1、第四章扭 轉(zhuǎn)第一節(jié)概 述扭轉(zhuǎn)是桿件的又一種基本變形形式。其特征是：在與軸線相垂直的平面內(nèi)受 到外力偶的作用，使桿件的各橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。在工程中，有許多構(gòu)件在工作時(shí)發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。如圖4-la所示的汽車方向盤的操縱桿，圖4-lb所示的汽車傳遞動力的主傳動軸。此外，圖4-2a、b所示的變 速器中的齒輪傳動軸和船舶推進(jìn)軸，則同時(shí)承受著扭轉(zhuǎn)、彎曲與軸向拉壓等組合圖4-2扭轉(zhuǎn)實(shí)例a）齒輪傳動軸b）船舶推進(jìn)軸本章主要研究圓截面等直桿的扭轉(zhuǎn)，這是工程中最常見的情況，又是扭轉(zhuǎn)中 最簡單的問題。對于非圓截面桿，很難弄清截面上的各部分是怎樣變形的，應(yīng)力 分布又是怎樣的，而這些在工程中也是十分重要的。本章最

2、后簡單介紹非圓截面 桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形公式。第二節(jié)等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力扭矩在等直圓桿的兩端與軸線垂直的平面內(nèi)施加一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶矩胚，如圖4-3所示。端面B相對于端面d轉(zhuǎn)了一個(gè)角度0稱為相對扭轉(zhuǎn)角， 同時(shí)桿表面的縱向直線偏轉(zhuǎn)了一個(gè)角度y，y 1稱為剪切角或切應(yīng)變。扭轉(zhuǎn)圓桿橫 截面上的內(nèi)力為平面內(nèi)的力偶矩，稱為扭矩，用符號T表示。將外力偶矩和扭矩 用雙箭頭的力偶矢表示，則扭矩的求解方法(截面法)、正負(fù)號規(guī)定及扭矩圖的作 法同軸力的相關(guān)內(nèi)容完全相同，這里不再贅述。二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力如圖4-3所示，等直圓桿的兩端作用有外力偶矩胚時(shí)。在小變形

3、條件下可以 假設(shè)：在距兩端相當(dāng)遠(yuǎn)的中間部分，桿的橫截面在變形前后保持為同樣大小的圓 形平面，且半徑仍為直線。這個(gè)假設(shè)稱為圓軸扭轉(zhuǎn)的剛性平面假設(shè)。根據(jù)此假設(shè) 得到的應(yīng)力、變形公式已為試驗(yàn)所證實(shí)。從圓桿中取出相距為dx的微段，如圖4-3所示。由剛性平面假設(shè)可知，不同 橫截面的扭轉(zhuǎn)角是不相同的。1 1截面上的半徑OiC轉(zhuǎn)到OiC，的位置，22截 面上的半徑0血轉(zhuǎn)到0血位置，這樣22截面相對于1 1截面的扭轉(zhuǎn)角為d0 由圖4-3可見，在小變形條件下的切應(yīng)變y為Rddx式中d/dx是兩個(gè)橫截面單位長度間的扭轉(zhuǎn)角，稱為單位長度扭轉(zhuǎn)角，記為(4-1)(b)0 =毀dx將式(4-1)代入式(a)則有= R0以

4、上考慮的是圓桿表面的切應(yīng)變。對于圓桿內(nèi)部半徑為p的同心圓柱面，該 面上的切應(yīng)變Yp也可用式(b)表示，只要用p代替R即可YP = P0(c)由上式可知，切應(yīng)變與產(chǎn)生切應(yīng)變處的圓半徑成正比。其次，根據(jù)剪切胡克定律，在圓桿橫截面的邊緣處以及半徑為p處的切應(yīng)力 分別為T = Gy1 = GR6 , Tp = Gyp = Gpd（d） (4-2)即切應(yīng)力的大小也與該點(diǎn)到橫截面形心的距離成正比，如圖4-4a所示。上述切應(yīng)力是作用在橫截面上的，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，在通過軸線的縱截 面上也作用著切應(yīng)力，如圖4-4b所示。下面導(dǎo)出扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的表達(dá)式。對于如圖4-5所示的任意截面，考慮其中的 微面積設(shè)其到截面形

5、心0的距離為p,則(4-3)p =Z稱為該截面對形心0的極慣性矩。圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力分布如圖4-6a所示。該截面上作用的切應(yīng)力t 與扭矩T的關(guān)系為將式（4-2）代入式（e）,則式（4-4）代入式（4-2）得到式（4-4）也可寫成下式式中TP =TpI p(4-4)(4-5)(4-6)(4-7)稱為抗扭截面系數(shù)。三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形將式（4-4）代入式（d）,得到單位長度扭轉(zhuǎn)角0和扭矩T的關(guān)系為(4-8)設(shè)桿的長度為/,則桿兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角為Tlrn = Ql =（4-9）GIp丿上式中的Glp稱為圓軸的抗扭剛度，它是表示圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形能力強(qiáng)弱的物理 量。同軸向變形計(jì)算類似，如果

6、所研究圓軸的扭矩T或橫截面直徑分段變化，則 用式（4-9）求出各段的變形量后進(jìn)行代數(shù)相加；如果扭矩T或橫截面直徑是沿軸 線長度的函數(shù)，則應(yīng)求出微段dx的扭轉(zhuǎn)角后再進(jìn)行積分。使用上面所推導(dǎo)出的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力和變形公式時(shí)要注意以下兩個(gè)方面：由于推導(dǎo)是以剛性平面假設(shè)為基礎(chǔ)，因此，只適用于等直圓軸（實(shí)心圓軸、 空心圓軸、分段階梯圓軸）及小錐度的圓錐軸的自由扭轉(zhuǎn)。由于推導(dǎo)過程使用了剪切胡克定律，因此，只在切應(yīng)力小于比例極限T范 圍內(nèi)適用。如圖4-6b所示，取距形心為p的微小環(huán)狀面積元，在整個(gè)面積上積分，得到 圓截面對圓心0的極慣性矩Ip為 p =p2dA= p2 2npdp=nR-=魯（4-i）若桿的橫截面

7、為空心圓，只要改變積分上下限就可求得石為,/2 2 c 4nD4 nd4 nD4、IP =j d/2 P2P五一莎=藥(1-) 其中d為內(nèi)徑，D為外徑，a = d/D。實(shí)心圓截面和空心圓截面的抗扭截面系數(shù)分別為W =nd3p d/216InD 3(實(shí)心圓截面)Wp =氏=肓(1(空心圓截面)(4-11)(4-12)(4-13)第三節(jié)等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算工程機(jī)械中有各種各樣的傳動軸，傳動軸受外力偶矩作用而轉(zhuǎn)動。通常，設(shè) 計(jì)和校核傳動軸時(shí)的原始數(shù)據(jù)不是軸所承受的外力偶矩，而是軸的輸入或輸出功 率及軸的轉(zhuǎn)速。如果傳動軸傳遞的外力偶矩為胚，軸的轉(zhuǎn)速為(r/min),每秒鐘 外力偶矩胚所作的功

8、W用下式表示W(wǎng) = M ee2nnM e60設(shè)軸的輸入(輸出)功率為P (kW),因胚所完成的功就是傳動軸的輸入(輸出) 功，故得Mebm = 9 54(4-14)nr/min為了正常工作，對于傳動軸來說，除要滿足強(qiáng)度條件外，還需對它的扭轉(zhuǎn)變 形(一般是單位長度扭轉(zhuǎn)角0)加以限制，例如機(jī)床主軸的扭轉(zhuǎn)角過大會影響加 工精度，內(nèi)燃機(jī)曲軸的扭轉(zhuǎn)角過大容易引起比較強(qiáng)烈的振動。所以，傳動軸的強(qiáng) 度條件和剛度條件分別是張=孕 WT(4-15)T 180max =浮 X W0(4-16)GI pn其中T 和0 分別為許用切應(yīng)力和許用單位長度扭轉(zhuǎn)角，用式(4-15)、式 (4-16)對傳動軸可進(jìn)行強(qiáng)度和剛度方

9、面的計(jì)算。注意，工程中0習(xí)慣上用/m 為單位，而根據(jù)式(4-8)計(jì)算的0的單位為rad/m，因此式(4-16)中應(yīng)乘以180/n 進(jìn)行換算。例4-1傳動軸如圖4-7所示，主動輪d輸入功率幾=50kW，從動輪B C、D 輸出功率分別為 Pb = Pc = 15kW,Pd = 20kW，軸的轉(zhuǎn)速=300r/min, t=40MPa, G =80GPa, 0=1.5o/m,試設(shè)計(jì)軸的直徑。b)解：按式(4-14)計(jì)算作用于各輪上的外力偶矩M 2 = 9 549 P = 1592N. mnM eB = M eC = 9 549 P = 477.5N. mnM eD = 9 549 竺=637 N. m

10、n作出傳動軸的扭矩圖如圖4-7b所示，由于傳動軸直徑不變，所以d、C之間的各 截面為危險(xiǎn)截面max=955N. m由強(qiáng)度條件式(4-15)設(shè)計(jì)軸的直徑maxTmaxWPnd3Wtm = 49.5 mm(a)由剛度條件式(4-16)設(shè)計(jì)軸的直徑Gnd4備=命x型=Gf x叫切GI p nGndnd$4 32Tmx nG0180432 x 955180 xnx 80 x 109 x 1.5 %=46.4mm(b)為同時(shí)滿足傳動軸的強(qiáng)度及剛度條件，由式(a)和式(b)知，應(yīng)取軸的直徑為d=50mm。例4-2某汽車的主傳動軸用40鋼的電焊鋼管制成，鋼管外徑D=76mm,壁 厚t=2.5mm,軸傳遞的扭

11、矩T=1.98kNm,材料的許用切應(yīng)力t=100MPa,切 變模量G=80GPa,軸的許用單位長度扭轉(zhuǎn)角6=2o/m，試校核該軸的強(qiáng)度與剛 度。76 - 2 x 2.576=0.934解：由式(4-11)和式(4-13)得d D - 2trv =nD4np =藥(1-“4)= 32x 764(1-09344)mm4 =783 x 104mm4W =- = 78.3x mm3 = 20.6x 103mm3 p D/276/2由強(qiáng)度條件式(4-15)得到TmaxmaxWP1.98 x10620.6 x103MPa = 97.5MPa t由剛度條件式(4-16)得到Tmax x 型=1.98 x 1

12、03GIpn = 80 x 109 x 78.3 x 104 x 10-12180 x 180/m = 1.81o/m 6 n故軸的強(qiáng)度與剛度均滿足要求。若將本例的空心軸改成實(shí)心軸，且仍使Tmax = 97.5MPa,則maxWP1.98 x 106nd ,3/16MPa = 97.5MPa由上式解出d = 46.9mmo空心軸與實(shí)心軸的橫截面面積比(重量比)為762 - 71246.92=0334 3可見，在同樣強(qiáng)度條件下，空心軸使用的材料僅為實(shí)心軸的三分之一，故空心軸 比實(shí)心軸合理。第四節(jié)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿與圓截面桿扭轉(zhuǎn)的區(qū)別試驗(yàn)表明：非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，其橫截面將變成曲面，產(chǎn)生

13、所謂的翹曲現(xiàn)象。 如圖4-8b所示。這時(shí)，前面提到的平面假設(shè)已不成立。非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)可分為圖4-8非圓截面桿的自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)。自由扭轉(zhuǎn)的特點(diǎn)是：桿的各橫截面可不受任何約束地自由 翹曲，各相鄰橫截面的翹曲情況完全相同，因此，橫截面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng) 力。約束扭轉(zhuǎn)則由于橫截面的翹曲受到約束，各橫截面的翹曲情況不同，因而橫 截面上既有切應(yīng)力也有正應(yīng)力。一般實(shí)心非圓桿由于約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的正應(yīng)力較小, 可以略去。但對于薄壁桿件，由約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的正應(yīng)力則不能忽略。、矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)由切應(yīng)力互等定理可以得出：任意橫截面周邊各點(diǎn)處的切應(yīng)力方向一定與周 邊相切，截面凸角處的切應(yīng)力為零，如圖4-9a

14、所示。由此可得到矩形截面周邊的切應(yīng)力分布，如圖4-9b所示。由彈性力學(xué)得到：最大切應(yīng)力?max發(fā)生在長邊中點(diǎn)處，按式(4-17)計(jì)算，單位長度扭轉(zhuǎn)角0按式(4-18)計(jì)算，短邊中點(diǎn)的切應(yīng)力 t按式(4-19)計(jì)算。fFmax(4-17)(4-18) (4-19)式中的a 0、g是與h/b比值有關(guān)的系數(shù)，由表4-1給出。GTt為非圓截面桿的抗 扭剛度。表4-1矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的系數(shù)a 0 了h/b1.001.501.752.02.53.04.05.06.08.010.0coa0.2080.2310.2390.2460.2580.2670.2820.2910.2990.3070.3130.3330

15、0.1410.1960.2140.2290.2490.2630.2810.2910.2990.3070.3130.333彳1.000.860.820.800.770.750.740.740.740.740.740.74對于很窄的矩形截面桿，取h/b-8時(shí)的a 0值，可得(4-20)3Tn 3TT = 2, 0 =3_b2 hGb3 h式(4-20)也適用于用板彎曲制成的如圖4-10所示的開口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)。圖4-10開口薄壁桿對于橫截面由數(shù)個(gè)窄長矩形組合的桿件，如圖4-11所示。假設(shè)截面形狀不因 扭轉(zhuǎn)而變化，并且各矩形的扭轉(zhuǎn)角等于整個(gè)截面的扭轉(zhuǎn)角。顯然，各矩形承受的 扭矩之和就等于整個(gè)截面上的總

16、扭矩，因而有如下關(guān)系式T 主 T(a)i=l由式(4-20)得到第i個(gè)矩形的扭轉(zhuǎn)角2TLGht(i = 1, 2, 3，k)(b)從式 解出Ti代入式（a）,并利用4 = 4得到3TlTl4= GGht11i=1(4-21)式中i k = - 叱3 i=1將式（4-21）代入式（b）可求得第i個(gè)矩形分擔(dān)的扭 矩T，再利用式（4-20）可求得第i個(gè)矩形中的最大 切應(yīng)力，即圖4-11窄長矩形纟且合截面max i3T =11(4-22)三、橢圓形截面桿的扭轉(zhuǎn)最大切應(yīng)力發(fā)生在橢圓短軸的端部（如圖4-12所示的黑點(diǎn)），大小為單位長度扭轉(zhuǎn)角為na 3b3圖4-12所示的曲線群是橫截面翹曲等髙線，實(shí)線表 示

17、與紙面成直角且朝向紙外的變形，虛線表示相反 方向的變形。四、閉口薄壁桿的扭轉(zhuǎn)如圖4-13所示的閉口薄壁桿受到扭矩T作用時(shí)，橫截面任一點(diǎn)處的切應(yīng)力丁 與該處壁厚t的乘積為一常數(shù)，最大切應(yīng)力用下式計(jì)算(4-25)式中A為壁厚中心線所包圍的面積。若薄壁管的壁厚/為常數(shù)，則單位長度扭轉(zhuǎn) 角用下式計(jì)算(4-26)Ts4GA21式中s為壁厚中心線的長度。五、正多邊形截面桿的扭轉(zhuǎn)最大切應(yīng)力發(fā)生在各邊的中點(diǎn)。表4-2給出了正 邊形在n=3, 6, 8時(shí)的最大切應(yīng)力和單位長度扭轉(zhuǎn)角的 表達(dá)式。表4-2正多邊形的最大切應(yīng)力和單位長度扭轉(zhuǎn)角表達(dá)式邊數(shù)n橫截面形狀最大切應(yīng)力Tmax單位長度扭轉(zhuǎn)角03A20T 丁80T

18、V3Ga461.02T 丁 或5.32T0.965TGa4或8.68TGb8cnLU0.385Ta3或5.41Tb0.274TGa4 或9.29TGb第五節(jié)密圈螺旋彈簧的計(jì)算本節(jié)只研究簧絲中心線的傾角G較小的密圈螺旋彈簧在受拉（壓）時(shí)的應(yīng)力 與變形。圖4-14a所示為螺旋半徑為人，螺旋角為a ,簧絲直徑為d的密圈螺旋彈 簧。當(dāng)彈簧沿軸線受拉力尸作用時(shí)，如圖4-14b所示，在包含彈簧軸線的截面上, 內(nèi)力可分解為沿簧絲軸線切線方向的軸力Fn和與Fn垂直的剪力Fq(a)Fn = F sin aFq = F cos a同時(shí)作用在簧絲截面上的力偶矩可以分解成繞簧絲軸線的扭矩卩和使簧絲彎曲的 彎矩MM =

19、 FR sin aT = FR cos a這些力在簧絲橫截面上引起應(yīng)力。由于a角很小，故可認(rèn)為sina0, cos a 所以由Fn和M引起的應(yīng)力可忽略不計(jì)。設(shè)由扭矩T引起的最大切應(yīng)力為71, Fq 引起的切應(yīng)力為，且認(rèn)為在整個(gè)簧絲橫截面上均勻分布，可求得71和7如下(c)(d)16FR(1+厶nd34R(4-27)=T = 16FR=WP = nd3=Fq = 4F_And271和7在簧圈內(nèi)側(cè)的方向一致，在外側(cè)的方向相反，故發(fā)生在內(nèi)側(cè)的最大切應(yīng)力 可寫成在d2R的情況下，可忽略不計(jì)第二項(xiàng)的影響。如d與2R相比并不很小，一般 采用下式來確定7mx(4-28),16FR7max = k J3-nd

20、其中k為修正系數(shù)，對承受拉壓的彈簧，修正系數(shù)為k=+4c - 40.615(4-29)其中 c = 2R/d。為了求彈簧的變形，沿彈簧簧絲取ds微段，該微段兩端的相對扭轉(zhuǎn)角為d0 ,1卜,、t f 一其表達(dá)式為吩瞌=ds現(xiàn)分析彈簧下端點(diǎn)B的位移，如圖4-14c所示。微段ds的相對扭轉(zhuǎn)角使得B 點(diǎn)繞簧絲橫截面的中心0轉(zhuǎn)動，因麗很小，故麗=OBd,所以垂直位移分 里 dQ 73d = BBcos 0 = OBdcos 0 = Rd 串=FR2GIPds(4-30)(4-31)(4-32)取彈簧的整個(gè)有效長度積分（s=2nnR）,可得彈簧的軸向總伸長。fsFR2FR2 e2nnR2nnFR3 64n

21、FR3J。GIpGIp J。GIpGd4其中n為有效彈簧圈數(shù)。將上式改寫成o = FK式中K亠64R3 n稱為彈簧剛度，它是表征彈簧變形難易程度的物理量，其單位為N/mm。復(fù)習(xí)思考題4-1何謂扭轉(zhuǎn)變形？試舉出在日常生活中所見到的構(gòu)件發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的實(shí)例。4-2軸的轉(zhuǎn)速、所傳遞的功率與外力偶矩之間有何關(guān)系？4-3何謂扭轉(zhuǎn)的剛性平面假設(shè)，它在推導(dǎo)扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式中起什么作用？4-4在變速器中，轉(zhuǎn)速快的軸較細(xì)，而轉(zhuǎn)速慢的軸較粗，這是為什么？4-5什么情況下扭轉(zhuǎn)的剛性平面假設(shè)是不正確的？4-6何謂自由扭轉(zhuǎn)？何謂約束扭轉(zhuǎn)？它們的特點(diǎn)是什么？4-7切應(yīng)力在扭轉(zhuǎn)桿的橫截面匕形成的切應(yīng)力流如圖4-6和圖4-9所示

22、，你能畫出開口薄 壁桿件自由扭轉(zhuǎn)時(shí)在橫截面t產(chǎn)生的切應(yīng)力流嗎？4-8對閉合的不等厚薄壁管，證明橫截面任一點(diǎn)的切應(yīng)力與該處壁厚的乘積為一常數(shù)。4-9何謂彈簧的剛度?它的物理意義是什么？4-10金屬材料受扭轉(zhuǎn)時(shí)有幾種破壞形式？各與何種應(yīng)力有關(guān)?4-1長度為2m的圓桿受8kNm的扭矩作用，若圓桿材料的匕=60MPa, 0 =3o/m, G=80GPa。圓桿直徑應(yīng)為多大？4-2 傳動軸傳遞 1 OOOkW 的功率，轉(zhuǎn)速 n=190r/min,設(shè)了 =30MPa, 0 =0.25o/m, G=82GPa,求該軸的直徑。4-3在兩端固定、長度為Z的圓形截面桿匕的內(nèi)分點(diǎn)ab處作用外力偶矩Me,它在a b 部分應(yīng)怎樣分配？4-4 橋式起重機(jī)如圖4-15所示。已知傳動軸的轉(zhuǎn)速n=27r/min,傳遞功率P=3kW, t=40MPa, G =80GPa, 0 =1o/m,試計(jì)算軸的直徑。圖4-15習(xí)題4-4圖4-5圖4-16所示傳動軸匕安裝有四個(gè)輪子，己知主動軸輸入功率Pa=400馬力(1馬力 =0.735 5kW),從動輪輸出功率分別為P=100馬力,Pc=50馬力,Pd=250馬力，軸作勻速轉(zhuǎn)動， 轉(zhuǎn)速n=200r/min。軸材料的許用切應(yīng)力t =100Mpa，切變模量G=80GPa, 0=1.5o/m。試選 擇軸的直徑。4-6如圖4-1