1、數值計算方法參考書目2數值方法 金一慶，機械出版社數值分析學習輔導習題分析 李紅，華中科技大學出版社計算方法典型例題分析 孫志忠，科學出版社計算方法，數值分析，數值計算方法緒 論主要內容4數值計算方法課程學習數值計算方法的重要性課程特點學習方法浮點數的運算誤差與有效數字 0.1 數值計算方法的內容、特點與學習方法6科學計算是人類從事科學活動和解決科學技術問題不可缺少的手段。計算機科學技術的發展，為科學計算及數據處理提供了高速和高精度的計算工具。計算機運算: 只能進行加，減，乘，除等算術運算和一些邏輯運算。學習數值計算方法重要性7實際問題數學模型 計算機算法程序設計計算機計算解答科學計算的過程計

2、算機算法8數值算法主要指與連續數學模型有關的算法如數值線性代數、方程求解、數值逼近、數值微積分、微分方程數值解和最優化計算方法等，它給出的是問題的近似解；非數值算法主要指與離散數學模型有關的算法，如排序、搜索、分類、圖論算法等；軟計算方法近年來發展的不確定性算法的總稱，包括神經網絡計算、模糊邏輯、遺傳算法等。數值計算方法定義9數學的一個分支，它以數字計算機求解數學問題的方法與理論為研究對象，其內容包括:數值計算方法定義10函數插值,數值微分與積分線性方程組的解法,矩陣特征值與特征向量的計算非線性方程(組)的解法與最優化問題的計算方法常微與偏微分方程的數值解法有關計算方法可靠性的理論研究,如方法

3、的收斂性和穩定性分析與誤差估計等.11研究用計算機求解各種數學問題的數值方法及其理論與軟件實現。數值計算方法所要解決的問題就是怎樣把數學模型歸結為計算機能執行的有效算法。數學分析，計算方法，數值方法12函數插值,數值微分與積分線性方程組的解法,矩陣特征值與特征向量的計算非線性方程(組)的解法與最優化問題的計算方法常微與微分方程的數值解法舉例說明一求解線性方程組Ax=b，其中A為3階可逆方陣X=(x1,x2,x3)T;求代數方程x2+x-6=0在0,4上的根x*已知y=p(x)為x0,x1上的直線，滿足p(x0)= y0 ， p(x1)= y1求p(x2)計算定積分解常微分方程初值問題13舉例說

4、明二14求解線性方程組Ax=B，其中A為20階可逆方陣X=(x1,x2,x20)T;求代數方程xex=1在0,1上的根x*已知y=f(x)為x0,x1上的函數，滿足f(x0)= y0 ， f(x1)= y1求f(x2)計算定積分解常微分方程初值問題舉例說明三15例0.2 ，0.4例0.2 考慮對任意給定的x, 計算代數多項式 的值的問題。顯然，上式等價于16例0.4 考慮積分的近似計算。In=1-nIn-1In-1=(1-In)/n0.63210.36800.26400.20800.16800.16000.04000.72000.11240.11240.12690.12680.14550.14

5、560.17080.17090.20730.20730.26430.26420.36800.36790.63200.6321舉例說明17通過上面例子可以看出，雖然有些問題它的解是具有理論公式，可是仍然存在能否在計算上應用和如何計算的問題。因此，我們必須研究計算方法。數值計算方法是為求解各類數學問題而去構造與分析算法。課程特點18面向計算機，重點研究數字計算機上使用的計算方法注重實用性和計算效率講究算法的技巧性重視方法的理論研究如何學習課程19了解構造方法的基本思想注意設計算法技巧及實用性注意基礎知識與數學理論的學習做一定量的習題小結20計算機運算: 只能進行加，減，乘，除等算術運算和一些邏輯運

6、算。數值計算方法：把求解數學問題轉化計算機能執行的高效可靠算法。0.2 計算機的算術運算、若干計算例題1.數的浮點表示實數x被表示為 d1=1,di為0或1，i=2,3,k, -mpM. 零的浮點數通常表示為給定的二進制浮點計算機，只能表示所有形如上式的有限數集 S=S(k,m,M)，這是實數軸上的不等距有限點集。 22S(3,1,2)表示如下的33個點對于實數x，在計算機上只能按一定的規則用S中最接近x的數來近似表示。 例x=2.6,在S(3,1,2)用 近似表示。232.浮點數的四則運算計算機只能對浮點數集S中的數做加、減、乘、除四則運算。設S0為4位十進制浮點數的集合，形如： 1 d1

7、9, 0 di 9, i=2,3,4, -9p10. 24浮點數計算特點25加減法先對階(將階碼統一為較大者)，后計算，再舍入乘除法先運算再舍入不在計算機數系中的數做四舍五入處理26絕對值相差懸殊的兩個數做加、減法27很接近的兩個數相減相對被除數來說絕對值很小的數做除數28計算過程中應該注意兩個相近的數相減，會嚴重丟失有效數字除數絕對值較小時，商的絕對誤差會增大在運算過程中注意合理安排運算順序，以便提高運算的精度或保護重要的參數例 在使用上述浮點數集S0的4位十進制浮點計算機上，解一元二次方程解：1）按求根公式求得 2）由x1x2=1有 29x2的誤差不超過 0.0110-10.5=0.000

8、5 x2的誤差不超過 0.000110-10.5=0.000005 在數學公式上， 是等價的，但在計算機上它們是不同的。300.3 誤差的來源和有關誤差的基本概念1.誤差的來源32實際問題數學模型數值方法程序設計計算機計算解答模型誤差觀測誤差方法誤差舍入誤差2.誤差的基本概念定義0.1 設x為準確值，x*是x的一個近似值，稱e*=x*-x為近似值x*的絕對誤差，或簡稱誤差。定義0.2 設 ，并滿足 則稱 為近似值x*的絕對誤差限，或簡稱誤差限。332.誤差的基本概念34定義0.3 設x*是x的一個近似值，則稱比值 為近似值x*的相對誤差，記作2.誤差的基本概念35定義0.4 設 是近似值x*的

9、誤差限，則稱 為近似值x*的相對誤差限。 此時，有36例0.5 設 和 分別都是近似值，它們相應的精確值x1和x2未知，但已知它們的誤差限都是1，試比較這兩個近似值的準確程度。3.有效數字37定義0.5 如果 則說x*近似表示x準確到第10-n位，并從此位起直到最左邊的非零數字之間的一切數字都稱為有效數字，并把有效數字的位數稱為有效位數。38例0.6 取 的近似值為 ，則 具有幾位有效數字，取 作為近似值呢？39定義0.6 若將x*近似值表示成十進制浮點數的標準形式 如果則說近似值x*具有n位有效數字。這里n為正整數，m為整數。40例0.7 若 是x的具有6位有效數字的近似值，試求 的誤差限。4.有效數字與相對誤差的關系41定理0.1 若近似值x*具有n位有效數字，則其相對誤差滿足 反之，若x*的相對誤差 滿足 則x*至少具有n位有效數字。42例0.8 用x*=2.72表示e具有3位有效數字的近似值，給出此近似值的相對誤差限。43例0.9 要使 的近似值x* 的相對誤差限小于0.001,那么至少應取幾位有效數字？緒論44學習計算方法的必要性計算方法的主要內容誤差的來源及有關誤差的概念誤差絕對誤差相對誤差45有效