1、求符號積分函數：求符號積分函數：int格式：格式：int(f,x,a,b)功能：計算定積分功能：計算定積分dxxfba )(格式：格式：int(f,x)功能：計算不定積分功能：計算不定積分 dxxf)(使用使用int函數之前，先用函數之前，先用syms聲明聲明x是符號變量是符號變量例例8.1 求積分求積分 dxx411)1(dxxxex 102)(1)2( 32)3(2xxdx syms x y1=1/(1+x4); y2=(x*exp(x)/(1+x)2; y3=1/(x2+2*x+3); fy1=int(y1) fy2=int(y2,0,1) fy3=int(y3,-inf,+inf)二、

2、數值積分二、數值積分 在科學研究和工程技術中，經常遇到積分的計算，在科學研究和工程技術中，經常遇到積分的計算，雖然有些函數的不定積分可以求出其初等函數表示式，雖然有些函數的不定積分可以求出其初等函數表示式，但有更多的函數，它們的不定積分不是初等函數，但有更多的函數，它們的不定積分不是初等函數，這樣就無法利用牛頓萊布尼茲公式求出其定積分，如這樣就無法利用牛頓萊布尼茲公式求出其定積分，如,sin102 dxx,sin10 dxxx,sin2102 dtt axdxe02甚至經常遇到只知道函數在一些離散點的值，但函甚至經常遇到只知道函數在一些離散點的值，但函數表達式未知的情況，在上述情況下就必須以數

3、值數表達式未知的情況，在上述情況下就必須以數值方法求定積分的近似值。方法求定積分的近似值。用數值方法求定積分的近似值，通常稱為數值積分。用數值方法求定積分的近似值，通常稱為數值積分。常用的數值積分算法有：常用的數值積分算法有： 牛頓牛頓-柯特斯積分及其復化格式，自適用積分公式，柯特斯積分及其復化格式，自適用積分公式，龍貝格求積公式，高斯求積公式。龍貝格求積公式，高斯求積公式。Matlab中提供了求數值積分的函數：中提供了求數值積分的函數：(1) quad函數：基于變步長辛普森法計算積分。函數：基于變步長辛普森法計算積分。該函數調用格式：該函數調用格式：I,n=quad(fname,a,b,To

4、l,trace)其中：其中：fname是被積函數名是被積函數名 a,b是積分上下限是積分上下限 Tol是精度控制值，省卻時取是精度控制值，省卻時取0.001 Trace:控制是否顯示展現積分過程，取控制是否顯示展現積分過程，取0不展現不展現 I：積分值：積分值 n：被積函數調用次數：被積函數調用次數dxxx 24sin如：求積分如：求積分ac=(x)sin(x)./xs=quad(ac,pi/4,pi/2)ac = (x)sin(x)./xs = 0.6118(2) trapz函數：函數：用梯形法計算積分，用梯形法計算積分，適用于被積函數為離散數據時，適用于被積函數為離散數據時，求函數的定積分

5、。求函數的定積分。該函數調用格式：該函數調用格式：I=trapz(x,y)dxxx 24sin如：求積分如：求積分clc,clearformat longac=(x)sin(x)./xs1=quad(ac,pi/4,pi/2)x1=pi/4:pi/50:pi/2;y1=ac(x1);s2=trapz(x1,y1)x2=pi/4:pi/100:pi/2;y2=ac(x2);s3=trapz(x2,y2)ac = (x)sin(x)./xs1 = 0.611786287055481s2 = 0.591535799623818s3 = 0.611773186493237例例8.2 神舟六號載人飛船與

6、神舟六號載人飛船與2005年年10月月12日發射升空后，在太日發射升空后，在太空中運行空中運行115小時小時32分，繞地球飛行分，繞地球飛行76圈，其先在軌道傾角圈，其先在軌道傾角42.4度、近地點高度度、近地點高度200公里、遠地點高度公里、遠地點高度347公里的橢圓軌道公里的橢圓軌道上運行上運行5圈，實施變軌后，進入圈，實施變軌后，進入343公里圓形軌道。試計算神州公里圓形軌道。試計算神州六號載人飛船在軌飛行公里數。六號載人飛船在軌飛行公里數。解解 建立坐標系，使坐標原點位于橢圓建立坐標系，使坐標原點位于橢圓中心，中心，x軸位于橢圓長軸上。軸位于橢圓長軸上。 s1=200, s2=347,

7、 地球半徑地球半徑r=6371 橢圓長半軸橢圓長半軸 arss2221 )2(2121rssa 2s1s橢圓半焦距為橢圓半焦距為c： asrc 1)(2112ssc 橢圓短半軸：橢圓短半軸： 22cab 2s1sc橢圓方程：橢圓方程： tbytaxsincosrssc )(2121)(1rs 已知已知 s1=200, s2=347, r=6371 )2(2121rssa s1=200, s2=347, r=6371 )(2112ssc 22cab 橢圓方程：橢圓方程： tbytaxsincos)2(2121rssa 1sc橢圓周長：橢圓周長： dtyxLtt 2022dttbta 202222

8、cossin4dttca 20222cos4dttaca 20222cos14 s1=200, s2=347, r=6371 )(2112ssc 22cab )2(2121rssa dttacaL 20222cos14 s1=200;s2=347; r=6371;r2=343; a=(2*r+s1+s2)/2; c=(s2-s1)/2; k=c2/a2; g=(t)sqrt(1-k*cos(t).2); L=quad(g,0,pi/2) Lch=4*a*L*5+2*pi*(r+r2)*71得：得：L1 =1.5707 Lch =3.2039e+006例例8.3 (面積的估算面積的估算)，測得某

9、人工湖邊界上，測得某人工湖邊界上n個點的坐個點的坐標（見表），估算出該人工湖的面積標（見表），估算出該人工湖的面積表：表：邊界上點實測坐標邊界上點實測坐標X2 215.015.028.628.652.052.061.861.875.475.492.992.9105.9105.9Y138.518.612.45.810.623.836.838.8Y238.578.586.881.598.6114.2160.6172.8X121.1121.1 140.8140.8 157.2157.2 180.5180.5 216.8216.8 248.5248.5 279.8279.8 310.4310.4Y12

10、5.428.718.838.650.520.45.432.8Y2176.6165.5158.6155.6186.8252.4268.8276.7X335.0335.0 360.6360.6 378.5378.5 400.1400.1 420.5420.5 448.5448.5 470.5470.5 493.1493.1Y151.956.872.866.655.565.590.5170.4Y2275.4258.2235.2228.9198.5195.5188.1170.4作出作出人工湖的平面圖：人工湖的平面圖：clc,clear,load hqdatax=A(1,:),A(4,:),A(7,:)

11、;y1=A(2,:),A(5,:),A(8,:);y2=A(3,:),A(6,:),A(9,:);fill(x,y1,g)hold onfill(x,y2,g)hold off050100150200250300350400450500050100150200250300)(2xyy )(1xyy dtxyxyA 1 .493212)()(（1 1）利用梯形法求面積）利用梯形法求面積 S=trapz(x,y2-y1); Mianji1=vpa(S,6)得得：Mianji1 = 73330.8（2）利用樣條函數積分法）利用樣條函數積分法 y=y2-y1; sc=spline(x,y); js=f

12、nint(sc); %樣條函數求積分樣條函數求積分 S=ppval(js,2,493.1); mianji2=vpa(S(2),6)得得：Mianji2 = 73586.0例例 8.4 在某山區的一個矩形區域內，測得一些地面點的高程在某山區的一個矩形區域內，測得一些地面點的高程(見見下表下表)，假設所觀測的矩形區域內均是陸地，地表可近似看做一，假設所觀測的矩形區域內均是陸地，地表可近似看做一張光滑曲面，張光滑曲面，A(0,300,420.2),B(1200,300,332.5),C(800,1000,407.5)為地表上三個點，現需在為地表上三個點，現需在A與與B，A與與C點之間的直線走向上沿

13、地點之間的直線走向上沿地表鋪設通訊線路，估計該通信線路的長度。表鋪設通訊線路，估計該通信線路的長度。 01002003004005006007008009001000110012000381.5397.3401.5396.1379.2361.5339.6320.7307.8299.6293.5285.5273.0100398.0418.5423.2416401380.5356.3336.4325.3315.5310.4306.3298.5200411.2428.3436.5433.5420.5398.5374.5353.4338.3330.2325.4323.1317.0300420.2439

14、.6448.8443.1435.5415.2392.3370.2354.1346.5342.3338.2332.5400423.8444.6456.7459.2447.6429.2407.3385.5369.4360.3356.5352.5345.2500422.1441.5459.5463.2454.6439.5419.5400.5384.5374.5369.5364.5356.4600416.2439.2454.5466.5457.6446.5429.5412.4398.5386.3381.2375.5362.1700406.3429.5442.3454.6450.2448.1435.24

15、22.2409.3399.5391.2380.2370.5800391.5414.6431.4443.9447.8440.2436.5426.5416.5406.3397.4382.2363.5900373.5395.6413.5426.6433.5434.5430.5424.5416.5407.6390.0388.6370.01000352.3374.5391.6405.5414.3418.5416.8413.6407.5398.5389.5376.5350.5區域區域0,1200;0,1000內觀測點處的高程表內觀測點處的高程表 （單位：米）（單位：米） 記地表曲面方程為記地表曲面方程為z

16、=f(x,y),由于由于A與與B的直線走向平行于的直線走向平行于x軸，軸，沿該走向的地表曲線沿該走向的地表曲線LAB為：為： 300)300,(yxfz曲線曲線LAB的弧長為：的弧長為：dxgx 120002)(1)(xg 問題求解問題求解: (1)通過插值法求出函數通過插值法求出函數z=g(x) (2)通過數值積分求出該地表曲線的長度通過數值積分求出該地表曲線的長度地表高程數據存于文件：地表高程數據存于文件：data804clear,clcload data804x=0:100:1200;y=0:100:1000;g=z(4,:);pp=csape(x,g);dp=fnder(pp);gx=

17、ppval(dp,x);hwf=sqrt(1+gx.2);s=trapz(x,hwf);dAB=vpa(s,8)得得：dAB =1211.9855 300)300,(yxfzdxgx 120002)(1)(xg A與與B點的連線點的連線(y=300)的的數據位于地面高程矩陣的數據位于地面高程矩陣的第四行上，第四行上，記地表曲面方程為記地表曲面方程為z=f(x,y),A(0,300,420.2)與與C(800,1000,407.5)的直線走向與的直線走向與x軸正軸正向夾角為向夾角為u，則：，則：08003001000tan u,87 ,1138cos u,1137sin u記水平面上記水平面上A

18、1(0,300)與與C1(800,1000)連線上任一點連線上任一點P(x,y)到點到點A1的距離為的距離為t，有，有,cosutx utysin300 沿該走向的地表曲線沿該走向的地表曲線LAC為：為： cos sin300)sin300,cos(utxutyututfz)(th )1131000( t沿該走向的地表曲線沿該走向的地表曲線LAC為：為： cos sin300)sin300,cos(utxutyututfz)1131000( t,1138cos u,1137sin u曲線曲線LAC的弧長為：的弧長為：dthyxttt 1130222)()()()(th dtht 11302)(1load data804x=0:100:1200;y=0:100:1000;t=0:100*sqrt(113);xx=8/sqrt(113)*t;yy=300+7/sqrt(113)*t;x0,y0=meshgrid(x,y);h=interp2(x0,y0,z,xx,yy,spline);pp1=csape(t,h); %樣條插值求函數樣條插值求函數h(t)dp1=fnder(pp1); %求樣條插值函數求樣條插值函數h(t)的導數的導數ht=fnval(dp1,t);hwf=sqrt(1+ht.2); %求出被積函數求出被積函