1、一般地，對于n N*有二項定理:二項展開式中的二項式系數指的是哪些？共有多少個？45 下面我們來研究二項式系數有些什么性質？我們先通過觀察n為特殊值時，二項式系數有什么特點？計算(a+b)n展開式的二項式系數并填入下表 n(a+b)n展開式的二項式系數12345616152015611510105114641133112111對稱性詳解九章算法中記載的表楊 輝楊輝三角(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）請看系數有沒有明顯的規律？2）上下兩行有什么關系嗎？ 3）根據這兩條規律，大家能寫出下面的系數嗎?每行兩端都是1 Cn0= Cnn=1從第二行起，每行除1

2、以外的每一個數都等于它肩上的兩個數的和(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+ 展開式的二項式系數依次是： 從函數角度看， 可看成是以r為自變量的函數 ,其定義域是： 當 時，其圖象是右圖中的7個孤立點（1）對稱性 與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等這一性質可直接由公式 得到圖象的對稱軸：（2）增減性與最大值 由于：所以 相對于 的增減情況由 決定 由： 可知，當 時，二項式系數是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。 因此，當n為偶數時，中間一項的二項式系數 取得最大值； 當n為奇數時，中間兩項的二項式系數 、相等，且同

3、時取得最大值。（2）增減性與最大值 （3）各二項式系數的和 在二項式定理中，令 ，則： 這就是說， 的展開式的各二項式系數的和等于： （1） 一般地， 展開式的二項式系數 有如下基本性質： （2）（4） （3）當n為偶數時， 最大 當n為奇數時， = 且最大 （對稱性）第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 1第5行 1 5 1第6行 1 6 15 6 1第n-1行 11 第n行 11 第7行 1 7 21 21 7 11035+=3551520104“斜線和”= 125第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第7行

4、1 7 21 35 35 21 7 1第1行 1 1第0行1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1138132134如圖，寫出斜線上各行數字的和，有什么規律？第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 從第三個數起，任一數都等于前兩個數的和， 這就是著名的斐波那契數列 ，也稱為兔子數列。斐波那契數列斐波那契 （11701250） 意大利商人兼數學家,他的著作算盤書中,首先引入阿拉伯數字，將“十進制”介紹給歐洲人認識，對歐洲的數學發展有深遠的影響。例1 證明：在(a+b)n展開式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和。在二項式定理中，令 ，則： 已知求:(1) ； (2) ； (3) ; (4)變式:若將“只有第10項”改為“第10項”呢？解類型：求展開式中系數最大的項方法:利用通項公式建立不等式組變式練習：在(3x -2y)20的展開式中，求：(1)二項式系數最大的項;(2)系數絕對值最大的項.解:(2)設系數絕對值最大的項是第r+1項.則 即 3(r+1)2(20-r) 解得 2(21-r)3r