1、第11節導數在研究函數中的應用第一課時導數與函數的單調性【選題明細表】知識點、方法判定函數的單調性、求單調區間由單調性理解導函數圖象比較大小或解不等式由單調性求參數的取值范圍由導數研究函數單調性的綜合問題題號2,5,6,813,10,114,7,129,13,14基礎鞏固(時間:30分鐘)1.已知函數y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一,且其導函數y=f(x)的圖象如圖所示,則該函數的圖象是(B)解析:由導函數的圖象知,在-1,1上f(x)0,故函數f(x)在-1,1上是單調遞增的.又因為在-1,0上f(x)的值逐漸增大,在0,1上f(x)的值逐漸減小,所以在-1,0上,f(x)的增長率逐漸增

2、大,在0,1上f(x)的增長率逐漸變小.故選B.2.函數f(x)=x-lnx的單調遞減區間為(A)(A)(0,1)(B)(0,+)(C)(1,+)(D)(-,0)(1,+)解析:函數的定義域是(0,+),且f(x)=1-=,令f(x)0,解得0 xf(3)f()(B)f(3)f(2)f()(C)f(2)f()f(3)(D)f()f(3)f(2)解析:因為f(x)=1+x-sinx,所以f(x)=1-cosx,當x(0,時,f(x)0,所以f(x)在(0,上是增函數,所以f()f(3)f(2).4.(2018山東淄博桓臺二中月考)若函數f(x)=kx-lnx在區間(2,+)上單調遞增,則k的取值

3、范圍是(B)(A)(-,-2(B),+)(C)2,+)(D)(-,)解析:f(x)=k-,因為函數f(x)=kx-lnx在區間(2,+)上單調遞增,所以f(x)0在區間(2,+)上恒成立.所以k,而y=在區間(2,+)上單調遞減,所以k,所以k的取值范圍是,+).5.(2018湖南長沙長郡中學月考)求形如y=f(x)g(x)的函數的導數,我們常采用以下做法:先兩邊同取自然對數得lny=g(x)lnf(x),再兩邊同時求導得y=g(x)lnf(x)+g(x)f(x),于是得到y=f(x)g(x)g(x)lnf(x)+g(x)數y=的單調遞增區間是(C)(A)(e,4)(B)(3,6)(C)(0,

4、e)(D)(2,3)f(x),運用此方法求得函解析:由題設,y=(-lnx+)=(x0).令y0,得1-lnx0,所以0 x0,則(-x2+2)ex0,因為ex0,所以-x2+20,解得-x0,解得a-3,所以實數a的取值范圍是(-3,0)(0,+).答案:(-3,0)(0,+)8.已知函數f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f().(1)求a的值;(2)求函數f(x)的單調區間.解:(1)由f(x)=x3+ax2-x+c,得f(x)=3x2+2ax-1.所以a=f()=3()2+2a-1,解得a=-1.(2)由(1)可知f(x)=x3-x2-x+c,則f(x)=3x2-2x-1=3(x+)

5、(x-1),令f(x)0,解得x1或x-;令f(x)0,解得-x0在f(x)的定義域上恒成立,即f(x)+f(x)0在f(x)的定義域上恒成立.對于選項A,f(x)+f(x)=2-x-2-xln2=2-x(1-ln2)0,符合題意.經驗證,選項B,C,D均不符合題意.故選A.10.(2018惠州調研)已知函數f(x)=xsinx+cosx+x2,則不等式f(lnx)+f(ln)2f(1)的解集為(D)(A)(e,+)(B)(0,e)(C)(0,)(1,e)(D)(,e)解析:f(x)=xsinx+cosx+x2是偶函數,所以f(ln)=f(-lnx)=f(lnx),所以f(lnx)+f(ln)

6、2f(1)可變形為f(lnx)0,所以f(x)在(0,+)上單調遞增,在(-,0)上單調遞減,所以f(lnx)f(1)等價于-1lnx1,所以xe.11.(2018重慶市一模)已知函數f(x)的導函數為f(x),且f(x)f(x)對任意的xR恒成立,則下列不等式均成立的是(A)(A)f(ln2)2f(0),f(2)2f(0),f(2)e2f(0)(C)f(ln2)e2f(0)(D)f(ln2)2f(0),f(2)e2f(0)解析:令g(x)=,則g(x)=0,20,故g(ln2)g(0),g(2)g(0),即,即f(ln2)2f(0),f(2)e2f(0).12.(2018安徽江南十校聯考)設

7、函數f(x)=x2-9lnx在區間a-1,a+1上單調遞減,則實數a的取值范圍是.解析:f(x)的定義域為(0,+),且f(x)=x-.由f(x)=x-0,解得0 x3.因為f(x)=x2-9lnx在a-1,a+1上單調遞減,所以解得10,即x(x+2)ex0,得f(x)在區間(-,-2),(0,+)上單調遞增,在區間(-2,0)上單調遞減.(3)由(2)知,f(x)在區間(-2,0)上單調遞減,在區間(0,2)上單調遞增,f(x)=f(0)=0.min當x-2,2時,不等式f(x)2a+1能成立,須2a+1f(x),即2a+10,故a-.min故a的取值范圍為-,+).14.已知函數f(x)=exlnx-aex(aR).(1)若f(x)在點(1,f(1)處的切線與直線y=x+1垂直,求a的值;(2)若f(x)在(0,+)上是單調函數,求實數a的取值范圍.解:(1)f(x)=exlnx+ex-aex=(-a+lnx)ex,f(1)=(1-a)e,由(1-a)e=-1,得a=2.(2)由(1)知f(x)=(-a+lnx)ex,若f(x)為單調遞減函數,則f(x)0在x0時恒成立,即-a+lnx0在x0時恒成立.所以a+ln