1、歡迎大家！7/17/2022歡迎老師們參加數學文化修養提高培訓班祝愿大家度過愉快的一周7/17/2022數學文化思考：1.數學是什么？2.數學是文化嗎？3.為什么說數學是一種文化？4.什么是數學文化？5.數學文化具有哪些特征？思考與體會數學作為一種文化所具有的文化教育價值，數學作為一種文化是如何對人們的行為方式發生越來越重要的影響的。7/17/20222011版義務教育數學課程標準關于數學文化的論述：前言： 數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮

2、數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。 7/17/2022教材編寫建議中指出：（P63） 數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中。為此，教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學在自然與社會中的應用，以及數學發展史的有關材料，幫助學生了解在人類文明發展中數學的作用，激發學習數學的興趣，感受數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美。例如，可以介紹九章算術、珠算、幾何原本、機器證明、黃金分割、CT技術、布豐投針等。7/17/202262003年，“數學文化”一詞首次進入官方文件7/17/202277/17/202287/17/2022數學文化概述講座提綱一、數學、數學課程、數學家二、

3、幾個引題三、欣賞四、幾個企業招聘的真題給數學教育的啟示五、數學文化六、數學文化中的美學觀7/17/2022一、數學、數學教育、數學家1.數學 數學發展的歷史非常悠久，大約在一萬多年前，人類從生產實踐中逐漸形成了“數”和“形”的概念，但真正形成數學理論還是從古希臘人開始的。公元前300多年以前，希臘數學家歐幾里得寫了幾何原本一書，這是自古以來所有科學著作中發行最廣、沿用時間最長的巨著。兩千多年來，數學的發展大體可以分為三個階段：17世紀以前的初級階段：常量數學，如初等幾何，初等代數；文藝復興時期，進入第二階段，即變量數學階段：微積分、解析幾何、高等代數；19世紀開始，數學獲得巨大發展，形成近代數

4、學階段，產生了實變函數、泛函分析、非歐幾何、拓撲學、近世代數、計算數學、數理邏輯等新的數學分支。7/17/2022數學科學按其內容可分成五個大學科：純粹（基礎）數學；應用數學；計算數學；運籌于控制；概率論與數理統計。7/17/2022近半個多世紀以來，數學科學產生了新的研究領域和方法，如混沌；（如蝴蝶效應）分形幾何；（如雪花曲線、海岸線長度問題）小波變換。數學發展至今，已經成為擁有100多個分支的科學體系，盡管如此，其核心領域還是：代數學研究數的理論；幾何學研究形的理論；分析學溝通形與數且涉及極限運算的部分。7/17/2022 數學并不是一串枯燥乏味的數字符號、難以理解的概念堆積和故弄玄虛的雜

5、技魔術，更不是有人主觀臆造出來的無根無基的空中樓閣。 數學源于實際，運用人類的智慧和努力，經過理論的精煉和升華，在更高層次上指導實際，并有所創造。 但是，我們在教學中應注意弗賴登塔爾曾這樣描述過數學的表現形式：“沒有一種數學思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來，一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成冰冷的美麗。”7/17/2022數學是科學之王，數論是數學之王高斯數學是科學大門的鑰匙 培根任何人的研究，沒有經過數學的證明，就不能認為是真正的科學 達.芬奇數學是科學和技術的基礎，沒有強有力的數學，就不可能有強有力的科學 1989年美國報告人人

6、關心數學教育的未來7/17/2022 數學界有國際數學家大會。第一屆國際數學家大會于1897年在瑞士蘇黎世召開。4年舉行一次，之間有3屆大會因第一、二次世界大戰未如期舉行。2002年8月下旬，第24屆國際數學家大會在北京舉行，這是自1897年舉行的第一屆國際數學家大會以來首次在中國舉行，也是第一次在發展中國家舉行。第24屆“國際數學家大會”（ICM）International Congress of Mathematicians7/17/2022世界上的數學獎項共有50余項，其中最受人關注的是：菲爾茲獎。只授予40歲以下的數學家，四年頒發一次，每次至多4名。雖只獎勵一枚金質獎章和1500美元。

7、但地位可與諾貝爾獎相提并論。美籍華裔數學家丘成桐于1983年獲得了此獎。沃爾夫獎。每次獎勵10萬美元，授予當代最有影響的數學家，每年頒發一次，1983年旅美中國數學家陳省身榮獲此獎。奈望林納獎。1982年首次頒發。7/17/2022中國數學獎：國家級科技獎（含數學）（1）國家最高科技獎，2000年開始，吳文俊獲首屆獎。（2）國家自然科學獎，1956年開始。以個人名義設置數學獎：許寶騄統計獎；陳省身數學獎；華羅庚數學獎；鐘家慶數學獎；馮康科學計算獎；邵逸夫數學科學獎（2004年陳省身獲首屆獎，2005年吳文俊獲獎，每年一次，獎金100萬美元）；何梁何利基金獎（陳景潤，王元，柯召等獲過）7/17/

8、20222. 數學教育 數學作為一門課程進入學校是在公元前就開始了的，柏拉圖時期就已開始，至今已2400年左右。 柏拉圖甚至認為：“如果說不知道正方形的對角線和邊是不能用同一單位度量的，那他就不值得人的稱號。”他甚至規定不懂幾何學不得進他的哲學學校。那時就把數學學習與教育、與做人聯系起來了。歐幾里得說：“在幾何學里，沒有專為國王鋪設的大道” 。 中國數學有悠久的歷史，也曾達到極高的水平，但有偏于應用的一面，與古希臘數學強烈的理性色彩不同。 古希臘數學，更接近世界觀，接近哲學，接近人生。數學被作為人類思想的產品，在那里，它也更靠近人文學，因而也具有獨特的地位。7/17/20221908年，在羅馬

9、舉行的國際數學家大會上決定建立“國際數學教育委員會，簡稱ICMI.”克萊因被選為第一任主席。 ICMI主要是交流各國的數學教育情況，包括數學教學大綱的制定，教學方法的改進，數學學習水平的評價等。第二次世界大戰后，各國普遍實行9-12年的義務教育制度，這種轉變要求數學教育要面對全體民眾，“大眾數學”的口號也就應運而生。20世紀60年代“新數學運動。”20世紀80年代，美國率先提出：“回到基礎”，后又提出“數學問題解決。”的口號。中國數學教育，建國后約分為四個時期：創建時期（1949-1957），全面學習蘇聯，冷落西方，改革舊教育制度；改革初期（1958-1965）冷落蘇聯，建立自己教育；破壞時期

10、（1966-1976）；復興改革時期（1977至今），建立有中國特色的教育。7/17/2022研究表明：只有1%的學生將來會需要研究數學，29%的學生將來會使用數學，70%的人在離開學校后不會再用小學以上的數學知識 。我們的數學教育意義何在？7/17/2022從中國古代的“六藝”教育、希臘古代的“七藝”教育，直到當代，數學都是教育的核心內容之一。人們早已意識到數學不只是讓人學會生活和生活得更好的知識或工具，（教育首先是滿足人的生存和發展的需要）它還能使人自身得到發展和完善。有產品的開發，科技的開發，可是，人們已認識到，還有人（或人類）自身的開發。從根本上說，應當把數學教育視為文化素質教育，或者

11、說它本應當是一種文化素質教育或人文素質教育。數學教育一定不僅僅是知識的教育，更重要的是智慧的教育！要展現數學思維和實踐的過程，要展現數學的基本思想。（抽象的思想；推理的思想；模型的思想）史寧中。7/17/2022為什么會有一些青少年，對數學“望而生畏，望而卻步”？有“恐數癥”？1.不適應學習數學的特殊要求：抽象的思維方法；嚴密的邏輯推理；謹慎的計算過程等。2.對數學缺乏了解和興趣在入門之前或之初就心存恐懼，缺乏斗志，稍受挫折就退卻放棄。7/17/2022事實上，只要知難而進，堅持不懈，再配以科學的學習方法，是可以在廣袤的數學園地內暢游的，而且不斷地會感受到樂而忘返，甚至其樂無窮！因為這是一座富

12、麗堂皇的數學宮殿！不要站在花園外面，還說花園枯燥無味！7/17/2022群星璀璨（一） 泰勒斯 歐幾里得 畢達哥拉斯 丟番圖 笛卡爾 韋達 牛頓 高斯 歐拉 費馬 柯西 康托3.數學家7/17/2022群星璀璨（二）伽羅華 羅巴契夫斯基 哈密頓 羅素 布勞威爾 希爾伯特 伯努利 阿貝爾 龐加萊 柯爾莫哥洛夫 波利亞 芒德勃羅7/17/2022群星璀璨（三）阿基米德 柏拉圖 拉普拉斯 萊布尼茲 閔可夫斯基 黎曼魏爾斯特拉斯 達朗貝爾 維納 拉馬努金 馮諾依曼 懷爾斯7/17/2022群星璀璨（四） 劉徽 祖沖之 趙爽 楊輝 秦九韶 朱世杰華羅庚 陳景潤 蘇步青 丘成桐 陳省身 吳文俊7/17/2

13、022二、幾個引題1.有消息說，香蕉有艾滋病，不能吃。2.另一則消息說： “洋快餐用的雞有4個腿8個翅膀。 ”3.周長一定面積最大的平面圖形是什么？為什么？用數學的眼光看世界，進行數學方式地理性思維（ 直覺與理性；說不清道不明與邏輯推理 ）7/17/2022三、欣賞你會從什么角度欣賞？7/17/20227/17/20227/17/20227/17/20227/17/20227/17/20227/17/20227/17/2022幾何世界知多少平面幾何、立體幾何；解析幾何、微分幾何、高等幾何；歐幾里得幾何；非歐幾何；射影幾何；仿射幾何；曲面上的內蘊幾何；黎曼幾何7/17/2022分形幾何并不難。認

14、識世界的復雜性、多樣性、自相似性和對稱性，體驗世界之美妙的同時，更好地理解數學、喜愛數學。 畫分形樹 1）畫分形樹：畫樹干；畫兩個樹枝，注意樹干的角度是120度，長度是樹干的1/2;繼續在樹枝上畫小樹枝，要求同上。并討論：1）新的樹枝的數量；2）全部樹枝的數量；3）新的樹枝的長度；4）全部樹枝的長度，5）設計你自己的分形樹。7/17/202239四、幾個企業招聘的真題給數學教育的啟示試題1 某企業招聘員工的一道題 有兩個人賽跑。甲到達100米終點線時，乙才跑到90米。現在如果讓甲的起跑線退后10米，這時兩人再同時起跑比賽，問比賽結果將怎樣？為什么？ 關注：學生的思維定勢與思維的靈活性7/17/

15、2022解決方法1：甲的速度比乙的快，問題相當于甲多跑10米（后退10米起跑）所化的時間少于乙再跑10米（從90米處跑到100米終點）的時間，當然還是甲勝出。解決方法2：甲退后10米與乙同時跑，則同時跑到90米處（甲追及乙），剩下的10米無疑甲先跑完，故甲勝出。 解決方法3：甲跑完110米時，乙才跑完99米。7/17/2022試題2 某外企招考員工的一道題 有三個筐，一個筐裝著柑子，一個筐裝著蘋果，一個筐混裝著柑子和蘋果。裝完后封好了。 然后做了“柑子”、“蘋果”、“混裝”三個標簽，分別往上述三個筐上貼。由于馬虎，結果全都貼錯了。 請你想一個辦法，只有一次機會，從某一個筐中拿出一個水果查看，就

16、能夠糾正所有的標簽。7/17/2022思考：1. 是用數學解決的問題嗎？2. 1）怎么把握機會？從哪筐下手？ 2）怎么推理？7/17/2022貼錯標簽蘋果柑子混裝（蘋果與柑子）混裝蘋果 若為柑子，則為柑子（因為不是混裝！）柑子混裝蘋果與柑子 若為蘋果，則為蘋果（因為不是混裝！） 從混裝筐下手2）糾正“混裝筐”后呢？7/17/2022貼錯標簽蘋果柑子混裝（蘋果與柑子）可能1若摸出蘋果則是混裝則為蘋果 則為柑子可能2若摸出柑子，則可能是柑子也可能是混裝？ ？ 若從貼著標簽是蘋果的筐下手同理， 若從貼著標簽是柑子的筐下手也不能保證一次糾正。7/17/2022招聘題實際上是測試應聘者的邏輯推理能力演繹

17、推理。事實上，這樣的推理能力在小學就開始培養了。如北師大版小學數學三年級就有“生活中的推理”問題。7/17/2022實際上是訓練邏輯推理演繹推理7/17/2022試題3 某外企招考員工的又一道題 老師讓6名學生圍坐成一圈，另讓一名學生坐在中央，并拿出七頂帽子，其中四頂白色，三頂黑色。然后讓七名學生都戴上眼罩，并給每個學生戴一頂帽子；再只解開坐在圈上的六名學生的眼罩。這時，由于坐在中央的學生的阻擋，每個人只能看到五個人的帽子。老師說：“現在，你們七人猜一猜自己戴的帽子顏色。”大家靜靜地思索了好大一會。最后，坐在中央的、被蒙住雙眼的學生說：“我猜到了。” 問：中央的被蒙住雙眼的學生帶的是什么顏色的

18、帽子？他是怎樣猜到的?7/17/202248注意：有遮擋7/17/2022提示：1.嘗試用數學思維方法特殊到一般，發現規律。（由簡至繁，3頂帽子、5頂帽子到7頂帽子）2.邊上人猜不到是因為兩種顏色沒有看盡，只看見3白2黑（不可能是4白1黑或2白3黑），自己頭上及對面被遮擋人頭上的帽子顏色看不見。3.嘗試能否用上數學思想方法反證法。假設中間學生帶的是黑色帽子，則邊上還有2頂黑色帽子，總有一個學生能看到3頂黑色帽子，從而猜到自己戴什么顏色的帽子。7/17/2022思考：1.如果用2015頂帽子（1012頂黑色，1013頂白色）做同樣規則的游戲呢？2. 能否利用數學的一般化精神，將帽子游戲一般化？3

19、. 上述案例說明什么？7/17/2022體現用人單位對“數學素養”的重視用數學解決問題體現用人單位重視員工的數學文化7/17/202252 數學素養才使人終身受益 一個人的學歷教育中，從小學一年級到大學一年級，一般要學十三年的數學課程，只有語文課能與之相比；但許多人并未因為學的時間長就掌握了數學的精髓。相反，大多數學生仍然對數學的思想、精神了解得較膚淺，對數學的宏觀認識和總體把握較差，數學素養較差；甚至誤以為學數學就是為了會做題、能應付考試，不知道“數學方式的理性思維”的重大價值，不了解數學在生產、生活實踐中的重要作用，不理解數學文化與諸多文化的交匯。7/17/202253 實際上 ，學生畢業

20、后走入社會，如果不是在與數學相關的領域工作，他們學過的具體的數學定理、公式和解題方法可能大多用不上，以至很快就忘記了；而他們有所欠缺的數學素養，反而是數學讓人終生受益的精華。 一位數學教育家說，不管人們從事什么工作，深深銘刻在頭腦中的數學的思想精神、數學的思維方法和看問題的著眼點等，都會隨時隨地發生作用，使人們終生受益。 7/17/2022重視數學素養，提高數學素養三句耐人尋味的話：1）一個人不識字可以生活，但是若不識數，就很難生活了 。2）一個學科，只有當它成功地運用數學的時候，才算達到了成熟的程度。（馬克思講過，一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了 ）3）一個國家科學

21、的進步，可以用它消耗的數學來度量 。 7/17/2022數學定位： 1）數學不僅是一種重要的“工具” ，也是一種思維模式， 即“數學方式的理性思維”； 2）數學不僅是一門科學，也是一種文化，即“數學文化”； 3）數學不僅是一些知識，也是一種素質，即“數學素質”。 在提高一個人的推理能力、抽象能力、分析能力和創造能力方面，數學訓練的作用，是其他訓練難以替代的。 7/17/202256“數學素養”的通俗說法把所學的數學知識都排除或忘掉后，剩下的東西從數學角度看問題的出發點；有條理地理性思維，嚴密地思考、求證，簡潔、清晰、 準確地表達；在解決問題時、總結工作時，邏輯推理的意識和能力；對所從事的工作，

22、合理地量化和簡化，周到地運籌帷幄，等等。7/17/202257“數學素養”的專業說法摘自“數學學科專業發展戰略研究報告”教育部高等學校“數學與統計學教學指導委員會” 1） 主動探尋并善于抓住數學問題的背景和本質的素養； 2） 熟練地用準確、簡明、規范的數學語言表達自己數學思想的素養； 3）具有良好的科學態度和創新精神，合理地提出新思想、新概念、新方法的素養； 7/17/20224）對各種問題以“數學方式”的理性思維，從多角度探尋解決問題的方法的素養；5）善于對現實世界中的現象和過程進行合理的簡化和量化，建立數學模型的素養。7/17/202259著力提高數學素養 數學素養不是與生俱來的，是在學習

23、和實踐中培養的。學生在數學學習中，不但要掌握數學知識，更要體會知識中蘊涵的數學文化，了解“數學方式的理性思維”，提高自己的數學素養。7/17/202260“數學文化”一詞的使用“類似該詞”的使用已有二、三十年;在中國，較早使用的是1990年 鄧東皋、孫小禮、張祖貴編寫 的數學與文化及齊民友寫 的數學與文化;近十年“數學文化”一詞用得多起來。這個詞的使用頻率近年大大增加，說明它是有生命力的，說明許多人為著某種需要更愿意從文化這一角度來關注數學，更愿意強調數學的文化價值。五、數學文化7/17/202220世紀60年代，西方學者率先提出了數學文化觀，從新的立場為數學哲學研究提出新的觀點和方法。近20

24、年來，數學文化逐漸引起了國內學者的關注，與數學文化相關的研究也轟轟烈烈地開展起來 數學是人類創造的非自然的產物，凝聚了人類的知識、意識與經驗，在傳播、影響、融合的過程中發展，具有文化的所有特點，所以應該被看作是一種文化。 7/17/2022數學文化是什么？數學=邏輯？；數學=中考數學？ 數學=高考數學？數學是不是文化？數學文化，文化數學，數學與文化，數學文化=數學+文化？數學文化=數學+數學史？數學文化= “你知道嗎？”+“生活中的數學”+“數學游戲”等。數學文化=“閱讀材料”或“讀一讀”？7/17/2022文一：淺談數學文化在小學數學教學中的滲透一、重視發揮數學教材的文化特性；二、切實加強數

25、學教師教師的文化修養；三、注意凸顯數學課堂的文化屬性；四、注重加強數學活動的文化滲透文二：淺談小學數學文化的培養一什么是數學文化？數學文化對數學教育有何作用？二新課程中數學文化的開發1數學的理性精神；2數學思想與方法； 3數學的美； 4數學的應用價值；5數學的歷史文化三數學文化在小學數學課堂滲透1注重對學生數學理性精神的培養獨立思考，大膽質疑，勇于批判； 2. 及時滲透數學思想方法； 3. 體現數學的美感價值； 4. 注重數學人文價值的滲透； 5. 有效引導學生探究數學現象；6. 將相關的數學史適時引入課堂 關于數學文化的一些觀點7/17/2022文三：初中數學教學中滲透“數學文化”的幾種方法

26、 1進行學科整合 ； 2開展數學美學教育 ；3進行數學實驗與游戲； 4學生撰寫數學周記文四：初中數學教學中數學文化的滲透的實踐研究 1.追本溯源，激發學生的學習興趣2.展示數學發現的過程，培養學生創造力，讓學生領悟數學思想；3.感受前人嚴謹態度，增強學生探索精神；4. 數學史中的美育資源，可以培養學生的審美能力和創造能力你認為數學文化是什么？如何將數學文化貫穿于數學教育的始終？7/17/2022（一）數學文化教育名人名言1. 國際、國內數學家、數學教育家對研究“數學文化”的貢獻國際：德國大數學家F.克萊因與著名美國數學史家M.克萊因在數學文化研究方面做出了巨大貢獻。國內：1. 教育數學家張景中

27、院士2. 著名數學教育學家張奠宙先生3. 著名數學家徐利治先生4.著名數學家武漢大學教授齊民友先生5.北京大學張順燕教授6.南開大學顧沛教授7.南京大學鄭毓信教授等都在數學文化建設方面有很深的造詣。8.湖南師范大學校長張楚廷教授。7/17/20222. 名家觀點 數學文化必須走進課堂，在實際數學教學中使得學生在學習數學的過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位和世俗的人情味。這就是從微觀的角度進行分析，將數學文化滲入到課程標準、教科書，體現在數學教學的全過程之中。 數學文化的一些新視角張奠宙7/17/2022數學文化可以說是一種世界文化.數學文化可以說是一種歷史文化.數學文化是

28、一種思維文化.數學文化是一種高度抽象文化.數學文化是一種應用文化數學文化還是一種經濟文化.數學文化還是一種全息文化.7/17/2022 如果您的教學始終只是停留于知識與技能的層面，您恐怕就只能算是一個教書匠；如果您的教學能夠很好地體現數學的思維，您就是一個智者，您給學生帶來了真正的智慧；然而，如果您的數學教學能給學生無形的文化熏陶，那么，即使您只是一個小學教師，即使您身處偏僻的深山或邊遠地區，您卻是一個真正的大師，您的生命也因此而充滿了真正的價值。 漫談數學文化鄭毓信7/17/2022（二）2011版義務教育數學課程標準關于數學文化的論述：前言： 數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社

29、會每一個公民應該具備的基本素養。作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。 7/17/2022教材編寫建議中指出：（P63） 數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中。為此，教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學在自然與社會中的應用，以及數學發展史的有關材料，幫助學生了解在人類文明發展中數學的作用，激發學習數學的興趣，感受數學家治學的嚴謹，欣賞數學的優美。例如，可以介紹九章算術、珠算、幾何原本、機器證明、黃金分割、CT技術、布豐投針等。7/17/2022九章算術九章

30、算術集中國古代數學大成于一體，突出地表現了數學的實用性、計算性、歸納性及模型化的特點。尤其是實用性，表現在以算籌為工具，步步都與具體的現實問題和需要相連。對中國古代數學發展有很大影響，這種影響一直持續到清朝中葉。九章算術的敘述方式以歸納為主，先給出若干例題，再給出結果，但卻很少給出具體的解決問題的過程，因此歷代數學家有不少人曾經注釋過這本書，其中以劉徽和李淳風的注釋最有影響。不同于西方以演繹為主的敘述方式，中國回來的數學著作也都是采用歸納為主的敘述方式。7/17/2022九章算術特點：1）是一個應用數學體系，全書表述為應用問題集的形式；2）以算法為主要內容，全書以問、答、術構成，“術”是主要需

31、闡述的內容；3）以算籌為工具。中國古代數學具有明顯的機械化、算法化的特征。對比：幾何原本也是古代西方數學的集大成于一體者，其思維特點是一種演繹的、抽象化的、公理化的思維創造。撇開具體的事實進行抽象的演繹，進入一個與現實沒有直接聯系的數學觀念世界。只要符合數學推理本身的邏輯，即使其正確性在短時期難以驗證，但隨著現實條件的逐漸成熟，遲早一定會在現實中得到證實。7/17/2022九章算術的數學成就：分數運算、比例問題、面積體積計算、一次方程組解法、負數概念引入及負數加減法則、開平方、開立方、一般二次方程解法等。例 在方程術中第1題為：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，

32、下禾一秉；實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉；實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？問題相當于解方程組 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34解法如下： x +2y+3z=261 2 3 2 3 23 1 126 34 390 0 3 4 5 28 1 139 24 390 0 3 0 5 24 1 111 24 390 0 4 0 4 04 0 011 17 37XYzX=37/4,y=17/4; z=11/4參見：浙教版七下P91閱讀材料7/17/2022這一算法已經接近現代數學的矩陣解法，說明中國籌算方法在古代具有領先地位，但這一算法卻未能將其推廣到一般情況，得出一般結論。這

33、是中國古代數學缺乏抽象和概括，并上升到一般理論的必修，也是中國古代數學的不足。從這個例子中我們能得到什么啟發？數學中特殊問題一般化的重要性。數學教學中重視抽象與概括。7/17/2022數學教學不只是知識結論的教學，更應重視數學思維的教學。當然，中國古代也有很成功地一般化得到結論的例子南宋數學家秦九韶把孫子算經中“物不知數”一題的方法推廣到一般的情況，得到稱為“大洐求一術”的方法，并將此方法寫入數書九章中，這個結論在歐洲直到18實際才由高斯和歐拉發現的，所以世界公認這個定理是中國人最早發現的，特別稱之為“中國剩余定理”。7/17/2022762003年，“數學文化”一詞首次進入官方文件7/17/

34、2022777/17/2022787/17/2022 （三） 數學文化教育現狀7/17/20221. 教材方面數學教材中的一些欄目用意？小學數學：1. 人教版：“你知道嗎？”“生活中的數學”“數學游戲”等。2.北師大版：“你知道嗎？”“數學萬花筒”等。初中數學：1.浙教版：“閱讀材料”等2.北師大版：“讀一讀”等7/17/20227/17/20227/17/20227/17/20222. 教師方面1）教師對數學文化價值的認識7/17/20222）教師對教材中數學文化呈現方式的看法7/17/20223）教師對如何對待教材中數學文化的內容7/17/20224）教師教學數學文化的方式7/17/202

35、25）教師主動搜集、增加數學文化的內容7/17/2022（四）數學文化內涵1. “文化” 狹義（說法很多，其一是 ： “文化”就是“知識”，說一個人“有文化”，就是說他“有知識”；其二是指社會意識形態或觀念形式，即人的精神生活領域。 廣義（說法比較一致） ：“文化”是指通過人的活動對自然狀態的變革而創造的物質財富和精神財富的總和、積淀，有相對的穩定性。文化有兩個重要特征：一是群體性；二是傳統觀念，即價值系統，這種價值系統將通過群體特有的行為、觀念、態度、精神等決定群體的生活（行為）方式。7/17/2022通常認為，文化包括三個層面：物質層面、制度層面、精神層面。狹義文化則主要指精神層面的文化。

36、文化對人的塑造也就主要是指對人的精神的塑造，也就是使人形成一定的態度、價值觀、思維方式等，從而指導人的行為。“人類精神活動的變量是被稱之為文化的超有機體傳統的函數。”（文化學家懷特）文化概括為意識形態領域的精神、思想、觀念等（數學中有：數學的一般化精神、歸納、類比的思想、對稱的觀點等）7/17/20222.為什么說數學是一種文化數學都具有文化的所有特征，所以，數學就是一種文化。廣義的文化概念強調的是文化對人類創造活動的依賴性。數學對象終究不是物質世界中的真實存在，而是人類抽象思維的產物，因此，從這個意義上說，數學就是一種文化。狹義的文化概念強調的是文化對人的行為、觀念、態度、精神等的影響。數學

37、除了在科學技術方面的應用外，其在精神領域的功效，特別是在對人類理性精神方面的影響也是有目共睹的。”7/17/2022“作為一種人類的理性精神，作為理性精神最有力的倡導者和體現者，數學在今天已在一定程度上滲透到以前由權威、習慣、風俗所統治的領域，成為人們思想和行動的先導之一。某些數學成果，對人類社會所產生的精神方面的影響，并不亞于對數學的影響，它們對認識觀、倫理觀乃至人生觀都產生了一定的作用”，因此，從這個意義上說數學還是一種文化。7/17/2022 現代文化學強調的是文化與群體、傳統等概念的密切關系，也即是文化的整體性。 數學家顯然構成了一個特殊的群體數學共同體。 中國古代的數學家以其注重實用

38、和算法化的傳統，從而形成了以九章算術為代表的中國傳統數學文化的整體特色； 古希臘的數學家則以其崇尚思辨和注重演繹的傳統，形成了以幾何原本為代表的古希臘數學文化的特色。因此，從這個意義上說，數學也構成了一種文化。數學共同體和數學傳統正是數學文化整體性的體現。7/17/2022從文化的歷史性角度考慮。數學發展的歷史既是一部文明史，也是一部文化的發展史。數學共同體和數學傳統也不乏帶有其歷史性成分。因而數學傳統的不斷變革及數學知識的延續性，就可以看成數學發展的重要特點。這一特點也是數學之所以成為文化的一個重要特征。7/17/2022以上的分析，實際上也是從數學對象的人為性、數學活動的整體性和數學發展的

39、歷史性這三個不同層面上指出了數學文化的意義。所謂數學文化，是指以數學家為主導的數學共同體所特有的行為、觀念、態度和精神等，也即是指數學共同體所特有的生活（行為）方式，或者說是特定的數學傳統。7/17/2022 東方文化、西方文化、古希臘文化、 ，中華文化 文化是一個與自然相對的概念，文化是人類的創造物，是人類的精神產品。 文化是一個相對于群體的概念。不同的國家、地區和民族有其不同的文化。 文化影響著人們的行為方式。那些言談舉止粗魯的人，常常被看成是“沒文化”、“沒素養”的人。7/17/20223. 理性精神、數學精神數學文化是一種理性精神。來源于理性的思維方式和觀念形成的力量。數學文化是一種使

40、人，乃至使整個社會減少盲目和迷信，增強理智和文明的精神力量。數學精神和數學思想是數學文化的重要組成部分。思考：1.中國古代為什么沒有對頂角相等這樣的命題？2.船長年齡問題：“一條船上有75頭牛，32頭羊，問船長幾歲？”大多數學生能“算”出來，說明什么？反思什么？ 理性判斷、推理等活動的理性認識從理智上控制行為的能力7/17/2022數學精神是人們在數學活動中形成的價值觀念和行為規范。內涵十分豐富：主要有數學理性精神、數學求真精神、數學創新精神、數學合作與獨立思考精神等。數學思想數學中的智巧、大膽的想象和猜測、豐富的直覺、奇特的構思，與縝密的論證和推理一起構成了數學的思想特質。數學精神和數學思想

41、來源于數學知識的創造過程。數學文化是數學由物質形態轉化為精神形態的產物，是數學發展的高級階段，這一階段的數學主要是一種精神，這種精神體現在人們行為上便是對理性的探索和對待事物的科學態度。7/17/20224. 數學文化與數學的關系有這樣一種觀點：數學文化特指意識形態中的數學的方法、思想、精神、觀念等，而不包括數學知識。由此，數學=數學知識+數學文化。數學知識主要是指數學中的公式、公理、法則等，它們以能夠看得見的物質形式表現數學，數學文化以隱性的方式反映數學。文化數學數學知識數學文化數學精神數學方法大眾文化文化、數學及數學文化三者的關系7/17/20225. 數學文化缺失原因數學往往給人一種物質

42、的現象（人們將數學僅看成數學知識）而數學文化卻完全是一種非物質的現象。意味著數學的發展并不能自然帶動數學文化的普及。數學文化與數學既具有聯系，又具有相互獨立性。由此，在數學突飛猛進發展的當代，卻普遍存在社會文化中數學文化的缺失現象。7/17/2022研究表明，數學離開了數學文化的支撐，其研究就缺乏了源泉，這必將導致數學研究的枯竭，中國數學發展的歷史已經表明了這一點。對數學知識的認識是知性思維，而對數學文化的認識是理性思維。數學知識主要產生于數學研究之中，數學文化卻來源于人們對數學的理解和應用的過程中。因而，對數學文化的認識需要在對數學知識的認識的基礎上，產生思維的飛躍。7/17/2022102

43、6. “數學文化”的內涵狹義：數學的思想、精神、方法、觀點、語言，以及它們的形成和發展。 廣義：除上述內涵以外，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系，等等。 這里使用“數學文化” 一詞，更多地傾向于它的狹義解釋。 7/17/2022 按照現代數學研究，數學文化可以表述為以數學科學為核心，以數學的思想、精神、方法、內容等所輻射的相關文化領域為有機組成部分的一個具有特定功能的動態系統，其基本要素是數學及與數學有關的各種文化現象。 數學文化研究開展以來，數學的抽象、確定、繼承、簡潔、統一的文化屬性和滲透、傳播、應用、預見的功能特征被挖掘

44、出來，數學的藝術性也深深吸引了人們的眼球。然而這只是數學功能的外顯式表現，數學文化研究表明，數學的起源、發展、完善和應用的過程對于人類產生重大的影響，既包括對于人的觀念、思想和思維方式的一種潛移默化的作用，也包括在人類認識和發展數學的過程中體現出的探索精神。 7/17/2022104 陳省身先生題詞7/17/2022105第24屆“國際數學家大會”（ICM）International Congress of Mathematicians 7/17/2022106 數學本身也有無窮的美妙。認為數學枯燥，沒有藝術性，這看法是不正確的，就像站在花園外面，說花園枯燥無味一樣，只要踏入了大門，你們隨時會

45、發現數學有許許多多趣味的東西。7/17/20221077/17/20221087.數學文化書籍7/17/20221097/17/20221107/17/20221117/17/20221127/17/20221137/17/20221147/17/20221157/17/20221167/17/2022 由此，我們看到，中國學者對于數學文化的教育價值體會之深，開設該課程的院校數量之多，相關教材和其他出版物的數量之大，數學文化的教育傳播之廣，恐怕在全世界都是少見的。 這與具有中國特色的教育理念素質教育的思想，應該有密切的關系。7/17/2022118耐人尋味的思考 在“數學文化”一詞被日益廣泛地

46、使用時，“物理文化”、“化學文化”這樣類似的詞匯，并沒有得到如此廣泛地使用。這表明，數學科學，的確在本質上有不同于物理科學、化學科學等自然科學的地方。 數學科學的研究對象，并不是某種具體的物質運動形態，而是從眾多的物質運動形態中抽象出來的事物，是人腦的產物。數學，具有超越具體科學和普遍適用的特征，具有公共基礎的地位。例如：數學中研究的圓，客觀世界中有太陽，有月亮，有車輪，但并沒有數學中研究的圓；數學中研究的圓，是人腦的產物 7/17/2022119 特別是，不同的社會現象和自然現象，在某一方面可能遵循同樣的數學規律，這反映出社會現象與自然現象在數量關系上的某種共性。數學超越了具體的社會科學和自

47、然科學，也成為聯系社會科學和自然科學的紐帶。 有許多學者認為，科學可以分類為：自然科學、社會科學、數學科學、哲學。7/17/20228.數學文化的特征數學文化是傳播人類思想的一種基本形式。數學文化包含著人類所創造語言的特殊形式。數學文化是自然與人類社會相互聯系的一種工具。數學文化具有相對的穩定性和連續性。數學文化具有高度的滲透性7/17/20229.數學的文化價值主要指數學對于人們觀念、精神以及思維方式的養成所起的重要影響。數學作為一種“看不見的文化”，其文化價值主要表現在：（1） 數學對于人類理性精神的養成與發展具有特別重要的意義，理性精神被看成人類文明、特別是西方文明的核心所在。克萊因指出

48、：“在最廣泛的意義上說，數學是一種精神，一種理性精神。正是這種精神，激發、促進、鼓舞并驅使人類的思維得以運用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質、道德和社會生活；試圖回答有關人類自身存在提出的問題；努力去理解和控制自然；盡力去探索和確立已經獲得的知識的最深刻的和最完美的內涵。”7/17/2022（2）數學文化具有獨特的教化功能數學作為一種文化，不僅具有傳承知識的功能，還有教化人的功能。從數學的探索、論證、發展等方面，可以充分體現數學家優良的精神品質，以及數學內容中所折射的一些社會優良品德。在數學探索過程中，體會“勤奮與自強”的精神，堅強的意志，鍥而不舍和奮勇向前的奮斗精神

49、。在數學論證過程中，體會“求實與誠信”精神。數學史上有一個令人肅然起敬的故事：托勒密王跟歐幾里得學幾何，問有沒有什么容易的方法，很快能掌握？歐幾里得說：“陛下，學習幾何沒有捷徑，即使陛下也一樣。”7/17/2022在數學規則的形式中，體會一種“理智與自律”的精神，數學是體現理性思維的最好的載體。在古希臘，數學不僅要回答“什么是數學真理”，還須回答“為什么”它是數學真理。例如，幾何原本中的命題15是“對頂角相等。”這一命題的證明的重要價值在于它提供了不憑直觀和實驗的邏輯證明，學習數學，不僅要注意定義和定理的結論，最重要的是學習這種理性思維的方法。每一個數學問題的解決都必須遵循數學規則。在人類生活

50、中，人們也應形成一種對社會公德、秩序、法律等內在的約束力。7/17/2022在數學的思維的嚴密性中，體會一種“智慧與創新”的精神。例如，歐拉解決哥尼斯堡七橋問題。數學充分體現了人類的智慧與創新精神。（史寧中教授提出“智慧的教育”）數學的學習不但可以發展智力，培養創造力，而且可以培養創新精神，這對學生以后的學習和生活都有重要意義。7/17/2022從學習、研究所需要的嚴謹的態度中，體會一種“敬業與責任”的精神。解決數學問題需要耐心、毅力和執著精神；數學思維的嚴密、有條理需要一絲不茍的工作態度、敬業精神和強烈的責任感。學習數學也應學習數學工作者的敬業精神與責任感，并運用于我們的生活實踐中。7/17

51、/2022從數學的發展來看，可以體會一種“合作與民主”的精神。（3） 數學有著重要的思維訓練功能數學并非對于客觀事物或現象量性的直接研究，而是通過相對獨立的“模式”的建構、并以此為直接對象來從事研究，因此，作為“模式的科學”，數學對于人們抽象思維能力的培養就有著特別重要性。7/17/2022（4）數學對于創造性思維發展具有重要的作用由于數學研究對象并不一定具有明顯的直觀背景，而是各種可能的量化模式，因此，這也為人們創造性才能的充分發揮提供了最為理想的場所。特殊地，這顯然也就是美學的因素何以在數學研究中占有特別重要位置的一個直接的原因。7/17/2022128數學文化教育目的 體會數學精神 學會

52、數學思維 掌握數學方法 使用數學語言 理解數學思想 提高數學素養7/17/2022六、數學文化中的美學觀 美學的鼻祖不是別人，而是古希臘數學家畢達哥拉斯，第一個美得概念是畢達哥拉斯學派從數學的角度提出來的。因此，作為一種文化，數學從一開始就與美結下了不解之緣。數學美是激勵數學家進行數學創造的強大動力；數學美是引導數學發現的奇妙工具；數學美是評價數學理論的重要標準之一。關于數學美，古今中外的哲學家、科學家，都曾對其作過不同程度的探討：畢達哥拉斯學派認為美來自于事物的數量關系，美在于數的適當比例與和諧。7/17/2022亞里士多德指出：“雖然數學沒有明顯地提到善和美，但善和美也不能和數學完全分離。

53、因為美得主要形式就是秩序、勻稱和確定性，這些正是數學所研究的原則。”彭加勒認為：數學美在于“雅致”，雅致所研究的是“各部分之間的和諧、對稱、恰到好處的平衡。”因此，和諧、對稱、與巧妙的協調是數學美得特征。哈爾莫斯說：“在繪畫與數學中，美有客觀標準。畫家講究結構、線條、造型、肌理，而數學家則講究真實、正確、新奇、普遍.。”7/17/2022我國數學家、數學方法論的開拓者徐利治先生也曾論述過數學美得特征：“作為科學語言的數學，具有一般語言文學藝術所共有的美的特點，即數學在其內容結構上和方法上也都有其自身的某種美，即所謂數學美。數學美的含義是豐富的，如數學概念的簡單性、統一性、結構系統的協調性、對稱

54、性、數學命題與數學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性等等都是數學美的具體內容。”因此，數學之美，是數學固有的。7/17/2022數學美和諧性、簡單性、奇異性一、和諧性：統一性、對稱性等1.統一性統一性不僅是數學美的特征之一，而且也是數學家們所努力追求的目標之一。對統一性的追求不但可以把我整體，而且也能把我細節，同時還可以在此基礎上產生偉大的發現。7/17/2022案例1 公理化方法的形成，就是追求整體與部分的統一性的結果。23個定義，5條公理，就將千頭萬緒的幾何素材組織統一起來，使之納入一個嚴密的邏輯體系之中，組成一個有機的整體，他的美妙的、和幾何原本是不可多得的科學和美學的范本

55、，它曾被一些大科學家贊為“雄偉的建筑”，“壯麗的結構”，“巍峨的階梯。”7/17/2022希爾伯特的 幾何基礎一書彌補了幾何原本中的不足，提供了一個完善的歐氏公理系統。充分體現了幾何科學的完美統一。公理系統的相容性或無矛盾性就是和諧性的表現，而數學的嚴謹性，也即是和諧性。7/17/2022中學數學中，統一性隨處可見。案例3 圓、橢圓、雙曲線、拋物線的統一性（1）方程的形式：所以又稱它們為二次曲線；（2）除圓外，從點的集合或軌跡的觀點看，它們都是與定點和定直線距離的比是常數（離心率）的點的集合或軌跡。（3）四種曲線又可以看做不同平面截圓錐嗎所得到的曲線。因此，它們又稱為圓錐曲線。（4）巧妙的是：

56、天體運行的軌道是這四種曲線。7/17/2022（5）在極坐標系中，它們可以統一為極坐標方程：包含了把直線、圓依次看著是圓、橢圓的極限情形。案例4 立體幾何中的辛普松公式（其中， 依次為上、下底面和中截面面積），把棱錐、臺和球的體積求法統一了起來。而且，如果把 依次看成是上、下底和中線的長發，那么又可把平行四邊形、梯形和三角形的面積求法統一起來。7/17/2022由此可見，在數學當中，追求統一性不但表現在對某類對象的高度概括上，而且表現在某個數學分支的統一性和幾個數學分支甚至整個數學大廈的統一性上。在數學發展的歷史長河中，數學家對數學的統一性的追求有三個里程碑：一是歐幾里德的幾何原本，它除了幾何

57、知識外，還包括算術、數論、代數等，囊括了當時已經積累的數學知識，并將幾何知識形成一個統一的結構。7/17/2022案例2 神妙的坐標系。在十七世紀以前，代數與幾何是相互分離、彼此無關的。笛卡爾追求代數與幾何的統一，他引入神妙的坐標系。點與二元數偶對應；曲線與方程對應；通過對曲線方程的研究來討論曲線的性質，從而把代數學、幾何學和邏輯學統一起來。（笛卡爾之夢；解析幾何與數學機械化；九章算術與數學機械化；吳文俊院士與數學機械化）7/17/2022思考：坐標系的本質是什么？用一對數確定點的位置？如果是這樣，那么應該是地理課的任務，連語文課也能處理幾排幾座這樣的問題。平面坐標系的本質在于用“數”所滿足的

58、方程來表示點的運動軌跡，即“數形結合”的思想。要引導學生觀察和思考這樣的問題：兩個坐標一樣的點是什么圖形？兩個坐標都是正數的點構成什么區域？橫坐標都為0的點是什么圖形？這就有“數學味”了，更深層次地觸及數學本質了。7/17/2022二是羅素和懷德海的數學原理該書力圖從邏輯學的概念和原理出發，演繹出數學的基本概念和原理。三是法國布爾巴基學派的工作。該學派為了揭示數學的統一性，引進了結構的概念。（代數結構、拓撲結構和序結構）7/17/2022和諧性的第二個特征是對稱性。對稱性是最能給人以美感的一種形式，從古希臘時代起，對稱性就被數學家看成是數學美得一個基本內容。數學美學中的對稱性美并不局限于客觀事

59、物外形的對稱。正如魏爾所說：“對稱是一種思想。多少世紀以來，人們希望借助它來解釋和創造秩序、美和完善。”數學概念、公式、運算、方程式、結論甚至方法中，都蘊含著奇妙的對稱性。 畢達哥拉斯學派非常重視對稱性，他們認為：一個圖形的對稱性越多，圖形越完美。“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形。”2.對稱性7/17/2022從數學發展的歷史來看，對稱性的考慮在一定程度上促進了數學的發展。例如，關于逆運算的可能性的考慮，也是導致數系不斷擴展的一個重要原因，而這種考慮事實上就是對于運算與它的逆運算的對稱性的一種追求。例如，在數學當中，等式也具有對稱性。即兩邊的結果的相應或相等。由此不難理

60、解方程的對稱性。7/17/2022利用對稱性解決數學問題，在數學中則是隨處可見。例如，歐幾里得曾證明了西帕索斯的發現無理數的存在。設正方形的對角線長為 則 中至少有一個是奇數。由畢達哥拉斯定理， 即 ，從而 為偶數 必為奇數，又設因而 是偶數，這便產生了矛盾，即對角線長不能用整數比來表示。7/17/2022又如，古希臘數學家海倫巧妙的運用了“對稱變換”解決了幾何中著名的極值問題“A,B是直線CD同側兩點，試在CD上求一點P使PA+PB最短”。（光反射定理，又稱海倫定理。還有海倫公式：思考：怎樣求解？又如：德國幾何學家斯丹納在證明“周長一定的一切平面封閉圖形中，以圓的面積最大”時，由于靈活地運用