1、1.異面直線所成角設(shè)直線設(shè)直線, l m的方向向量分別為的方向向量分別為, a b lamlamb 若兩直線 所成的角為 , 則, l m(0)2cosa ba b 復(fù)習(xí)引入第1頁(yè)/共15頁(yè)方向向量法 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。如圖（2），設(shè)二面角 的大小為其中AB lCDlCDABl,CDABCDABCDAB,coscosDCLBA2、二面角第2頁(yè)/共15頁(yè)注意法向量的方向：同進(jìn)同出，二面角等于法向量夾角的補(bǔ)角；一進(jìn)一出，二面角等于法向量夾角Lnm 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角。如圖，向量 ，則二面角 的大小 mn，lnm

2、,nm, 2、二面角若二面角 的大小為 , 則l (0)cos.u vu v 法向量法第3頁(yè)/共15頁(yè)212)0,20(21ABn221213. 線面角設(shè)n為平面 的法向量，直線AB與平面 所成的角為 ，向量 與n所成的角為 ，則1AB2n而利用 可求 ，從而再求出 21nABnAB2cos第4頁(yè)/共15頁(yè)3. 線面角 ua ula 設(shè)直線l的方向向量為 ，平面 的法向量為 ，且直線 與平面 所成的角為 ( ),則a u l02 sina ua u 第5頁(yè)/共15頁(yè)2、如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a=（1，0，1），b=（0，1，1），那么這條斜線與平面所成的角是_

3、 .3、已知兩平面的法向量分別m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的鈍二面角為_ .基礎(chǔ)訓(xùn)練:1、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),則平面ABC的一個(gè)法向量是_ .AB AC 6001350第6頁(yè)/共15頁(yè)ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN|sin|nADnAD解：如圖建立坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA由的法向量設(shè)平面),(zyxn 00nNAnMA0340626zyzyx即在長(zhǎng)方體 中，ADANM求與平面所成的角的

4、正弦值.例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 為上的一點(diǎn),且1NAD點(diǎn) 在線段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB第7頁(yè)/共15頁(yè)ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34, 1 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又ADANM與平面所成角的正弦值是34343|sin|nDAnDA在長(zhǎng)方體 中，ADANM求與平面所成的角的正弦值.例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 為上的一點(diǎn),且1NAD點(diǎn) 在線段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB第8頁(yè)/共15頁(yè)例2、如圖，在四棱

5、錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC= ，SA=SB= .(1)求證 (2)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值。045ABC2 23.SABCSABCDOxyz【典例剖析】 第9頁(yè)/共15頁(yè)例3 如圖,在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD= ，在線段BC上是否存在一點(diǎn)E,使PA與平面PDE所成角的大小為450? 若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在說(shuō)明理由。 【典例剖析】 3DBACEPxzy第10頁(yè)/共15頁(yè)(0,0,1),(3,0,1),(3,1,0)APDPDEm ( ,),30,3 ,(

6、3 )0,(3) ,PD Enx y znD P nD Exzzxmxyym x 設(shè) 平 面的 法 向 量 為則解 得1,(1, 3, 3),xnm令得2345sin45,4( 3)PAPDEm與平面所成角的大小為32323245mmBEPAPDE解得或（舍），因此，當(dāng)時(shí)，與平面所成角的大小為。解：以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為X軸、Y軸、Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，(0,0,0),(0,0,1),( 3,0,0),( ,1,0),APDE m設(shè)BE=m，則第11頁(yè)/共15頁(yè)例4、(2004，天津)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD 底面ABCD，PD

7、=DC，E是PC的中點(diǎn)。(1)證明：PA/平面EDB；(2)求EB與底面ABCD所成的角的正切值?！镜淅饰觥?ABCDPEGxyz第12頁(yè)/共15頁(yè)【鞏固練習(xí)】 1 三棱錐P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E為PC中點(diǎn) ,則PA與BE所成角的余弦值為_ . 2 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 則AC1與截面BB1CC1所成角的余弦值為_ . 3正方體中ABCD-A1B1C1D1中E為A1D1的中點(diǎn), 則二面角E-BC-A的大小是_090BAC090BAC6631 01 0045第13頁(yè)/共15頁(yè)如圖，已知：直角梯形OABC中，OABC,AOC=90，SO面OABC