1、自動控制原理第八部分自動控制原理第八部分非線性控制系統分析非線性控制系統分析 8.1 8.1 非線性控制系統概述非線性控制系統概述 8.2 8.2 常見非線性特性及其對系統運常見非線性特性及其對系統運動的影響動的影響 8.3 8.3 相平面法相平面法 8.4 8.4 描述函數法描述函數法什么是線性？什么是線性？滿足線性疊加原理的系統稱滿足線性疊加原理的系統稱線性系統線性系統。例如：例如： 若若 是方程的解，有是方程的解，有也是方程（也是方程（1 1）的解）的解, , 則方程為線性系統，例如：則方程為線性系統，例如：否則為否則為非線性系統非線性系統。8.1 8.1 非線性控制系統概述非線性控制系

2、統概述),(txfdtdx)(),(tx tx21)()(txtx218.1.1 8.1.1 研究非線性系統的方法研究非線性系統的方法 實際的控制系統：實際的控制系統：線性；線性；非線性。非線性。baxtxf),(局限性局限性：不能成為通用方法。：不能成為通用方法。用相平面法雖然能夠獲得系統的全部特征，如穩定性、用相平面法雖然能夠獲得系統的全部特征，如穩定性、過渡過程等，但大于三階的系統無法應用。李亞普諾夫法則僅限于分析系統的絕對過渡過程等，但大于三階的系統無法應用。李亞普諾夫法則僅限于分析系統的絕對穩定性問題，而且要求非線性元件的特性滿足一定條件。現有成果：穩定性問題，而且要求非線性元件的特

3、性滿足一定條件。現有成果：如頻率域的波如頻率域的波波夫判據，廣義圓判據，輸入輸出穩定性理論等。目前處于發展階段，遠非完善。波夫判據，廣義圓判據，輸入輸出穩定性理論等。目前處于發展階段，遠非完善。 分析非線性系統的主要方法有：分析非線性系統的主要方法有： 描述函數法描述函數法; ; 相平面法相平面法; ; 李雅普諾夫法李雅普諾夫法線性系統通常是非線性系統在一定范圍的近似。線性系統通常是非線性系統在一定范圍的近似。 2. 系統的穩定性和輸出響應不僅與系統的結構和參數有關（與線性系統相系統的穩定性和輸出響應不僅與系統的結構和參數有關（與線性系統相同），還與系統的初始條件及輸入信號的形式和大小有關。同

4、），還與系統的初始條件及輸入信號的形式和大小有關。8.1.2 8.1.2 非線性系統的特點非線性系統的特點1.1.不能應用疊加原理不能應用疊加原理 3. 3.當輸入量為正弦函數時，輸出的穩態分量則往往是包含有高次諧波分量當輸入量為正弦函數時，輸出的穩態分量則往往是包含有高次諧波分量的非正弦函數。而且還可能發生一些線性系統不會遇到的現象：的非正弦函數。而且還可能發生一些線性系統不會遇到的現象： 跳躍諧振：輸入的跳躍諧振：輸入的 連續變化，輸出的幅連續變化，輸出的幅值和相位在某點發生突變。值和相位在某點發生突變。 倍頻振蕩或分頻振蕩：輸出的頻率可能是輸倍頻振蕩或分頻振蕩：輸出的頻率可能是輸入頻率的

5、整數倍或反之）。入頻率的整數倍或反之）。 頻率捕捉：在一定的條件下，自振蕩頻率可頻率捕捉：在一定的條件下，自振蕩頻率可能會被外加信號的頻率所改變。能會被外加信號的頻率所改變。 4. 4.在無外加作用的情況下，可能會產生具有一定頻率和振幅的穩定的等幅在無外加作用的情況下，可能會產生具有一定頻率和振幅的穩定的等幅振蕩，稱為振蕩，稱為自激振蕩或極限環自激振蕩或極限環（可觀察到（可觀察到) ) 。（線性系統只有在臨界穩定的情。（線性系統只有在臨界穩定的情況下，才產生極限環，且不穩定，不能觀察到。）況下，才產生極限環，且不穩定，不能觀察到。）8.2 8.2 常見非線性特性及其對系統運動的影響常見非線性特

6、性及其對系統運動的影響 在一個控制系統中在一個控制系統中, ,包含有一個以上的非線性元件，包含有一個以上的非線性元件， 就構成了非線性系統。就構成了非線性系統。 控制系統中的典型非線性特性有：控制系統中的典型非線性特性有：來源：來源：放大器的飽和輸出特性、磁飽和、元件的行程限制、功率放大器的飽和輸出特性、磁飽和、元件的行程限制、功率限制等等。限制等等。8.2.1 8.2.1 飽和特性飽和特性對系統的影響：對系統的影響： (1)(1)在大信號作用下，等效傳遞系數下降在大信號作用下，等效傳遞系數下降跟蹤誤差跟蹤誤差 ，響應時間，響應時間 ，穩態誤差穩態誤差 。(2)(2)可能使振蕩減弱。可能使振蕩

7、減弱。(3)(3)可利用飽和特性來保護系統或元件的安全運行。可利用飽和特性來保護系統或元件的安全運行。圖圖8-1 8-1 飽和特性飽和特性xya-a斜率斜率k0飽和非線性的輸入輸出關系及數學表達式如下：飽和非線性的輸入輸出關系及數學表達式如下：(8-1)(8-1)axkaaxkxaxkay8.2.2 8.2.2 死區（不靈敏區）特性死區（不靈敏區）特性 圖圖8-2 8-2 死區特性死區特性-0斜率斜率kxy死區非線性的輸入輸出關系及數學表達式如下：死區非線性的輸入輸出關系及數學表達式如下：(8-2)(8-2)xsignxxkxy)(0特征：特征：當輸入信號在零位附近變化時，系統當輸入信號在零位

8、附近變化時，系統沒有輸出。當輸入信號大于某一數值時才有沒有輸出。當輸入信號大于某一數值時才有輸出，且與輸入呈線性關。輸出，且與輸入呈線性關。對系統的影響：對系統的影響： （1 1）使系統產生穩態誤差）使系統產生穩態誤差 （尤其是測量元件）。（尤其是測量元件）。 （2 2）可能會提高系統的抗干擾能力或減少振蕩性。）可能會提高系統的抗干擾能力或減少振蕩性。來源：來源：各類液壓閥的正重疊量；系統的庫倫摩擦；測量變送裝置的不靈敏區；調各類液壓閥的正重疊量；系統的庫倫摩擦；測量變送裝置的不靈敏區；調節器和執行機構的死區；彈簧預緊力等。節器和執行機構的死區；彈簧預緊力等。8.2.3 8.2.3 間隙（滯環

9、）特性間隙（滯環）特性圖圖8-3 8-3 滯環特性滯環特性0yxh-h斜率斜率k其輸入輸出關系及數學表達式如下：其輸入輸出關系及數學表達式如下：(8-3)(8-3)0)(0)(0)(y x sgncyhxkyhxky特征：特征：元件開始運動元件開始運動 輸入信號輸入信號hhh以后，輸出隨輸入線性變化。以后，輸出隨輸入線性變化。元件反向運動元件反向運動 保持在運動方向發生變化瞬間的輸出值；保持在運動方向發生變化瞬間的輸出值； 輸入反向變化輸入反向變化2h2h，輸出隨輸入線性變化。，輸出隨輸入線性變化。 造成的影響：造成的影響：間隙間隙輸出相位滯后，減小穩定性裕量，動特性變壞輸出相位滯后，減小穩定

10、性裕量，動特性變壞自持振蕩。自持振蕩。所以應盡量避免或減小。所以應盡量避免或減小。來源：來源：傳動機構的間隙傳動機構的間隙：齒輪傳動中的齒隙；齒輪傳動中的齒隙；液壓傳動中的油隙。液壓傳動中的油隙。8.2.4 8.2.4 繼電特性繼電特性(8-4)(8-4)圖圖8-4 8-4 繼電特性繼電特性0-MMyx其輸入輸出關系及數學表達式如下：其輸入輸出關系及數學表達式如下：00 xMxMy來源：來源：繼電器是繼電特性的典型元件。繼電器是繼電特性的典型元件。造成的影響造成的影響: :(1(1）改善系統性能，簡化系統結構。（）改善系統性能，簡化系統結構。（2 2）可能會產生自激振蕩，使）可能會產生自激振蕩

11、，使系統不穩定或穩態誤差增大。系統不穩定或穩態誤差增大。其他繼電特性還有其他繼電特性還有： 在非線性系統中，一些更復雜的非線性特在非線性系統中，一些更復雜的非線性特性，其中有些可看成是上述典型特性的不同性，其中有些可看成是上述典型特性的不同組合。組合。0yx-MM-hh圖圖8-5 8-5 滯環滯環 + + 繼電繼電0yx-MM-圖圖8-6 8-6 死區死區 + + 繼電繼電0yx-MM-圖圖8-7 8-7 死區死區 + + 滯環滯環 + + 繼電繼電8.3 8.3 相平面法相平面法 相平面法是一種求解一、二階常微分方程的圖解法相平面法是一種求解一、二階常微分方程的圖解法, ,即二維狀態空間法。

12、這即二維狀態空間法。這種方法的實質是將系統的運動過程形象地轉化為相平面上一個點的移動種方法的實質是將系統的運動過程形象地轉化為相平面上一個點的移動, , 通過通過研究這個點移動的軌跡研究這個點移動的軌跡, , 就能獲得系統運動規律的全部信息就能獲得系統運動規律的全部信息. . 相平面法可以用來分析一、二階線性或非線性系統的穩定性、平衡位置、相平面法可以用來分析一、二階線性或非線性系統的穩定性、平衡位置、時間響應、穩態精度以及初始條件和參數對系統運動的影響時間響應、穩態精度以及初始條件和參數對系統運動的影響.式中式中, , 是是 的線性或非線性函數的線性或非線性函數.),(xxf)(),(txt

13、x),(xxfx (8-8)(8-8)設二階系統的常微分方程如下：設二階系統的常微分方程如下：8.3.1 相平面法的基本概念相平面法的基本概念 由微分方程的理論可知，只要由微分方程的理論可知，只要 是解析的，那么在給是解析的，那么在給定的初始條件下，方程的定的初始條件下，方程的解是唯一的解是唯一的。這個唯一的解可以寫成時間解的形式這個唯一的解可以寫成時間解的形式x(t), 也可以寫成以也可以寫成以t為參變量的形式，用為參變量的形式，用 這個這個 來表示。來表示。),(xxf)(xfx tx(t)圖圖8-8 方程的解方程的解xx 3.3.相平面圖：相平面及其上的相軌跡族組成的圖形稱為系統相平面圖

14、：相平面及其上的相軌跡族組成的圖形稱為系統 的的相平面圖相平面圖。它表示系統在各種初始條件下的。它表示系統在各種初始條件下的 運動過程。運動過程。2.2.相平面相平面: : 平面稱為平面稱為相平面相平面。對于一個系統，初始條件。對于一個系統，初始條件 不同時，其方程的解也不同。因而針對不同的初不同時，其方程的解也不同。因而針對不同的初始條件，可以繪出不同的相軌跡。始條件，可以繪出不同的相軌跡。若以各種可能的狀態作為初始條件，則可得到一組相軌跡族。若以各種可能的狀態作為初始條件，則可得到一組相軌跡族。xx1.1.相軌跡：如果我們取相軌跡：如果我們取 x 和和 作為平面的直角坐標，則作為平面的直角

15、坐標，則系統在每一時刻的系統在每一時刻的 均相應于平面上的一點。當均相應于平面上的一點。當 t t 變化時，變化時， 這一這一 點點在在 平面上將繪出一條相應的軌跡平面上將繪出一條相應的軌跡-相軌跡相軌跡。它描述系統的運動過程。它描述系統的運動過程。x ),(xx xx二階系統微分方程：二階系統微分方程： 兩個獨立變量：兩個獨立變量：位置量位置量速度量速度量構成相平面構成相平面 為相變量。給定初始條件為相變量。給定初始條件 相變量相變量在相平面上的在相平面上的運動坐標軌跡稱為運動坐標軌跡稱為相軌跡相軌跡。 x xxx ,00)0()0(xxxx xx , x x 0 相平面相平面 ),(00

16、xx 相軌跡相軌跡 ),(xxfx 相平面分析方法相平面分析方法: : 由于相平面圖表示了系統在各種初始條件下的運動過程，因而，只要繪出由于相平面圖表示了系統在各種初始條件下的運動過程，因而，只要繪出了系統的相平面圖，就可以用它來分析：了系統的相平面圖，就可以用它來分析：3 3）穩態誤差。）穩態誤差。下面舉二個例子進行說明：下面舉二個例子進行說明：1 1）系統的穩定性；）系統的穩定性；2 2）瞬態響應性能；）瞬態響應性能；例例8-18-1. .設系統的微分方程為：設系統的微分方程為：0 xxx 圖中的箭頭表示系統的圖中的箭頭表示系統的狀態沿相軌跡的移動方向。狀態沿相軌跡的移動方向。 其相平面圖

17、如右圖所示其相平面圖如右圖所示（繪制方法在下節介紹）（繪制方法在下節介紹）1 1xx 0 p 圖圖8-9 例例8-18-1的的相平面圖相平面圖DABCE18 （1）在各種初始條件下（）在各種初始條件下（任意一條相軌跡任意一條相軌跡），），系統系統都趨向都趨向原點（原點（0,0）, ,說說明原點是系統的平衡點，系統是穩定的。明原點是系統的平衡點，系統是穩定的。由圖可知：由圖可知： 可將其狀態轉化為轉化可將其狀態轉化為轉化為時間響應曲線為時間響應曲線x(t)來驗證如圖來驗證如圖8-108-10所示所示 （2）如果初始條件為：）如果初始條件為：x(0)=1， 。則相應的相則相應的相軌跡為軌跡為ABC

18、DE0。系統的瞬態響應為系統的瞬態響應為阻尼振蕩形式，最大超調量為阻尼振蕩形式，最大超調量為 p，穩，穩態誤差為零。態誤差為零。0)0(x 1 10 x(t)tABCDE圖圖8-10 8-10 例例8-18-1的的時間響應曲線時間響應曲線 相軌跡如圖相軌跡如圖.系統的運動方向如箭頭所示。可系統的運動方向如箭頭所示。可見，系統的響應與初始條件有關見，系統的響應與初始條件有關,其相軌跡可分為三其相軌跡可分為三個區域：個區域：初始條件：初始條件：tx(t)0 01 1-1-1例例8-8-2. 非線性方程：非線性方程： 03xxx x-1-11 1dx/dt0圖圖8-11 8-11 例例8-28-2的

19、的相平面圖相平面圖(3) (3) x(0) 1:)()(xx(1) -(1) -1x( (0) )1 時時原點。系統是穩定的。響應為單調衰減，且無穩態誤差。原點。系統是穩定的。響應為單調衰減，且無穩態誤差。如圖如圖8-12所示所示.0)(0)(xx圖圖8-12 8-12 例例8-28-2的響應曲線的響應曲線相平面法的適用范圍相平面法的適用范圍: : .3亦亦適適用用的的非非線線性性系系統統不不能能只只考考慮慮基基波波分分量量對對于于一一些些 系系統統的的運運動動過過程程. .函函數數作作用用下下, ,條條件件下下和和各各種種非非周周期期可可用用來來研研究究在在各各種種初初始始4 4非非線線性性

20、系系統統線線性性系系統統適適用用于于(2) 除要求除要求 為解析函數外，別無其它條件為解析函數外，別無其它條件),(xxf(1) 因為相平面是二維的，因為相平面是二維的，只適用于一階和二階系統；只適用于一階和二階系統；一、一、相軌跡的共同特相軌跡的共同特性性1.1.相軌跡的對稱性相軌跡的對稱性設二階系統的方程為：設二階系統的方程為：0,xxfx (8-9)(8-9)改寫為：改寫為：xxfdxxdx dxxdxdtdxdxxddtxdx ,(8-10)(8-10)兩邊除以兩邊除以 可得：可得：xdtdxxxxfdxxd,-相軌跡的相軌跡的 斜率方程斜率方程(8-11)(8-11)相軌跡的對稱性可

21、以從對稱點上相軌跡的斜率來判斷。相軌跡的對稱性可以從對稱點上相軌跡的斜率來判斷。8.3.2 相軌跡的繪制方法相軌跡的繪制方法即即 是是 的偶函數的偶函數-相軌跡對稱于相軌跡對稱于 x 軸的條件。軸的條件。),(xxfx ),(),(),(),(xxfxxfxxxfxxxf(8-12)(8-12)1 1）若相軌跡對稱于）若相軌跡對稱于x軸。軸。 則在所有的對稱點則在所有的對稱點 和和 上，相軌跡的斜率應大小相等，符號相反。即：上，相軌跡的斜率應大小相等，符號相反。即：),(xx ),(xxx),(xx ),(xxx 0圖圖8-13 相軌跡對稱于相軌跡對稱于x軸軸 2) 2) 若相軌跡對稱于若相軌

22、跡對稱于 軸，則：軸，則：x ),(xx ),(xx x x0),(),(),(),(xxfxxfxxxfxxxf(8-13)(8-13)圖圖8-14 相軌跡對稱于相軌跡對稱于 軸軸x 即即 是是 的的 奇函數奇函數-相軌跡對稱于相軌跡對稱于 軸的軸的條件。條件。),(xxfxx 3 3）若相軌跡對稱于原點，其條）若相軌跡對稱于原點，其條件是：對稱點件是：對稱點上的斜率應大小相等，符號相同。上的斜率應大小相等，符號相同。),(),(xxxx圖圖8-15 相軌跡對稱于原點相軌跡對稱于原點),(),(xxfxxf(8-14)(8-14)xx 0),(xx ),(xx2.2.相平面上的相平面上的奇點

23、奇點 這樣的點稱為這樣的點稱為普通點普通點。通過普通點的相軌跡只。通過普通點的相軌跡只有一條。（即相軌跡曲線不會在普通點相交）有一條。（即相軌跡曲線不會在普通點相交）若相平面中的某點，同時滿足若相平面中的某點，同時滿足 ，該點相，該點相軌跡的斜率軌跡的斜率 , ,為不定值，這類特殊點稱為不定值，這類特殊點稱為為奇點奇點。通過奇點的相軌跡不止一條，它是相軌跡。通過奇點的相軌跡不止一條，它是相軌跡曲線的交點。曲線的交點。0),(, 0 xxfx00dxxd由相軌跡的斜率方程由相軌跡的斜率方程 可知可知,相上的相上的點點 只要只要不同時不同時滿足滿足 , ,則該點則該點相軌跡的斜率是相軌跡的斜率是唯

24、一唯一確定的。確定的。 xxxfdxxd),(),(xx 0),(, 0 xxfx 二階線性系統：奇點是唯一的，位于原點。二階線性系統：奇點是唯一的，位于原點。 二階非線性系統：奇點可能不止一個。二階非線性系統：奇點可能不止一個。3.x3.x軸上相軌跡的斜率軸上相軌跡的斜率4.4.系統狀態沿相軌跡的運動方向系統狀態沿相軌跡的運動方向由于在由于在 x 軸上軸上, , ,因此除因此除 的點的點（即（即奇點）外，相軌跡的斜率為奇點）外，相軌跡的斜率為: : 。 即除奇點外，即除奇點外，相軌跡與相軌跡與x 軸垂直相交。軸垂直相交。0 x 0),(xxfdxxd 在相平面的上半平面在相平面的上半平面,

25、, ,即即x( (t) )增大。增大。系統狀態沿相軌跡向右運動。系統狀態沿相軌跡向右運動。0 x 在相平面的下半平面在相平面的下半平面, , ,即即x( (t) )減小減小. . 系統狀態沿相系統狀態沿相軌跡向左運動。軌跡向左運動。0 x 0 x x圖圖8-16 系統狀態沿相軌系統狀態沿相軌 跡的運動方向跡的運動方向 x x 0 左行 右行 增幅、恒速 增幅、增速 增幅、減速 減幅、恒速 減幅、增速 減幅、減速 垂直穿越 例例： 二階系統二階系統作出該系統的相平面圖。作出該系統的相平面圖。 解：解： 因為因為斜率方程斜率方程 初值（初值（0, 100, 10）和（）和（0, -100, -10

26、）。）。 0 xxx x x 0 相平面相平面 (0,-10) (0,10) 00)0()0(xxxxxxxdxxddxxdxdtxdx 22二、解析法作圖二、解析法作圖 方程不顯含方程不顯含 時，采用一次積分法得相軌跡方程作圖時，采用一次積分法得相軌跡方程作圖方程為方程為 因為因為 代入方程代入方程兩邊一次積分，得相軌跡方程兩邊一次積分，得相軌跡方程 x 0)(xfx dxxdxdxdtdtxddtdxdtxddtxdx 22dxxfxdx)(dxxfxdx)(例例： 二階系統為二階系統為作相平面圖。作相平面圖。 解解 方程不顯含方程不顯含 ，由解析法有，由解析法有 一次積分一次積分 相軌跡

27、方程為橢圓方程相軌跡方程為橢圓方程020 xx x 020 xdxxdxdxxxdx20dxxxdx2012202121cxx22220cxx2 相平面相平面 x 0 0/x 三、繪制相平面圖的圖解法三、繪制相平面圖的圖解法 當用解析法求解微分方程比較困難，甚至不可能時，可采用圖解法繪制相平當用解析法求解微分方程比較困難，甚至不可能時，可采用圖解法繪制相平面圖。它有：面圖。它有：下面介紹等傾線法下面介紹等傾線法: : 原理原理：任一曲線都可以用一系列足夠短的折線來近似任一曲線都可以用一系列足夠短的折線來近似，如果我們能用簡便的，如果我們能用簡便的方法求得相平面中任意一點相軌跡的斜率，就能畫出通

28、過該點相軌跡的切線，并方法求得相平面中任意一點相軌跡的斜率，就能畫出通過該點相軌跡的切線，并用它來近似該點及其附近的相軌跡曲線。如果點取得足夠密，就能用一系列的切用它來近似該點及其附近的相軌跡曲線。如果點取得足夠密，就能用一系列的切線來近似相軌跡曲線了。線來近似相軌跡曲線了。（2 2）園弧近似法）園弧近似法( (略略) ) （1 1）等傾線法）等傾線法 等傾線法作圖步驟：等傾線法作圖步驟：1 1）首先畫出等傾線）首先畫出等傾線-確立相平面中相軌跡斜率的分布；確立相平面中相軌跡斜率的分布；等傾線等傾線：在相平面中，相軌跡斜率相等的點的連線在相平面中，相軌跡斜率相等的點的連線, ,即即 等傾線應滿

29、足方程：等傾線應滿足方程：由前述可知，相軌跡的斜率方程為：由前述可知，相軌跡的斜率方程為： xxxfdxxd),()(常數常數dxxd(8-15)(8-15)則等傾線方程為：則等傾線方程為：),(),(xxfxxxxf(8-16)(8-16)2 2）從初始條件開始，用連續的切線段來近畫出相軌跡曲線。）從初始條件開始，用連續的切線段來近畫出相軌跡曲線。.,;,分布分布相平面中相軌跡斜率的相平面中相軌跡斜率的它們確定了它們確定了族族則可求得一組等傾線則可求得一組等傾線值值給定一組給定一組線線可由上式求得一條等傾可由上式求得一條等傾值值給定一個給定一個.202:02:02:2222等傾線方程等傾線方

30、程代入上式代入上式令令上式改寫為上式改寫為設系統方程為設系統方程為xxxxxdxxddtdxdxxdtxdxxxdxxdxxxx (8-17)(8-17)(8-18)(8-18)注意：兩等傾線之間用其平注意：兩等傾線之間用其平 均值來表示相軌跡。均值來表示相軌跡。若給定系統參數：若給定系統參數： =0.5, =1.取不同的取不同的 值，求得等傾線如圖值，求得等傾線如圖8-8-1717所示：所示： 若給定初始條件為若給定初始條件為A,A,則可作出相則可作出相軌跡為軌跡為ABCDE .ABCDE .圖圖8-17 等傾線和等傾線和相軌相軌跡跡 可見，等傾線為過原點、斜率為可見，等傾線為過原點、斜率為

31、 的直線的直線。)2(2 =-=-1.41.4 =-1.6=-1.6 =-2=-2 =-3=-3 =1=1 =2=2ABCDExx 0 = -1 1 = =0=0則等傾線為：則等傾線為：xx11(8-19)(8-19)注意注意： 1 1）等傾線法在作圖過程中會產生積累誤差。一般來說）等傾線法在作圖過程中會產生積累誤差。一般來說, ,等傾線越密，則近似等傾線越密，則近似程度越好。但等傾線過密，繪圖條數增多，致使積累誤差加大。所以，一般間隔程度越好。但等傾線過密，繪圖條數增多，致使積累誤差加大。所以，一般間隔5 51010畫一條等傾線較合適。畫一條等傾線較合適。 2 2）為減少作圖誤差，可事先在等

32、傾線上畫好表示切線）為減少作圖誤差，可事先在等傾線上畫好表示切線 方向的平行短線，然后從初始狀態開始逐步仔細地將它們聯成光滑的相軌跡曲線。方向的平行短線，然后從初始狀態開始逐步仔細地將它們聯成光滑的相軌跡曲線。 3 3）一般，線性系統的等傾線是直線。因此用等傾線法）一般，線性系統的等傾線是直線。因此用等傾線法比較方便。非線性系統的等傾線則有可能是曲線比較方便。非線性系統的等傾線則有可能是曲線, ,甚至是比較復雜的圖形甚至是比較復雜的圖形-不不適用于等傾線法。適用于等傾線法。 由前述可知，奇點是相平面中斜率不確定的點，即有多條相軌跡以不同由前述可知，奇點是相平面中斜率不確定的點，即有多條相軌跡以

33、不同的斜率通過或逼近該點的斜率通過或逼近該點。constconstx x, ,0 0 x x: :則則, ,0 0 x x由于由于奇點的求法奇點的求法0 0) )x xf(x,f(x,x x0 0 x x: :奇點必須同時滿足奇點必須同時滿足 所以奇點是所以奇點是平衡點平衡點。奇點及臨近的。奇點及臨近的相軌跡反映了系統的穩定性問題。相軌跡反映了系統的穩定性問題。一、奇點一、奇點8.3.3 奇點與極限環奇點與極限環二、線性系統的奇點與相軌跡二、線性系統的奇點與相軌跡 由線性理論可知，系統的特征根不同，由線性理論可知，系統的特征根不同，則其穩定性及瞬態響應性能不同。在相則其穩定性及瞬態響應性能不同

34、。在相平面中則表現為相軌跡的形狀和奇點性平面中則表現為相軌跡的形狀和奇點性質不同。質不同。 二階線性系統的方程為：二階線性系統的方程為：022xxx (8-20)(8-20)可見，原點為可見，原點為奇點或穩定點奇點或穩定點。奇點鄰域的運動性質奇點鄰域的運動性質由于在奇點上，相軌跡的斜率不定，由于在奇點上，相軌跡的斜率不定，所以可以引出無窮條相軌跡。所以可以引出無窮條相軌跡。相軌跡在奇點鄰域的運動可以分為相軌跡在奇點鄰域的運動可以分為 1.1.趨向趨向于奇點于奇點 2.2.遠離遠離奇點奇點 3.3.包圍包圍奇點奇點 00dxxd0bxxax 022xxxnn 24baas221,xbxxadxx

35、dkxabxx，0b 04ba2,124baask2nn2212121,xbxxa022xxx0bnn ：1 dx/dt x 穩定節點穩定節點 1 dx/dt x 不穩定節點不穩定節點 12211ksk 0sk, 01 dx/dt x 穩定焦點穩定焦點 022xxxnn 10 dx/dt x 不穩定焦點不穩定焦點 022xxxnn 0 dx/dt x 中心點中心點 。 dx/dt x 鞍點鞍點 j s 平面平面 j0j0j0節點節點穩定焦點穩定焦點中心中心不穩定節點不穩定節點不穩定焦點不穩定焦點鞍點鞍點 1j0 2j021j012根與相軌跡根與相軌跡三、非線性系統的奇點三、非線性系統的奇點)(

36、)(),(ixixxxxfxxxfxxgii 再用線性方程來討論相軌跡的形狀再用線性方程來討論相軌跡的形狀和奇點的性質。和奇點的性質。),(iixx ),(xxf),(xxg 設：奇點為設：奇點為 ， 線性化為線性化為 即：即： 設非線性系統的方程為：設非線性系統的方程為： 0),(xxfx (8-21)(8-21)則線性化后的方程為：則線性化后的方程為：0),(xxgx (8-22)(8-22),(xxf只要只要 是解析的，總可以將方程在奇點附近線性化。是解析的，總可以將方程在奇點附近線性化。例例8-38-3025 . 02xxxx 非線性系統的方程如下：非線性系統的方程如下：試畫出系統的相

37、平面圖。試畫出系統的相平面圖。解：式中解：式中 225 . 0),(xxxxxf由由 求得系統的奇點為求得系統的奇點為：0),(0 xxfx0, 2) 2(0, 0) 1 (xxxx在奇點（在奇點（0,00,0）附近，線性化方程為：）附近，線性化方程為：xxxxxxxgx5 . 02) 0( 5 . 0) 0()22(),(0025 . 0 xxx 即：即：式中阻尼比：式中阻尼比： ， 則奇點則奇點(0,0)(0,0)為穩定焦點。為穩定焦點。10 在奇點（在奇點（-2,0-2,0）附近，令）附近，令y=x+2y=x+2，則方程變為：，則方程變為： 025 . 02yyyy 在在 這一點附近，方

38、程線性化為：這一點附近，方程線性化為：0, 0yy025 . 0yyy yyyyyyygy25 . 05 . 0)0()22(),(0可知，奇點（可知，奇點（-2,0-2,0）為鞍點）為鞍點。 由以上兩種奇點類型的相平面圖結合由以上兩種奇點類型的相平面圖結合起來，可以畫出系統相平面圖的大致形起來，可以畫出系統相平面圖的大致形狀狀,如下圖所示。如下圖所示。x x0-2圖圖8-24 例例8-38-3非線性系統的相平面圖非線性系統的相平面圖四、極限環四、極限環 極限環極限環對應于非線性系統特有的自振蕩現象對應于非線性系統特有的自振蕩現象, ,它它描述了自振蕩的振幅和頻率描述了自振蕩的振幅和頻率. .

39、半穩定極限環半穩定極限環不穩定極限環不穩定極限環穩定極限環穩定極限環極限環可分為極限環可分為: 所謂孤立的封閉軌跡所謂孤立的封閉軌跡, ,是指它臨近的相軌跡都不是指它臨近的相軌跡都不是封閉的是封閉的. .它們或是趨向于極限環它們或是趨向于極限環, ,或是遠離極限環或是遠離極限環. .在相平面圖中在相平面圖中, ,極限環是孤立的封閉軌跡極限環是孤立的封閉軌跡. . 將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區域的特殊相軌跡，將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區域的特殊相軌跡，稱為稱為奇線奇線。 x x 0 x x 0 x x 0 1.1.穩定極限環穩定極限環特點特點: :極限環內外的相軌跡都卷向極限

40、環極限環內外的相軌跡都卷向極限環, ,自振蕩自振蕩 是穩定的是穩定的. .環內環內: :不穩定區域不穩定區域, ,相軌跡發散相軌跡發散環外環外: :穩定區域穩定區域, ,相軌跡收斂相軌跡收斂趨向極限環趨向極限環圖圖8-25 穩定極限環穩定極限環x x0 x(t)t0 如果系統具有這種極限環，且極限環不超過允許如果系統具有這種極限環，且極限環不超過允許的范圍，則可以認為系統是穩定的。設計時應盡量減的范圍，則可以認為系統是穩定的。設計時應盡量減少極限環的大小少極限環的大小, ,以滿足準確度的要求。以滿足準確度的要求。2.2.不穩定極限環不穩定極限環特點特點: :極限環內外的相軌跡都卷離極限環極限環

41、內外的相軌跡都卷離極限環環內環內: :穩定區域穩定區域, ,相軌跡收斂相軌跡收斂環外環外: :不穩定區域不穩定區域, ,相軌跡發散相軌跡發散 這種系統是小范圍穩定這種系統是小范圍穩定, ,大范圍不穩定大范圍不穩定. .設計時設計時應盡量增大穩定區域應盡量增大穩定區域( (即增大極限環即增大極限環).).卷離極限環卷離極限環圖圖8-26 不穩定極限環不穩定極限環x x0 x(t)t03.3.半穩定的極限環半穩定的極限環環內環內, ,環外都不穩定環外都不穩定. . 具有這種極限環的系統是不會產生自振蕩的具有這種極限環的系統是不會產生自振蕩的, ,系系統的狀態最終是發散的。統的狀態最終是發散的。a)

42、圖圖8-27 半穩定的極限環半穩定的極限環x x0 x(t)t0 環內環內, ,環外都是穩定的環外都是穩定的. . 具有這種極限環的系統也不會產生自振蕩的具有這種極限環的系統也不會產生自振蕩的, ,系系統的狀態最終是趨向于環內的穩定奇點。統的狀態最終是趨向于環內的穩定奇點。. .b)圖圖8-28 半穩定的極限環半穩定的極限環x x0 x(t)t0注意：注意：在非線性系統中，可能沒有極限環，也可能在非線性系統中，可能沒有極限環，也可能具有一個或幾個極限環。在進行一般系統設計時，具有一個或幾個極限環。在進行一般系統設計時，應盡量避免產生極限環。如不可能避免時，應盡應盡量避免產生極限環。如不可能避免

43、時，應盡量縮小穩定的極限環，或加大不穩定的極限環。量縮小穩定的極限環，或加大不穩定的極限環。 振蕩器是具有穩定極限環的非線性系振蕩器是具有穩定極限環的非線性系統的典統的典型例子。型例子。例：例： Van der Pol Van der Pol 方程的極限環方程的極限環05101520-4-2024-4-2024-4-2024-4-2024-4-202405101520-4-20240 xxx1x2 )(20 x 20 x)(,)(0.2(0)x 200 x,.)(Simulation 系統如圖系統如圖其中其中T,KT,K為正實數為正實數. .由圖寫出系統的微分方程：由圖寫出系統的微分方程：)2

44、()1()()(2creKeccTsTsKsEsC （在相平面分析法中，一般皆分析誤差函數）（在相平面分析法中，一般皆分析誤差函數）以以c=r-e代入，即可寫出以誤差代入，即可寫出以誤差e e為變量的二階微分方程：為變量的二階微分方程：0)0(, 0)0(CC初始狀態為靜止初始狀態為靜止, ,即即:) 1(TssKR(s)E(s)C(s)+-圖圖8-29 線性系統線性系統rrTkeeeT (8-23)(8-23)8.3.4 線性系統的相平面分析線性系統的相平面分析1.1.階躍響應性能分析階躍響應性能分析: :況況 特征根只有以下兩種情特征根只有以下兩種情: :誤差的初始條件為誤差的初始條件為由

45、初始條件由初始條件0, 0)(0)0(,)0(KTcreeRe)0 , 0(:0:0:,01(t)Rr(t):奇點為奇點為誤差方程變為誤差方程變為則則時時當當階躍輸入信號為階躍輸入信號為KeeeTrrRrt (8-24)(8-24)圖圖8-30 階躍輸入階躍輸入tr(t)R0（1）一對負實部的共軛復根）一對負實部的共軛復根欠阻尼欠阻尼即即,10:奇點為穩定焦點，相軌跡及時間解如下：奇點為穩定焦點，相軌跡及時間解如下：.)(; 0)()(pssceba標的絕對值標的絕對值相軌跡與負實軸交點坐相軌跡與負實軸交點坐; ;過渡過程振蕩次數過渡過程振蕩次數相軌跡繞原點的圈數相軌跡繞原點的圈數: :阻尼振

46、蕩阻尼振蕩系統是穩定的;系統是穩定的;: :響應性能響應性能圖圖8-31 欠阻尼時的相軌跡及時間解欠阻尼時的相軌跡及時間解0e e(R,0) p0e(t)tR p(2)2)兩個不等的負實根兩個不等的負實根:.1:相軌跡及時間解如下相軌跡及時間解如下奇點為穩定節點奇點為穩定節點過阻尼過阻尼即即響應性能：響應性能：(a),(b)(a),(b)與前同與前同; ; (c) (c)響應是單調衰減的。響應是單調衰減的。 圖圖8-32 過阻尼時的相軌跡及時間解過阻尼時的相軌跡及時間解(R,0)e e00e(t)tR2.2.斜坡響應性能分析斜坡響應性能分析0,0.,)(:rvrtvRvtRtr 時時當當皆為常

47、數皆為常數輸入的斜坡信號為輸入的斜坡信號為圖圖8-33 斜坡斜坡輸入輸入r(t)t0RvvvcreRRcreKvKveKeeTvKeeeT0)0()0()0(0)0()0()0(:)0 ,(:0)(,: 誤差的初始條件為誤差的初始條件為奇點為奇點為或或則誤差方程變為則誤差方程變為(8-25)(8-25) 分析后可知，相軌跡與階躍輸入時相分析后可知，相軌跡與階躍輸入時相同，只是向右移動了同，只是向右移動了 一段距離。一段距離。Kv與階躍響應的差異：（與階躍響應的差異：（1 1）奇點位置，初始狀態不同）奇點位置，初始狀態不同; ; （2 2）穩態誤差為）穩態誤差為 . .Kv圖圖8-34 斜坡斜坡

48、輸入輸入時的相軌跡時的相軌跡V/K0e e(R,v)a).欠阻尼欠阻尼V/Ke e0(R,v)b).過阻尼過阻尼3.3.脈沖響應性能分析脈沖響應性能分析”相同。”相同。均與“均與“），（可見方程及奇點可見方程及奇點誤差方程誤差方程時時當當輸入單位脈沖函數輸入單位脈沖函數1000:0,0)(KeeeTrrtt 下面求初始條件：下面求初始條件：)0()0(, )0()0(:0)0()0(,0cecerrt則則時時當當r(t)t0圖圖8-35 脈沖脈沖輸入輸入TKKsTsKsscscess22limlim)()0()0(1)()()()0()()()()0(2limKsTsKsRsGsCfsFssf

49、sFsfBs微分定理：微分定理：拉氏變換的初值定理：拉氏變換的初值定理：0)()0()0(2limlimKsTsKsscscess相軌跡如下：相軌跡如下：結論：結論：.決于輸入信號決于輸入信號奇點位置與初始條件取奇點位置與初始條件取取決于特征根的分布取決于特征根的分布相平面圖及奇點的性質相平面圖及奇點的性質線性系統線性系統圖圖8-36 脈沖脈沖輸入輸入時的相軌跡時的相軌跡0e e-K/Te e0-K/Ta).欠阻尼欠阻尼b).過阻尼過阻尼 對于分段線性的非線性系統來說，相平面分析法的對于分段線性的非線性系統來說，相平面分析法的步驟為：步驟為： （1）用）用n條分界線（開關線，轉換線）將相平面分

50、成條分界線（開關線，轉換線）將相平面分成n個線性區域；個線性區域；（2 2）分別寫出各個線性區域的微分方程；）分別寫出各個線性區域的微分方程；（3 3）求出各線性區的奇點位置并畫出相平面圖；）求出各線性區的奇點位置并畫出相平面圖； （4 4）將各相鄰區的相軌跡聯成連續曲線）將各相鄰區的相軌跡聯成連續曲線-非線性系統的相軌跡。非線性系統的相軌跡。8.3.5 非線性系統的相平面分析非線性系統的相平面分析關于奇點：關于奇點： （2 2）當奇點位于本線性區域之內）當奇點位于本線性區域之內-實奇點；實奇點； 當奇點位于本線性區域之外當奇點位于本線性區域之外-虛奇點；該區域的相軌跡永遠不虛奇點；該區域的相

51、軌跡永遠不能到達此點；能到達此點；下面分析幾種具有典型非線性特性的控制系統：下面分析幾種具有典型非線性特性的控制系統：（3 3）二階非線性系統只可能有一個實奇點。）二階非線性系統只可能有一個實奇點。（1 1）每個線性區有一個奇點；）每個線性區有一個奇點；1.具有非線性增益的系統具有非線性增益的系統采用非線性增益的優點：采用非線性增益的優點： 使系統的響應速度較快，使系統的響應速度較快， 而超調和振蕩都比較小。而超調和振蕩都比較小。NG) 1(TssKr(t)e(t)m(t)c(t)+-圖圖8-37 具有非線性增益的系統具有非線性增益的系統00eekeeeem(8-26)(8-26)me01ke

52、0-e0k1時時，N/K=0。1.0N / K01.0/A圖圖8-68 8-68 N / K對對/A 的函數關系曲線的函數關系曲線因此，死區非線性的描述函數為：因此，死區非線性的描述函數為：)()(1)(sin22211AAAAKABN(8-50)(8-50)21)A(1A)A(sin2KKN(8-51)(8-51)死區非線性的描述函數又可以寫為：死區非線性的描述函數又可以寫為： 其輸入輸出波形如其輸入輸出波形如下圖所示：下圖所示：4.4.飽和非線性飽和非線性eya-a斜率斜率k0a)0 00 0aAe(t)=Asin ty1(t)=Y1sin ty(t) / -t1t1etytb)圖圖8-6

53、9 8-69 飽和非線性的輸入輸出波形飽和非線性的輸入輸出波形ttKAtttKAtttKAtytytsinsin)(:)(,0,111由由下下式式給給出出其其輸輸出出時時當當飽飽和和非非線線性性特特性性對對于于具具有有如如上上圖圖所所示示的的)(sinsin:)(sin)(sin4)(sin)(4)(sin)(10,0,)(111202202011111AattAattdKAttdKAttdtyttdtyBAtytt即即注注意意到到為為奇奇函函數數由由于于211212211)(1)(sin2:,)(1)(sin2)(1)(122(4,AaAaAaKABNAaAaAaKAAaKaAaAatKAB

54、描描述述函函數數為為具具有有飽飽和和非非線線性性元元件件的的于于是是因因此此(8-52)(8-52)a/AN/k1.01.00圖圖8-70 8-70 N/k對對 a/A的的 函數關系曲線函數關系曲線 對對 的函數關系曲線如圖的函數關系曲線如圖8-708-70所示：所示：AakN 由圖可知由圖可知, ,當當 時，描述函數時，描述函數的值為的值為1，說明輸出與輸入成正比例，說明輸出與輸入成正比例，不存在飽和現象。不存在飽和現象。 1Aa其他一些常用非線性特性的描述函數示于下表：其他一些常用非線性特性的描述函數示于下表：（3 3）死區非線性與飽和非線性的）死區非線性與飽和非線性的N存在如下關系：存在

55、如下關系： 當當 = ，且，且K 相同時，相同時，N死區死區=K- -N飽和。飽和。（4 4）若非線性特性為其他幾個非線性的組合時，則其描述）若非線性特性為其他幾個非線性的組合時，則其描述 函數亦為其他幾個描述函數的線性組合，即描述函數可應用疊加原理。函數亦為其他幾個描述函數的線性組合，即描述函數可應用疊加原理。 如：非線性如：非線性Z=x+y，其中，其中x=fx(e) Nx ; y=f(e) Ny， 則則Nz=Nx+Ny 因此，由表所給出的結果，還可以推出一些更復雜的非線性特性的因此，由表所給出的結果，還可以推出一些更復雜的非線性特性的N。01（1 1）若非線性為單值函數，則）若非線性為單值

56、函數，則 ，N為實數；為實數；01（2 2）若非線性為多值函數，則）若非線性為多值函數，則 ，N為復數；為復數；由表可知由表可知:典型的非線性系統如下圖所示：典型的非線性系統如下圖所示：圖圖8-71 8-71 典型非線性系統典型非線性系統如果滿足前述的二個條件如果滿足前述的二個條件,即即:1）非線性特性是對稱的）非線性特性是對稱的;2）線性部分具有良好的低通濾波性能）線性部分具有良好的低通濾波性能.那么系統中的非線性元件就可以等效地用描述函數來近似描述那么系統中的非線性元件就可以等效地用描述函數來近似描述,它相當于它相當于一個實變一個實變量或復變量的增益量或復變量的增益.線性部分線性部分G(s

57、)+-非線性元件非線性元件Nr(t)e(t)y(t)c(t)8.4.3 8.4.3 描述函數分析法描述函數分析法由此由此,閉環系統的頻率特性為閉環系統的頻率特性為: 可見可見,它與線性系統的特征方程類似它與線性系統的特征方程類似.因此因此,可以利用頻率法的某些方法和結論可以利用頻率法的某些方法和結論,來分析來分析: 非線性系統的穩定性非線性系統的穩定性;自振蕩的穩定性自振蕩的穩定性;確定振蕩的振幅和頻率確定振蕩的振幅和頻率. 但是但是,描述函數僅僅是在正弦輸入作用下對非線性系統的描述描述函數僅僅是在正弦輸入作用下對非線性系統的描述,因此因此,它不適于它不適于分析系統的瞬態響應性能分析系統的瞬態

58、響應性能.)(1)()()(jNGjNGjRjC(8-53)(8-53)特征方程為特征方程為:0)(1jNG(8-54)(8-54)一、穩定性分析一、穩定性分析特征方程特征方程:0)(1jNG(8-55)(8-55)NjG1)(可以改寫為可以改寫為(8-56)(8-56)1)(jG它與線性系統的特征方程它與線性系統的特征方程 相比較相比較:N1只是在非線性系統中只是在非線性系統中,N是非線性元件輸入幅值是非線性元件輸入幅值A的函數的函數,當當A值的范圍為值的范圍為 時時,對應的對應的 則為一條曲線則為一條曲線.故在非線性系統中故在非線性系統中,“臨界點臨界點”為為 曲線曲線.因此因此,可可以根

59、據線性部分的頻率特性以根據線性部分的頻率特性 曲線和曲線和“臨界點臨界點”軌跡軌跡 的相對位置的相對位置,借借助頻率法的某些結論和方法助頻率法的某些結論和方法,來判斷非線性系統的穩定性來判斷非線性系統的穩定性.0)(jGN1N1相當于線性系統的臨界點相當于線性系統的臨界點(-1,j0).N1假設線性部分是最小相位的，則穩定假設線性部分是最小相位的，則穩定性判據是：性判據是： 1 1）如果）如果 1/N 曲線沒有曲線沒有被被G(j )曲線所包圍，如圖，曲線所包圍，如圖，則系統是穩定的。在穩定狀則系統是穩定的。在穩定狀態下，系統沒有自振蕩。態下，系統沒有自振蕩。G( (j ) )通常是用圖解法在復

60、平面上畫出通常是用圖解法在復平面上畫出G(j )曲線和曲線和 1/N曲線。曲線。ReIm0-1-1/ NA圖圖8-72 穩定的非線性系統穩定的非線性系統則系統是不穩定的。則系統是不穩定的。當受到任何擾動時，系統輸當受到任何擾動時，系統輸出將逐漸增大。出將逐漸增大。A-1/-1/NG( (j ) ) 2 2）如果）如果 1/N 曲線被曲線被 G(j ) 曲線包圍，如圖，曲線包圍，如圖，ReIm0圖圖8-73 不穩定的非線性系統不穩定的非線性系統 3)3)如果如果-1/N曲線和曲線和G(j )曲線曲線相交相交, ,如圖如圖. .則系統處于臨界穩定則系統處于臨界穩定狀態狀態, ,可能會出現自振蕩即極