1、食品安全指數（FSI）數學建模與評價摘 要：論文針對為不同種類的食品建立綜合食品安全指數的問題，分析并確定了影響食品安全指數（Food Safety Index）的三個基本要素，即食品衛生檢測合格率、食品有害物質影響和食品營養價值。在此基礎上建立了食品安全 指數模型。首先，用分層次建模的方法建立了一個基本的線性分式模型。然后利用現有統計數據進行定量分析，遵循同類相比原則，體現各指標的相對性，從而使得不同種類食品之間的安全程度能夠縱向比較。其次，引入權重系 數，對該線性分式模型的參數進行計算估計和改進。再次，根據標準化原則，在計算某種食品的標準安全指數時只 需把其影響因素值和其權重系數相乘，便可

2、以使得對不同類型食品的評價建立在一個公平的基礎上。論文提出的模 型可以根據不同人群的需要進行變動，從而應用范圍更為廣泛。最后，論文用量化因子乘以安全指數作為修正項對 模型進行修正，既考慮了各個因素之間的相互影響，也準確地體現出反饋效應對模型系統的影響。關鍵詞：食品安全指數；食品安全檢測；民生指數；食品不安全因素；食品衛生檢測合格率1 問題的提出 近年來，食品安全問題越來越受到全社會的關注。“民以食為天”，食品安全關系人民群眾生活，關系 社會穩定和諧。食品安全重大事件甚至可能損害國家形象、影響對外交往及經濟的發展。所以，如何提高食 品的安全程度，讓民眾吃得放心，已成為當前各級政府及相關部門急待解

3、決的民生問題之一，也是實現科學 發展觀的重要舉措。為了能客觀、定量、通俗、概括性地反映某地區的食品安全現狀，及時發現食品安全領域中存在的問題，幫居民合理選擇安全衛生的食品，保障公眾安全健康，筆者在大量研究現有食品安全評價體系的基礎上提 出了一種食品安全指數（Food Safety IndexFSI）數學模型，力求通用簡單地反映食品安全中的主要問題且為 管理部門和大眾容易接受，為政府及相關管理機構建立科學的食品安全信息發布和預警體系提供科學的規律 與方法，為政府定期發布權威的“食品安全指數” 提供決策依據，加強對有毒有害物質的預警和食品安全重 大事件的防御，利用這一指數控制食品風險并提高生活質量

4、。使它成為和消費者物價指數（CPI），空氣污染 指數那樣有較大影響和指導意義的“民生指數”。有關部門可以定期或不定期對主要食品的質量和所含有毒 有害物質進行常規抽檢，獲取與食品安全有關的相關數據，利用本文提出的數學模型，計算出食品安全指數， 定期向社會公布。為政府、企業、消費者提供科學權威的食品安全指數是本論文的主旨所在。2 問題的分析 廣義的食品安全綜合評價指數包括食品數量安全指數、食品質量安全指數和食品可持續安全指數。其中食品數量安全指數包括人均熱能日攝入量、糧食總產量波動系數、糧食自給率、年人均糧食占有率和低收入 階層食品安全保障水平；食品可持續安全指數包括人均耕地、人均水資源量、水土流

5、失面積增加和森林覆蓋 率。可以看出以上兩種均屬于國家調控的范圍，屬于國家戰略安全問題，而本文僅需要對產品本身的安全給 以關注，關心食品本身的質量從而指導消費者合理正確的購買，因此，本文所述的食品安全就是指食品的質 量安全。為了敘述方便，對食品安全研究中的相關術語給出定義。食品安全：對食品按其原定用途進行制作和食用時不會使消費者健康受到損害的一種擔保。包括食品衛 生檢測總體合格率、食品有害物質影響以及食品營養價值。食品衛生檢測總體合格率：食品衛生抽檢合格數與總抽檢數之比。從總體上反應了食品的衛生狀況，是 食品質量安全的一個基本指標。食品不安全因素：即食品有害物質，主要分為兩類，即化學性危害因素和

6、生物性危害因素。 化學性有害物質包括： 環境污染：無機物污染如汞，鎘，鉛等重金屬以及一些放射性物質。有機物污染如二噁英，多環芳烴，多氯聯苯等工業化合物及副產品。 農藥、獸藥殘留：農藥，獸藥，飼料添加劑中含有的對人類健康構成威脅的或者微量無害過量有害的有機物。 食品添加劑：為了有助于加工，包裝，運輸，儲藏過程中保持食品的營養成分，增強食品的感官性狀，適當使用一些食品添加劑是必要的，但是如果大于最低有效水平，則會給食品帶來毒性，影響食品的安全性， 危害人體健康。生物性有害物質包括： 各種生物因素直接或間接地引起食品的危害，主要包括各種生物材料甚至是食品加工的原料的某些有害成分，由于處理不當，殘留在

7、食品中，影響食品質量或造成安全危害，各種有害微生物，寄生蟲等，尤其是 食品源病原菌或某些真菌的毒素等污染食品，引起食品安全危害。食品營養價值：食品本身含有對人體有益的物質。包括動物性食品提供熱能比和優質蛋白質所占總蛋白 質比重。動物性食品提供熱能比是動物性食品提供的熱能占總熱能的比重；優質蛋白質所占總蛋白質的比重 可以反應出膳食結構中蛋白質的水平。平衡膳食：強調由多種天然食物組成的膳食，可提供人體基本的營養需要，在支持正常發育、保持合適 體重、預防營養不良的同時，減少同營養過剩相關疾病的發生。平衡膳食理論特別強調要避免過量消費在慢 性非傳染性疾病的發生中有潛在不良影響的食品與營養素。通過閱讀大

8、量的資料，我們獲知，影響食品安全的主要因素有：食品衛生監測合格率，致病病原菌抽檢 合格率，工業源污染物抽檢合格率，各種毒素類抽檢合格率，食品添加劑抽檢合格率，化學農藥、獸藥殘留 抽檢或普查合格率，熱能適宜攝入值，優質蛋白質所占比重，脂肪所占熱能比以及各微量元素等等。在如此多的因素中，本論文的研究思路是：通過聚類分析，把其中的因素按屬性進行合并，從而得出 食品衛生監測合格率、食品有害物質影響和食品營養價值為定量計算食品安全指數的三個基本要素。在下文 中，我們將首先考慮各個因素的決定情況以及它們之間相互的影響來加權分析從而得出食品安全指數。再通 過膳食結構的研究，從而確定更加綜合的食品安全指數。3

9、 模型假設 （1）本文所研究的有毒有害物質指的是對人體影響很大或者在食品中相對含量較大的物質，忽略對人體 影響很小或者在食品中含量很少的物質。（2）假設居民平均日攝入量不發生劇大變化，即相當長一段時間內居民的飲食結構不發生大的變化。 （3）假設各種有毒物質對人體的傷害不存在相互促進性，即某幾種物質同時存在，并不會引起某種得毒性比其單獨存在時的毒性強很多。4 模型的建立與求解 4.1 食品安全指數模型相關因素分析為了研究的方便，我們把食品衛生監測合格率、食品有害物質和食品營養價值作為定量計算食品安全指數 的三個基本要素，并詳細研究哪些指標又影響這三個基本因素，進而統籌分析，建立合理的模型。（1）

10、食品衛生安全合格率的分析 在食品投放市場之前，質檢部門都會對一定樣本數量的食品進行抽檢，國家相關法律規定，食品被抽檢的合格率要不低于國家標準的的合格率才能上市銷售，因此，食品的質檢合格率是衡量食品安全指數的一個 重要指標。食品衛生檢測總體合格率即實測食品合格率：食品衛生抽檢合格數與總抽檢數之比，從總體上反應了食 品的衛生狀況，是食品質量安全的一個基本指標。（1）但是，由于食品的種屬不同，其產品規定合格率會有所差異，也就是說直接用不同種類食品（如蔬菜和 肉類）的合格率來橫向比較沒有太大實際意義，因此，我們引入食品質檢相對合格率的概念，定義如下：用符號來表示，即：（2）公式（2）比公式（1）更合理

11、，因為它將原本不具有橫向可比性的兩個合格率，通過作比值的一系列處 理，而變成了橫向可比的相對量。而且通過數據大小分析可以得出 （注：只有合格率達標的才 會在市場上流通）。這樣，我們用所得出的相對質檢合格率來進行橫向比較，即不同種類食品間的比較，就有 了意義。因此，我們可以用此指標來衡量不同種類食品間的優劣，其相對質檢合格率越大，食品的安全指數 也應該成正增長，說明了二者之間具有某種正相關關系。用表 1 中的統計數據來說明這樣設計的好處:表1 4類食品合格率統計數據項 目大豆魚、肉水果類（蘋果）水果類（梨）實測質檢合格率 QR85.7%88.5%95.1%95.5%相對質檢合格率 RR28.5%

12、23.3%51.0%55.0%國家標準合格率 SR80.0%85.0%90.0%90.0%由表中數據不難看出，由于國家標準不同，比如蘋果合格率要在 90%以上才能上市，而大豆只要 80%就 可以，所以比較蘋果和大豆的抽檢合格率大小沒有意義，而我們用相對值表示偏離程度，就可以用來比較， 說明蘋果的 55%確實比大豆的 28.5%要好。（2）有害物質含量的分析 如上所述，有害物質主要分為兩類：即化學類和生物類。化學類有害物質包括化學農藥殘留、獸藥殘留和添加的各種有害化學物質(如添加劑)等，生物類有害物質主要包括細菌類毒素、真菌類毒素以及某些植物毒 素等。對化學類有害物質影響的分析，需規范如下術語的

13、定義： 殘留，指食物中非食品本身固有的各種化學物質的微量存在； 殘留監控，是一個國家或地區對其消費者所食用的各種食品中殘留情況進行調查，在此基礎上采取相應措施對殘留進行控制的行動； 由于化學污染物的毒害作用與其進入人體的絕對量有關，因此評價食品安全時用檢測中某種污染物的實際殘留量與國家允許最高殘留量來比較更為科學合理，在這樣一種理論背景下，導出可以用來評價食品中某 種化學物質殘留對消費者健康影響的算式。首先，我們定義了化學有害物質影響率 這一概念，公式如下：（3）其中是化學物質i的實際檢測殘留量（mg·kg-1）； 為化學毒物i的國家允許最高殘留量（mg·kg-1）；顯然可

14、以發現，在全面考慮了某一種食品中各種可能存在的化學有害殘留物后，加上的各項具有可加 性，因此值就可以很好的衡量在化學有害物質的影響下的食品安全狀況。由的計算公式可以看到，其分子分母都是性質完全相同的數據，故其比值沒有任何單位，僅表示攝 入量的比，不包含任何其它信息的數值。因此，食品中的 值采取加和取平均是完全合理的。（4）2009 年 10 月第三屆全國農業環境科學學術研討會論文集975之所以這里寫成矩陣的形式有兩個好處，首先可以看得更清晰，很直觀的把常量與變量區分開來；另外 這也闡明了化學性毒物和下文論述的生物性毒物對目標因素貢獻的相似性，在形式上也便于理解。我們把 稱 為標準攝入矩陣，稱為

15、攝入判斷矩陣。通過對數據值的大小進行分析，可以得到，它的取值范圍和我們的食品質檢相對合格率的范圍相同，這樣可以使我們所研究的每個因素的值都在一個區間（0，1）內，從而使我們提出的模型終值有 著比較明確的意義。用表2統計數據來說明：表2中數據為國家允許的該有毒化學物質在各類食品中存在的最大值。基于有毒 化學物質眾多，我們在此只研究國家明確要求必須檢驗的四種毒性最大的化學元素，至于其他毒性較小或含 量較少的元素我們可以認為其無顯著影響，或者在研究特定類食品時予以考慮，比如在研究卷心菜時要考慮 元素鉬的含量。但是由于我們的模型是以算術平均值的形式給出，所以加上其它元素應不影響我們結果的合 理性。表2

16、 國家允許的該有毒化學物質在各類食品中存在的最大值項目鎘/mg·kg-1鉛/mg·kg-1汞/mg·kg-1砷/mg·kg-1大豆0.20.20.010.1肉類0.10.20.050.05蘋果0.050.10.010.05魚類0.10.50.050.1因為不同元素含量的數量級不同，因此沒有橫向比較的意義，通過我們的模型無量綱化以后，計算得的 是沒有任何單位的數值，便產生了橫向比較的價值，下面我們引入權重系數，可使得值對食品安全指數的 影響能夠合理顯現出來。同樣的道理，對于生物類毒素，由于其毒害作用也與其進入人體的絕對量有關，因此評價食品安全時同 樣用人體

17、對各類生物毒素的實際攝入量與其安全攝入量來比較，在同樣的理論背景下，導出可以用來評價食 品中生物毒素殘留對消費者健康影響：（5）其中是生物毒素k的實際檢測殘留量（mg·kg-1）； 為生物毒素k的國家允許最高殘留量（mg·kg-1）；（6）綜合化學類與生物類有害物質的分析，我們在模型中均采用差值形式減掉有害物質的含量來求得其相對 含量，可以預見，當有害物質含量越小時，或 的值都會越大，這樣和 都與食品安全指數成正相關 關系，與我們先前分析的相對質檢合格率的影響是一致的，而且通對數值大小的分析可以同樣得出：這樣我們通過巧妙設計算法，就可以把本來不相同的各個因素統一到一種形式下

18、來分析，并且使它們的作用一致，就可以很好的實現我們的目標。 （3）有益物質影響的分析對食品中有益物質的測定（或稱營養價值的評定）主要由以下兩個基礎評價指標完成，即熱能比和 優質蛋白質比，從操作性上講它們都具有可測性、可比性、可獲得性等特點；從營養學上講它們所涉及 的有益物質都是人體正常生理活動能量的提供者、即是基本保證，可以從本質上反映有益物質各部分的狀況。查閱文獻我們知道，熱能比一項主要包括脂肪提供的熱能占總的熱能的比重 和動物性食物提供 的熱能占總熱能的比重兩大類，其它形式的熱能比因為其在數量和質量兩方面的微弱影響我們可以在此 忽略不計。因此我們用脂肪熱能比和動物性食物提供的熱能比兩項相乘

19、作為熱能比的相對值，即：（7）而觀另一影響因子，由于在所有蛋白質中優質蛋白質的種類是確定的，即不存在特異性，因此其值 便 可以直接在不同食品之間進行橫向比較，其大小情況便可以反映其蛋白質類對食品安全指數的貢獻。因此，我們可以用的值即來反映有益物質對我們要建立的食品安全指數模型 的貢獻。表3食品成分表項 目大 豆牛 肉蘋 果蘋 果總熱能比ER0.355.4600.0280.521優質蛋白質比PR0.3630.2010.0030.181由表3中數據可以看出，魚、肉類含有的優質蛋白質和脂肪與大豆差異不大，但卻遠遠高于蘋果，因此， 僅憑此一項來判斷食品安全程度是不科學的。所以，我們只把有益物質的分析列

20、為完整食品安全指數的一個 指標，通過下文對模型的建立，我們可以通過適當的權重系數使本項指標更加合理的在食品安全指數中體現 出來。4.2 食品安全指數模型的建立根據我們的分析，是食品的相對質檢合格率、有害物質和有益物質共同影響食品安全指數。因此我們用 綜合指數法將各個因素的控制因素累乘，然后按權值相加，從而最后計算得出食品安全的綜合評價指數。為此，我們采取同類相比、綜合考慮的原則，首先做出以下假設：各因素的子因素之間地位等同，不分 優劣，即等權重。從而，我們提出以下的數學模型公式2009 年 10 月第三屆全國農業環境科學學術研討會論文集977（8）其中，分別為質檢相對合格率的權重系數、有害物質

21、影響的權重系數、有益物質影響的權重系數，它們的具體求法將在下文給出。 我們知道，一種食品的安全指數是由這種食品的三個屬性來共同決定，那么此食品的值自然是由各種影響因素按其貢獻程度疊加而成，屬于線性疊加。也就表現為我們上面的加權和形式。之所以加權，是因 為考慮到各個影響因素對于整個食品的安全指數的貢獻程度不同，有兩方面的原因：一是由于各個因素之間 有著很大的差異，例如食品的質檢合格率和食品的有害物質影響對其安全指數的影響顯然是不能等同的；二 是其有益物質與有害物質所占的比重也不同，自然貢獻成分也有所不同。但這樣的模型仍然稍有不足，即各個因素的子因素我們認為是等同的，比如在有害物質影響里，我們認

22、為化學性毒物和生物性毒物這兩個子因素對有害物質這個因素的影響是等危害的，而實際中，顯然它們是不 能等同的，例如有些化學毒物在體內顯示累加效應，即含量超過一定值后才有顯著危險；而有些生物性毒物 雖然含量微小但足以致命。因此，二者之間仍有顯著不同。對有益物質的分析也是一樣，脂肪和蛋白質同為 人體正常生理活動所必需的物質，但脂肪大量貯藏，易再生；而蛋白質作為結構的組成部分，一旦不足將影 響新陳代謝。所以這二者也有顯著區別。為了使模型更具有一般性，我們再一次進行改進，即我們充分考慮各個因素的子因素對其的決定關系， 也按照其貢獻程度進行加權。由于各子因素之間是乘積的形式，于是我們考慮把權重系數加在指數上

23、。接下來，我們給出以下數學模型：（9）這樣我們得到的模型較之前面更為深入了一步，而且更為合理了一些，依次為化學有害物 質影響率的權重系數、生物有害物質影響率的權重系數、脂肪比影響率的權重系數以及優質蛋白質比影響率 的權重系數。它們的具體算法將隨后給出。這樣，從各個子影響指標來看我們按其權值累乘來分析是合理的，從三個直接影響指標來看，我們按其 權值累加分析也是合理的。事實上，我們在得到上面的幾個公式時，都是在假定影響本食品安全指數的三要素是相互不影響的，而 實際情況中，這三要素之間是有一定聯系的，比如若食品中有害化學物質含量一多必然會引起質檢合格率的 降低，而上述模型不能體現這一點，因此我們做出

24、以下改進。首先，我們做出以下假設：食品安全指數是用我們上面所得的公式來衡量的，在上面的公式中，我們考慮這三個影響因素之間是沒 有相互作用的。用原方法計算時，由于有益物質、有害物質的含量均會影響到質檢合格率，所以就表現為原式計算出來 的食品安全指數又反過來影響了三要素中的質檢合格率。這其實是一種反饋效應。為此我們再次進行修正計算，既使得第二迭代計算食品安全指數時又要考慮到第一次算法中食品安全指 數對質檢合格率的影響。但各因素自身的算法是不變的。假設食品安全指數和質檢合格率是成最基本的線性關系，即食品安全指數越高，該食品的質檢合格率就 越高；而食品安全指數越低，該食品的質檢合格率就越低。這也是一種

25、最簡易而又最顯然的關系。 考慮食品安全指數與質檢合格率有關，于是我們定義質檢合格率因素對食品安全指數的修正因子，那么有（10）（11）這樣計算出來的食品安全指數值顯然要比用式（9）計算出來的 值更合理些，因為我們在這里 進一步考慮了質檢合格率和食品安全指數之間的作用關系，控制了反饋效應對結果的擾動，屬于對已有模型 的進一步優化。當然公式確實變得更為復雜了，為了在形式上進一步簡化，我們可以把上面的公式用前面定 義的符號進一步化為：（12）其中：4.3 模型中各個權重系數的確定在的模型中,權重系數可分為兩類。一類是不同指標累加時的權重系數 ，另一類則是不同指標累乘時的權重系數 ，我們分類給出其求解

26、方法。 比較了常用的求權重系數的方法如層次分析法、模糊評判法后，我們發現層次分析法主觀性太強，求得的權重系數抗干擾性很差；而模糊評判法則需要回收專家給出的權值來統計分析，因此一般也認為這種方法 具有一定的主觀性，為此，我們設計了一種基于數據來分析求解權重的比較公正、客觀的求解方法。首先，我們從內層權重系數開始求起，即先求，（取）因為表44類食品熱能、蛋白質比項 目大 豆牛 肉蘋 果帶 魚總熱能比ER0.3550.4600.0280.521優質蛋白質比PR0.3630.2010.0030.181因為各個項都是處于區間（0，1）上的，故將其取對數后，再取其相反數，這樣可以保證各個數都是正 值，比較

27、便于處理。首先，確定 的值。我們選用大豆、牛肉、蘋果和帶魚四種不同屬性的食品進行研究，易發現沒有 加權時它們的值顯著不同，因此也具有分析的價值。具體算法為，定義， 從 ，取 上述四種截然不同種屬的食品為對象，算出它們的四條曲線 值，從曲線中找到使得四條曲線的平 均比值最小。其中，若有n種食品，則商數的值為m= Cn2根據上述算法通過MATLAB軟件模擬計算得出下列曲線：再用MATLAB語言編程找出最佳的使平均比值最小值為。采用類似的方法，取 我們可以來確定 的值（略）。我們通過采集到的數據，得出了權數如表5：表5 參數權數項 目修訂前11.813.2修訂后0.35710.64290.23810

28、.7619為了使我們的式子能更好地符合實際情況，由于以上四個權數都是出現在指數上的，如果指數過大，那 么顯然即使某一個數較大，但是也會由于乘方太多而使數值太小，從而使結果有些偏頗，為此我們采用如下 方法進行標準化：（13）則可得修訂后的各個權數，見表5。 通過上面的權重系數，我們可以分別求出各食品的以下值：項 目大 豆肉 類蘋 果魚 類GN2/0.42160.49050.58410.4848GN3/0.35780.34230.01260.3572最后，采用類似的方法，可求得 :確定的值。先忽略從，取大豆，肉類，蘋果以及魚類四 種未加權值時值顯著不同的不同種屬的食品為對象，算出它們的四條曲線值，從曲線中找到 使得四條曲線的平均比值最小。數據如下表：項目大豆肉類蘋果魚類0.60050.66160.59040.6634再由以上數據，便可以求出系數 最后，我們用類似的方法對三個權數進行標準化可以得到：可以看出，我們得標準化方法不會影響的正相關關系，而能把數據歸一化為（0，1）之間，從 而產生比較的價值。量化因子確定 在確定了前面兩類權重系數后，我們也采取對 遍歷取值的方法來確定 。根據以上求出的權數我們便可以得最終的食品安全指數和量化因子為直線關系，對于不同的食品，其直線并不相同。再用相同的做法我們可以得