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1、2016年春季競賽班講義二試數論全國高中數學聯賽網絡課培訓第一講：整除與帶余除法-南京楊全會知識點設 a, b Z, a 6= 0. 如果存在 q Z 使得 b = aq, 那么就說 b 可被 a 整除(或 a 整除 b),記作 a | b, 且稱 b 是 a 的倍數, a 是 b 的約數. b 不能被 a 整除就記作 a - b. 根據整除的定義, 不難得出整除的如下性質：若 a | b, b | c, 則 a | c.若 a | bi(1 i n), 則對任意 ui ZP(1 i), 都有 a |nuibi. 特別地, ni=1若 a|b, 則對任意 u, v Z 都有 a | ua +

2、vb.(3) 設 a, b 為正整數且 b 6= 0. 若 a | b, 則 a b. 從而, 若 a | b 且 b | a, 則 a = b. (4) 設 a = p p p , b = p p p . 則 a | b i i(i = 1, 2, . . . , r). 1212rrr1 2r12帶余除法定理: 設 a, b 是兩個給定的正整數. 那么, 一定存在唯一的一對非負整數 q與 r, 滿足b = qa + r,0 r 1 時, n4 + 4n 不會是質數.12016年春季競賽班講義二試數論高中數賽網絡課培訓例2. 設 a, b 是正整數, b 2, 則 2b 1 - 2a + 1

3、.例3. 已知 a, b 是正整數, 且 (ab2 + b + 7) | (a2b + a + b), 求 a, b.22016年春季競賽班講義二試數論高中數賽網絡課培訓例4. 設 a, b 及 n 是固定的自然數, 且對任何自然數 k(k =6b), a kn 能被 b k 整除,證明: a = bn.例5. 設 a, b 是正整數, 當 a2 + b2 被 a + b 除時, 商為 q, 余數為 r, 求所有的數對 (a, b),使 q2 + r = 1977.32016年春季競賽班講義二試數論高中數賽網絡課培訓例6. 試證對于任何正整數 a1 1, 都存在嚴格遞增的正整數序列 a1, a2, a3, . . . , 使得對任何 k 1, 和數 a + a + + a 都能被和數 a1 + a2 + + ak 整除.22212k例7. 已知正整數 a 2. 求證: 存在無窮多個正整數 n, 使得 n|an 1.42016年春季競賽班講義二試數論高中數賽網絡課培訓am+a1例8. 求所有大于 2 的正整數對 (m, n) 滿足: 存在無窮多個正整數 a 使得是整數.也an+a2 152016年春季競賽班講義二試數論高中數賽網絡課培訓作業：例6中, 若 改成 + 結論又如何？求最大自然數 x, 使得對每一個自然數 y, x | 7y +

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