1、第4講 基于偏好的需求決議需求的邊沿方程需求映射的可微性收入效應與替代效應需求映射的特征1.1 確定需求的邊沿方程消費者需求的決議：成效最大化利用成效函數 u(x) 表達：max u(x) s.t px = r u(x) = p利用拉格朗日乘數法求解：R s.t. px = r定理 設消費集合 X 滿足假設HC，偏好 滿足假設HP，成效函數 u(x) 滿足假設HU，p 0，r I( p)及 xX， 為消費者的需求映射。那么有下述現實： (x = ( p, r) ( 0)(u(x) = p) & ( px = r)邊沿方程： 求解需求 x = ( p, r)。2.1.1 例：線性支出系統問題：消

2、費者收入較高，應對根本生活開支綽綽有余，如何將多余收入用在各種商品的消費上？分析：假定共有 種商品，并且消費者以為這些商品的額外消費在提高成效程度方面的作用分別為1,2,(這些 i 都是大于零的常數)。根本生活需求： = (1,2,) 0消費集合：X = xR | x i 的意義： i = (xii)MUi /TU 商品 i 的額外消費所添加的成效占總成效的比例，其中 MUi 為商品 i 的邊沿成效，TU為總成效。這正表達了添加商品 i 的消費在提高成效程度方面所起到的作用大小。3.1.1.1 導出成效函數消費者的成效函數U(x)的推導首先利用成效函數U(x)來表達 i ： i = (xii)

3、Ui/U(x)。求解微分方程 1 = (dU/d x1)(x11)/U 可得：求解 2 = (d 1/d x2)(x22)/ 1可得：求解 = (d 1/d x)(x )/ 1可得：結果：最終方式：4.1.1.2 求解邊沿方程先求導數：邊沿方程：求解： 支出是價錢和收入的線性函數線性支出系統支出分配：消費者把多余收入按照比例 ai 分配在商品 i 的消費上。需求函數：5.1.2 邊沿方程的意義與作用消費者平衡：成效最大的選擇，即消費者需求。邊沿方程給出了消費者實現平衡的根本法那么邊沿替代法那么：邊沿替代率 = 市場交換率MRSij = u i/u j：邊沿替代率消費者為添加一單位商品i而情愿放

4、棄的商品j的數量。EXRij = pi /p j：市場交換率消費者為添加一單位商品i而實踐放棄的商品j的數量。邊沿成效法那么：各項消費支出的邊沿成效均等均等法那么：把一單位收入不論用于添加哪種商品的消費，所添加的成效都是相等的。拉氏乘數：平衡時貨幣收入的邊沿成效添加一單位支出所添加的成效。6.2 需求函數的可微性可微性：精打細算即使要素微小變動，也要可以準確掌握其影響大小。成效最大化帶來需求的可微性：即使價錢或收入發生微小變動，成效最大化也要讓消費者精挑細選，精打細算，準確掌握由此產生的對個人需求的影響，這就意味著需求函數理應是可微的。需求可微性問題研討思緒：需求函數是邊沿方程確定的隱函數，可

5、從隱函數存在定理來提出需求可微所要求的條件，并找出該條件的經濟意義。7.對任何 xU，都有 Fi (x, (x) = 0 (i = 1,2, n)； ； 在 U 內延續可微(i = 1,2, n)。 定理 設在點 附近，函數Fi(x, y)延續可微， ，并且雅克比矩陣 可逆。那么存在 的鄰域 和 的領域 ，存在獨一的映射 (即 )滿足：2.1 隱函數存在定理8.2.2 邊沿方程的雅克比矩陣邊沿方程：雅克比矩陣 J = J( p, r, x, )結論：只需 J 可逆，需求映射 ( p, r) 就可微。看來，我們需求研討讓 J 可逆所需的條件及其經濟意義。9.2.3 保證雅克比矩陣可逆的條件成效函

6、數u(x)強擬凹：是指對任何 xX ，海森矩陣(Hessian matrix) u(x) 都在切空間 (x) 上負定。切空間：(x) = zR | z u (x) = 0 在切空間上負定：z(x)，z 0，都有 z u(x) z 0 & r I( p)。強擬凹性的經濟意義：成效最大化二階充分條件強擬凹的成效函數是嚴厲擬凹的。成效最大化二階必要條件：u(x)在 (x) 上半負定。成效最大化二階充分條件：u(x)在 (x) 上負定。需求可微性是成效最大化的自然要求，故強擬凹性并不是什么苛刻條件，是理性偏好自然會具備的性質。11.2.4 強擬凹性的幾何意義成效最大化點 x 是成效函數 u 在切線 T

7、(x) 上的最大值點，故u(x)在 (x)上是半負定的(微積分知識)。u(x)在 (x)上負定，這是讓 x 成為 u 在切線 T(x) 上的最大值點的充分條件。強擬凹性是關于偏好的性質：假設 u 與 v 等價，那么 u 強擬凹當且僅當 v 強擬凹。 pu (x)=切空間(x)切線T(x)u (x)x無差別曲線12.3 收入與價錢變動對需求的影響假定：假設HC、HP、HU全成立，并且消費者的成效函數 u(x) 強擬凹。收入與價錢變動收入變動：dr價錢變動：引起需求變動需求：x = ( p, r)需求變動：拉氏乘數變動：d13.3.1 需求變動方程邊沿等式：將 x = ( p, r)代入邊沿方程后

8、得到的恒等式，即(d x, d)與(d p, d r)的關系：邊沿等式全微分需求變動矩陣方程：上述方程的矩陣方式( E 表示單位陣)14.3.1.1 斯勒茨基矩陣u 強擬凹 & u(x) = p & 0 可逆令 ，令 S = ZSlutskys matrix：S = (sij) = (sij) 斯勒茨基系數：sij根身手實：Sp = 0，z p = 1。T15.3.1.2 斯勒茨基方程求解需求變動矩陣方程Slutskys equation：16.3.1.3 需求變動的導數公式微分公式：導數公式：斯勒茨基系數的導數表示即17.3.2 變動效應分析實踐收入變動：dr xdp名義收入變動：dr價錢變

9、動引起的實踐收入程度變動： xdp收入效應：純由實踐收入變動引起的需求變動。收入效應率：x /r收入效應 = (dr xdp)x /r 替代效應：純粹由價錢變動引起的需求變動。總效應：總效應 收入效應：從總效應中扣除收入效應后，剩余部分便只能歸因于商品替代，即為替代效應。替代效應 = dx (dr xdp)x /r = Sdp18.3.2.1 斯勒茨基矩陣的意義實踐收入不變時的總效應實踐收入不變： dr xdp = 0，記作 u=const。總效應：dx = Sdp + (dr xdp)x /r = Sdp(替代效應)結論：S = (x /p)|u=const ，即 sij = (xi /pj

10、)|u=const 斯勒茨基系數 sij 的意義：替代效應率sij = (xi /pj)|u=const = xi /pj + xj xi /r意義：商品 j 的價錢上漲一單位， 引起商品 i 的需求添加xi /pj 單位，但也讓實踐收入減少xj單位。為了讓實踐收入不變，給消費者補貼xj 單位收入，這讓商品 i 的需求進一步添加 xj xi /r 單位，最后總添加 sij 單位。可見， sij 代表替代效應率實踐收入不變條件下商品i的價錢上漲一單位引起的商品 j 的需求添加量。19.例.3.2.2 需求映射的替代矩陣替代矩陣：鑒于斯勒茨基系數 sij 的替代效應率意義，斯勒茨基矩陣 S 被稱為

11、需求映射 x = ( p, r) 的替代矩陣，并且 S = x /p + (x /r) x。替代矩陣 S 的性質對稱性： S = S，即 sij = sji (i, j = 1,2,)半負定：(wR )(wSw 0)，從而 sij 0 (i = 1,2,)。不可祈求 S 負定：比如線性支出系統的 S 就是奇特的。TT20.3.2.3 對生活程度的影響生活程度函數： -間接成效函數普通影響：收入變動的影響率：價錢變動的影響率：重要現實：實踐收入不變 生活程度不變實踐收入不變(dr xdp = 0)時的生活程度變化：生活程度不變( )時的實踐收入變化：dr xdp = 0羅伊恒等式：21.3.3

12、收入與價錢的同比例變動需求的零階齊次性：(t 0)(tp, tr) = ( p, r)解釋：價錢與收入同比例變動，預算集合不會因此遭到影響，故消費者需求也不受影響。意義：價錢與收入同比例變動不會影響生活程度。消費者方面：收入來自要素報酬。一切商品價錢同比例上漲，意味著消費者收入同比例上升。消費者方面：后面的消費者實際也會闡明，一切商品價錢同比例上升不影響消費選擇，產品供應和要素需求不會變化，而消費者的利潤要同比例上升。通脹效應：一切商品價錢同比例上升，既不影響消費選擇，也不影響消費選擇，反而使企業利潤同比例上升。22.3.4 需求法那么普通的需求法那么：一種商品的需求量與該商品的價錢之間呈現反

13、向變動關系。對商品 i 成立嗎？可經過 的導數 xi /pi = sii xi xi /r 的正負來判別。正常品：收入效應為正，xi /r 0，故 xi /pi 0。劣質品：收入效應為負，xi /r |xi xi /r |，故 xi /pi 0。吉芬品：|sii| 0。結論：吉芬品極其少見，故普通商品都服從“需求量與價錢反向變動(xi /pi 0，收入效應 0。消費者就要添加對正常品的消費量。正常品x1x2收入效應預算線補償預算線E1EcE2xc替代效應變動后的預算線E1E2E1E2EcEc替代效應收入效應總效應總效應收入效應替代效應低檔品價錢下跌消費量總歸添加其他品吉芬品低檔品其他品其他品吉

14、芬品價錢下跌消費量反而下降24.3.4.2 需求補償法那么需求補償法那么(一)：假設dr x d p = 0，那么d pdx 0。即在實踐收入程度不變的條件下，需求變動與價錢變動是反方向的。證明：dx = Sdp，dpdx(內積)= dp Sdp 0。得證。需求補償法那么(二)：假設 (q, s) ( p, r)且 q( p, r) = s，那么 (q p)(q, s) ( p, r) r。由于 px = r，因此 p( y x) 0。既然 q y = s 且 qx = s，因此 q( y x) = 0。這樣，(q p)( y x) 0，(t p, t r) = ( p, r)瓦爾拉定律： p

15、( p, r) = r延續可微性：( p, r)延續可微( p 0, r I( p)替代對稱性：( p, r)的替代矩陣 S 是對稱的。需求補償法：假設 (q, s) ( p, r) 且 q( p, r) = s， 那么 (q p)(q, s) ( p, r) I( p)，那么 e( p,U ) e( p,V ) U 0及成效程度U (要求 e( p,U) I(p)，都存在獨一的 xE(U ) 使得 px = e( p,U)。向量 x 正是消費者的希克斯需求，記作 h( p,U )。定理 在假設HC、HP、HU下，對任何 p 0及 r I(p)，都有 ，并且 sij = hi/pj。sij = hi/pj 的證明：29.5.3 支出函數對價錢的導數定理 在假設HC