1、類型九拋物線的焦點弦問題【方法總結】直線與拋物線相交的問題，若直線過拋物線的焦點，可使用焦點弦長公式求弦長，利用焦點弦的特殊結論求解題目【典例1】如圖，過拋物線y22PX(P0)的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線L作垂線，垂足分別為M1、N1 ()求證：FM1FN1:()記FMM1、FM1N1、FN N1的面積分別為S1、S2、，S3，試判斷S224S1S3是否成立，并證明你的結論。 【解析】證法1：由拋物線的定義得 如圖，設準線l與x的交點為 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 而即故證法2：依題意，焦點為準線l的方程為設點M,N的坐標分別為直線MN的方程為，則有由

2、得 于是，故（）成立，證明如下：證法1：設，則由拋物線的定義得，于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 將與代入上式化簡可得 ，此式恒成立。故成立。證法2：如圖，設直線M的傾角為，則由拋物線的定義得于是在和中，由余弦定理可得由（I）的結論，得即，得證。【結論6】問題中，所以以為AB直徑的圓與準線相切【典例2】如圖，傾斜角為a的直線經過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點。（）求拋物線的焦點F的坐標及準線l的方程；（）若a為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2a為定值，并求此定值。【解析】()解：設拋物線的標準方程為，則，從而因此焦點的坐標為（2，

3、0）.又準線方程的一般式為。從而所求準線l的方程為。()解法一：如圖（21）圖作ACl，BDl，垂足為C、D，則由拋物線的定義知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.記A、B的橫坐標分別為xxxz，則|FA|AC|解得，類似地有，解得。記直線m與AB的交點為E，則所以。故。解法二：設，直線AB的斜率為，則直線方程為。將此式代入,得，故。記直線m與AB的交點為，則，故直線m的方程為.令y=0,得P的橫坐標故。從而為定值。【典例3】(1)(2021陜西模擬)已知F是拋物線y22px(p0)的焦點，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，AB的中點為C，過C作拋物線準線的垂線交準線于C，若CC的中點為M

4、(1,4)，則p等于()A4 B8 C4eq r(2) D8eq r(2)【答案】B【解析】如圖，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(1,4)，y1y28，又Ceq blc(rc)(avs4alco1(2f(p,2)，4)，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(p,2)，0)，kAB2，直線AB：y2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(p,2)，代入y22px，得y2pyp20，y1y2p8.(2)過拋物線y24x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|2|BF|，則|AB|等于()A4 B.eq f(9,2) C5 D6【答案】B【解析】不妨設點A在x軸

5、的上方，如圖，設A，B在準線上的射影分別為D，C，作BEAD于點E，設|BF|m，直線l的傾斜角為，則|AF|2m，|AB|3m，由拋物線的定義知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以cos eq f(|AE|,|AB|)eq f(1,3)，所以tan 2eq r(2).則sin28cos2，所以sin2eq f(8,9).由y24x，知2p4，故利用弦長公式得|AB|eq f(2p,sin2)eq f(9,2).【典例4】已知拋物線C：y28x，P為C上位于第一象限的任一點，直線l與C相切于點P，連接PF并延長交C于點M，過P點作l的垂線交C于另一點N，求PMN的面積S的最小值【解析】解

6、由題意知F(2,0)，設P(x0，y0)(y00)，Meq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,1),8)，y1)，Neq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,2),8)，y2)，切線l的方程為xx0t(yy0)，則eq o(FM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,1),8)2，y1)，eq o(FP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,0),8)2，y0)，由M，F，P三點共線，可知eq o(FM,sup6()eq o(FP,sup6()，即eq blc(rc)(avs4alco1(

7、f(yoal(2,1),8)2)y0eq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,0),8)2)y10，因為y0y1，所以化簡可得y0y116.由eq blcrc (avs4alco1(xx0tyy0，,y28x，)可得y28ty8ty08x00，因為直線l與拋物線相切，故64t232ty04yeq oal(2,0)0，故teq f(y0,4).所以直線PN的方程為yy0eq f(y0,4)(xx0)，即y0 x4y4y0eq f(yoal(3,0),8)0，所以點M到直線PN的距離為deq f(blc|rc|(avs4alco1(f(yoal(2,1)y0,8)4y14y0f(

8、yoal(3,0),8),r(yoal(2,0)16)，將y1eq f(16,y0)代入可得deq f(blc|rc|(avs4alco1(f(32,y0)4y0f(yoal(3,0),8),r(yoal(2,0)16)eq f(yoal(2,0)162,8|y0|r(yoal(2,0)16)，聯立eq blcrc (avs4alco1(y0 x4y4y0f(yoal(3,0),8)0，,y28x，)消去x可得，y0y232yyeq oal(3,0)32y00，所以y0y2eq f(32,y0)，y2eq f(32,y0)y0，|PN|eq r(1f(16,yoal(2,0)|y0y2|eq

9、r(1f(16,yoal(2,0)eq blc|rc|(avs4alco1(2y0f(32,y0)eq f(2yoal(2,0)16r(yoal(2,0)16),yoal(2,0)，故Seq f(1,2)d|PN|eq f(1,2)eq f(yoal(2,0)162,8|y0|r(yoal(2,0)16)eq f(2yoal(2,0)16r(yoal(2,0)16),yoal(2,0)eq f(1,8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,0)16,y0)3eq f(1,8)eq blc(rc)(avs4alco1(y0f(16,y0)3eq f(1,8)eq blc(r

10、c)(avs4alco1(2r(y0f(16,y0)364，當且僅當y04時，“”成立，此時，PMN的面積S取得最小值，為64.【方法總結】設AB是拋物線y22px(p0)的一條焦點弦，焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2eq f(p2,4)，y1y2p2.(2)eq f(1,|AF|)eq f(1,|BF|)eq f(2,p).(3)|AB|eq f(2p,sin2)(為弦AB所在直線的傾斜角)【拓展訓練】1設F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30 的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為()A.eq f(3r(3),4) B.eq f(9r

11、(3),8) C.eq f(63,32) D.eq f(9,4)【答案】D【解析】由已知得焦點為Feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)，0)，因此直線AB的方程為yeq f(r(3),3)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,4)，即4x4eq r(3)y30.方法一聯立直線方程與拋物線方程，化簡得4y212eq r(3)y90，故|yAyB|eq r(yAyB24yAyB)6.因此SOABeq f(1,2)|OF|yAyB|eq f(1,2)eq f(3,4)6eq f(9,4).方法二聯立直線方程與拋物線方程得x2eq f(21,2)xeq f(9,16)0

12、，故xAxBeq f(21,2).根據拋物線的定義有|AB|xAxBpeq f(21,2)eq f(3,2)12，同時原點到直線AB的距離為deq f(|3|,r(424r(3)2)eq f(3,8)，因此SOABeq f(1,2)|AB|deq f(9,4).2過拋物線y22px(p0)的焦點F且傾斜角為120 的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A，B兩點，則eq f(|AF|,|BF|)的值等于()A.eq f(1,3) B.eq f(2,3) C.eq f(3,4) D.eq f(4,3)【答案】A【解析】記拋物線y22px的準線為l，如圖，作AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分別

13、是A1，B1，C，則cosABB1eq f(|BC|,|AB|)eq f(|BB1|AA1|,|AF|BF|)eq f(|BF|AF|,|AF|BF|)，即cos 60eq f(|BF|AF|,|AF|BF|)eq f(1,2)，得eq f(|AF|,|BF|)eq f(1,3).3已知拋物線C：y28x的焦點為F，點M(2,2)，過點F且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若AMB90，則k等于()A.eq r(2) B.eq f(r(2),2) C.eq f(1,2) D2【答案】D【解析】拋物線C：y28x的焦點為F(2,0)，由題意可知直線AB的斜率一定存在，所以設直線方程為yk(x2)

14、(k0)，代入拋物線方程可得k2x2(4k28)x4k20，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x24eq f(8,k2)，x1x24，所以y1y2eq f(8,k)，y1y216，因為AMB90，所以Meq o(A,sup6()Meq o(B,sup6()(x12，y12)(x22，y22)eq f(16,k2)eq f(16,k)40，解得k2，故選D.4.如圖，已知點F(1,0)為拋物線y22px(p0)的焦點，過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在拋物線上，使得ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F右側，記AFG，CQG的面積為S1，S2.(1)求p的值及拋

15、物線的準線方程；(2)求eq f(S1,S2)的最小值及此時點G的坐標【解析】解(1)由題意可得eq f(p,2)1，則p2,2p4，拋物線方程為y24x，準線方程為x1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為yk(x1)，k0，與拋物線方程y24x聯立可得，k2x2(2k24)xk20，故x1x22eq f(4,k2)，x1x21，y1y2k(x1x22)eq f(4,k)，y1y2eq r(4x1)eq r(4x2)4，設C(x3，y3)，由重心坐標公式可得，xGeq f(x1x2x3,3)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(4,k2)x

16、3)，yGeq f(y1y2y3,3)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,k)y3)，令yG0可得，y3eq f(4,k)，則x3eq f(yoal(2,3),4)eq f(4,k2)，即xGeq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(4,k2)f(4,k2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(8,k2)，由斜率公式可得，kACeq f(y1y3,x1x3)eq f(y1y3,f(yoal(2,1),4)f(yoal(2,3),4)eq f(4,y1y3)，直線AC的方程為yy3eq f(4,y1y3)(xx3

17、)，令y0，可得xQx3eq f(y3y1y3,4)eq f(yoal(2,3),4)eq f(y3y1y3,4)eq f(y1y3,4)，故S1eq f(1,2)(xGxF)y1eq f(1,2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(2f(8,k2)1)y1eq f(y1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(8,3k2)f(1,3)，且S2eq f(1,2)(xQxG)(y3)eq f(y3,2)eq blcrc(avs4alco1(f(y1y3,4)f(1,3)blc(rc)(avs4alco1(2f(8,k2)，由y3eq f(4,k)，代入上式可得S2eq f(2,k)eq blc(rc)(avs4alco1(f(y1,k)f(2,3)f(8,3k2)，由y1y2eq f(4,k)，y1y24可得y1eq f(4,y1)eq f(4,k)，則keq f(4y1,yoal(2,1)4)，則eq f(S1,S2)eq f(f(y1,2)blc(rc)(avs4alco1(f(8,3k2)f(1,3),f(2,k)blc(rc)(avs4alco1(f(y1,k)f(2,3)f(8,3k2)eq f(2yoal(2,1)yoal(2,1