1、2021-2022高考數學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知，且，則在方向上的投影為（ ）ABCD2，則與位置關系是 ()A平行B異面C相交D平行或異面或相交3下列結論中正確的個數是（ ）已知函數是一次函數，若數列通項公式為，則該數列是等差數列；若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則；在中，“

2、”是“”的必要不充分條件；若，則的最大值為2.A1B2C3D04在各項均為正數的等比數列中，若，則（ ）AB6C4D55我國古代有著輝煌的數學研究成果，其中的周髀算經、九章算術、海島算經、孫子算經、緝古算經，有豐富多彩的內容，是了解我國古代數學的重要文獻這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期某中學擬從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為（ ）ABCD6劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一他在割圓術中提出的，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周

3、合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術的核心思想是將一個圓的內接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，得到的近似值為（ ）ABCD7函數的圖像大致為（ ）ABCD8某學校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是17.5，30，樣本數據分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是（ ）A56B60C140D1209已知函

4、數的定義域為，且，當時，.若，則函數在上的最大值為（ ）A4B6C3D810已知，則等于（ ）ABCD11已知雙曲線，點是直線上任意一點，若圓與雙曲線的右支沒有公共點，則雙曲線的離心率取值范圍是（ ）ABCD12在原點附近的部分圖象大概是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13函數滿足，當時，若函數在上有1515個零點，則實數的范圍為_.14執行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13，則輸入的x的值是_.15已知橢圓與雙曲線有相同的焦點、，其中為左焦點.點為兩曲線在第一象限的交點，、分別為曲線、的離心率，若是以為底邊的等腰三角形，則的取值范圍為_.16從4名男生和3名

5、女生中選出4名去參加一項活動，要求男生中的甲和乙不能同時參加，女生中的丙和丁至少有一名參加，則不同的選法種數為_.（用數字作答）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知，分別為內角，的對邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，求角.18（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，是邊長為2的正三角形，為線段的中點（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點，當二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積19（12分）在銳角三角形中，角的對邊分別為已知成等差數列，成等比數列（1）求的值；（2）若的面積為求的值20（12分）在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為（t為參

6、數），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為. （1）求直線l的普通方程和圓C的直角坐標方程；（2）直線l與圓C交于A，B兩點，點P(2,1)，求|PA|PB|的值.21（12分）已知函數.（1）當時，解不等式；（2）設不等式的解集為，若，求實數的取值范圍.22（10分）2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年，是中國青年一代又一代接續奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發揚五四精神在青年節到來之際，學校組織“五四運動100周年”知識競賽，競賽的一個環節由10道題目組成，其中6道A類題、4道B

7、類題，參賽者需從10道題目中隨機抽取3道作答，現有甲同學參加該環節的比賽.（1）求甲同學至少抽到2道B類題的概率；（2）若甲同學答對每道A類題的概率都是，答對每道B類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立.現已知甲同學恰好抽中2道A類題和1道B類題，用X表示甲同學答對題目的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計算【詳解】由可得，因為，所以故在方向上的投影為故選：C【點睛】本題考查向量的數量積與投影掌握向量垂直與數量積的關系是解題關鍵2

8、D【解析】結合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關系分別是平行、異面或相交選D3B【解析】根據等差數列的定義，線面關系，余弦函數以及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：已知函數是一次函數，若數列的通項公式為，可得為一次項系數），則該數列是等差數列，故正確；若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則與可以相交或平行，故錯誤；在中，而余弦函數在區間上單調遞減，故 “”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要條件，故錯誤；若，則，所以，當且僅當時取等號，故正確；綜上可得正確的有共2個；故選：B【點睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運用和等比數列的求和公式、等差數列的定義和

9、不等式的性質，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題4D【解析】由對數運算法則和等比數列的性質計算【詳解】由題意故選：D【點睛】本題考查等比數列的性質，考查對數的運算法則掌握等比數列的性質是解題關鍵5D【解析】利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程學習內容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結果.【詳解】周髀算經、九章算術、海島算經、孫子算經、緝古算經，這5部專著中有3部產生于漢、魏、晉、南北朝時期記這5部專著分別為，其中產生于漢、魏、晉、南北朝時期從這5部專著中選擇2部作為“數學文化”校本課程

10、學習內容，基本事件有共10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有，共9種情況，所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為故選D【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應用，屬于基礎題，利用古典概型概率公式求概率時，找準基本事件個數是解題的關鍵，基本亊件的探求方法有 (1)枚舉法：適合給定的基本事件個數較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數時，一定要按順序逐個寫出：先，. ，再，.依次. 這樣才能避免多寫、漏寫現象的發生.6A【解析】設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形

11、的面積為,由割圓術可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應用,考查閱讀分析能力.7A【解析】根據排除，利用極限思想進行排除即可【詳解】解：函數的定義域為，恒成立，排除，當時，當，排除，故選：【點睛】本題主要考查函數圖象的識別和判斷，利用函數值的符號以及極限思想是解決本題的關鍵，屬于基礎題8C【解析】試題分析：由題意得，自習時間不少于小時的頻率為，故自習時間不少于小時的頻率

12、為，故選C.考點：頻率分布直方圖及其應用9A【解析】根據所給函數解析式滿足的等量關系及指數冪運算，可得；利用定義可證明函數的單調性，由賦值法即可求得函數在上的最大值.【詳解】函數的定義域為，且，則；任取，且，則，故，令，則，即，故函數在上單調遞增，故，令，故，故函數在上的最大值為4.故選：A.【點睛】本題考查了指數冪的運算及化簡，利用定義證明抽象函數的單調性，賦值法在抽象函數求值中的應用，屬于中檔題.10B【解析】由已知條件利用誘導公式得，再利用三角函數的平方關系和象限角的符號，即可得到答案.【詳解】由題意得 ，又，所以，結合解得，所以 ，故選B.【點睛】本題考查三角函數的誘導公式、同角三角函

13、數的平方關系以及三角函數的符號與位置關系，屬于基礎題.11B【解析】先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線與直線的距離，根據圓與雙曲線的右支沒有公共點，可得，解得即可【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，是直線上任意一點，則直線與直線的距離，圓與雙曲線的右支沒有公共點，則，即，又故的取值范圍為，故選：B【點睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據圓與雙曲線的右支沒有公共點得出是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題12A【解析】分析函數的奇偶性，以及該函數在區間上的函數值符號，結合排除法可得出正確選項.【詳解】令，可得，即函數的定義域為

14、，定義域關于原點對稱，則函數為奇函數，排除C、D選項；當時，則，排除B選項.故選：A.【點睛】本題考查利用函數解析式選擇函數圖象，一般要分析函數的定義域、奇偶性、單調性、零點以及函數值符號，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由已知，在上有3個根，分，四種情況討論的單調性、最值即可得到答案.【詳解】由已知，的周期為4，且至多在上有4個根，而含505個周期，所以在上有3個根，設，易知在上單調遞減，在，上單調遞增，又，.若時，在上無根，在必有3個根，則，即，此時；若時，在上有1個根，注意到，此時在不可能有2個根，故不滿足；若時，要使

15、在有2個根，只需，解得；若時，在上單調遞增，最多只有1個零點，不滿足題意；綜上，實數的范圍為.故答案為：【點睛】本題考查利用導數研究函數的零點個數問題，涉及到函數的周期性、分類討論函數的零點，是一道中檔題.148【解析】根據偽代碼逆向運算求得結果.【詳解】輸入，若，則，不合題意若，則，滿足題意本題正確結果：【點睛】本題考查算法中的語言，屬于基礎題.15【解析】設，由橢圓和雙曲線的定義得到，根據是以為底邊的等腰三角形，得到 ，從而有，根據，得到，再利用導數法求的范圍.【詳解】設，由橢圓的定義得 ，由雙曲線的定義得，所以，因為是以為底邊的等腰三角形，所以，即 ，因為，所以 ，因為，所以，所以，即，

16、而，因為，所以在上遞增，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.161【解析】由排列組合及分類討論思想分別討論：設甲參加，乙不參加，設乙參加，甲不參加，設甲，乙都不參加，可得不同的選法種數為9+9+51，得解【詳解】設甲參加，乙不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為9，設乙參加，甲不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為9，設甲，乙都不參加，由女生中的丙和丁至少有一名參加，可得不同的選法種數為5，綜合得：不同的選法種數為9+9+51，故答案為：1【點睛】本題考查了排列組合及分類討論思想，準確

17、分類及計算是關鍵，屬中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）見解析；（2）【解析】（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡（1）的結論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進而求得的值，從而求得角.【詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，.（2）由（1）及正弦定理得，即，.，.【點睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.18（1）見解析； （2）.【解析】（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐

18、標系，設，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解，轉化即得解.【詳解】（1）證明：因為是正三角形，為線段的中點，所以因為是菱形，所以因為，所以是正三角形，所以，所以平面又，所以平面因為平面，所以平面平面（2）由（1）知平面，所以，而，所以，又，所以平面以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系則于是，設面的一個法向量，由得令，則，即設，易得，設面的一個法向量，由得令，則，即依題意，即，令，則，即，即所以【點睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解，三棱錐的體積等知識點，考查了學生空間想象，邏輯推理，數學運算的能力，屬于中檔題.19（1）；（2

19、）.【解析】(1)根據成等差數列與三角形內角和可知,再利用兩角和的正切公式,代入化簡可得,同理根據三角形內角和與余弦的兩角和公式與等比數列的性質可求得,聯立即可求解求的值.(2)由(1)可知,再根據同角三角函數的關系與正弦定理可求得,再結合的面積為利用面積公式求解即可.【詳解】解：成等差數列,可得 而,即,展開化簡得,因為,故又成等比數列,可得,即,可得聯立解得（負的舍去）,可得銳角；由可得,由為銳角,解得,因為為銳角,故可得,由正弦定理可得,又的面積為可得,解得【點睛】本題主要考查了等差等比中項的運用以及正切的和差角公式以及同角三角函數關系等.同時也考查了正弦定理與面積公式在解三角形中的運用,屬于中檔題.20（1）直線的普通方程，圓的直角坐標方程：.（2）【解析】（1）直接利用轉換關系的應用，把參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.（2）將直線的參數方程代入圓的直角坐標方程，利用一元二次方程根和系數關系式即可求解.【詳解】（1）直線l的參數方程為（t為參數），轉換為直角坐標方程為x+y30.圓C的極坐標方程為24c