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文檔簡介

1、機械電子學機械電子學陳陳學學超超Email: 2正動力學:正動力學:已知各個關節的作用力或力矩,各個關節的位移、速度,求得關節的加速度多剛體系統動力學公式多剛體系統動力學公式逆動力學:逆動力學:已知各個關節的位移、速度、加速度,各個桿件受到的外力,求各個關節所需要的驅動力或力矩2( )( , )( )TextM q qD q qG qJ f( , , ,)extqfq q f ( , , ,)extf q q q fn牛頓歐拉法牛頓歐拉法n空間矢量法空間矢量法n拉格朗日法拉格朗日法n凱恩(凱恩(KaneKane)法)法n3n牛頓歐拉法牛頓歐拉法n空間矢量法空間矢量法n拉格朗日法拉格朗日法n凱恩

2、(凱恩(KaneKane)法)法n4n牛頓歐拉法牛頓歐拉法n空間矢量法空間矢量法n拉格朗日法拉格朗日法n凱恩(凱恩(KaneKane)法)法n5n牛頓歐拉法牛頓歐拉法l這種方法是最直觀的方法,通過牛頓方程和歐拉方程求解多剛體系統動力學。l由于時間的限制,只介紹大體的計算流程,如果有疑問,可以自學具體的計算細節。6n基本公式基本公式牛頓方程:描述了剛體質心的平移運動歐拉方程:描述了剛體繞質心的旋轉運動7ccNIIcFmvcI是當坐標系原點在質心上時剛體的慣量n向向外迭代外迭代計算速度和加速度計算速度和加速度在已知了各個關節的角度、角速度、角加速度后,可以依次向外迭代,計算出所有剛體質心的線加速度

3、,繞質心的角速度、角加速度在桿件坐標系中的表示8ccNIIcFmvn作用作用在剛體上的力和力矩在剛體上的力和力矩計算出所有剛體質心的線加速度,繞質心的角速度、角加速度后,通過牛頓-歐拉公式便可求出作用在剛體上的力和力矩9iicciiiiNIIiicFmvn向內迭代向內迭代計算關節的力或力矩計算關節的力或力矩在計算出來所有剛體所受的凈外力和外力矩后,通過向內迭代,可以計算出相鄰剛體間的相互作用力,通過計算作用力在關節軸向的分量,便可求出關節力矩或力。10iT iiiineiT iiiife轉動關節移動關節n牛頓歐拉法牛頓歐拉法n空間矢量法空間矢量法n拉格朗日法拉格朗日法n凱恩(凱恩(KaneKa

4、ne)法)法n11參考文獻:參考文獻:nFeatherstone R.The acceleration vector of a rigid body J. IJRR, 2001, 20: 841nFeatherstone R. A Beginners Guide to 6-D Vectors (Part 1)J. IEEE Robotics & Automation Magazine, 2010, 17(3): 83-94.nFeatherstone R. A Beginners Guide to 6-D Vectors (Part 2)J. IEEE Robotics & A

5、utomation Magazine, 2010, 17(4): 88-99.12n主要分兩個部分介紹空間向量第一部分:什么是空間向量?它們如何工作?如何使用它們?第二部分:如何將空間向量的運算方式轉換成程序,求正逆動力學?13n主要分兩個部分介紹空間向量第一部分:什么是空間向量?它們如何工作?如何使用它們?第二部分:如何將空間向量的運算方式轉換成程序,解正逆動力學?14n既然一個剛體有6個自由度,那么為什么不用一個6維向量來表示它的運動與作用到它上的力呢?n優點:大大減少了代數運算量,只需更少的變量與更少的公式n如果將6維向量想成僅僅是3維向量的簡單疊加,那么就沒有理解其真正含義n6維向量法

6、其實是一種思考的方法,具有自有的物理含義與數學性質15n用3維向量解2個剛體系統的動力學16n用6維向量解2個剛體系統的動力學17n空間矢量法的兩種變量空間矢量法的兩種變量類型類型一種描述剛體的運動,表示為一種描述剛體受到的力,表示為變量上面的符號表示此變量為空間矢量,是一個6維向量,Plcker坐標系被用來描述空間矢量186mM6fFPlcker坐標系nPlckerPlcker坐標系坐標系首先需要建立一個笛卡爾坐標系,笛卡爾坐標系的位置與方位定義了Plcker坐標系,這兩種坐標系所描述的向量集合是1:1的映射關系19n定義定義如下三種單位矢量如下三種單位矢量: 中的元素代表在x,y,z方向上

7、的單位歐幾里德向量,這組單位向量定義了一個笛卡爾坐標系。 中的前三個元素分別表示繞ox,oy,oz軸的旋轉,后三個元素分別表示沿x,y,z軸的平移。 中的前三個元素分別表示繞x,y,z軸的力矩,后三個元素分別表示沿ox,oy,oz方向的力。20Ci, j, koxoyozxyz6Dd ,d ,d ,d ,d ,dMxyzoxoyoz6e ,e ,e ,e ,e ,eFCD設一個剛體的運動在笛卡爾坐標系中的表示為那么此運動在Plcker坐標系中表示為:21xyzijkOOxOyOzvvvvijkxOxyOyzOzOxxOyyOzzvvvvdddddd設一個剛體受到的作用力在笛卡爾坐標系中表示為那

8、么此作用力在Plcker坐標系中的表示為:22xyzffffijkOxOyOznnnOnijkOxxOyyOzzxOxyOyzOznnnffffeeeeee如果采用坐標向量的方式表示,那么運動與力的空間向量表示簡化為:或者為:23xyzOxOyOzvvvvOxOyOzxyznnnffffovvonff這種簡單的表示方式非常方便,也比較常用,但是缺點是看上去好像是三維向量的簡單疊加,容易使人誤解為空間向量是三維向量的簡單疊加,但是這種疊加其實只是書寫形式的疊加,空間向量有其自己的物理含義。nPlckerPlcker坐標變換坐標變換在進行動力學計算時,往往需要將空間向量在不同的坐標系之間進行轉換。

9、假設有兩個坐標系A和B,E是從坐標系A到坐標系B的旋轉矩陣,r是坐標系B的原點在坐標系A中的位置。24nPlckerPlcker坐標變換坐標變換設 , , , 為空間向量,分別表示在A和B坐標系中的運動、受力,那么轉換規則如下:其中 是將運動從坐標系A轉到坐標系B的轉換矩陣, 是將力從坐標系A轉到坐標系B的轉換矩陣,它們二者之間的關系為25AmBmAfBfBBAAmXm*BBAAfXfBAX*BAX*()BBTAAXXnPlckerPlcker坐標變換坐標變換 和 僅取決于坐標系B相對于坐標系A的相對位置其中:E是坐標系B在A中的姿態矩陣,r是坐標系B的原點在A中的位置。另外, 是斜對稱矩陣,

10、26BAE010X0E-r1*()BBTAAE01-rXX0E01000 xzyyzxzyxrrrrrrrrr rBAX*BAXrn空間矢量的微分空間矢量的微分當對一個在移動的Plcker坐標系中定義的矢量進行微分時,有如下的式子:A既是Plcker坐標系的名字,也是定義這個坐標系的坐標框架的名字, 是坐標框架A的速度在坐標系A中的表示27AAv()AAAAAdmdmvmdtdt*()AAAAAdfdfvfdtdtn空間矢量的微分空間矢量的微分上面兩式定義了兩種運算符 和 定義如下28*()AAAAAdmdmvmdtdt*()AAAAAdfdfvfdtdt0oovvv *0oTovvvv n空

11、間矢量的微分空間矢量的微分一種比較特殊的情況(也是用得比較多的情況),即運動與力都固定在某個坐標系上,它們的改變僅僅是因為坐標系本身的運動,那么V是坐標系的速度。29mvm *fvf n空間矢量的加速度空間矢量的加速度歐式空間的速度定義為剛體上一個固定點O的速度,即 ,加速度定義為剛體上固定點O的加速度,即 。 空間矢量法定義的速度為在空間中一個固定點測量的剛體的速度,加速度為空間速度的變化。30oddavvrrdtdtr r 空間速度的參考點在剛體上不是固定的,而是一些列變化的點,這是線加速度多出一項的原因n空間矢量的加速度空間矢量的加速度與傳統的加速度相比,空間加速度確實比較難以理解,但是

12、使用起來非常方便。假如兩個剛體B1和B2由一個關節連接,那么它們的速度有如下關系式加速度有如下關系式s為關節的轉軸方向矢量,q為關節角度3121vvsq 21aasqsqn剛體的空間慣量剛體的空間慣量空間慣量將速度 轉成動量 空間慣量為如果有N個剛體被固連在一起,那么有32hIv vhTcTmmImm Ic ccc11NtotiiIIn剛體的空間慣量剛體的空間慣量空間慣量是與10個量相關,質量1個,質心位置3個,剛體慣量6個。注意:傳統的慣量與位置無關,而空間慣量與質心位置相關。33TcTmmImm Ic ccc1n剛體的空間慣量剛體的空間慣量空間慣量遵循的運算法則:另外,剛體的機械能為34*

13、BBAAABIXI X*dIvIIvdt 12Ev Ivn運動方程運動方程一個速度為v,慣性為I的剛體的運動方程為: f 是作用在剛體上的合外力, a 是由于外力產生的加速度。35*()dfIvIavIvdt n運動約束運動約束相對速度:相對加速度:3621vvSq21aaSqSqn空間矢量運算法則總結空間矢量運算法則總結相對速度:如果剛體 與 的速度分別為 與 ,那么 相對于 的速度為合力:如果 和 作用于同樣的剛體上,那么它們等效于一個合力 作用力與反作用力:如果剛體 施加了力 到剛體 上,那么 施加一個力 到 上,這是牛頓第三定律的空間矢量形式3721relvvv1B2B1v2v1B2B

14、1f2ftotf12totfffff1B2B2B1Bn空間矢量運算法則總結空間矢量運算法則總結數量積:如果力 作用于速度為 的剛體上,那么該力所產生的功率為微分:運動的微分還是運動,力的微分還是力。如果 和 固定在速度為 的剛體上,那么 ,加速度:空間加速度是空間速度的微分。如果 ,那么合慣量:如果剛體 和 的慣量分別為 和 ,當這兩個剛體固連后組成的剛體的慣量為38f v fvmfvmv m *fvf 21relvvv21relaaa1B2B1I2I12totIIIn空間矢量運算法則總結空間矢量運算法則總結動量:速度為 ,慣量為 的剛體的動量為運動方程:作用于剛體上的合力為剛體動量的微分39

15、IvIv*()d IvfIavIvdt n主要分兩個部分介紹空間向量第一部分:什么是空間向量?它們如何工作?如何使用它們?第二部分:如何將空間向量的運算方式轉換成程序,解正動力學與逆動力學?40.au/roy/spatial/n空間矢量法的應用例子空間矢量法的應用例子逆動力學是計算給定加速度所需作用力的問題,是一個相對比較容易的問題,因此從這問題出發,理解空間矢量法在多剛體動力學求解中的應用41(mod, , , )IDel q q q n右側為求解逆動力學的Matlab代碼,采用了牛頓-歐拉遞歸算法n可以看出,程序非常簡明,這是3維向量難以實現

16、的42n模型數據結構模型數據結構model.NB:指定桿件的個數model.parent:描述桿件之間的連接關系,指定當前的連桿連接到的母連桿的編號model.Xtree:描述相鄰桿件之間的相對位置關系,與坐標系的建立、桿件的初始位置、桿件的幾何形狀相關model.pitch:表示關節的運動類型,如移動、轉動等model.m:桿件的質量model.c:桿件質心的位置model.I:桿件繞其質心的慣性張量矩陣,是一個3x3的對稱矩陣43n連接(連接( model.parent )連接圖描述了所有桿件間的連接關系。一個固定基座的多剛體系統采用如下幾步處理:固定基座編號為0,作為樹形結構的根剩余的剛

17、體從1到N連續編號,每個剛體的編號大于其母節點關節從1到N進行編號,第i個關節將第i個剛體連接到其母節點44n連接(連接( model.parent )當給剛體和關節編號完成后,便可以通過一個矩陣 描述剛體的連接, 為第i個剛體的母節點的編號,這個矩陣有如下性質:注意:無論是編號還是母節點矩陣都不是唯一的45( ) i0( ) iin幾何關系(幾何關系( model.Xtree )模型的幾何關系描述了每個關節在其剛體上的相對位置。為每個關節引入一對坐標系,分別固連與被這個關節連接的兩個剛體,比如 和46( ),i iFiFn幾何關系幾何關系 的求取根據關節類型不同而不同,有純旋轉關節、純平移關

18、節、螺旋關節47( )JXin幾何關系幾何關系( model.Xtree ) 是從坐標系 到坐標系 的轉換矩陣,其實是定義了兩個關節間的相對位置,這個量存儲于 中,即從坐標系 到 的轉換矩陣為48( )TXi( ) iF( ),i iFmod.el Xtree imod.( )Tel Xtree iXiiF( ) iF( )iiX( )( )( )iiJTXXi Xi( )( ( )0TXixlt r iIrI n關節模型(關節模型( model.pitch )如果 和 是經過關節j的速度與力,那么關節的數學模型由兩個量組成,轉換矩陣 與運動子空間矩陣S,S與關節軸的方向相關能量平衡方程49(

19、 )JiiivvvJivJifJXJiiiTiiJivS qS fiiJiJiqfvn運算法則運算法則50( )iiiivvs q( )iiiiiiaas qvq*BiiiiiifI avI v( )JiBiJjjifffTiiJis fiBif 是作用在剛體 上的凈力Jiif 是經過關節 的作用力( )ii是剛體 的子連桿上個關節的作用力+下個關節的反作用力=剛體的凈力n雅克雅克比矩陣比矩陣第一種形式:第二種形式:51bbvJ q( )biii k bvs q( )brootk b 是剛體 到之間的所有剛體集合12J.eeNsss自學雅克比矩陣的求解程序自學雅克比矩陣的求解程序bbbaJ q

20、J q自學加速度中分量自學加速度中分量 的求解的求解過程過程bJ q52n二二連桿模型連桿模型總共有兩個剛體,model.NBmodel.NB=2=2固定坐標系編號為0,第一個桿件編號為1,第二個桿件編號為2,model.parentmodel.parent = = 0 0 11 model.pitchmodel.pitch = = 1 1,1 1,1表示繞x軸旋轉53n二二連桿模型連桿模型 model.Xtreei100000010000001000model.1000100000010000001Xtree100000010000001000model.201010010001000000

21、1XtreeLL54n二二連桿模型連桿模型 model.m=1.0 1.0 質心坐標0model.101 / 2cL0model.202 / 2cL55n二二連桿模型連桿模型 慣量(對稱正定矩陣)10.0010.002model.10.0010.010.0030.0020.0030.01I10.0010.002model.20.0010.010.0030.0020.0030.01I56n二二連桿模型連桿模型利用現有程序對此模型求解正動力學與逆動力學Dynamics_test.mn牛頓-歐拉法與空間向量法均屬于動態平衡法,需要求解加速度與力的關系。拉格朗日法是功能平衡法,只需求解速度,而不必求解

22、內力57n拉格朗日算子n拉格朗日方程(廣義坐標系)58( , )( , )( )L q qT q qV q動能勢能dLLdtqq外力n拉格朗日方程推導演示笛卡爾坐標系中的拉格朗日方程推導自學廣義坐標系中的拉格朗日方程推導59在一個保守力場中有N個質點,第i個質點的坐標為 ,這個系統的動能為其中M是這個系統的自由度個數。當質點只在1維運動時,M=N。當質點在3維運動時,M=3N。60ix2112MiinTm x動能對速度的微分是質點的動量,即將動量對時間微分為61 iiTpxiiidpdTmxdtdtx在保守力場中,作用于質點的力是勢能對位置的微分,即根據牛頓定律可得62 iiVFxiiidpF

23、dt ()iiidTVdtxxi 為作用于質點的外力根據動能與勢能公式可得根據以上的結果可得630iTx 0iVx動能只與速度相關勢能只與位置相關()()()iiidTVTVdtxx定義 , L命名為拉格朗日算子,拉格朗日方程可寫為64()iiidLLdtxxLTVn二連桿模型首先求出質點的位置65111 111 10 xyrszrc221 121221 12 120 xyrsr szrcrcn二連桿模型再求出質點的速度66111 1 111 1 10 xyrczrs221 1 12 121221 1 1212120()()xyrcrczrsr sn二連桿模型設桿件的慣量為671111000000 xyzIIII2222000000 xyzIIIIn二連桿模型系統動能682221111122222221211()2211()()22zzTm y

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