1、1273 相平面法相平面法 相平面法是龐加萊相平面法是龐加萊(Poincare)于于1885年首先提年首先提出的，它是一種求解二階微分方程的圖解法。相出的，它是一種求解二階微分方程的圖解法。相平面法又是一種時域分析法，它不僅能分析系統(tǒng)平面法又是一種時域分析法，它不僅能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩，而且能給出系統(tǒng)運(yùn)動軌跡的的穩(wěn)定性和自振蕩，而且能給出系統(tǒng)運(yùn)動軌跡的清晰圖象。這種方法一般適用于系統(tǒng)的線性部分清晰圖象。這種方法一般適用于系統(tǒng)的線性部分為一階或二階的情況。為一階或二階的情況。37.3.1 相平面法的基本概念相平面法的基本概念 設(shè)一個二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程來描述：設(shè)一個二階系統(tǒng)可以用下

2、列常微分方程來描述： 0),(),(0122xdtdxxadtdxdtdxxadtxd),(xxfx ),(21221xxfdtdxxdtdx22112),(xxxfdxdx令令x = x1， dx/dt = x2 以以x1為自變量，以為自變量，以x2為因變量的一階微分方程。為因變量的一階微分方程。二階系二階系統(tǒng)常微分方程方程的解統(tǒng)常微分方程方程的解既可用既可用x與與t的關(guān)系來表示，也可的關(guān)系來表示，也可用用x2與與x1的關(guān)系來表示。實際上，看作一個質(zhì)點的運(yùn)動的關(guān)系來表示。實際上，看作一個質(zhì)點的運(yùn)動方程，則方程，則x1(t)代表質(zhì)點的位置，代表質(zhì)點的位置，x2(t)代表質(zhì)點的速度。代表質(zhì)點的速

3、度。4 用用x1、x2描述描述二階系統(tǒng)常微二階系統(tǒng)常微分方程方程的解分方程方程的解，也就是用質(zhì)，也就是用質(zhì)點的狀態(tài)來表示該質(zhì)點的運(yùn)動。點的狀態(tài)來表示該質(zhì)點的運(yùn)動。在物理學(xué)中，狀態(tài)又稱為在物理學(xué)中，狀態(tài)又稱為相相。 把由把由x1x2所組成的平面所組成的平面坐標(biāo)系稱為坐標(biāo)系稱為相平面相平面，系統(tǒng)的一，系統(tǒng)的一個狀態(tài)則對應(yīng)于相平面上的一個狀態(tài)則對應(yīng)于相平面上的一個點。個點。 當(dāng)當(dāng)t變化時，系統(tǒng)狀態(tài)在相變化時，系統(tǒng)狀態(tài)在相平面上移動的軌跡稱為平面上移動的軌跡稱為相軌跡相軌跡。xx0t1t2t3t4x0tt1t2t4t3(x, x0)5 繪制相平面圖可以用解析法、圖解法和實驗法。繪制相平面圖可以用解析法

4、、圖解法和實驗法。 1. 解析法解析法 解析方法一般用于系統(tǒng)的微分方程比較簡單或可解析方法一般用于系統(tǒng)的微分方程比較簡單或可以分段線性化的方程。應(yīng)用解析法求取相軌跡方程時以分段線性化的方程。應(yīng)用解析法求取相軌跡方程時一般有二種方法：一般有二種方法：一種是對式一種是對式直接進(jìn)行積分。直接進(jìn)行積分。顯然，這只有在上述方程可以進(jìn)行積分時才能運(yùn)用。顯然，這只有在上述方程可以進(jìn)行積分時才能運(yùn)用。另一種方法是先求出另一種方法是先求出x和對和對t的函數(shù)關(guān)系，然后消去的函數(shù)關(guān)系，然后消去t，從而求得相軌跡方程從而求得相軌跡方程。下面舉例加以說明。下面舉例加以說明。7.3.2 相平面圖的繪制相平面圖的繪制 而與

5、不同初始狀態(tài)對應(yīng)的一簇相軌跡所組成的圖而與不同初始狀態(tài)對應(yīng)的一簇相軌跡所組成的圖叫做叫做相平面圖相平面圖。 利用相平面圖分析系統(tǒng)性能的方法稱為利用相平面圖分析系統(tǒng)性能的方法稱為相平面法相平面法。6例例7-5 二階線性系統(tǒng)當(dāng)二階線性系統(tǒng)當(dāng) = 0時的微分方程式為時的微分方程式為02xxn xxdxxdn22222Axxn對上式積分，便得相軌跡方程對上式積分，便得相軌跡方程繪制相平面圖。繪制相平面圖。解：解：20220/xxAnxx0 xt07 2. 圖解法圖解法 目前比較常用的圖解法有兩種：等傾線法和目前比較常用的圖解法有兩種：等傾線法和 法。法。下面介紹等傾線法。等傾線法的基本思想是采用直線下

6、面介紹等傾線法。等傾線法的基本思想是采用直線近似。如果我們能用簡便的方法確定出相平面中任意近似。如果我們能用簡便的方法確定出相平面中任意一點相軌跡的斜率，則該點附近的相軌跡便可用過這一點相軌跡的斜率，則該點附近的相軌跡便可用過這點的相軌跡切線來近似。點的相軌跡切線來近似。 設(shè)系統(tǒng)的微分方程式為設(shè)系統(tǒng)的微分方程式為式中式中dx /dx表示相平面上相軌跡的斜率。若取斜率為表示相平面上相軌跡的斜率。若取斜率為常數(shù)，則上式可改寫成常數(shù)，則上式可改寫成 xxxfdxxd),(xxxf),(-等傾線方程等傾線方程8對于相平面上滿足上式的各點，經(jīng)過它們的相軌跡的對于相平面上滿足上式的各點，經(jīng)過它們的相軌跡的

7、斜率都等于斜率都等于a。若將這些具有相同斜率的點連成一線，。若將這些具有相同斜率的點連成一線，則此線稱為相軌跡的等傾線。給定不同的則此線稱為相軌跡的等傾線。給定不同的a值，則可在值，則可在相平面上畫出相應(yīng)的等傾線。相平面上畫出相應(yīng)的等傾線。xxxf),(9 利用等傾線法繪制相軌跡的一般步驟是：利用等傾線法繪制相軌跡的一般步驟是： (1) 先求系統(tǒng)的等傾線方程；先求系統(tǒng)的等傾線方程； (2) 根據(jù)等傾線方程在相平面上畫出等傾線分布圖；根據(jù)等傾線方程在相平面上畫出等傾線分布圖；在等傾線上各點處作斜率為在等傾線上各點處作斜率為a的短直線，則構(gòu)成相軌跡的短直線，則構(gòu)成相軌跡的切線方向場。的切線方向場。

8、 (3) 利用等傾線分布圖繪制相軌跡。即從由初始條利用等傾線分布圖繪制相軌跡。即從由初始條件確定的點出發(fā)，近似地用直線段畫出到相鄰一條等件確定的點出發(fā)，近似地用直線段畫出到相鄰一條等傾線之間的相軌跡。該直線段的斜率為相鄰兩條等傾傾線之間的相軌跡。該直線段的斜率為相鄰兩條等傾線斜率的平均值。這條直線段與相鄰等傾線的交點，線斜率的平均值。這條直線段與相鄰等傾線的交點，就是畫下一段相軌跡的起始點。如此繼續(xù)做下去，即就是畫下一段相軌跡的起始點。如此繼續(xù)做下去，即可繪出整個相軌跡曲線。可繪出整個相軌跡曲線。10 例例7-6 二階線性系統(tǒng)的微分方程式為二階線性系統(tǒng)的微分方程式為試用等傾線法繪制其相軌跡。試

9、用等傾線法繪制其相軌跡。022xxxnn xxxxfxnn22),( xxxnn22nnxx22故等傾線方程為故等傾線方程為解：由微分方程式可得解：由微分方程式可得或或等傾線是過相平面原點的一些直線。當(dāng)?shù)葍A線是過相平面原點的一些直線。當(dāng) = 0.5、 n = 1時的等傾線分布圖時的等傾線分布圖 :11假設(shè)由初始條件確定的點為圖中的假設(shè)由初始條件確定的點為圖中的A點。則過點。則過A點作斜率為點作斜率為 ( 1) + ( 1.2) / 2 = 1.1的直線，與的直線，與a = 1.2的等傾線交于的等傾線交于B點。再過點。再過B點作斜率為的點作斜率為的 ( 1.2 ) + ( 1.4) / 2 =

10、1.3 直線，與直線，與a = 1.4的等的等傾線交于傾線交于C點。如此依次作出各等傾線間的相軌跡線段，最后即點。如此依次作出各等傾線間的相軌跡線段，最后即得系統(tǒng)近似的相軌跡。得系統(tǒng)近似的相軌跡。nnxx22= 1/(a +1)xxa= 1，k = a= 2，k = 1a= 3，k = 1/2a= 1 2 3 1.2 1.4 6210 0.4 0.8ABC12 1）橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)軸應(yīng)選相同的比例尺，以便于根橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)軸應(yīng)選相同的比例尺，以便于根據(jù)等傾線斜率準(zhǔn)確繪制等傾線上一點的相軌跡切線；據(jù)等傾線斜率準(zhǔn)確繪制等傾線上一點的相軌跡切線； 2）在相平面的上半平面，由于在相平面的上半平面，由于x

11、 0，則，則x隨隨t增大增大而增加，相軌跡的走向應(yīng)是由左向右；在相平面的下而增加，相軌跡的走向應(yīng)是由左向右；在相平面的下半平面，由于半平面，由于x 0時，時，相軌跡沿該直線收斂于原點；當(dāng)相軌跡沿該直線收斂于原點；當(dāng)T 0時，上述微分方程又可以表示為時，上述微分方程又可以表示為xcxxbdxxd17其中其中k為等傾線的斜率。當(dāng)為等傾線的斜率。當(dāng)b2 4c 0，且，且c 0時，可時，可得滿足得滿足k = a的兩條特殊的等傾線，其斜率為的兩條特殊的等傾線，其斜率為令令 ，可得等傾線方程為，可得等傾線方程為axcxxbkxxbacx2422, 12, 12, 1cbbsak該式表明，特殊的等傾線的斜率

12、等于該等傾線上相軌該式表明，特殊的等傾線的斜率等于該等傾線上相軌跡任一點的切線斜率，即當(dāng)相軌跡運(yùn)動至特殊的等傾跡任一點的切線斜率，即當(dāng)相軌跡運(yùn)動至特殊的等傾線上時，將沿著等傾線收斂或發(fā)散，而不可能脫離該線上時，將沿著等傾線收斂或發(fā)散，而不可能脫離該等傾線。等傾線。 18 1）c 0，s2 0，系統(tǒng)相平面圖：，系統(tǒng)相平面圖： 由圖可見，圖中兩條特殊的等傾線是相軌跡，也由圖可見，圖中兩條特殊的等傾線是相軌跡，也是其它相軌跡的漸近線，此外作為相平面的分隔線，是其它相軌跡的漸近線，此外作為相平面的分隔線，還將相平面劃分為四個具有不同運(yùn)動狀態(tài)的區(qū)域。因還將相平面劃分為四個具有不同運(yùn)動狀態(tài)的區(qū)域。因此，此

13、，c 0時，時，相軌跡收斂并最終停止在軸上；當(dāng)相軌跡收斂并最終停止在軸上；當(dāng)b 0。并分以下幾種情況加以討論：并分以下幾種情況加以討論： 0 1。系統(tǒng)特征根為兩個互異負(fù)實根，系統(tǒng)的系統(tǒng)特征根為兩個互異負(fù)實根，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為單調(diào)形式，存在兩條特殊的等傾線，其零輸入響應(yīng)為單調(diào)形式，存在兩條特殊的等傾線，其斜率分別為斜率分別為121nns122nns當(dāng)初始點落在當(dāng)初始點落在 = s1x或或 = s2x直線上時，相軌跡沿著直線上時，相軌跡沿著該直線趨于原點；該直線趨于原點； 除此之外，相軌跡最終沿著除此之外，相軌跡最終沿著 = s1x的方向收斂至原點。的方向收斂至原點。xxxxx0 x= s2xx

14、= s1x22 = 1。系統(tǒng)特征根為兩個相等的負(fù)實根。與系統(tǒng)特征根為兩個相等的負(fù)實根。與 1相比，相軌跡的漸近線即特殊等傾線蛻化為一條，相比，相軌跡的漸近線即特殊等傾線蛻化為一條，不同初始條件的相軌跡歸結(jié)將沿著這條特殊的等傾線不同初始條件的相軌跡歸結(jié)將沿著這條特殊的等傾線趨于原點，系統(tǒng)相平面圖趨于原點，系統(tǒng)相平面圖: xx023 = 0。系統(tǒng)特征根為一對純虛根。系統(tǒng)的自系統(tǒng)特征根為一對純虛根。系統(tǒng)的自由運(yùn)動為等幅正弦振蕩。給定初始點，系統(tǒng)的相平由運(yùn)動為等幅正弦振蕩。給定初始點，系統(tǒng)的相平面圖為圍繞坐標(biāo)原點的一簇橢圓（參閱例面圖為圍繞坐標(biāo)原點的一簇橢圓（參閱例7-1），系），系統(tǒng)相平面圖統(tǒng)相平面圖:xx024 1 0