1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設為的兩個零點，且的最小值為1，則（ ）ABCD2如圖，在中，點，分別為，的中點，若，且滿足，則等于（ ）A2BCD3已知與之間的一組數(shù)據(jù)：12343.24.87.5若關于的線性回歸方

2、程為，則的值為（ ）A1.5B2.5C3.5D4.54設，是方程的兩個不等實數(shù)根，記（）.下列兩個命題（ ）數(shù)列的任意一項都是正整數(shù)；數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù).A正確，錯誤B錯誤，正確C都正確D都錯誤5若x，y滿足約束條件則z=的取值范圍為（ ）AB，3C，2D，26直線l過拋物線的焦點且與拋物線交于A，B兩點，則的最小值是A10B9C8D77 “哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一，其內容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質數(shù)(素數(shù))之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當好的成績.若將6拆成兩

3、個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質數(shù)的概率為（ ）ABCD8已知拋物線和點，直線與拋物線交于不同兩點，直線與拋物線交于另一點給出以下判斷：直線與直線的斜率乘積為；軸；以為直徑的圓與拋物線準線相切.其中，所有正確判斷的序號是（ ）ABCD9是的（ ）條件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要10已知函數(shù)，則（ ）A函數(shù)在上單調遞增B函數(shù)在上單調遞減C函數(shù)圖像關于對稱D函數(shù)圖像關于對稱11已知，滿足約束條件，則的最大值為ABCD12已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)，令，若，表示不超

4、過實數(shù)的最大整數(shù)，記數(shù)列的前項和為，則_14已知向量，則_.15將2個相同的紅球和2個相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四個盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2個球，丙、丁盒子均最多可放入1個球，且不同顏色的球不能放入同一個盒子里，共有_種不同的放法.16已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）橢圓的右焦點，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點.為坐標原點，為橢圓的右頂點，求四邊形面積的最大值.18（12分）2019年6月，國內的運營牌照開始發(fā)放.從到，我們國家

5、的移動通信業(yè)務用了不到20年的時間，完成了技術上的飛躍，躋身世界先進水平.為了解高校學生對的消費意愿，2019年8月，從某地在校大學生中隨機抽取了1000人進行調查，樣本中各類用戶分布情況如下：用戶分類預計升級到的時段人數(shù)早期體驗用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學生升級時間的早晚與大學生愿意為套餐支付更多的費用作比較，可得出下圖的關系（例如早期體驗用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗用戶的）.（1）從該地高校大學生中隨機抽取1人，估計該學生愿意在2021年或2021年之前升級到

6、的概率；（2）從樣本的早期體驗用戶和中期跟隨用戶中各隨機抽取1人，以表示這2人中愿意為升級多支付10元或10元以上的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）2019年底，從這1000人的樣本中隨機抽取3人，這三位學生都已簽約套餐，能否認為樣本中早期體驗用戶的人數(shù)有變化？說明理由.19（12分）如圖，在四棱錐中，平面， 底面是矩形，分別是，的中點.（）求證：平面；（）設， 求三棱錐的體積.20（12分） 已知函數(shù)，（）當時，求曲線在處的切線方程； （）求函數(shù)在上的最小值；（）若函數(shù)，當時，的最大值為，求證：.21（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，證明：對；（2）若函數(shù)在上存在極值

7、，求實數(shù)的取值范圍。22（10分）在平面直角坐標系中，曲線：（為參數(shù)，），曲線：（為參數(shù)）.若曲線和相切.（1）在以為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系中，求曲線的普通方程；（2）若點，為曲線上兩動點，且滿足，求面積的最大值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f（x）的最小值正周期T為12，再求出的值【詳解】由題得,設x1，x2為f（x）=2sin（x）（0）的兩個零點，且的最小值為1，=1，解得T=2；=2，解得=故選A【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質的應用問

8、題，是基礎題2D【解析】選取為基底，其他向量都用基底表示后進行運算【詳解】由題意是的重心， ，故選：D【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這樣做目標明確，易于操作3D【解析】利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到代入回歸方程，可得，再結合表格數(shù)據(jù)，即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù)，可得又，解得故選：D【點睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質，考查了學生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.4A【解析】利用韋達定理可得,結合可推出,再計算出,從而推出正確;再利用遞推公式依次計算數(shù)列中的各項,以此判斷的正誤.【詳解】因為,是方程的

9、兩個不等實數(shù)根,所以,因為,所以,即當時,數(shù)列中的任一項都等于其前兩項之和,又,所以,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項都是正整數(shù),故正確;若數(shù)列存在某一項是5的倍數(shù),則此項個位數(shù)字應當為0或5,由,依次計算可知,數(shù)列中各項的個位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個位數(shù)字為0或5的項,故錯誤;故選:A.【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導,考查數(shù)列性質的應用,考查學生的綜合分析以及計算能力.5D【解析】由題意作出可行域，轉化目標函數(shù)為連接點和可行域內的點的直線斜率的倒數(shù)，數(shù)形結合即可得解.【詳解】由題意作出可行域，如圖，目標函數(shù)可表示連接點和可行域內的點的

10、直線斜率的倒數(shù)，由圖可知，直線的斜率最小，直線的斜率最大，由可得，由可得，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查了非線性規(guī)劃的應用，屬于基礎題.6B【解析】根據(jù)拋物線中過焦點的兩段線段關系，可得；再由基本不等式可求得的最小值【詳解】由拋物線標準方程可知p=2因為直線l過拋物線的焦點，由過拋物線焦點的弦的性質可知 所以 因為 為線段長度，都大于0，由基本不等式可知，此時所以選B【點睛】本題考查了拋物線的基本性質及其簡單應用，基本不等式的用法，屬于中檔題7A【解析】列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質數(shù)的只有，利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(

11、1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),而加數(shù)全為質數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知，所求概率為.故選：A.【點睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.8B【解析】由題意，可設直線的方程為，利用韋達定理判斷第一個結論；將代入拋物線的方程可得，從而，進而判斷第二個結論；設為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點設，到準線的距離分別為，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，三點不共線，進而判斷第三個結論.【詳解】解：由題意，可設直線的方程為，代入拋物線的方程，有設點，的坐標分別為，則，所則直線與直線的斜率乘積為所以正確將代入拋物線的方程可得，從而，根據(jù)拋物線

12、的對稱性可知，兩點關于軸對稱，所以直線軸所以正確如圖，設為拋物線的焦點，以線段為直徑的圓為，則圓心為線段的中點設，到準線的距離分別為，的半徑為，點到準線的距離為，顯然，三點不共線，則所以不正確故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想,屬于難題9B【解析】利用充分條件、必要條件與集合包含關系之間的等價關系，即可得出。【詳解】設對應的集合是，由解得且 對應的集合是 ，所以，故是的必要不充分條件，故選B。【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法集合關系法。設 ，如果，則是

13、的充分條件；如果B則是的充分不必要條件；如果，則是的必要條件；如果，則是的必要不充分條件。10C【解析】依題意可得，即函數(shù)圖像關于對稱，再求出函數(shù)的導函數(shù)，即可判斷函數(shù)的單調性；【詳解】解：由，所以函數(shù)圖像關于對稱，又，在上不單調.故正確的只有C，故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性的判定，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，屬于基礎題.11D【解析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結合即可得到結論【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，等價于，作直線，向上平移，易知當直線經過點時最大，所以，故選D【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結

14、合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法12A【解析】首先求得平移后的函數(shù)，再根據(jù)求的最小值.【詳解】根據(jù)題意，的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應的函數(shù)，所以，所以又，所以的最小值為故選：A【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，誘導公式，意在考查平移變換，屬于基礎題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。134【解析】根據(jù)導數(shù)的運算，結合數(shù)列的通項公式的求法，求得，進而得到，再利用放縮法和取整函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，且，可得，又由，可得為常數(shù)列，且，數(shù)列表示首項為4，公差為2的等差數(shù)列，所以，其中數(shù)列滿足，所以，所以，又由，可得數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項

15、和為，所以數(shù)列的前項和為，滿足，所以，即，又由表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，所以.故答案為：4.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的導數(shù)的計算，以及等差數(shù)列的通項公式，累加法求解數(shù)列的通項公式，以及裂項法求數(shù)列的和的綜合應用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.14【解析】求出，然后由模的平方轉化為向量的平方，利用數(shù)量積的運算計算【詳解】由題意得，.，.，.故答案為：【點睛】本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題基礎本題關鍵是用數(shù)量積的定義把模的運算轉化為數(shù)量積的運算15【解析】討論裝球盒子的個數(shù)，計算得到答案.【詳解】當四個盒子有球時：種；當三個盒子有球時：種；當兩個盒子有球時

16、：種.故共有種，故答案為：.【點睛】本題考查了排列組合的綜合應用，意在考查學生的理解能力和應用能力.16【解析】對題目所給等式進行賦值，由此求得的表達式，判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此求得的值.【詳解】解：，可得時，時，又，兩式相減可得，即，上式對也成立，可得數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，可得【點睛】本小題主要考查已知求，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（2）最大值.【解析】（1）根據(jù)通徑和即可求（2）設直線方程為，聯(lián)立橢圓，利用，用含的式子表示出，用換元，可得，最后用均值不等式求解.【詳解】解：（1）依題意有，所以橢

17、圓的方程為.（2）設直線的方程為，聯(lián)立，得.所以，.所以.令，則，所以，因，則，所以，當且僅當，即時取得等號，即四邊形面積的最大值.【點睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.18（1）（2）詳見解析（3）事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認為早期體驗用戶沒有發(fā)生變化，詳見解析【解析】（1）由從高校大學生中隨機抽取1人，該學生在2021年或2021年之前升級到，結合古典摡型的概率計算公式，即可求解；（2）由題意的所有可能值為，利用相互獨立事件的概率計算公式，分別求得相應的概率，得到隨機變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）設事件為“從這1000人的

18、樣本中隨機抽取3人，這三位學生都已簽約套餐”，得到七概率為，即可得到結論.【詳解】（1）由題意可知，從高校大學生中隨機抽取1人，該學生在2021年或2021年之前升級到的概率估計為樣本中早期體驗用戶和中期跟隨用戶的頻率，即.（2）由題意的所有可能值為，記事件為“從早期體驗用戶中隨機抽取1人，該學生愿意為升級多支付10元或10元以上”，事件為“從中期跟隨用戶中隨機抽取1人，該學生愿意為升級多支付10元或10元以上”，由題意可知，事件，相互獨立，且，所以，所以的分布列為0120.180.490.33故的數(shù)學期望.（3）設事件為“從這1000人的樣本中隨機抽取3人，這三位學生都已簽約套餐”，那么.回

19、答一：事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認為早期體驗用戶沒有發(fā)生變化.回答二：事件發(fā)生概率小，所以可以認為早期體驗用戶人數(shù)增加.【點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列，數(shù)學期望的求解及應用，對于求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可能取值，計算得出概率，列出離散型隨機變量概率分布列，最后按照數(shù)學期望公式計算出數(shù)學期望，其中列出離散型隨機變量概率分布列及計算數(shù)學期望是理科高考數(shù)學必考問題.19（）見解析（）【解析】（）取中點，連，根據(jù)平行四邊形，可得，進而證得平面平面，利用面面垂直的性質，得平面，又由，即可得到平面.（）根據(jù)三棱錐的體積公式，利用等積法，

20、即可求解.【詳解】（）取中點，連，由，可得，可得是平行四邊形，則，又平面，平面平面，平面，平面，平面平面，是中點，則，而平面平面，而，平面.（）根據(jù)三棱錐的體積公式，得 .【點睛】本題主要考查了空間中線面位置關系的判定與證明，以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積，其中解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質定理，以及合理利用“等體積法”求解是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.20（）（）見解析；（）見解析.【解析】試題分析：（）由題，所以故，代入點斜式可得曲線在處的切線方程；（）由題（1）當時，在上單調遞增. 則函數(shù)在上的最小值是（2）當時，令，即，令，即（i）當，即時，在上單調

21、遞增，所以在上的最小值是（ii）當，即時，由的單調性可得在上的最小值是（iii）當，即時，在上單調遞減，在上的最小值是（）當時，令，則是單調遞減函數(shù). 因為，所以在上存在，使得，即討論可得在上單調遞增，在上單調遞減. 所以當時，取得最大值是因為，所以由此可證試題解析：（）因為函數(shù)，且， 所以，所以所以，所以曲線在處的切線方程是，即（）因為函數(shù)，所以（1）當時，所以在上單調遞增. 所以函數(shù)在上的最小值是（2）當時，令，即，所以令，即，所以（i）當，即時，在上單調遞增，所以在上的最小值是（ii）當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上的最小值是（iii）當，即時，在上單調遞減，所以在上的最小值是綜上所述，當時，在上的最小值是當時，在上的最小值是當時，在上的最小值是 （）因為函數(shù)，所以所以當時，令，所以是單調遞減函數(shù). 因為，所以在上存在，使得，即所以當時，；當時，即當時，；當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減. 所以當時，取得最大值是因為，所以因為，所以所以21 (1)見證明；(2) 【解析】（1）利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，進而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結論；（2）問題轉化為導函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導函數(shù)的單調性及值域，從而得到結論.法二：構造函數(shù)，利用函