1、第三章 多維隨機變量及其分布第一節 二維聯合分布函數與邊緣分布函數第二節 二維離散型隨機變量及分布第三節 二維連續型隨機變量及分布第四節 二維隨機變量的函數的分布第五節 n維隨機變量 引例1 某人打靶, 考慮射擊的彈著點. 這時, 可能結果是靶 面上的一點, 無法用一個變量來表示, 但可以以靶心 為原點, 建立平面直角坐標系, 每一彈著點用其坐 標 (X,Y)表示, 也就是 中每一元素都可用一對數來 表示, 把X, Y看成變量, X 與Y 都是隨機變量, (X,Y) 共同刻化試驗的結果, 這就是二維隨機變量.例2 考察某地的一天的天氣情況, 即同時考慮最高氣溫、 最低氣溫、氣壓、風力、降雨量，

2、這就需要5個變量 來表示可能的試驗結果，這就是五維隨機變量. 一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布 由于從二維推廣到多維一般無實質性的困難，我們重點討論二維隨機變量 .3.1 聯合分布函數與邊緣分布函數一、二維隨機變量的分布函數二、二維隨機變量的獨立性定義1 E是一個隨機試驗，樣本空間=e. 設X=X(e)和Y=Y(e)是定義在 上的隨機變量，向量(X,Y)叫做二維隨機變量.X(e)eY(e)一、二維隨機變量的分布函數【注】二維隨機變量(X, Y )的性質不僅與X和Y有關,且還依賴X與Y 的相互關系.定義2 設(X,Y)是二維隨機變量, 對于任意實數x,y,二元函數 稱F(x,y)為二維隨

3、機變量(X,Y)的分布函數,或稱 為隨機變量X和Y 的聯合分布函數。xyO(x,y)xOx1y2x2y1y1) F(x,y)是變量 x 和 y 的不減函數,即 對任意固定的 y, 當x2 x1時,有F(x2,y) F(x1,y); 對任意固定的x ,當 y2 y1時,有F(x,y2) F(x,y1). 分布函數F(x,y)的性質2) 0 F(x, y) 1,且 F(-, y)=0, F(x, -)=0, F(-,-)=0, F(+,+)=1 .3) F(x,y)關于 x右連續, 關于y右連續.4) 對于任意x1 x2 , y1 0，則稱為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布率.PX=xi|Y=

4、yj=，i=1,2, 類似定義在X=xi條件下隨機變量Y 的條件概率函數. 作為條件的那個隨機變量,認為取值是相對固定的，在此條件下求另一隨機變量的概率分布.二維離散型隨機變量(X,Y)的條件分布律:如何利用分布律表格求條件分布律1XY例2 設隨機變量X在1,2,3,4四個整數中等可能地取值,另一 隨機變量Y在 中等可能地取一整數值.試求(X,Y)的 條件分布律.解: X=i, i=1,2,3,4, Y=j, ji.1 2 3 412341/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16YX25/48 13/487/48 3/4

5、81/4 1/4 1/4 1/4例3一射手進行射擊，擊中目標的概率為 ， 射擊直至中目標兩次為止。設以 表示首次擊中目標所進行的射擊次數，以 表示總共進行的射擊次數，試求X和Y的聯合分布律及條件分布律解：設Y=n 表示在第n次射擊時擊中目標,且在前n-1次射擊中有一次擊中目標. n=2,3, X=m表示首次擊中目標時射擊了m次.(m0，若對于任意實數x，極限 存在，則稱此極限值為在條件Y=y下隨機變量X的條件分布函數,記為 或1.條件分布函數 定義 連續型隨機變量的條件概率密度 設(X,Y)的分布函數為F(x, y)，概率密度 f(x , y) 在(x , y) 處連續，邊緣概率密度 fY (

6、y) 連續，fY(y)0, 則2.條件概率密度在條件Y= y的條件分布函數和條件概率密度為類似可得推導返回yxO11例4 設(X,Y)在區域G(如圖)上服從均勻分布，求條件 概率密度.解對于任意給定的值x (0 x1),在X=x條件下,有當x取其他值時，條件分布無意義！對于任意給定的值y (0y1),在Y=y條件下,有當y取其他值時，條件分布無意義！例5 設數X在區間(0,1)均勻分布,當觀察到X=x(0 x1)時，數Y在區間(x,1)上隨機地取值.求Y 的概率密度.解：對任給定的x(0 x1|Y=y例6 設(X,Y)的概率密度是分析: PX1|Y=y為此, 需求出 PX1|Y=1PX1|Y1

7、由于于是對y0, 故對y0, PX1|Y=y解(X,Y )概率密度 思考：邊緣分布與聯合分布、條件分布三者之間的關系？聯合分布邊緣分布條件分布聯合分布注意：二維正態分布的條件分布也是正態分布.（見P84） 教材上稱為“幾乎處處成立”，含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.定義 二維連續型隨機變量(X,Y)的獨立性:(2)定理 設隨機變量X與Y相互獨立，令 其中 為連續函數，則U與V也相互獨立(1)二維正態隨機變量X與Y相互獨立證: 必要性 對任何 x,y 有取X與Y相互獨立附：故將代入即得所以X與Y相互獨立充分性 圖例7 學生甲,乙到達教室的時間均勻分布在79時,設兩人到達的時刻相互獨立，求兩人到達教室的時間相差不超過5分鐘的概率解