1、2012 年東北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試2012 年長春市高中畢業(yè)班第三次調(diào)研測試 數(shù) 學(xué)(文科 ) 本試卷分第卷 (選擇題 )和第卷 (非選擇題 )兩部分， 滿分 150 分.考試時(shí)間為 120 分 .考試結(jié)束后，將試卷和答題卡 鐘，其中第卷 22 題 24 題為選考題，其它題為必考題 一并交回 . 注意事項(xiàng)：1 答題前， 考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條在形碼區(qū)域內(nèi) . 2 選擇題必須用2B 鉛筆填涂； 非選擇題必須使用0.5 毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚. 3 請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；草稿

2、紙、試題卷上答題無效. 4 保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀. 第卷 （選擇題，共60 分）一、選擇題（本大題包括12 小題，每小題5 分，共 60 分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，是符合題目要求的，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）. 1.若3z2 i1i，則 zA.15iB. 1 25iC.15iD.15i22222222.若集合A 2, 1,0,1,2，則集合 y yx1 ,xA A. 1,2,3B.0,1, 2C.0,1,2,3D. 1,0,1,2,33.直線 l ：xmy2與圓 M ：x22xy22y0相切，則 m 的值為4.A.1 或-6 B.1 或-7 n中，C.-

3、1 或 7 D.1 或1 7a 10a 12各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列a3a ，1a，2a 成等差數(shù)列，則2a 8a 10A. 1B. 3C. 6D. 95.對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)比較，正確的是相關(guān)系數(shù)為1r相關(guān)系數(shù)為2r相關(guān)系數(shù)為3r相關(guān)系數(shù)為4r6.A. r 2r 40r 3r 1B. r 4r 20r 1r 3C. r 4r 20r3r 1D. r 2r 40r 1r 3函數(shù)f x ( )3cos2xlog2x1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為27.A.2 B.3 C.4 D.5 一個(gè)算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結(jié)果是8.1 ，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是 63A. i 4 C

4、.i 5 函數(shù)f x ( )Asin(x6)(0) 的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為2g x ( ) A cos x 的圖像只需將的等差數(shù)列，要得到函數(shù) f x 的圖像9.10.11.12.A.向左平移6B.向右平移3C.向左平移2 3D.向右平移2 3若滿足條件AB=3 ，C=3的三角形 ABC 有兩個(gè)，則邊長BC 的取值范圍是A. 1,2B.2,3C.3,2D.2,2現(xiàn)有 2 名女教師和1 名男教師參加說題比賽，共有2 道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機(jī)選出一道題進(jìn)行說題，其中恰有一男一女抽到同一道題的概率為A.1 3B.2 3C.1 2D.3 42 2x y雙曲線 2 2 1

5、( a 0, b 0)，過其一個(gè)焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線交于a bM 、 N 兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足 OM ON ，則雙曲線的離心率為A.127B. 125C.123D.122四棱錐 SABCD 的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心O在同一平面內(nèi)， 當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時(shí)，它的表面積等于44 3 ，則球 O的體積等于A.432B.832C.1632D.32 32第卷（非選擇題，共 90 分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第 13 題 21 題為必考題， 每個(gè)試題考生都必須作答，第 22 題 24 題為選考題，考生根據(jù)要求作答 .二、填空題 (本大題包括 4

6、 小題，每小題 5 分，共 20 分，把正確答案填在答題卡中的橫線上 ). 13. 平面區(qū)域 1 x y 1的周長為 _. 6 51 x y 1正視圖 側(cè)視圖14. 某長方體的三視圖如右圖，長度為 10 的體對角線在正視圖中的長度為 6 ，在側(cè)視圖中的長度為 5 ，則該長方體的全面積為 _. 俯視圖15. 等差數(shù)列 a n 的首項(xiàng)為 a ，公差為 d ，其前 n 項(xiàng)和為 S ，則數(shù)列 S n 為遞增數(shù)列的充分必要條件是 _. x 116. 如果直線 2 ax by 14 0 ( a 0, b 0) 和函數(shù) f ( ) m 1 ( m 0, m 1) 的2 2圖像恒過同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在

7、圓 ( x a 1) ( y b 2) 25 的內(nèi)部或圓上，那么 b 的取值范圍是 _. a三、解答題（本大題包括 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）. 17.（本小題滿分 12 分）ur r在 ABC 中，向量 m (2 cos B ,1)，向量 n (1 sin B , 1 sin 2 B )，且滿足ur r ur rm n m n . 求角 B 的大小；求 sin A sin C 的取值范圍 .18.（本小題滿分 12 分）2012 年 2 月份， 從銀行房貸部門得到好消息，首套住房貸款利率將回歸基準(zhǔn)利率 . 某大型銀行在一個(gè)星期內(nèi)發(fā)放貸款的情況統(tǒng)計(jì)如圖所示

8、：求本周該銀行所發(fā)放貸款的貸款年限的標(biāo)準(zhǔn)差；求在本周內(nèi)一位購房者貸款年限不超過 20 年的概率；求在本周內(nèi)該銀行所借貸客戶的平均貸款年限19.（取過剩近似整數(shù)值）. AA 1底面ABCD, 2. A 1D1C 1（本小題滿分12 分）已知四棱柱ABCDA B C D 中，ADC90 o ， ABCD ，ADB1CCDDD12AB求證：AD 1B C ；求四面體A BDC 的體積 . ADB20.（本小題滿分 12 分）2 2已知 F 1 , F 分別為橢圓 x2 y2 1 ( a b 0) 的左右焦點(diǎn)，M N 分別為其左右頂a b點(diǎn)，過 F 的直線 l 與橢圓相交于 A B 兩點(diǎn) . 當(dāng)直線

9、l 與 x 軸垂直時(shí)，四邊形 AMBNuuuur uuur uuuur的面積等于 2，且滿足 MF 2 2 AB F N . 求此橢圓的方程；uuur uuur uuur uuur當(dāng)直線 l 繞著焦點(diǎn) F 旋轉(zhuǎn)但不與 x 軸重合時(shí)，求 MA MB NA NB 的取值范圍 . 21.（本小題滿分 12 分）已知函數(shù) f x ( ) x ln x . 討論函數(shù) f x 的單調(diào)性；對于任意正實(shí)數(shù) x ，不等式 f x ( ) kx 1恒成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍；2求證 :當(dāng) a 3 時(shí)，對于任意正實(shí)數(shù) x ，不等式 f a x ) f a ( ) e 恒成立 . x請考生在 22、23、24 三

10、題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分 . 22.（本小題滿分 10 分）選修 41：幾何證明選講 . 自圓 O 外一點(diǎn) P 引圓的一條切線 PA，切點(diǎn)為A，M為PA的中點(diǎn)，過點(diǎn) M 引圓 O 的割線交該圓于 B C 兩點(diǎn)，且BMP 100 o，BPC 40 o. 求證：MBP 與 MPC相似；求 MPB 的大小 . 23.（本小題滿分 10 分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講 . 在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 M 的參數(shù)方程為 x sin cos( 為參數(shù) )，若以該y sin 2直角坐標(biāo)系的原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 N 的極坐標(biāo)方程為：sin

11、( ) 2 t （其中 t 為常數(shù)） . 4 2若曲線 N 與曲線 M 只有一個(gè)公共點(diǎn)，求 t 的取值范圍；當(dāng) t 2 時(shí)，求曲線 M 上的點(diǎn)與曲線 N上點(diǎn)的最小距離 . 24.（本小題滿分 10 分）選修 45：不等式選講 . 已知函數(shù) f x ( ) | x 1| | 2 x 2|.解不等式 f x ( ) 5；若關(guān)于x的方程 1 a 的解集為空集，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 . f ( ) 42012 年東北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試2012 年長春市高中畢業(yè)班第三次調(diào)研測試數(shù)學(xué)( 文科) 參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題 ( 本大題包括 12 小題，每小題 5 分，共 60 分) 1.

12、C 2.C 3. B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.C 11.B 12.B 簡答與提示：3 2 i 1 51. C 由已知 z i . 故選 C. 1 i 2 22. C 將 x 2 , ,1 0 ,1, 2 逐一帶入 y x 1 ,得 y=0,1,2,3 ，故選 C. 3. B 圓的方程化為 ( x 1) 2( y 1) 22，由直線與圓相切，可有 mm 2 31 2 ,解得 m 7 或 . 故選 B. 4. D 由已知 a 3 3 a 1 2 a 于是 q 23 2 q ,由數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，解得 q 3 , a 10 a 12 2q 9 . 故選 D. a 8 a

13、 105. A 由相關(guān)系數(shù)的定義以及散點(diǎn)圖所表達(dá)的含義可知 r 2 r 4 0 r 3 r . 故選 A6. B 在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù) y 3cos x 和 y log 2 x 1的圖像，可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)2 2為 3. 故選 B. 7. C 初始值 i ,1 T 0 , P 15，第一次循環(huán)后 i 2, T 1, P 5，第二次循環(huán)后i 3, T 2, P 1，第三次循環(huán)后 i 4, T 3, P 1，第四次循環(huán)后 i 5, T 4, P 1，7 63因此循環(huán)次數(shù)應(yīng)為 4 次，故 i 5 可以作為判斷循環(huán)終止的條件 . 故選 C. 8. A 由條件知函數(shù) f x 的周期為，可知 2 ，即函數(shù) f

14、 x ( ) A sin(2 x )，6g x ( ) A cos2 x ，可將 g x 化為 g x ( ) A sin(2 x )，由此可知只需將 f x 向2左平移 個(gè)單位即可獲得 f ( x ) A sin 2 ( x ) A sin( 2 x ) A cos 2 x .6 6 6 6 2故選 A. 9. C 若滿足條件的三角形有兩個(gè)，則應(yīng) 3sin C sin A 1，又因?yàn)?BC AB 2，故 BC 2 sin A，3 BC 2 . 故選 C. sin A sin C110. C 通過將基本事件進(jìn)行列舉，求得概率為 . 故選 C. 2211. B 由題意可有：c b，由此求得 e

15、1 5 . 故選 B.a 212. B 由題意可知四棱錐 S ABCD 的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面 ABCD 是正方形且和球心 O 在同一平面內(nèi)，當(dāng)體積最大時(shí)，可以判定該棱錐為正四棱錐，底面在球大圓上，可得知底面正方形的對角線長度為球的半徑 R ，且四棱錐的高 h R ，進(jìn)而可知此四棱錐的四個(gè)側(cè)面均是邊長為 2R 的正三角形，底面為邊長為 2R的正方形，所以該四棱錐的表面積為 2 R 24 ( 1 2 R 2 R sin60 )o (2 2 3) R24 4 3，2于是 R2 2 , R 2，進(jìn)而球 O 的體積 V 4R 3 42 2 8 2. 故選 B. 3 3 3二、填空題 ( 本大

16、題包括 4 小題，每小題 5 分，共 20 分) 3 413. 4 2 14. 4 6 5 15. d 0 且 d a 0 16. 4 3 , 簡答與提示：13. 畫出圖形，可得該區(qū)域圖形為邊長為 2 的正方形，故其周長為 4 2 . 14. 由體對角線長 10 ，正視圖的對角線長 6 ，側(cè)視圖的對角線長 5 ，可得長方體的長寬高分別為 5 ，2， 1，因此其全面積為 2( 5 1 5 2 1 2) 4 6 5 . 15. 由 S n 1 S n，可得 ( n 1) a ( n 1) n d na n n 1) d ，整理得 dn a 0，而2 2n N，所以 d 0 且 d a 0 . 因此

17、數(shù)列 S n 單調(diào)遞增的充要條件是 : d 0且 d a 0 . x 116. 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù) f ( ) m 1( m 0, m 1) 恒過定點(diǎn)( 1,2). 將點(diǎn) ( 1,2) 代入 2 ax by 14 0，可得 a b 7 . 由于 ( 1,2) 始終落在所給圓的內(nèi)部或圓上，所以 a 2b 225 . a b 7 a 3 a 4由 2 2，解得 或，這說明點(diǎn) ( , ) a b 在以 A (3, 4) 和 B (4,3) 為a b 25 b 4 b 3b端點(diǎn)的線段上運(yùn)動(dòng)，所以 的取值范圍是a三、解答題 ( 本大題必做題 5 小題，三選一選17. ( 本小題滿分 12 分)

18、 3 4 , . 4 31 小題，共 70 分 )【命題意圖】本小題借助向量的垂直與數(shù)量積考查三角函數(shù)的化簡，并且考查利用三角函數(shù)的變換與輔助角公式求取三角函數(shù)的值域等有關(guān)知識 . 【試題解析】解：由 urm n rm urn r，可知 urm rn ur rm n 0 . ur r然而 m (2cos B ,1), n (1 sin B , 1 sin 2 )，所以有m n ur r2cos B sin 2 B 1 sin 2 B 2cos B 1 0，得 cos B 12 , B 60 o .(6 分) sin A sin C sin A sin( 120 A ) 3 sin A 3 co

19、s A 3 sin( A 30 ) .(9 分)2 218.又 0oA120o ，則 30oA30o150o，1 2sin(Ao 30 )1，,3.（ 12 分）所以3sinAsinC3, 即 sinAsinC 的取值范圍是(322( 本小題滿分12 分) 【命題意圖】 本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識，具體涉及到統(tǒng)計(jì)圖的應(yīng)用、19.平均值的求取以及概率的初步應(yīng)用. 【試題解析】 解：貸款年限依次為10，15，20，25，30，其平均值x20.s2(1020)2(1520)2(2020)2(2520)2(3020)250，5所以標(biāo)準(zhǔn)差s5 2. (4 分) 所求概率PP 1P 2P 3101

20、0259. (8 分) 80808016平均年限n10 10 10 1520 2525 2015 3022(年 ). 80(12 分) ( 本小題滿分12 分) 【命題意圖】 本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面的垂直關(guān)系以20.及幾何體體積的求法. 【試題解析】 解：由四邊形ADD1A 1是正方形，所以AD1A 1D. 又AA 1平面ABCD ，ADC90，所以AA 1DC,ADDC，而AA 1IADA，所以DC平面AA1D1D，AD1DC. 又A DIDCD，所以AD1平面A 1DCB1，從而AD1B 1C. (6分) 設(shè)所給四棱柱的體積為V，則VS ABCDAA 16，又三棱

21、錐A1ABD的體積等于三棱錐BA 1D1C 1的體積，記為V ，三棱錐DA 1D 1C1的體積又等于三棱錐C1CBD的體積，記為V .而V1112122，V 2112224，323323所以所求四面體的體積為V2 V 12 V 22. (12 分) ( 本小題滿分12 分) 【命題意圖】 本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識以及向量與圓錐曲線的綜合知識12a.b2,2【試題解析】 解：當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí)，四邊形AMBN 面積 : 22a得b21. 又uuuur MF 2auuur c AB2 b2,uuuur F Nac，于是

22、ac2b2ac，得2aa2ac 2，又 a 2c 21，解得 a 2 .因此該橢圓方程為 xy 21 . (4 分) 2x my 1(2) 設(shè)直線 l : x my 1，由 x 22 消去 x 并整理得：( m 2 2 ) y 2 2 my 1 0 . y 12設(shè) A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )，則有 y 1 y 2 2 2 m, y 1 y 2 2 1. (6 分) m 2 m 2由 MA ( x 1 2 , y 1 )，MB ( x 2 2 , y 2 )，NA ( x 1 2 , y 1 )，NB ( x 2 2 , y 2 )，可得 MA MB NA

23、NB 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) 4 . (8 分) 2x 1 x 2 y 1 y 2 ( my 1 1 )( my 2 1 ) y 1 y 2 ( m 21 ) y 1 y 2 m ( y 1 y 2 ) 1 2 m2 1 , m 2所以 MA MB NA NB 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) 4 102 . (10 分) m 2由于 m R,可知 MA MB uuur uuur uuur uuurNA NB 的取值范圍是 (0,5 . (12 分) 21. ( 本小題滿分 12 分) 【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)

24、的單調(diào)性、極值以及函數(shù)零點(diǎn)的情況 . 【試題解析】 解：令 f () x ln x 10 ,得 x 1. e1 1當(dāng) x (0, ) 時(shí)，f ( ) 0；當(dāng) x ( , ) 時(shí)，f ( ) 0 . e e所以函數(shù) f x 在 (0, 1 ) 上單調(diào)遞減，在 ( 1 , ) 上單調(diào)遞增 . (3 分 ) e e1 1由于 x 0，所以 fx ( ) xxk x k ln x . 2 2 x1 1 1 2 x 1 1構(gòu)造函數(shù) k x ( ) ln x，則令 kx () 2 2 0，得 x . 2 x x 2 x 2 x 2當(dāng) x (0, 1 ) 時(shí)，k x ( ) 0；當(dāng) x ( 1 , ) 時(shí)，

25、k x ( ) 0 . 2 2所以函數(shù) k x 在點(diǎn) x 1處取得最小值，即 k x min k () 1ln 11 1 ln 2 . 2 2 2因此所求的 k 的取值范圍是 ( ,1 ln 2) . (7 分) f a x ) f a ( ) e x( a x )ln( a x ) a ln a e x ( a x )ln(a x a x ) a lna a. e e22.構(gòu)造函數(shù)g x ( )xlnx，則問題就是要求xg ax)g a 恒成立 . (9 分 ) ex對于g x 求導(dǎo)得( )(lnxx 1) exlnx exlnx1xlnx. g2 eex令h x ( )lnx1xlnx ，

26、則1 h x ( )x，從而函數(shù)lnx1，顯然h x 是減函數(shù) . 當(dāng)x1時(shí)，h x ( )h(1)0h x 在 (1,) 上也是減函數(shù) . 從而當(dāng)x3時(shí)，h x ( )h e ( )lne1elne2e0，即g( )0，即函數(shù)g x ( ) x lne x x 在區(qū)間 (3,3 時(shí)，對于任意的非零正數(shù)) 上是減函數(shù) . 3，進(jìn)而有g(shù) ax)g a 恒成當(dāng)ax ，axa立，結(jié)論得證 . (12 分) ( 本小題滿分10 分) 【命題意圖】 本小題主要考查平面幾何的證明及其運(yùn)算，具體涉及到圓的性質(zhì)以及三角形相似等有關(guān)知識內(nèi)容. （5 分）（10 分）【試題解析】 解：因?yàn)?MA 為圓的切線，所以MA2MB MC又 M 為 PA 中點(diǎn)，所以MP2MB MC . 因?yàn)锽MPPMC ，所以BMP 與PMC 相似 . 由中BMP與PMC相似，可得MPBMCP. 在MCP 中，由MPBMCPBPCBMP180o，得MPB180oBPCBMP20o . 223.( 本小題滿分10 分) 【命題意圖】 本小題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、直線與曲線的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離等內(nèi)容. 【試題解析】對于曲線M, 消去參數(shù)，得普通方程為yx2,