1、2.2 收斂數列的性質1、獨一性、獨一性2、有界性、有界性3、保號性、保號性4、保不等式性、保不等式性5、四那么運算、四那么運算6、迫斂性、迫斂性7、子數列的收斂性、子數列的收斂性1、獨一性、獨一性定理定理2.2 2.2 每個收斂的數列只需一個極限每個收斂的數列只需一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設由定義由定義,使使得得., 021NN ;1 axNnn時恒有時恒有當當;2 bxNnn時時恒恒有有當當 ,max21NNN 取取時時有有則則當當Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .時時才才能能成成立立上上式式僅僅當當ba 故收斂數列極限獨一故收斂數列極限

2、獨一.2、有界性、有界性例如例如,;1 nnxn數列數列.2nnx 數數列列數數軸軸上上對對應應于于有有界界數數列列的的點點nx都都落落在在閉閉區區間間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理2.3 2.3 收斂的數列必定有界收斂的數列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, axNnNn時時恒恒有有使使得得當當則則. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數則對一切自然數 .有界有界故故nx留意：有界性是數列收斂的必要條件留意：有界性是數列收斂的必要條件.推論推論 無界數列必定發散無界數列必定發散. .例例1.

3、)1(1是是發發散散的的證證明明數數列列 nnx證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成成立立有有時時使使得得當當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即即當當區間長度為區間長度為1.,1, 1兩兩個個數數無無休休止止地地反反復復取取而而 nx不能夠同時位于長度為不能夠同時位于長度為1的區間內的區間內., ,但卻發散但卻發散是有界的是有界的事實上事實上nx0axn20baaxn0byn20babyn2|baaan從而 22babaaan定理2.6 (收斂數列的保號性) 假設數列xn收斂于a, 且a0(或a0) 那么存在正整數N 當nN時 有xn0(或xn

4、0)推論 假設數列xn從某項起有xn0(或xn0) 且數列xn收斂于a 那么a0(或a0)nxnxnx證證,azaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ( 雙逼原理雙逼原理 ),1 ayNnn時時恒恒有有當當,2 azNnn時時恒恒有有當當,max21NNN 取取上兩式同時成立上兩式同時成立, ayan即即, azan恒恒有有時時當當,Nn , azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述數列極限存在的準那么可以推行到函數的極限上述數列極限存在的準那么可以推行到函數的極限例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnnnnnn

5、nn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn6 絕對值收斂性絕對值收斂性: . lim ,limaaaannnn ( 留意反之不成立留意反之不成立 ). .0 lim ,0limnnnnaa 推論推論 設數列設數列 na 和和 nb 收斂收斂, 那么那么 .lim , lim min , min lim, lim , lim max , maxlimnnnnnnnnnnnnnnbabababa7數列極限的四那么運算法那么 (1)BAyxnnn)(lim (2)BAyxnnn)(lim (3

6、)當0ny(n1 2 )且 B0 時 BAyxnnnlim 定理2.8 設有數列xn和yn 假設Axnnlim Bynnlim 那么例例4 求求lim(1)nnnnli m1nnnaa 例例4 求求解：解： 分分 a=1， |a|1 三種情況三種情況 解：分子有理化1010limmmknka na nab nb nb例例3 求求8、子數列的收斂性、子數列的收斂性 的子數列（或子列）的子數列（或子列）的一個數列稱為原數列的一個數列稱為原數列到到中的先后次序，這樣得中的先后次序，這樣得這些項在原數列這些項在原數列保持保持中任意抽取無限多項并中任意抽取無限多項并定義：在數列定義：在數列nnnxxx,

7、21nixxxx,21knnnxxx .kkknnnnkkxxkxxnnk在子數列中，一般項是第 項，而在原數列中卻是第項，顯然，留意：留意：例如，例如，定理定理7 7 收斂數列的任一子數列也收斂且極限一收斂數列的任一子數列也收斂且極限一樣樣證證 的的任任一一子子數數列列是是數數列列設設數數列列nnxxk,limaxnn ., 0, 0 axNnNn恒恒有有時時使使,NK 取取,時時則當則當Kk .kKNnnnN. axkn.limaxknk 證證畢畢例例4對于數列對于數列xn )(2 kaxk若若)(12 kaxk)( naxn則則證證0 知知由由axkk 2lim時時，有有使使當當11,K

8、kK |2axk知知再由再由axkk 12lim時，有時，有使當使當22,KkK |12axk12 ,2max21 KKN取取時時則則當當Nn 11222KmKmmn 則則若若此時有此時有 |2axaxmn22121212KmKmmn 則則若若此時有此時有 |12axaxmn總之：總之：0 N 時時使使當當Nn 恒有恒有 |axnaxnn lim即即)(),()(| naxqpaNBABqxApxxnqpn則則趨趨于于同同一一極極限限值值其其中中與與：若若子子數數列列對對數數列列Th ( 數列收斂充要條件 ) na 收收斂斂 naTh ( 數列收數列收斂斂充要條件充要條件 ) na 收收斂斂

9、子列子列 12 na 和和 na2收收斂斂于同一極限于同一極限. 的任何子列收斂的任何子列收斂 于同一極限于同一極限.Th ( 數列收數列收斂斂充要條件充要條件 ) na 收收斂斂 子列子列 12 ka、ka23ka都收都收斂斂. 和和 思索題思索題指指出出下下列列證證明明1lim nnn中中的的錯錯誤誤 證明證明要使要使,1 nn只需使只需使)1ln(ln1 nn從而由從而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N當當 時，必有時，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思索題解答思索題解答 1nn)1ln(ln1 nn等價等價證明中所采用的證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實踐上就是不等式實踐上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒有采用即證明中沒有采用“適當放大適當放大 的值的值nnln從而從而 時，時，2ln)1ln( Nn僅有僅有 成立，成立，)1ln(2