1、歷屆大學物理力學試題解答歷屆大學物理力學試題解答 共共21題題1、均勻細桿、均勻細桿AOB 的的A 端，端，B 端和中央位置端和中央位置O處各有處各有1個光滑的個光滑的小孔先讓桿在光滑的水平大桌面上繞小孔先讓桿在光滑的水平大桌面上繞 O 孔以角速度孔以角速度 w。作順時。作順時針方向旋轉如圖圖平面為大桌面。今將一光滑的細桿迅速針方向旋轉如圖圖平面為大桌面。今將一光滑的細桿迅速插入插入 A 孔，棍在插入前后無任何水平方向的移動，穩定后，在孔，棍在插入前后無任何水平方向的移動，穩定后，在迅速拔迅速拔A棍的同時，將另一光滑細棍如前所述插入棍的同時，將另一光滑細棍如前所述插入B 孔，再次孔，再次穩定后

2、，又在迅速拔出穩定后，又在迅速拔出 B 棍的同時，將另一光滑細棍如前所述棍的同時，將另一光滑細棍如前所述插入插入 O 孔。試求：最終穩定后，細桿孔。試求：最終穩定后，細桿AOB 繞繞O 孔旋轉方向和孔旋轉方向和旋轉角速度的大小。旋轉角速度的大小。 解：解：AOB m , l2231,121mlIImlIBAo AALLPrLLccA 0 ocAILLAAAIL 插入插入A孔前后孔前后AOB m , l0 ocAILLAAAIL 0041 AoAII插入插入 B 孔前后孔前后PrLLccB crcvPrc cLOAAoBmulIL2 AAcOAlru 202241 mlLB BBBIL 081

3、B B反向轉了反向轉了再次插入再次插入O孔前后孔前后BOOIL oooIL0081 BAOB m , l逆時針轉逆時針轉2、質量分別為、質量分別為m1 和和m2 的的 兩物塊與勁度系數為兩物塊與勁度系數為 k 的的 輕彈簧輕彈簧構成系統如圖，物塊與物體平面光滑接觸，右側水平外力構成系統如圖，物塊與物體平面光滑接觸，右側水平外力使彈簧壓縮量為使彈簧壓縮量為 l 。物體靜止。將右側外力撤去，系統質心。物體靜止。將右側外力撤去，系統質心 C 可獲得的最大加速度為可獲得的最大加速度為 ，可獲得的最大速度值為，可獲得的最大速度值為 。 m1 m2 k解：解：F m1N f fF m2cammkxN)(2

4、1 lx xmmkac21 21maxmmklac 質心質心 的最大加速度的最大加速度質心質心 的最大速度的最大速度 m1 m2 kF m2過平衡位置時的速度過平衡位置時的速度2max222121mvkl lmkv2max2 max212211max)(mmvmvmvc lmmkm212 = 03、如下圖。外表呈光滑的、如下圖。外表呈光滑的 剛體無轉動地豎直下落。圖中虛線對剛體無轉動地豎直下落。圖中虛線對應過剛體唯一地應過剛體唯一地 最低點部位最低點部位P1 的水平切平面。圖中豎直虛線的水平切平面。圖中豎直虛線P1 P2 對應著過對應著過 P1 點的鉛垂線，點的鉛垂線， C 為剛體的為剛體的

5、質心。設質心。設C與鉛垂線與鉛垂線P1 P2確定的平面即為鉛垂面，將確定的平面即為鉛垂面，將C到到P1 P2 的距離記為的距離記為 d ，剛，剛體質量為體質量為 m。剛體相對于過。剛體相對于過 C 點且與圖平面垂直的水平轉軸的點且與圖平面垂直的水平轉軸的 轉動慣量為轉動慣量為 JC . 設設 JCm d 2。剛體與水平地面將發生的碰撞為。剛體與水平地面將發生的碰撞為彈性碰撞，且無水平摩擦力，試在剛體中找出這樣的點部位，它彈性碰撞，且無水平摩擦力，試在剛體中找出這樣的點部位，它們在剛體與地面碰撞前、后的兩個瞬間，速度方向相反，大小不們在剛體與地面碰撞前、后的兩個瞬間，速度方向相反，大小不變。變。

6、CdP1P2v0解：解：CdP1P2N yvc)(0vmmvtNc 解：解：CdP1P2N y cJtdN 2022212121mvJmvcc 022vmdJmdJvccc 022vmdJmdc P0cv0vdvvc 4、 兩個質量相同的小球兩個質量相同的小球A 、B, 用長為用長為 2a 的無彈性且的不可伸的無彈性且的不可伸長的繩子聯結。開始時長的繩子聯結。開始時A、B 位于同一豎直線上，位于同一豎直線上， B在在A 的下方，的下方， 相距為相距為a，如下圖。今給，如下圖。今給A 一水平初速度一水平初速度v0 ， 同時靜止釋放同時靜止釋放B ，不計空氣阻力。且設繩子一旦伸直便不再回縮，問：經

7、過多長時不計空氣阻力。且設繩子一旦伸直便不再回縮，問：經過多長時間，間，A、B 恰好在同一水平線上？恰好在同一水平線上？ a v0ABCAB2 a解：解：001330cos2vavat 選擇質心系，角動量守恒選擇質心系，角動量守恒20v20v繩子拉緊前，繩子拉緊前， A 、B相對于質心的速度大相對于質心的速度大小為小為20v繩子拉緊后，繩子拉緊后， A 、B相對于質心做圓周運動，速度設為相對于質心做圓周運動，速度設為 vt t從釋放到繩子拉直所用時間從釋放到繩子拉直所用時間dtLdMcc CB20v vt t020v a v0ABCAB解：解：002t tt tt tmavmavmav 30s

8、in2220vmamav t t40vv t t226tavtt t 0232vavat t t 021)323(vattt 30 vt t vt t5、 某慣性系中有兩個質點某慣性系中有兩個質點A、B， 質量分別為質量分別為 m1、 m2 ，它，它們之間只受萬有引力作用。開始時兩質點相距們之間只受萬有引力作用。開始時兩質點相距 l0，質點，質點A靜止，靜止，質點質點B 沿連線方向的初速度為沿連線方向的初速度為 v0 .為使質點為使質點 B 維持速度維持速度v0不變，不變，可對質點可對質點 B 沿連線方向施一變力沿連線方向施一變力 F，試求：，試求：1兩質點的最大兩質點的最大間距，及間距為最大

9、時的間距，及間距為最大時的 F 值值2從開始時刻到間距最大的從開始時刻到間距最大的過程中，變力過程中，變力 F 作的功相對慣性系作的功相對慣性系0202lGmv G為引力常數為引力常數l0F v0m1m2AB解：解： 以以 m2 為為 S系系SSf0vm1Ffl0F v0m1m2ABSS解：解：1以以 m2 為為 S系系f0vm1Ffmax2102120121lmmGlmmGvm 機械能守恒機械能守恒020022max22lvlGmGml max221221lmmGrmmGF 2201220024)2(GmlmvlGm l0F v0m1m2ABS2S系中系中當當 l = lmax 時，時，m1

10、的速度的速度v =v0由動能定理，對由動能定理，對m1+ m2 202202121)(21vmvmmWWfF 一一對對 max0llfrdfW一對一對f0vm1drrmmGll max0221021max21lmmGlmmG 202202121)(21vmvmmWWfF 一一對對021max21lmmGlmmGWf 一一對對202202121)(21vmvmmWF 021max21lmmGlmmG 6、質量為、質量為 M 的剛性均勻正方形框架，在某邊的中點開一個小缺口的剛性均勻正方形框架，在某邊的中點開一個小缺口，缺口對質量分布的影響可以忽略。將框架放在以紙平面為代表的，缺口對質量分布的影響可

11、以忽略。將框架放在以紙平面為代表的光滑水平面后，令質量為光滑水平面后，令質量為m 的剛性小球在此水平面上從缺口處以的剛性小球在此水平面上從缺口處以速度速度 v 進入框內，圖中進入框內，圖中v 的方向的角的方向的角 =45 ，設小球與框架發生，設小球與框架發生的碰撞均為無摩擦力的彈性碰撞，試證：小球必將通過缺口的碰撞均為無摩擦力的彈性碰撞，試證：小球必將通過缺口離開框架?？蚣苊窟呴L為離開框架?？蚣苊窟呴L為a，那么小球從進入框架到離開框，那么小球從進入框架到離開框架，相對于水平面的位移為：架，相對于水平面的位移為：vmMvam)(22 v解：解： 1 vv a222)(mMrmrMrmMc )(.

12、mMrmrMrmMc vMmmrVCc . vv 小小 球在框架內運動的時間為球在框架內運動的時間為 TavvaT22224 在在T 時間間隔內，質心的位移為時間間隔內，質心的位移為avvMmmTvSc22 vvMmma )(22 vv )(mMrmrMrmMc )(mMrmrMSrmMc MmMmrrr 0 mMrmmmcrmMrmrMSr )(vvMmmaSrm)(22 7、小滑塊、小滑塊A 位于光滑水平桌面上，小滑塊位于光滑水平桌面上，小滑塊 B 處于位于桌面上處于位于桌面上的光滑小槽中，兩滑塊的質量均是，用長為的光滑小槽中，兩滑塊的質量均是，用長為L ，不可伸長、，不可伸長、無彈性的輕

13、繩連接。開始時無彈性的輕繩連接。開始時A、B 間的距離為間的距離為 L/ 2, A、B 間的間的連線與小槽垂直如圖連線與小槽垂直如圖 。今給滑塊一沖擊，使之獲得平行。今給滑塊一沖擊，使之獲得平行于槽的速度于槽的速度v，求滑塊，求滑塊 B 開始運動時的速度。開始運動時的速度。 y解：解：y 方向動量守恒方向動量守恒ymvmvmv120 A 對對B 原位置角動量守恒原位置角動量守恒 cossin2110LmvLmvLmvyx yv1xv12L0v B A L3 yxmvmvmv1103 2v 以以 B 為參照系，為參照系，A 相對于相對于B 的運動為以的運動為以 B 中心的圓，中心的圓， A 相相

14、對于對于B 的速度為的速度為v vvv 21 211cossinvvvvvyx vvx 2310273vv ymvmvmv120 yxmvmvmv1103 2121vvvy 2L0v y B Ayv1xv1 L122v Av B L2vxv1yv18、長為、長為 l ，質量為，質量為m 的勻質細桿，置于光滑水平面上，可繞過桿的勻質細桿，置于光滑水平面上，可繞過桿的中點的中點 O 的光滑固定豎直軸轉動，初始時桿靜止。有一質量與光的光滑固定豎直軸轉動，初始時桿靜止。有一質量與光滑桿相同的小球沿與桿垂直的速度滑桿相同的小球沿與桿垂直的速度 v 飛來，與桿碰撞并粘在桿端飛來，與桿碰撞并粘在桿端點上，如

15、圖。點上，如圖。1定量分析系統碰撞后的運動狀態。定量分析系統碰撞后的運動狀態。2假設假設去掉固定軸，桿中點不固定，再求系統碰撞后的運動狀態。去掉固定軸，桿中點不固定，再求系統碰撞后的運動狀態。 v m m C解：解： 1角動量守恒角動量守恒 )41121(222mlmllmv lv23 以以 3v/2l 為角速度做勻角速轉動為角速度做勻角速轉動 O v m C去掉固定軸，桿中點不固定去掉固定軸，桿中點不固定平動轉動平動轉動桿小球系統，動量守恒桿小球系統，動量守恒cmvmv2 2vvc 桿小球系統，外力矩為零，角動量守恒，桿小球系統，外力矩為零，角動量守恒， C新質心新質心C位置位置402lmm

16、mlm 對新質心對新質心C )(421ccJJlmv O v m C C4l對新質心對新質心C )(421ccJJlmv221)4(121lmmlJc 2487ml 平行軸定理平行軸定理22)4(lmJc lv56 系統的質心以系統的質心以 v/2 速度平動，速度平動，系統繞過質心的軸以系統繞過質心的軸以 6v/5l 為角速度做勻角速轉動。為角速度做勻角速轉動。9、 車廂內的滑輪裝置如下圖，平臺車廂內的滑輪裝置如下圖，平臺 C 與車廂一起運動，滑輪與車廂一起運動，滑輪固定不轉動，只是為輕繩提供光滑的接觸。物塊固定不轉動，只是為輕繩提供光滑的接觸。物塊A 與平桌面摩與平桌面摩擦系數擦系數 m0.

17、25，A 的質量的質量 mA 20kg，物塊，物塊 B 的質量的質量 m B 30 kg 。今使車廂沿水平方向朝左勻加速運動，加速度。今使車廂沿水平方向朝左勻加速運動，加速度 a02m/s2 ，假定穩定后繩將傾斜不晃，假定穩定后繩將傾斜不晃,試求繩子張力試求繩子張力T。CAB0a解：解： mA gN f T f * mB g f *Ta以車廂為參照系，引入慣性力以車廂為參照系，引入慣性力amgmamTAAA 0ABamTgmamBBB 22220BABAmmmmaggaT 0220 125.4Na純滾動無滑動的滾動純滾動無滑動的滾動cvAB Rvc 接觸點對地的速度為接觸點對地的速度為零零 R

18、ac 質心的速度為質心的速度為cv質心的加速度為質心的加速度為ca相對于質心系的角速度為相對于質心系的角速度為 相對于質心系的角加速度為相對于質心系的角加速度為 10、半徑為、半徑為R 的圓環靜止在水平地面上。的圓環靜止在水平地面上。 t 0 時刻開始以恒時刻開始以恒定角加速度定角加速度 沿直線純滾動。任意時刻沿直線純滾動。任意時刻 t 0，環上最低點，環上最低點 A 的加速度的大小為的加速度的大小為 , 最高點最高點 B 的加速度的大小為的加速度的大小為。 cvAB解：解： 質心系中質心系中最低點最低點A，地面系中，地面系中22 RRvan 22tR Rat cttaaa Rat 向左向左

19、Ra c向右向右0 ta22ntRa 22tRa 合加速度的大小合加速度的大小ta cvAB最高點最高點Bcttaaa Raact Rat2 22tRan 2222)()2(tRRa 424tR 純滾動無滑動的滾動純滾動無滑動的滾動cvAB Rvc 接觸點對地的速度為接觸點對地的速度為零零 Rac 質心的速度為質心的速度為cv質心的加速度為質心的加速度為ca輪子上一點相對于質心系的角速度為輪子上一點相對于質心系的角速度為 輪子上一點相對于質心系的角加速度為輪子上一點相對于質心系的角加速度為 11、半徑為、半徑為R 的圓環靜止在水平地面上。的圓環靜止在水平地面上。 t 0 時刻開始以恒時刻開始以

20、恒定角加速度定角加速度 沿直線純滾動。任意時刻沿直線純滾動。任意時刻 t 0，環上最低點，環上最低點 A 的加速度的大小為的加速度的大小為 , 最高點最高點 B 的加速度的大小為的加速度的大小為。 cvAB解：解： 質心系中質心系中最低點最低點A，地面系中，地面系中22 RRvan 22tR Rat cttaaa Rat 向左向左 Ra c向右向右0 ta22ntRa 22tRa 合加速度的大小合加速度的大小ta cvAB最高點最高點Bcttaaa Raact Rat2 22tRan 2222)()2(tRRa 424tR 22 RRvan 22tR Rat 12、一長、一長 L=4.8m 的

21、輕車廂靜止于光滑的水平軌道上，固定于車的輕車廂靜止于光滑的水平軌道上，固定于車廂地板上的擊發器廂地板上的擊發器 A 自車廂中部以自車廂中部以 u0 = 2m/s 的速度將質量為的速度將質量為 m1 = 1kg 的物體沿車廂內光滑地板彈出，與另一質量為的物體沿車廂內光滑地板彈出，與另一質量為 m2 =1 kg 的物體碰撞并粘在一起，此時的物體碰撞并粘在一起，此時 m2 恰好與另一端固定于車廂恰好與另一端固定于車廂的水平位置的輕彈簧接觸，彈簧的彈性系數的水平位置的輕彈簧接觸，彈簧的彈性系數 k = 400N/m ，長度，長度l =0 .30m ，車廂和擊發器的總質量，車廂和擊發器的總質量 M =

22、2kg 求車廂自靜止至彈簧求車廂自靜止至彈簧壓縮最甚時的位移不計空氣阻力，壓縮最甚時的位移不計空氣阻力， m1 和和m2 視作質點視作質點 解：解：車車m1+m2 系統動量守恒系統動量守恒001 MVumAm1m20u+Vm1+m2 系統動量守恒系統動量守恒01uMmV ummum)(2101 )(2101mmumu Am1m20u+V令令m1從被彈出到與從被彈出到與m2 碰撞結束所用的時間為碰撞結束所用的時間為 t m1相對車廂的位移為相對車廂的位移為)2(lL m1相對車廂的速度為相對車廂的速度為 u0+VtuVlL )(200)2(uVlLt )2(01lLuVVtVX )2()2(11

23、00101lLMmmlLuuMmMum 在在 t 內，車廂向左的位移為：內，車廂向左的位移為：車車m1+m2彈簧系統機械能守恒彈簧系統機械能守恒彈簧壓縮最甚時，彈簧壓縮最甚時，m1、m2 速度為零。車廂相對地面也靜速度為零。車廂相對地面也靜止止22122)(2121)(21ummMVlk 212101)11(1mmMkuml 在在m1和和m2與彈簧碰撞的過程中，全部系統的動量守恒與彈簧碰撞的過程中，全部系統的動量守恒0)()()()(2121 tMVtummMVummVummMtVtu )()()(21A)(tu)(tV)()()(21tVmmMtu A)(tu)(tV設設m1和和m2與彈簧碰

24、撞所用的時間為與彈簧碰撞所用的時間為 t 在在 t 內，內， m1和和m2相對車廂的速度為相對車廂的速度為 u(t)()()(tutVtu )()()(21tVmmMtV )()(2121tVmmMmm ldttut 0)(20)(XdttVt lmmMmmX )(212122121012121)11(1mmMkumMmmmm 車廂的總位移為車廂的總位移為 X21XXX )2(11lLMmm 2121012121)11(1mmMkumMmmmm X= 0.75(m)A)(tu)(tV13、 車廂內的滑輪裝置如下圖，平臺車廂內的滑輪裝置如下圖，平臺 C 與車廂一起運動，滑輪與車廂一起運動，滑輪固

25、定不轉動，只是為輕繩提供光滑的接觸。物塊固定不轉動，只是為輕繩提供光滑的接觸。物塊A 與平桌面摩與平桌面摩擦系數擦系數 m0.25，A 的質量的質量 mA 20kg，物塊，物塊 B 的質量的質量 m B 30 kg 。今使車廂沿水平方向朝左勻加速運動，加速度。今使車廂沿水平方向朝左勻加速運動，加速度 a02m/s2 ，假定穩定后繩將傾斜不晃，假定穩定后繩將傾斜不晃,試求繩子張力試求繩子張力T。CAB0a解：解： mA gN f T f * mB g f *Ta以車廂為參照系，引入慣性力以車廂為參照系，引入慣性力amgmamTAAA 0ABamTgmamBBB 22220BABAmmmmagga

26、T 0220 125.4NaP1 v1P2cab行星繞恒星的橢圓運動行星繞恒星的橢圓運動一、能量和角動量一、能量和角動量)()(21camvcamv caMmGmvcaMmGmv 22221211由由由由222241bGMcvv GMabcav2222)( )(21cacavv 222bca aGMmbvcamL 2)(P1 v1P2cabGMabcav2222)( caMmGmvE 2221aGMm2 222bca 二、橢圓在二、橢圓在 P1 點的曲率半徑為點的曲率半徑為ab2 三、橢圓軌道的偏心率為三、橢圓軌道的偏心率為abaace22 四、軌道按能量的分類四、軌道按能量的分類 E 0，那

27、么偏心率，那么偏心率 e 0，那么偏心率，那么偏心率 e1， 質點的運動軌道為雙曲線。質點的運動軌道為雙曲線。以地球為例：以地球為例： rmaxU(r)REE100 r2221 khmEe14、行星原本繞著恒星、行星原本繞著恒星S 做圓周運動。設做圓周運動。設S 在很短的時間內發在很短的時間內發生爆炸，通過噴射流使其質量減少為原來的質量的生爆炸，通過噴射流使其質量減少為原來的質量的 g 倍，行星倍，行星隨即進入橢圓軌道繞隨即進入橢圓軌道繞S 運行，試求該橢圓軌道的偏心率運行，試求該橢圓軌道的偏心率 e 。提。提示記橢圓的半長，半短軸分別為示記橢圓的半長，半短軸分別為A、B ，那么，那么)22A

28、BAe 解：變軌后解：變軌后 P 或為近地點，或為遠地點或為近地點，或為遠地點對圓軌道對圓軌道 P 點：點：P1 v1P2C202)(0CAmGMCAmv 對橢圓軌道對橢圓軌道 P1 點：點：202)(0CAmMGmv AB2 222CBA S v0PAB先考慮先考慮 P 為近地點，后考慮為近地點，后考慮P 為遠地點的情況為遠地點的情況202)(0CAmGMCAmv 202)(0CAmMGmv AB2 222CBA 1)( CA 1)(2 CAABACABAe 22P1 v1P2C 1ACA 1e202)(0CAmGMCAmv 對對P2 點點202)(0CAmMGmv 1 ACAP1 v1P2

29、C因為因為 1 ，因此上式不成立，因此上式不成立 。故故 行星變軌后不可能處于行星變軌后不可能處于P2點，只能處于點，只能處于P1 點。點。解二：解二：)()(21CAmvCAmv CAMmGmvCAMmGmv 22221211橢圓軌道的角動量橢圓軌道的角動量P1 v1P2CAGMmBvCAmL 2)(圓軌道的角動量圓軌道的角動量RGMmmvRL0 CAR 0MM CAAB 2 222CBA ABAACe22 P1 v1P2CAB 1e1)( ACA角動量守恒角動量守恒AMGmBL0 )(0CAGMm 15、一個質量為一個質量為m 的衛星繞著質量為的衛星繞著質量為 M ，半徑為，半徑為 R 的

30、大星體的大星體作半徑為作半徑為 2R 的圓運動。遠處飛來一個質量為的圓運動。遠處飛來一個質量為 2m，速度為，速度為 的小流星，它恰好沿著衛星的運動方向的小流星，它恰好沿著衛星的運動方向追上衛星并和衛星發生激烈碰撞，結合成一個新的星體，作用追上衛星并和衛星發生激烈碰撞，結合成一個新的星體，作用時間非常短。假定碰撞前后位置的變化可以忽略不計，新星的時間非常短。假定碰撞前后位置的變化可以忽略不計，新星的速度仍沿原來的方向，速度仍沿原來的方向，（1）用計算表明新的星體的運動軌道類型，算出軌道的偏心）用計算表明新的星體的運動軌道類型，算出軌道的偏心率率e（2）如果用小流星沿著衛星的速度的反方向發生碰撞

31、，算出）如果用小流星沿著衛星的速度的反方向發生碰撞，算出此時新星體的軌道的偏心率。給出新星體能否與大星體碰撞的此時新星體的軌道的偏心率。給出新星體能否與大星體碰撞的判斷。判斷。RGMv 解：解： M R 2R m 2m(1) 碰撞前衛星的速度碰撞前衛星的速度)2()2(202RvmRMmG RGMv20 M R 2R m 2m小流星與衛星碰撞，動量守恒小流星與衛星碰撞，動量守恒vmmRGMmRGMm)2(22 RGMv RGMv624 新星體的能量新星體的能量RmMGvmE2)3()3(212 04 . 52)3( RmGM橢圓軌道橢圓軌道aGMmE2 比照比照Ra4 . 5 R2 在近地點在

32、近地點 a63. 0 arae近近偏心率偏心率 M R 2R m 2mRGMv (2) 小流星與衛星反方向碰撞，動量守恒小流星與衛星反方向碰撞，動量守恒vmmRGMmRGMm )2(22RGMv23122 新星體的能量新星體的能量RmMGvmE2)3()3(212 02 . 12)3( RmGM橢圓軌道橢圓軌道aGMmE2 比照比照Ra2 . 1 R2 M R 2R m 2mRGMv Ra2 . 1 R2 a在遠地點在遠地點67. 0 aare新星與新星與 M 在近地點時的距離在近地點時的距離RRrar 4 . 02近近兩者發生碰撞兩者發生碰撞16、質量為、質量為2m 的勻質圓盤形滑輪可繞過中

33、心的勻質圓盤形滑輪可繞過中心O 并與盤面垂直并與盤面垂直的水平固定光滑軸轉動，轉軸半經線度可忽略，物體的水平固定光滑軸轉動，轉軸半經線度可忽略，物體1、2的質的質量分別為量分別為m 和和2m ，它們由輕質、不可伸長的細繩繞過滑輪掛，它們由輕質、不可伸長的細繩繞過滑輪掛在兩側。細繩與滑輪間的摩擦系數處處相同，記為在兩側。細繩與滑輪間的摩擦系數處處相同，記為 m，開始，開始時，滑輪和兩物體均處于靜止狀態，而后假設時，滑輪和兩物體均處于靜止狀態，而后假設m 0那么滑輪那么滑輪不會轉動；假設不會轉動；假設m 0，但較小時，滑輪將會轉動，同時與繩，但較小時，滑輪將會轉動，同時與繩之間有相對滑動；當之間有

34、相對滑動；當 m 到達某臨界值到達某臨界值m0 時，滑輪與繩之間的時，滑輪與繩之間的相對滑動剛好消失，試求相對滑動剛好消失，試求m0 值。值。T2T1 m1 g m2 g解：解：amgmT111 amTgm222 mm 1mm22 212221mRJRTRT Ra T2T1 m1 g m2 g解：解：amgmT111 amTgm222 mm 1mm22 212mRJRTRT Ra mamgT 1maTmg222 maTT 12ga41 mgT451 mgT232 繩子的質量忽略不計繩子的質量忽略不計 0iF0 ddTTdTdf )()( 2)(2)( dTddTdN22sin dd2sin)(

35、2sin)( dTddTdN TddN 對臨界對臨界 值值 dNdf0 NdT ( ) dfd 2 dT ( d )2cos)(2cos)( dTdfddT TddT0 dTdT0 0021dTdTTT 012ln TT 012eTT 56ln10 dTTdTdf )()( TddN dNdf0 mgT451 mgT232 17、光滑的平面上整齊地排列著一組長為、光滑的平面上整齊地排列著一組長為 l,質量為質量為m 的均勻的均勻 細桿細桿， 桿的間距足夠大。桿的間距足夠大。 現有一質量現有一質量 為為 M 的小球以垂直于桿的的小球以垂直于桿的 速度速度 V0 與桿的一端做彈性碰撞，隨著細桿的旋

36、轉，桿的另一端又與小與桿的一端做彈性碰撞，隨著細桿的旋轉，桿的另一端又與小球做彈性碰撞，而后小球相繼再與第二桿、第三桿球做彈性碰撞，而后小球相繼再與第二桿、第三桿.相碰。當相碰。當 m/M 為何值時，為何值時， M才能仍以速度才能仍以速度 V0 穿出細桿陣列？穿出細桿陣列？0V m , lM解：解：cmVMVMV 0由動量守恒由動量守恒由角動量守恒由角動量守恒 cJlMVlMV2202121mlJc 由動能守恒由動能守恒2222212121210 JmVMVMVcV = VccmVMVMV 0 cJlMVlMV2202222212121210 JmVMVMVcV = Vc由由 得：得：lVc6

37、 代入代入21 mM18、將勁度系數為、將勁度系數為 k，自由長度為，自由長度為L，質量為，質量為m 的均勻柱形圓的均勻柱形圓柱彈性體豎直朝下，上端固定，下端用手托住。柱彈性體豎直朝下，上端固定，下端用手托住。1設開始時彈性體處于靜止的平衡狀態，其長度恰好為設開始時彈性體處于靜止的平衡狀態，其長度恰好為L,試求此時手上的向上托力。試求此時手上的向上托力。2而后將手緩慢向下移動，最終與彈性體別離，試求其間而后將手緩慢向下移動，最終與彈性體別離，試求其間手的托力所作的功手的托力所作的功W。解解:(1) 取下面一段研究取下面一段研究0 F0TG它處于靜止的平衡狀態它處于靜止的平衡狀態T GF00Fm

38、gLyL 取取 一微元一微元dy計算其彈性系數計算其彈性系數將圓柱看做由許多的小段將圓柱看做由許多的小段 dy 串聯而成串聯而成nkkkk111121 0 y F0 y y dydyLkdy 1kyLkdyd TT+dT對微元對微元dy， 設伸長為設伸長為 dx xx xddykT x xddkyL yLkTdd x xyFmgLyLLkd)(10 其總伸長為其總伸長為 LyFmgLyLLk00d)(1dx xx x令令 x x 為零為零0d)(100 LyFmgLyLLkx xmgF210 2問問 中中 x 為為 LLyFmgLyLLk000d)(1dx xx x)21(10LFmgLLk kFkmg02 x xx xkmgF 210令令F 0mgk210 x x 00dx xx xFWx xx xd)21(20 kmgmgkkmg8)(2 19、如下圖，光滑水平面上有一半徑為、如下圖，光滑水平面上有一半徑為R的固定圓環的固定圓環，長，長2l 的勻質細桿開始時繞著中心的勻質細桿開始時繞著中心C點旋轉，點旋轉，C點靠點靠在圓環上，且無初速度，假定此后細桿可無相對滑動在圓環上，且無初速度，假定此后細桿可無相對滑動的繞著圓環外側運動，直到細桿的一端與環接觸后彼的繞著圓環外側運動，直到細桿的一端與環接觸后彼此別離，細桿與圓環之間的摩擦因數此別離，細桿與圓環之間的摩擦因數