn=1 時，a1=S1=1 不適合上例 2：已知通項數列解 析：由11Sn=(a n+) ，當 n=12an時，S1 =a1=(a 1 +)a1 =1, 當n 2 時，an=Sn-Sn-1 ， 則2Sn=Sn-Sn-1 +11, Sn+Sn-1 =SnSn 1SnSn 1Sn2-Sn-12=