1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1甲乙兩人有三個不同的學習小組， ， 可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為（ ）A B C D2不等式的解集記為，有下面四個命題：；.其中的真命題是（ ）ABCD3已知正四面體的內切球體積為v，外

2、接球的體積為V，則（ ）A4B8C9D274關于函數，有下述三個結論：函數的一個周期為；函數在上單調遞增；函數的值域為.其中所有正確結論的編號是（ ）ABCD5若的二項展開式中的系數是40，則正整數的值為（ ）A4B5C6D76給出下列三個命題：“”的否定；在中，“”是“”的充要條件；將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象其中假命題的個數是（ ）A0B1C2D37已知函數是定義域為的偶函數，且滿足，當時，則函數在區間上零點的個數為（ ）A9B10C18D208若，則， ， ， 的大小關系為（ ）ABCD9已知直線是曲線的切線，則（ ）A或1B或2C或D或110音樂，是用聲音來展現美，給

3、人以聽覺上的享受，熔鑄人們的美學趣味著名數學家傅立葉研究了樂聲的本質，他證明了所有的樂聲都能用數學表達式來描述，它們是一些形如的簡單正弦函數的和，其中頻率最低的一項是基本音，其余的為泛音由樂聲的數學表達式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數倍，稱為基本音的諧波下列函數中不能與函數構成樂音的是（ ）ABCD11在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為( )A1010.1B10.1Clg10.1D1010.112我國古代數學著作九章算術有

4、如下問題：“今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長倍？”意思是：“今有蒲草第天長高尺，蕪草第天長高尺以后，蒲草每天長高前一天的一半，蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數是（ ）（結果采取“只入不舍”的原則取整數，相關數據：，）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13函數的極大值為_.14已知四棱錐，底面四邊形為正方形，四棱錐的體積為，在該四棱錐內放置一球，則球體積的最大值為_15在中，角、所對的邊分別為、，若，則的取值范圍是_16二項式的展開式中所有項的二項式系數之和是64，則展開式中的常

5、數項為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，為等邊三角形，平面平面ABCD，M，N分別是線段PD和BC的中點.（1）求直線CM與平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）試判斷直線MN與平面PAB的位置關系，并給出證明.18（12分）如圖所示，已知平面，為等邊三角形，為邊上的中點，且.()求證：面；()求證：平面平面；()求該幾何體的體積19（12分）如圖，在中，角的對邊分別為，且滿足，線段的中點為.（）求角的大小；（）已知，求的大小.20（12分）在以ABCDEF為

6、頂點的五面體中，底面ABCD為菱形，ABC120，ABAEED2EF，EFAB，點G為CD中點，平面EAD平面ABCD.（1）證明：BDEG；（2）若三棱錐，求菱形ABCD的邊長.21（12分）如圖，已知拋物線：與圓： （）相交于， ， ，四個點，（1）求的取值范圍；（2）設四邊形的面積為，當最大時，求直線與直線的交點的坐標.22（10分）已知拋物線，焦點為，直線交拋物線于兩點，交拋物線的準線于點，如圖所示，當直線經過焦點時，點恰好是的中點，且.（1）求拋物線的方程；（2）點是原點，設直線的斜率分別是，當直線的縱截距為1時，有數列滿足，設數列的前n項和為，已知存在正整數使得，求m的值.參考答案

7、一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】依題意，基本事件的總數有種，兩個人參加同一個小組，方法數有種，故概率為.2A【解析】作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結果.【詳解】作出可行域如圖所示，當時，即的取值范圍為，所以為真命題；為真命題；為假命題.故選：A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關鍵，屬于中檔題.3D【解析】設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內切球的半徑，在中，根據勾股定理求出外接球的半徑，

8、利用球的體積公式即可求解.【詳解】設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，則，設內切球的半徑為，內切球的球心為，則，解得：；設外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，在中，由勾股定理得：，解得， 故選：D【點睛】本題主要考查了多面體的內切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎題.4C【解析】用周期函數的定義驗證.當時，再利用單調性判斷.根據平移變換，函數的值域等價于函數的值域，而，當時，再求值域.【詳解】因為，故錯誤；當時，所以，所以在上單調遞增，故正確；函數的值域等價于函數的值域，易知，故當時，故正確.故選：C.【點睛】本題考查三

9、角函數的性質，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于中檔題.5B【解析】先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令，則，（舍）或.【點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎題6C【解析】結合不等式、三角函數的性質,對三個命題逐個分析并判斷其真假,即可選出答案.【詳解】對于命題,因為,所以“”是真命題,故其否定是假命題,即是假命題;對于命題,充分性:中,若,則,由余弦函數的單調性可知,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,若,結合余弦函數的單調性可知,即,可得到,即必要性成立.故命題正確;對于命題,將函數的圖象向左平移個單位長度,可得到的圖象,即命題是假命題故假命

10、題有.故選:C【點睛】本題考查了命題真假的判斷,考查了余弦函數單調性的應用,考查了三角函數圖象的平移變換,考查了學生的邏輯推理能力,屬于基礎題.7B【解析】由已知可得函數f（x）的周期與對稱軸，函數F（x）f（x）在區間上零點的個數等價于函數f（x）與g（x）圖象在上交點的個數，作出函數f（x）與g（x）的圖象如圖，數形結合即可得到答案.【詳解】函數F（x）f（x）在區間上零點的個數等價于函數f（x）與g（x）圖象在上交點的個數，由f（x）f （2x），得函數f（x）圖象關于x1對稱，f（x）為偶函數，取xx+2，可得f（x+2）f（x）f（x），得函數周期為2.又當x0，1時，f（x）x，且

11、f（x）為偶函數，當x1，0時，f（x）x，g（x），作出函數f（x）與g（x）的圖象如圖：由圖可知，兩函數圖象共10個交點，即函數F（x）f（x）在區間上零點的個數為10.故選：B.【點睛】本題考查函數的零點與方程根的關系，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題思想方法，屬于中檔題.8D【解析】因為，所以，因為，所以,.綜上；故選D.9D【解析】求得直線的斜率，利用曲線的導數，求得切點坐標，代入直線方程，求得的值.【詳解】直線的斜率為，對于，令，解得，故切點為，代入直線方程得，解得或1.故選：D【點睛】本小題主要考查根據切線方程求參數，屬于基礎題.10C【解析】由基本音的諧波的定義可得,利用可

12、得,即可判斷選項.【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點睛】本題考查三角函數的周期與頻率,考查理解分析能力.11A【解析】由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識信息處理能力閱讀理解能力以及指數對數運算.12C【解析】由題意可利用等比數列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度，進而可得：，解出即可得出【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為 據題意得：， 解得2n12， n21故選：C【點睛】本題考查了等比數列的通項

13、公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】對函數求導，根據函數單調性，即可容易求得函數的極大值.【詳解】依題意，得.所以當時，；當時，.所以當時，函數有極大值.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數研究函數的性質，考查運算求解能力以及化歸轉化思想，屬基礎題.14【解析】由題知，該四棱錐為正四棱錐，作出該正四棱錐的高和斜高，連接，則球心O必在的邊上，設，由球與四棱錐的內切關系可知，設，用和表示四棱錐的體積，解得和的關系，進而表示出內切球的半徑，并求出半徑的最大值，進而求出球的體積的最大值.【詳解】設，由球O內切于四棱錐可知，則，

14、球O的半徑，當且僅當時，等號成立，此時.故答案為：.【點睛】本題考查了棱錐的體積問題，內切球問題，考查空間想象能力，屬于較難的填空壓軸題.15【解析】計算出角的取值范圍，結合正弦定理可求得的取值范圍.【詳解】，則，所以，由正弦定理，.因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題主要考查了正弦定理，正弦函數圖象和性質，考查了轉化思想，屬于基礎題16【解析】由二項式系數性質求出，由二項展開式通項公式得出常數項的項數，從而得常數項【詳解】由題意，展開式通項為，由得，常數項為故答案為：【點睛】本題考查二項式定理，考查二項式系數的性質，掌握二項展開式通項公式是解題關鍵三、解答題：共70分。解答應寫出文字

15、說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）（3）直線平面，證明見解析【解析】取中點，連接，則，再由已知證明平面，以為坐標原點，分別以，所在直線為，軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量（1）求出的坐標，由與所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值；（2）求出平面的一個法向量，再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）求出的坐標，由，結合平面，可得直線平面【詳解】底面是邊長為2的菱形，為等邊三角形取中點，連接，則，為等邊三角形，又平面平面，且平面平面，平面以為坐標原點，分別以，所在直線為，軸建立空間直角坐標系則，1，0，0，設平面的一個法向量為由，取，得（1）證明：設直線與平

16、面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為；（2）設平面的一個法向量為，由，得二面角的余弦值為；（3），又平面，直線平面【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題18（）見解析； （）見解析； （）.【解析】（I）取的中點，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（II）利用，證得平面，從而得到平面，由此證得平面平面.（III）作交于點，易得面，利用棱錐的體積公式，計算出棱錐的體積.【詳解】()取的中點，連接，則，故四邊形為平行四邊形.故.又面，平面，所以面.()為等邊三角形，為

17、中點，所以.又，所以面.又，故面，所以面平面.()幾何體是四棱錐，作交于點，即面，.【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，考查空間想象能力，所以中檔題.19（）；（）.【解析】（）由正弦定理邊化角，再結合轉化即可求解；（）可設，由，再由余弦定理解得，對中，由余弦定理有，通過勾股定理逆定理可得，進而得解【詳解】（）由正弦定理得.而.由以上兩式得，即.由于，所以，又由于，得.（）設，在中，由正弦定理有.由余弦定理有，整理得，由于，所以.在中，由余弦定理有.所以，所以.【點睛】本題考查正弦定理和余弦定理的綜合運用，屬于中檔題20（1）詳見解析；（2）.【解析

18、】（1）取中點，連，可得，結合平面EAD平面ABCD，可證平面ABCD，進而有，再由底面是菱形可得，可得，可證得平面，即可證明結論；（2）設底面邊長為，由EFAB，AB2EF，求出體積，建立的方程，即可求出結論.【詳解】（1）取中點，連，底面ABCD為菱形，平面EAD平面ABCD，平面平面平面，平面平面，底面ABCD為菱形，為中點，平面，平面平面，；（2）設菱形ABCD的邊長為，則，所以菱形ABCD的邊長為.【點睛】本題考查線線垂直的證明和椎體的體積，注意空間中垂直關系之間的相互轉化，體積問題要熟練應用等體積方法，屬于中檔題.21（1）（2）點的坐標為【解析】將拋物線方程與圓方程聯立,消去得到關于的一元二次方程, 拋物線與圓有四個交點需滿足關于的一元二次方程在上有兩個不等的實數根,根據二次函數的有關性質即可得到關于的不等式組,解不等式即可.不妨設拋物線與圓的四個交點坐標為，據此可表示出直線、的方程,聯立方程即可表示出點坐標,再根據等腰梯形的