1、22.1 二次函數的圖像和性質22.1.3 二次函數y=a(x-h)2+k的圖像和性質第一課時第二課時第三課時人教版 數學 九年級 上冊第一課時二次函數y=ax2+k的圖像和性質返回這個函數的圖象是如何畫出來呢？xy導入新知素養目標3. 能說出拋物線y=ax+k的開口方向、對稱軸、頂點.1. 會畫二次函數y=ax2+k的圖象. 2. 理解拋物線y=ax與拋物線 y=ax+k之間的聯系.在同一直角坐標系中，畫出二次函數y=x2 ,y=x2+1,y=x2-1的圖象.【解析】x-3-2-10123y=x29410149y=x2+1y=x2-110 5 2 1 2 5 108 3 0 -1 0 3 8

2、二次函數y=ax2+k圖象的畫法探究新知知識點 11.列表： y=x2+1108642-2-55xy y=x2-1y=x2O2.描點，連線：探究新知【思考】拋物線y=x2 、y=x2+1、y=x2-1的開口方向、對稱軸、頂點各是什么？解：拋物線開口方向對稱軸頂點坐標y=x2向上x=0（0,0）y=x2+1向上x=0 (0，1)y=x2-1向上x=0 (0，-1)探究新知二次函數y = ax2 +k的圖象的畫法例1 在同一直角坐標系中，畫出二次函數 y = 2x2 +1， y = 2x2 -1的圖象。解析 先列表：x-2-1.5-1-0.500.511.52y =2x2+195.531.511.

3、535.59y = 2x2 -173.51-0.5-1-0.513.57素養考點 1探究新知x-2-1.5-1-0.500.511.52y = 2x2+195.531.511.535.59y = 2x2 -173.51-0.5-1-0.513.57然后描點畫圖：268y4O-22x4-4 y = 2x2 -1y = 2x2+1-1探究新知268y4O-22x4-4 y = 2x2 -1y = 2x2+1-1 拋物線y = 2x2+1 , y = 2x2 -1 的開口方向、對稱軸和頂點各是什么？【思考】拋物線開口方向對稱軸頂點坐標y=2x2+1向上x=0（0,1）y=2x2-1向上x=0（0，-

4、1）解答：探究新知1. 在同一坐標系中，畫出二次函數 ， ， 的圖像，并分別指出它們的開口方向，對稱軸和頂點坐標. -4-2y-6O-22x4-4如圖所示拋物線開口方向對稱軸頂點坐標向下x=0（0,0）向下x=0（0,2）向下x=0（0，-2）鞏固練習解：先列表：x3210123 在同一直角坐標系中，畫出二次函數 與 的圖象二次函數y=ax2+k的圖象和性質1.二次函數y=ax2+k的圖象和性質(a0)探究新知知識點 2xy-4-3-2-1o1234123456再描點、連線，畫出這兩個函數的圖象：探究新知【思考】拋物線 ， 的開口方向、對稱軸和頂點各是什么？ 拋物線開口方向頂點坐標對稱軸向上向

5、上（0,0）（0,1）y軸y軸【想一想】通過觀察圖象，二次函數y=ax2+k(a0)的性質是什么？探究新知開口方向：向上對稱軸：x=0頂點坐標：（0，k）最值：當x=0時，有最小值，y=k增減性：當x0時，y隨x的增大而減小； 當x0時，y隨x的增大而增大.探究新知二次函數y=ax2+k(a0)的性質y-2-2422-4x02.二次函數y=ax2+k的圖象和性質(a0)在同一坐標系內畫出下列二次函數的圖象：探究新知根據圖象回答下列問題:(1)圖象的形狀都是 . (2)三條拋物線的開口方向_;(3)對稱軸都是_(4) 從上而下頂點坐標分別是 _拋物線向下直線x=0( 0,0)( 0，2)( 0,

6、-2)探究新知(5)頂點都是最_點，函數都有最_值，從上而下最大值分別為_、_(6) 函數的增減性都相同： _高大y=0y= -2y=2對稱軸左側y隨x增大而增大對稱軸右側y隨x增大而減小探究新知y=ax2+ka0a0開口方向向上向下對稱軸y軸（x=0）y軸（x=0）頂點坐標（0,k）（0,k）最值當x=0時，y最小值=k當x=0時，y最大值=k增減性當x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨x的增大而增大.當x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨x的增大而增大.注意：k帶前面的符號！探究新知二次函數y=ax2+k（a0）的性質例2 已知二次函數yax2+c,當x取x1，x2（x1x2）時，

7、函數值相等，則當xx1+x2時，其函數值為_.解析 由二次函數yax2+c圖象的性質可知，x1，x2關于y軸對稱，即x1+x20.把x0代入二次函數表達式求出縱坐標為c.c【方法總結】二次函數yax2+c的圖象關于y軸對稱，因此左右兩部分折疊可以重合，函數值相等的兩點的對應橫坐標互為相反數二次函數y=ax2+k的性質的應用素養考點 2探究新知 拋物線y= 2x2+3的頂點坐標是 ,對稱軸是 ，在 側，y隨著x的增大而增大；在 側，y隨著x的增大而減小.鞏固練習2. （0,3） y軸對稱軸左對稱軸右解析式y=2x2y=2x2+1y=2x2-1+1-1點的坐標函數對應值表xy=2x2-1y=2x2

8、y=2x2+14.5-1.53.55.5-1213x2x22x2-1(x, )(x, )(x, )2x2-12x22x2+1從數的角度探究二次函數y=ax2+k的圖象及平移2x2+1探究新知知識點 44xyO2224648102y = 2x21y = 2x21 觀察圖象可以發現，把拋物線y=2x2 向 平移1個單位長度，就得到拋物線 ；把拋物線y=2x2 向 平移1個單位長度，就得到拋物線 y=2x2-1. 下y=2x2+1上從形的角度探究探究新知二次函數y=ax2+k的圖象可以由 y=ax2 的圖象平移得到：當k 0 時,向上平移 個單位長度得到.當k 20=01(0,1)(-1,0),(1

9、,0)開口方向向上，對稱軸是y軸，頂點坐標（0，-3）. 課堂檢測基礎鞏固題 1.對于二次函數y=(m+1)xm2-m+3,當x0時y隨x的增大而增大，則m=_.2.已知二次函數y=(a-2)x2+a2-2的最高點為（0，2）， 則a=_.3.拋物線y=ax2+c與x軸交于A（-2,0）B兩點，與y軸交于點C(0，-4),則三角形ABC的面積是_.2-28能力提升題課堂檢測1.開口方向由a的符號決定；2.k決定頂點位置；3.對稱軸是y軸.二次函數y=ax2+k（a0)的圖象和性質圖象性質與y=ax2的關系增減性結合開口方向和對稱軸才能確定.平移規律：k正向上；k負向下.課堂小結課堂小結第二課時

10、二次函數y=a（x-h）2的圖象和性質返回導入新知a,c的符號a0,c0a0,c0a0a0,c0圖象開口方向對稱軸頂點坐標函數的增減性最值向上向下y軸（直線x=0）y軸（直線x=0）（0,c）（0,c）當x0時，y隨x增大而增大.當x0時，y隨x增大而減小.x=0時，y最小值=cx=0時，y最大值=c說說二次函數y=ax2+c(a0)的圖象的特征.導入新知二次函數 y=ax2+k(a0)與 y=ax2(a 0) 的圖象有何關系？答：二次函數y=ax2+k(a 0)的圖象可以由y=ax2(a 0) 的圖象平移得到： 當k 0 時，向上平移 個單位長度得到. 當k 0 時，向下平移 個單位長度得到

11、.【思考】 函數 的圖象，能否也可以由函數 平移得到？ 導入新知素養目標3. 能說出拋物線y=a(x-h)2的開口方向、對稱軸、頂點.1.會畫二次函數y=a(x-h)2的圖象. 2. 理解拋物線y=ax2 與拋物線 y=a(x-h)2的聯系. 二次函數y=a(x-h)2的圖象和性質 在如圖所示的坐標系中，畫出二次函數 與 的圖象解：先列表：x3210123探究新知知識點 1xy-4-3-2-1o1234123456再描點、連線，畫出這兩個函數的圖象：探究新知拋物線開口方向對稱軸頂點坐標最值增減性向上向上y軸x=2(0,0)(2,0)根據所畫圖象，填寫下表：【想一想】通過上述例子，函數y=a(x

12、-h)2（a0）的性質是什么？探究新知當x=0時，y最小值=0當x=2時，y最小值=0當x0時，y隨x的增大而增大；當x0時，y隨x的增大而減小當x2時，y隨x的增大而增大；當x2時，y隨x的增大而減小拋物線開口方向對稱軸頂點坐標最值增減性y=a(x-h)2（a0）向上x=h（h，0）當x=h時，y最小值=0當xh時，y隨x的增大而增大；當xh時，y隨x的增大而減小探究新知二次函數y=a(x-h)2（a0）的圖象性質【試一試】畫出二次函數 的圖象，并說出它們的開口方向、對稱軸和頂點x321012324.52002222246444.50 xy8探究新知xyO2224644拋物線開口方向對稱軸頂

13、點坐標最值增減性當x=-1時，y最大值=0當x-1時，y隨x的增大而增大；當x-1時，y隨x的增大而減小當x=0時，y最大值=0當x0時，y隨x的增大而增大；當x0時，y隨x的增大而減小當x=1時，y最大值=0當x1時，y隨x的增大而增大；當x1時，y隨x的增大而減小向下直線x=-1( -1 , 0 )直線x=0直線x=1向下向下( 0 , 0 )( 1, 0)探究新知函數y=a(x-h)2（a0）的性質（結合圖象）拋物線開口方向對稱軸頂點坐標最值增減性y=a(x-h)2（a0） 向下x=h（h，0）當x=h時，y最大值=0當xh時，y隨x的增大而增大；當xh時，y隨x的增大而減小【想一想】通

14、過上述例子，函數y=a(x-h)2（a0）的性質是什么？探究新知 y=a(x-h)2a0a0開口方向對稱軸頂點坐標最值增減性探究新知二次函數y=a(x-h)2(a0)的圖象性質向上直線x=h（h,0）當x=h時，y最小值=0當xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨x的增大而增大.向下直線x=h（h,0）當x=h時，y最大值=0當xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨x的增大而增大.y2y3y1二次函數y = a（x-h）2 的圖象和性質素養考點 1探究新知 方法點撥 利用函數的性質比較函數值的大小時，首先確定函數的對稱軸，然后判斷所給點與對稱軸的位置關系，若同側，直接比較大小；若異側，先依

15、對稱性轉化到同側，再比較大小.探究新知1.已知二次函數y=-(x+h)2,當x-3時，y隨x的增大而減小，當x=0時，y的值是（ ） A.-1 B.-9 C.1 D.9鞏固練習 B 向右平移1個單位二次函數y=ax2與y=a(x-h)2的關系 拋物線 ， 與拋物線 有什么關系？ xyO2224644向左平移1個單位探究新知知識點 2可以看作互相平移得到.左右平移規律： 括號內左加右減；括號外不變.y=a(x-h)2當向左平移 h 個單位時y=a(x+h)2當向右平移 h個單位 時y=ax2探究新知二次函數y=a（x-h)2的圖象與y=ax2 的圖象的關系例2 拋物線yax2向右平移3個單位后經

16、過點(1，4)，求a的值和平移后的函數關系式解：二次函數yax2的圖象向右平移3個單位后的二次函數關系式可表示為ya(x3)2，把x1，y4代入，得4a(13)2， ，因此平移后二次函數關系式為y (x3)2.方法總結：根據拋物線左右平移的規律，向右平移3個單位后，a不變，括號內應“減去3”；若向左平移3個單位，括號內應“加上3”，即“左加右減”二次函數平移性質的應用素養考點 2探究新知2. 將二次函數y2x2的圖象平移后，可得到二次函數y2(x1)2的圖象，平移的方法是()A向上平移1個單位B向下平移1個單位 C向左平移1個單位D向右平移1個單位解析 拋物線y2x2的頂點坐標是(0，0)，拋

17、物線y2(x1)2的頂點坐標是(1，0)則由二次函數y2x2的圖象向左平移1個單位即可得到二次函數y2(x1)2的圖象C鞏固練習 已知二次函數y=（xh）2（h為常數），當自變量x的值滿足2x5時，與其對應的函數值y的最大值為1，則h的值為（ ）A3或6 B1或6 C1或3 D4或6連接中考鞏固練習連接中考B1. 把拋物線y=-x2沿著x軸方向平移3個單位長度，那么平移后拋物線的解析式是 .2. 二次函數y=2(x- )2圖象的對稱軸是直線_，頂點是_.3. 若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）為二次函數y=(x-2)2圖象上的三點，則y1 ，y2 ，y3的大小關系為_. y=-(x+3

18、)2或y=-(x-3)2 y1 y2 y3課堂檢測基礎鞏固題 4.指出下列函數圖象的開口方向,對稱軸和頂點坐標.拋物線開口方向對稱軸頂點坐標向上直線x=3( 3, 0 )直線x=2直線x=1向下向上(2, 0 )( 1, 0)課堂檢測基礎鞏固題 在同一坐標系中，畫出函數y2x2與y2(x-2)2的圖象，分別指出兩個圖象之間的相互關系解：圖象如圖.函數y=2(x-2)2的圖象由函數y=2x2的圖象向右平移2個單位得到.yOx y = 2x2 2 課堂檢測能力提升題 在直角坐標系中畫出函數y (x-3)2的圖象(1)指出該函數圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標；(2)說明該函數圖象與二次函數y x2

19、的圖象的關系；(3)根據圖象說明，何時y隨x的增大而減小，何時y隨x的增大而增大，何時y有最大(小)值，是多少?課堂檢測拓廣探索題解：（1）開口向上，對稱軸為x=3，頂點坐標為（3，0）.（3）當x3時，y隨x的增大而增大，當x3時，y隨x的增大而減小，當x=3時，y有最小值，為0.-224yO-22x4-4（2）該函數圖象由二次函數y= x2的圖象向右平移3個單位得到. 復習y=ax2+k探索y=a(x-h)2的圖象及性質圖象的畫法圖象的特征描點法平移法開口方向頂點坐標對稱軸平移關系直線x=h（h,0）a0,開口向上a0k0a0h0開口方向對稱軸頂點坐標函數的增減性最值當xh時，y隨x增大而減小.當xh時，y隨x增大而增大.向上向下直線x=h直線x=h（h,k）x=h時，y最小值=kx=h時，y最大值=k（h,k）探究新知二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質例1 已知二次函數ya(x1)2c的圖象如圖所示，則一次函數yaxc的大致圖象可能是()解析 根據二次函數開口向上則a0，根據c是二次函數頂點坐標的縱坐標，得出c0，故一次函數yaxc的大致圖象經過第一、二、三象限A利用二次函數y= a(x