1、第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎第第 2 章邏輯代數基礎章邏輯代數基礎 概述概述邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法邏輯代數中的基本定律和常用公式邏輯代數中的基本定律和常用公式邏輯函數的公式化簡法邏輯函數的公式化簡法邏輯函數的卡諾圖化簡法邏輯函數的卡諾圖化簡法本章小結本章小結邏輯代數中的常用運算邏輯代數中的常用運算第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.1 概概 述述主要要求：主要要求： 理解邏輯值理解邏輯值 1 1和和 0 0 的含義。的含義。理解邏輯體制的含義。理解邏輯體制的含義。第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 用于描述客觀事物邏輯關系的數學工具，又稱布爾代數用于

2、描述客觀事物邏輯關系的數學工具，又稱布爾代數 ( (Boole Algebra) )或開關代數。或開關代數。邏輯指事物因果關系的規律。邏輯指事物因果關系的規律。 邏輯代數描述客觀事物間的邏輯關系，相應的函數邏輯代數描述客觀事物間的邏輯關系，相應的函數稱邏輯函數，變量稱邏輯變量。稱邏輯函數，變量稱邏輯變量。邏輯變量和邏輯函數的取值都只有兩個，邏輯變量和邏輯函數的取值都只有兩個，通常用通常用 1 1和和 0 0 表示。表示。 與普通代數比較與普通代數比較用字母表示變量，用代數式描述客觀事物間的關系。用字母表示變量，用代數式描述客觀事物間的關系。 相似處相似處 相異處相異處運算規律有很多不同。運算規

3、律有很多不同。 一、一、邏輯代數邏輯代數第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎邏輯代數中的邏輯代數中的 1 1 和和 0 0 不表示數量大小，不表示數量大小，僅表示兩種相反的狀態。僅表示兩種相反的狀態。 注意注意例如：開關閉合為例如：開關閉合為 1 1 晶體管導通為晶體管導通為 1 1 電位高為電位高為 1 1 斷開為斷開為 0 0 截止為截止為 0 0 低為低為 0 0二、邏輯體制二、邏輯體制 正邏輯體制正邏輯體制 負邏輯體制負邏輯體制 規定高電平為邏輯規定高電平為邏輯 1 1、低電平為邏輯、低電平為邏輯 0 0 規定低電平為邏輯規定低電平為邏輯 1 1、高電平為邏輯、高電平為邏輯 0 0

4、 通常未加說明，則為正邏輯體制通常未加說明，則為正邏輯體制第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.2 邏輯代數中的常用運算邏輯代數中的常用運算 主要要求：主要要求： 掌握邏輯代數的常用運算。掌握邏輯代數的常用運算。掌握邏輯代數的常用復合邏輯運算。掌握邏輯代數的常用復合邏輯運算。掌握常用邏輯符號（國家標準）。掌握常用邏輯符號（國家標準）。 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.2.1 基本邏輯運算基本邏輯運算一、一、與與運算運算 決定某一事件的所有條件都具備決定某一事件的所有條件都具備時，該事件才發生。時，該事件才發生。1 11 11 1YA B0 00 00 00 00 10 10

5、01 01 0邏輯表達式邏輯表達式 Y = A B 或或 Y = AB 與與門門 ( (AND gate) )入有入有 0 0 出出 0 0入全入全 1 1 出出 1 1滅滅斷斷斷斷亮亮合合合合滅滅斷斷合合滅滅合合斷斷燈燈 Y開關開關 B開關開關 A開關開關 A、B 都閉合時，都閉合時，燈燈 Y 才亮。才亮。 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎二、二、 或或運算運算 決定某一事件的諸條件中，只要有一決定某一事件的諸條件中，只要有一個或一個以上具備時，該事件就發生。個或一個以上具備時，該事件就發生。入有入有 1 1 出出 1 1入全入全 0 0 出出 0 0 0 00 00 01 11 1

6、1 1YA B1 10 10 11 11 01 0邏輯表達式邏輯表達式 Y = A + B 或或門門 ( (OR gate) ) 1 開關開關 A 或或 B 閉合或兩者都閉合時，燈閉合或兩者都閉合時，燈 Y 才亮。才亮。滅滅斷斷斷斷亮亮合合合合亮亮斷斷合合亮亮合合斷斷燈燈 Y開關開關 B開關開關 A第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎三、三、非非運算運算決定某一事件的條件滿足時，決定某一事件的條件滿足時，事件不發生；反之事件發生事件不發生；反之事件發生。 開關閉合時燈滅，開關閉合時燈滅， 開關斷開時燈亮。開關斷開時燈亮。 0 01 11 10 0YA邏輯表達式邏輯表達式 Y = A 1 非

7、非門門( (NOT gate) ) 又稱又稱“反相器反相器” 入入 0 0 出出 1 1入入 1 1 出出 0 0 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.2.2 復合邏輯運算復合邏輯運算 與非與非運算運算( (NAND) )先先與與后后非非入有入有 0 0 出出1 1入全入全 1 1 出出 0 01 10 00 00 01 11 1YA B1 10 10 11 11 01 00 01 1 1 1或非或非運算運算 ( NOR )先先或或后后非非入有入有 1 1 出出 0 0入全入全 0 0 出出1 11 10 0 0 0YA B0 00 0 1 10 01 1 0 0與與或或非非 運算運算

8、 ( (AND OR INVERT) )先先與與后后或或再再非非由基本邏輯運算組合而成由基本邏輯運算組合而成第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎異或異或運算運算 ( (Exclusive OR) )入相異出入相異出1 1入相同出入相同出0 0同或同或運算運算 ( (Exclusive - NOR，即，即異或非異或非) )入相同出入相同出 1 1入相異出入相異出 0 00 00 00 00 01 11 1YA B1 10 10 11 11 01 01 10 00 01 11 11 1YA B0 00 10 10 01 01 0注意注意：異或異或和和同或同或互為反函數，即互為反函數，即第第 2

9、 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎國標符號國標符號曾用符號曾用符號美國符號美國符號邏輯符號對照邏輯符號對照 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.3 邏輯代數中的基本定律和常用公式邏輯代數中的基本定律和常用公式主要要求：主要要求： 掌握邏輯代數的掌握邏輯代數的基本定律和常用公式。基本定律和常用公式。掌握邏輯代數的掌握邏輯代數的重要規則。重要規則。第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.3.1 邏輯代數中的基本定律邏輯代數中的基本定律 常量間的運算常量間的運算 邏輯變量與常量的運算邏輯變量與常量的運算0 0 0 0 = 0 00 0 1 1 = 0 01 1 0 0 = 0 01 1 1

10、 1 = 1 10 0+ 0 0 = 0 00 0+ 1 1 = 1 11 1 + 0 0 = 1 11 1 + 1 1 = 1 10 1 律律重迭律重迭律 互補律互補律 還原律還原律 0 0 + A = A1 1 + A = 1 1 1 1 A = A0 0 A = 0 0A + A = A A A = A 1 1 = 0 00 0 = 1 1A+A = 1 1 A A =0 A = A第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎交換律交換律 A + B = B + A A B = B A結合律結合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分

11、配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代數沒有！普通代數沒有！ 與普通代數相似的定律與普通代數相似的定律 推廣公式：推廣公式：摩根定律摩根定律 ( (又稱反演律又稱反演律) ) 2.3.1 邏輯代數中的基本定律邏輯代數中的基本定律 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎A B C A + BC (A + B) (A + C)0 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 10 1 11 0 01 0 01 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 11 11 11 11 11 11 11 11 11

12、 11 10 00 0 例例 證明等式證明等式 A + BC = (A + B) (A + C)。解：解： 真值表法真值表法公式法公式法右式右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展開用分配律展開 = AA + AC + BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 1 + C + B) + BC= A 1 1 +BC= A + BC0 00 00 00 0第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 AB+AC+BC= AB+AC+BC(A+A)= AB+AC+ABC+ABCA + AB = A A + AB = A (1 + B) = A2.3.2 邏輯代數中的常用公

13、式邏輯代數中的常用公式 AB+AB = A (B+B) =AAB+AB = AA+AB = A+B A+AB= (A+A)(A+B) AB+AC+BC=AB+AC= A+B= AB(1 1+C)= AB+AC+AC (1 1+B)第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 A B + A B = A B A B思考：思考：( (1) ) 若已知若已知 A + B = A + C，則，則 B = C 嗎？嗎？ ( (2) ) 若已知若已知 AB = AC，則，則 B = C 嗎？嗎？ 2.3.2 邏輯代數中的常用公式邏輯代數中的常用公式A + AB = A = (A+B)(A+B)推廣公式：推廣公

14、式：AB+AC+BCD =AB+ACA B + A B = A B + A B= AA+A B+AA+BB= A B+AB第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎例例 A+AB=A+B2.3.3 邏輯代數中的三個基本規則邏輯代數中的三個基本規則 一、一、 代入規則代入規則 B均用均用C代替代替利用代入規則能擴展基本定律的應用。利用代入規則能擴展基本定律的應用。 將邏輯等式兩邊的某一變量均用同將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個邏輯函數替代，等式仍然成立。一個邏輯函數替代，等式仍然成立。 A A A A均用均用 代替代替A均用均用A代替代替= A+AB=A+B第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基

15、礎(A+ ) (C+D)變換時注意：變換時注意：( (1) ) 不能改變原來的運算順序。不能改變原來的運算順序。( (2) ) 原變量變成反變量，反變量換成原變量只對單原變量變成反變量，反變量換成原變量只對單 個變量有效，而對長非號保持不變。個變量有效，而對長非號保持不變。 求邏輯函數的反函數有兩種方法：利用反演規求邏輯函數的反函數有兩種方法：利用反演規則或摩根定律均可。則或摩根定律均可。 原運算次序為原運算次序為 二、反演規則二、反演規則 對任一個邏輯函數式對任一個邏輯函數式 Y，將，將“”換成換成“+”，“+”換成換成“”，“0 0”換成換成“1 1”，“1 1”換成換成“0 0”，原變量

16、換成反變量，反變量，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原邏輯函數的反函數換成原變量，則得到原邏輯函數的反函數Y 。例例 A B+C + CDBC Y=第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 三、對偶規則三、對偶規則 對任一個邏輯函數式對任一個邏輯函數式 Y，將，將“”換成換成“+”+”，“+”+”換成換成“”，“0 0”換成換成“1 1”，“1 1”換成換成“0 0”，則得到原邏，則得到原邏輯函數式的對偶式輯函數式的對偶式 Y 。 對偶規則：兩個函數式相等，則它們的對偶式也相等。對偶規則：兩個函數式相等，則它們的對偶式也相等。 應用對偶規則可將基本公式和定律擴展一倍。應用對偶規則可將

17、基本公式和定律擴展一倍。 變換時注意：變換時注意：( (1) ) 變量上的變量上的非非號不改變。號不改變。 ( (2) ) 不能改變原來的運算順序。不能改變原來的運算順序。A + AB = A A (A + B) = A 例例例例第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.4 邏輯函數及其表示方法邏輯函數及其表示方法 主要要求：主要要求： 理解并初步掌握理解并初步掌握邏輯函數的建立和表示的方法。邏輯函數的建立和表示的方法。 掌握真值表、邏輯式和邏輯圖的特點及其掌握真值表、邏輯式和邏輯圖的特點及其相相互轉換的方法互轉換的方法。 理解理解最小項的概念與編號最小項的概念與編號方法，了解其主要性方法，

18、了解其主要性質。質。第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 例例 圖示為控制樓道照明的開關電路。圖示為控制樓道照明的開關電路。兩個單刀雙擲開關兩個單刀雙擲開關 A 和和 B 分別安裝在樓上分別安裝在樓上和樓下。上樓之前，在樓下開燈，上樓后和樓下。上樓之前，在樓下開燈，上樓后關燈；反之，下樓之前，在樓上開燈，下關燈；反之，下樓之前，在樓上開燈，下樓后關燈。試畫出控制功能與之相同的邏樓后關燈。試畫出控制功能與之相同的邏輯電路。輯電路。 ( (1) ) 分析邏輯問題，建立邏輯函數的真值表分析邏輯問題，建立邏輯函數的真值表1 11 1YA B0 00 00 00 01 11 10 10 11 01

19、0解：解：方法：找出輸入變量和輸出函數，對它們的取值方法：找出輸入變量和輸出函數，對它們的取值作出邏輯規定，然后根據邏輯關系列出真值表。作出邏輯規定，然后根據邏輯關系列出真值表。 設開關設開關 A、B合向左側時為合向左側時為 0 0 狀態，合向右狀態，合向右側時為側時為 1 1 狀態；狀態；Y 表示燈，燈亮時為表示燈，燈亮時為 1 1 狀態，燈狀態，燈滅時為滅時為 0 0 狀態。則可列出真值表為狀態。則可列出真值表為 一、邏輯函數的建立一、邏輯函數的建立2.4.1 邏輯函數的建立邏輯函數的建立第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎( (3) ) 畫邏輯圖畫邏輯圖 與或與或表達式表達式( (可

20、用可用 2 個個非非門、門、 2 個個與與門和門和 1 個個或門或門實現實現) )異或非異或非表達式表達式( (可用可用 1 個個異異或或門和門和 1 個個非非門實現門實現) ) 設計邏輯電路的基本原則是使電路最簡。設計邏輯電路的基本原則是使電路最簡。( (2) ) 根據真值表寫出邏輯式根據真值表寫出邏輯式BA = A BBAABY 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 邏輯函數是用以描述數字邏輯系統輸出與輸入變量邏輯函數是用以描述數字邏輯系統輸出與輸入變量之間邏輯關系的表達式。之間邏輯關系的表達式。 常采用真值表、邏輯函數式、卡諾圖和邏輯圖等表示。常采用真值表、邏輯函數式、卡諾圖和邏輯圖

21、等表示。1. 真值表真值表 描述輸入變量的所有取值組合及其對描述輸入變量的所有取值組合及其對應輸出邏輯函數值的表格稱為真值表。應輸出邏輯函數值的表格稱為真值表。列列真真值值表表方方法法 ( (1) )按按 n 位二進制數遞增的方式列位二進制數遞增的方式列 出輸入變量的各種取值組合。出輸入變量的各種取值組合。( (2) ) 分別求出各種組合對應的輸出分別求出各種組合對應的輸出 邏輯值填入表格邏輯值填入表格。2.4.1 邏輯函數的建立邏輯函數的建立 二、邏輯函數的表示二、邏輯函數的表示第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎YDCBA輸出變量輸出變量 輸輸 入入 變變 量量 的的真真值值表表。求求

22、函函數數例例 CDABY 0 00 00 00 00 01 11 11 10 01 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 10 01 11 10 00 01 11 11 11 10 01 10 01 10 01 11 10 00 01 10 00 00 01 11 11 11 10 00 01 11 10 01 10 01 10 00 00 01 10 01 11 10 00 00 01 10 00 01 10 00 00 00 00 00 00 04 個輸入個輸入變量有變量有 24 = 16 種取種取值組合。值組合。第第 2 章章 邏輯代數

23、基礎邏輯代數基礎( (1) )找出函數值為找出函數值為 1 1 的項。的項。( (2) )將這些項中輸入變量取值為將這些項中輸入變量取值為 1 1的用原變量代替，的用原變量代替， 取值為取值為 0 0 的用反變量代替，則得到一系列與項。的用反變量代替，則得到一系列與項。( (3) )將這些與項相加即得邏輯式。將這些與項相加即得邏輯式。2. 邏輯函數式邏輯函數式 表示輸出函數和輸入變量邏輯關系的表達表示輸出函數和輸入變量邏輯關系的表達式。又稱邏輯表達式，簡稱邏輯式。式。又稱邏輯表達式，簡稱邏輯式。邏輯函數邏輯函數式一般根據真值表、卡諾圖或邏輯圖寫出。式一般根據真值表、卡諾圖或邏輯圖寫出。真值表真

24、值表邏輯式邏輯式 例例 ABC100011110 00 01 11 10 01 10 01 10 00 00 01 10 00 01 10 00 01 10 00 0YCBA0 01 11 10 01 10 00 00 01 11 11 11 1邏輯式為邏輯式為 A B C第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎3. 邏輯圖邏輯圖 運算次序為先運算次序為先非非后后與與再再或或，因此用三，因此用三級門電路實現之。級門電路實現之。根據邏輯式畫根據邏輯式畫邏輯圖的方法邏輯圖的方法: :將各級邏輯運算用將各級邏輯運算用 相應邏輯門去實現。相應邏輯門去實現。 例例 畫畫 的邏輯圖的邏輯圖 反變量用反變量

25、用非非門實現門實現 與與項用項用與與門實現門實現 相加項用相加項用或或門實現門實現 由邏輯符號及相應連線構成的電路圖。由邏輯符號及相應連線構成的電路圖。第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 在邏輯函數中，如果一個在邏輯函數中，如果一個與與項（乘積項）包含該邏輯函數的項（乘積項）包含該邏輯函數的全部變量，且每個變量或以原變量或以反變量只出現一次，則該全部變量，且每個變量或以原變量或以反變量只出現一次，則該與與項稱為最小項。對于項稱為最小項。對于 n 個變量的邏輯函數共有個變量的邏輯函數共有 2n 個最小項。個最小項。1. 最小項的定義最小項的定義 一、一、最小項的定義和性質最小項的定義和性質

26、2.4.2 邏輯函數的兩種標準形式邏輯函數的兩種標準形式1 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 100 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 1ABC最小項編號最小項編號最小項最小項最小項值最小項值m5m4m3m2m1m0CBACBACBABCACBACBACABCBA三三變變量量最最小小項項表表1 1 1

27、1 1 11 1 01 1 01 0 11 0 11 0 01 0 00 1 10 1 10 1 00 1 00 0 10 0 10 0 00 0 0A B Cm7m6編號編號CBACBABCACBACBACABABC第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2. 最小項的基本性質最小項的基本性質 ( (1) ) 對于變量的任一組取值，只有一個最小項的值為對于變量的任一組取值，只有一個最小項的值為 1 1。( (2) ) 不同的最小項，使其值為不同的最小項，使其值為 1 1 的那組變量取值也不同。的那組變量取值也不同。( (3) ) 對于變量的同一組取值，任意兩個最小項邏輯對于變量的同一組取值，

28、任意兩個最小項邏輯與與的結的結 果為果為 0 0。( (4) ) 對于變量的同一組取值，全部最小項邏輯對于變量的同一組取值，全部最小項邏輯或或的結果為的結果為 1 1。 1 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 100 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 10 00 00 00 00 00 00 00 01 1ABC最小項編號最小項編號最小項最小項最小項值最小

29、項值m5m4m3m2m1m0CBACBACBABCACBACBACABCBA三三變變量量最最小小項項表表1 1 11 1 11 1 01 1 01 0 11 0 11 0 01 0 00 1 10 1 10 1 00 1 00 0 10 0 10 0 00 0 0A B Cm7m6編號編號CBACBABCACBACBACABABC第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎3. 最小項編號最小項編號 最小項用最小項用 m 表示表示,通常用十進制數作為最小項的下標編號。通常用十進制數作為最小項的下標編號。編號方法是：將最小項中的原變量當作編號方法是：將最小項中的原變量當作1 1，反變量當作，反變量當

30、作 0 0 ，則得，則得一組二進制數，其對應的十進制數便為最小項的編號。一組二進制數，其對應的十進制數便為最小項的編號。例如例如 BCA0110113m3m44100100CBA第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎三三變量邏輯函數的最小項有變量邏輯函數的最小項有 23 = 8 個個 將輸入將輸入變量取值為變量取值為 1 1 的代以原變的代以原變量，取值為量，取值為 0 0 的代以反變的代以反變量，則得相量，則得相應最小項。應最小項。 輸入組合對應輸入組合對應的十進制數的十進制數76543210ABC1 1 11 1 11 1 01 1 01 0 11 0 11 0 01 0 00 1 10

31、 1 10 1 00 1 00 0 10 0 10 0 00 0 0最小項最小項A B CCBACBACBABCACBACBACAB簡記符號簡記符號m7m6m5m4m3m2m1m0第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎4. 最小項表達式最小項表達式 標準標準與與- -或或表達式表達式 在在與或與或邏輯函數表達式中，有時邏輯函數表達式中，有時與與項并不是最小項，項并不是最小項，這時可利用這時可利用 A + A = 1 1的形式補充缺少的變量，將邏輯函數變的形式補充缺少的變量，將邏輯函數變化成最小項之和的最小項表達式，又稱標準化成最小項之和的最小項表達式，又稱標準與與- -或或式。式。第第 2

32、章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 在邏輯函數中，如果一個在邏輯函數中，如果一個或或項包含了該邏輯函數的全部變量，項包含了該邏輯函數的全部變量，且每個變量或以原變量或以反變量只出現一次，則稱該且每個變量或以原變量或以反變量只出現一次，則稱該或或項為最大項為最大項。對于項。對于 n 個變量的邏輯函數共有個變量的邏輯函數共有 2n 個最大項。個最大項。1. 最大項的定義最大項的定義 二、二、最大項的定義和性質最大項的定義和性質三變量最大項表三變量最大項表0 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 1

33、1 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 0A+B+C最大項編號最大項編號最大項最大項最最 大大 項項 值值M5M4M3M2M1M0111111110110101101100100011011010010001001000000ABCM7M6編號編號A+B+CA+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+

34、C第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2. 最大項的基本性質最大項的基本性質 ( (1) ) 對于變量的任一組取值，只有一個最大項的值對于變量的任一組取值，只有一個最大項的值 為為 0 0。( (2) ) 不同的最大項，使其值為不同的最大項，使其值為 0 0 的那組變量取值也不同。的那組變量取值也不同。( (3) ) 對于變量的同一組取值，任意兩個最大項邏輯對于變量的同一組取值，任意兩個最大項邏輯或或的結的結 果為果為 1 1。(4)(4) 對于變量的同一組取值，全部最大項邏輯對于變量的同一組取值，全部最大項邏輯與與的結果為的結果為 0 0。 三變量最大項表三變量最大項表0 01 11 1

35、1 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 01 11 11 11 11 11 11 11 10 0A+B+C最大項編號最大項編號最大項最大項最最 大大 項項 值值M5M4M3M2M1M0111111110110101101100100011011010010001001000000ABCM7M6編號編號A+B+CA+B+C A+B

36、+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+C A+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+C第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎3. 最大項編號最大項編號 最大項用最大項用 M 表示，通常用十進制數作最大項的下標編號。表示，通常用十進制數作最大項的下標編號。其編號方法正好和最小項相反。將最大項中的原變量當作其編號方法正好和最小項相反。將最大項中的原變量當作 0 0，反變量當作反變量當作 1 1 ，則得一組二進制數，其對應的十進制數便為，則得一組二進制數，其對應的十進制數便為最大項的編號。最大項的編號。例如例如 44MCBACBACBAm 4. 最大

37、項和最小項的關系最大項和最小項的關系 變量數相同時，下標編號相同的最大項和最小項應為互變量數相同時，下標編號相同的最大項和最小項應為互補，即補，即 Mi= mi mi = Mi 44mCBACBACBAM例如例如 CBA0100102M2M44100100CBA第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.5 邏輯函數的公式化簡法邏輯函數的公式化簡法 主要要求：主要要求： 了解邏輯函數式的常見形式及其相互轉換。了解邏輯函數式的常見形式及其相互轉換。熟悉邏輯函數的熟悉邏輯函數的公式化簡法公式化簡法。理解理解最簡最簡與與- -或或式和最簡式和最簡與非與非- -與非與非式式的標準。的標準。 第第 2

38、章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.5.1 邏輯函數的最簡表達式邏輯函數的最簡表達式化化簡簡意意義義使邏輯式最簡，以便設計出最簡的邏輯電路，使邏輯式最簡，以便設計出最簡的邏輯電路，從而節省元器件、優化生產工藝、降低成本和提從而節省元器件、優化生產工藝、降低成本和提高系統可靠性。高系統可靠性。 不同形式的邏輯式有不同的最簡式，一般先求不同形式的邏輯式有不同的最簡式，一般先求取最簡取最簡與與- -或或式，然后通過變換得到所需最簡式。式，然后通過變換得到所需最簡式。 一、化簡邏輯函數的意義一、化簡邏輯函數的意義第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎最簡最簡與與 - - 或或式標準式標準 ( (1)

39、)乘積項乘積項( (即即與與項項) )的個數最少的個數最少( (2) )每個乘積項中的變量數最少每個乘積項中的變量數最少 用用與與門個數最少門個數最少與與門的輸入端數最少門的輸入端數最少 最簡最簡與非與非 - - 與非與非式標準式標準( (1) )非非號個數最少號個數最少( (2) )每個每個非非號中的變量數最少號中的變量數最少 用用與非與非門個數最少門個數最少與非與非門的輸入端數最少門的輸入端數最少 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 邏輯式有邏輯式有多種形式，采多種形式，采用何種形式視用何種形式視需要而定。各需要而定。各種形式間可以種形式間可以相互變換。相互變換。 例如例如 CBBA

40、Y )(CBBA CBBA CBBA BCBA 與與- -或或表達式表達式 或或- -與與表達式表達式 與非與非- -與非與非表達式表達式 或非或非- -或非或非表達式表達式 與與- -或或- -非非表達式表達式 轉轉換換方方法法舉舉例例與與- -或或式式 與非與非- -與非與非式式 用還原律用還原律 用摩根定律用摩根定律 CBBAY CBBA CBBA 或或 - -與與式式 或非或非- -或非或非式式 與與- -或或- -非非式式 用還原律用還原律 用摩根定律用摩根定律 用摩根定律用摩根定律 )(CBBAY )(CBBA CBBA BCBA 二、邏輯函數的常見表達形式二、邏輯函數的常見表達形

41、式 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.5.2 邏輯函數的公式化簡法邏輯函數的公式化簡法 運用邏輯代數的基本定律和公式運用邏輯代數的基本定律和公式對邏輯式進行化簡。對邏輯式進行化簡。 并項法并項法 運用運用 ，將兩項合并為一項，并消去一個變量。將兩項合并為一項，并消去一個變量。 ABAAB BA )(CBACBA A CBACBAY 例例 )()(CBCBACBBCAY 例例 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎AB 吸收法吸收法 運用運用A+AB =A 和和 ，消去多余的消去多余的與與項。項。 CAABBCCAAB BDCADABC )(BDDACACB DACACB DCDAA

42、BC )(FEABABY 例例 BDDCDAABCY 例例 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎消去法消去法 運用運用 ，消去多余因子。，消去多余因子。BABAA CBAAB)( CABAB CAB )(BAABCDBABA BACDBA )(CDBA )(CDBABA CBCAABY 例例 CDBAABCDBABAY 例例 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎配項法配項法 DCBADCABCBAB CBAB ABABCCAB ABABCCABAB )(ABABCABCAB CBAABC 例例 例例 通過乘通過乘 或加入零項或加入零項 進行配項，然后再化簡。進行配項，然后再化簡。A+A

43、=1 1A A = 0 0第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎綜合靈活運用上述方法綜合靈活運用上述方法 例例 化簡邏輯式化簡邏輯式 。EFBADCCAABDAADY 解：解： EFBADCCAABAY DCCAA 應用應用BABAA DCCA DCA 例例 化簡邏輯式化簡邏輯式 。CBDBDAACY 解：解： 應用應用BABAA DABCBAC DCBAC 應用應用 AB CBACCBAC第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 例例 化簡邏輯式化簡邏輯式 。CAABCBAY 解：解： YCAABCBA CABA 應用應用BABAA CBA CBAY CBA 用摩根定律用摩根定律第第 2

44、章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎主要要求：主要要求： 掌握用卡諾圖表示和化簡邏輯函數的方法。掌握用卡諾圖表示和化簡邏輯函數的方法。 理解理解卡諾圖的意義和卡諾圖的意義和構成原則。構成原則。 掌握無關項的含義及其在卡諾圖化簡法中掌握無關項的含義及其在卡諾圖化簡法中的應用。的應用。 2.6邏輯函數的卡諾圖化簡法邏輯函數的卡諾圖化簡法第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 一、一、最小項卡諾圖的組成最小項卡諾圖的組成2.6.1 用卡諾圖表示邏輯函數用卡諾圖表示邏輯函數 兩個相鄰最小項相加可合并為一項，兩個相鄰最小項相加可合并為一項， 消去互反變量，化簡為相同變量相消去互反變量，化簡為相同變量相與與。

45、1. 相鄰最小項相鄰最小項 兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量兩個最小項中只有一個變量互為反變量，其余變量均相同，稱為相鄰最小項，簡稱相鄰項。均相同，稱為相鄰最小項，簡稱相鄰項。 例如例如 三變量最小項三變量最小項 ABC 和和 ABC 相鄰最小項相鄰最小項重要特點重要特點： 例如例如ABC+ABC = AB(C+C ) =AB第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎 將將 n 個變量的個變量的 2n 個最小項用個最小項用 2n 個小方格表示，個小方格表示，并且并且使相鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環相鄰使相鄰最小項在幾何位置上也相鄰且循環相鄰，這樣排列得到的方格圖稱為這樣排列得到的

46、方格圖稱為 n 變量最小項卡諾圖，變量最小項卡諾圖，簡稱為簡稱為 n 變量卡諾圖。變量卡諾圖。卡諾圖是最小項按一定卡諾圖是最小項按一定規則排列成的方格圖規則排列成的方格圖。 2. 卡諾圖的組成卡諾圖的組成 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎000000001001 m3 m1 m0 m4ABC0 01 1三三變變量量卡卡諾諾圖圖變量取變量取 0 0 的代以反變量，取的代以反變量，取 1 1 的代以原變量。的代以原變量。二二變變量量卡卡諾諾圖圖0 01 10 10 1000001011010111100000101AB0 01 10 10 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BA

47、BABABAB四四變變量量卡卡諾諾圖圖 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCD000001011111101000 01 00 01 11 11 101000 0100 011111 1010 m6 m7 m2 m5 6 7 5 4 2 3 1 0 以循環碼排列以保證相鄰性以循環碼排列以保證相鄰性AB第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相鄰項相鄰項在在幾何位置幾何位置上也相鄰上也相

48、鄰卡諾圖特點：卡諾圖特點：循環相鄰性循環相鄰性同一列最同一列最上與最下上與最下方格相鄰方格相鄰同一行最同一行最左與最右左與最右方格相鄰方格相鄰卡諾圖中的相鄰項卡諾圖中的相鄰項第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎如何寫出卡諾圖方格對應的最小項？如何寫出卡諾圖方格對應的最小項？ 已知最小項如何找相應小方格？已知最小項如何找相應小方格？ 例例 原變量取原變量取 1 1，反變量取，反變量取 0 0。DCBA1 10 00 01 1 ？ABCD000001011111101000 01 11 1000 01 11 10 ABCD DCBA第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎二、二、 用卡諾圖表示

49、邏輯函數用卡諾圖表示邏輯函數 ( (1) ) 求邏輯函數真值表或者標準求邏輯函數真值表或者標準與與- -或或式或者式或者與與- -或或式。式。 ( (2) ) 畫出變量卡諾圖。畫出變量卡諾圖。 ( (3) ) 根據真值表或者標準根據真值表或者標準與與- -或或式或者式或者與與- -或或式填圖。式填圖。 基基本本步步驟驟邏輯函邏輯函數為標數為標準準與與- -或或式，式，畫函數畫函數卡諾圖卡諾圖 例例 試畫出函數試畫出函數 Y = m (0,1,12,13,15) 的卡諾圖。的卡諾圖。解：解： ( (1) ) 畫出四變量卡諾圖畫出四變量卡諾圖( (2) ) 填卡諾圖填卡諾圖 邏輯式中的邏輯式中的最

50、小項最小項 m0、m1、m12、m13、m15對應的方格填對應的方格填 1 1，其余不填。其余不填。ABCD000001011111101000 01 11 1000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎邏輯函邏輯函數為非數為非標準標準與與- -或或表達表達式，畫式，畫函數卡函數卡諾圖諾圖解：解：( (1) ) 將邏輯式轉化為將邏輯式轉化為與與- -或或式式( (2) ) 作變量卡諾圖作變量卡諾圖找出各找出各與與項所對項所對應的最小項方格應的最小項方格填填

51、1 1，其余不填。，其余不填。 例例 已知已知 ，試畫出，試畫出 Y 的卡諾圖。的卡諾圖。)(BDCABDAY ABDAY )(BDC CBDABCD000001011111101000 01 11 1000 01 11 10根據根據與與- -或或式填卡式填卡 諾圖諾圖 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 對應最小項為對應最小項為同時滿足同時滿足 A = 1 1， B = 1 1 的方格。的方格。 ABDABCD 對應最小項為同時滿足對應最小項為同時滿足 B = 1 1，C = 0 0，D = 1 1的方格的方格AD 對應最小項為同時滿足對應最

52、小項為同時滿足 A = 0 0，D = 1 1的方格。的方格。第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎邏輯函邏輯函數為真數為真值表，值表，畫函數畫函數卡諾圖卡諾圖 例例 已知邏輯函數已知邏輯函數 Y 的的 真值表如下，試畫真值表如下，試畫 出出 Y 的卡諾圖。的卡諾圖。解：解：( (1) ) 畫三變量卡諾圖。畫三變量卡諾圖。0 01 1 11 1 11 11 1 01 1 00 01 0 11 0 11 11 0 01 0 00 00 1 10 1 11 10 1 00 1 00 00 0 10 0 11 10 0 00 0 0YA B CABC0 01 100 0100 0111 11 10

53、10 6 7 5 4 2 3 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1( (2) )找出真值表中找出真值表中 Y = 1 1 對應的最小項，在對應的最小項，在 卡諾圖相應方格中卡諾圖相應方格中 填填 1 1，其余不填。，其余不填。m0m2m4m6第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎2.6.2 用卡諾圖化簡邏輯函數用卡諾圖化簡邏輯函數 公式化簡法與卡諾圖化簡法的特點公式化簡法與卡諾圖化簡法的特點化簡依據化簡依據用卡諾圖化簡邏輯函數式，其原理是利用卡用卡諾圖化簡邏輯函數式，其原理是利用卡諾圖的相鄰性，對相鄰最小項進行諾圖的相鄰性，對相鄰最小項進行合并，合并，消去互消去互反變量反變量，以達到化簡的

54、目的。，以達到化簡的目的。公式化公式化簡法簡法 優點：對變量個數沒有限制。優點：對變量個數沒有限制。缺點：需技巧，不易判斷是否為最簡式。缺點：需技巧，不易判斷是否為最簡式。 卡諾圖卡諾圖化簡法化簡法 優點：簡單、直觀，有一定的步驟和方法，優點：簡單、直觀，有一定的步驟和方法， 易判斷結果為最簡式。易判斷結果為最簡式。缺點：適合變量個數較少的情況。一般用于缺點：適合變量個數較少的情況。一般用于 四變量及四變量以下函數的化簡。四變量及四變量以下函數的化簡。 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎化簡規律化簡規律2 個相鄰個相鄰最小項有最小項有 1 個變量相異，相加可以個變量相異，相加可以消消去去

55、這這 1 個變量個變量，化簡結果為相同變量的，化簡結果為相同變量的與與；4 個相鄰個相鄰最小項有最小項有 2 個變量相異，相加可以個變量相異，相加可以消消去去這這 2 個變量個變量，化簡結果為相同變量的，化簡結果為相同變量的與與；8 個相鄰個相鄰最小項有最小項有 3 個變量相異，相加可以個變量相異，相加可以消消去去這這 3 個變量個變量，化簡結果為相同變量的，化簡結果為相同變量的與與；2n 個相鄰個相鄰最小項有最小項有 n 個變量相異，相加可以個變量相異，相加可以消去消去這這 n 個變量個變量，化簡結果為相同變量的，化簡結果為相同變量的與與。消消異異存存同同 2.6.2 用卡諾圖化簡邏輯函數用

56、卡諾圖化簡邏輯函數 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA 2 個相鄰項合并消去個相鄰項合并消去 1 個變量，化簡結果個變量，化簡結果為相同變量相為相同變量相與與。 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD =AD 4 個相鄰項合并消去個相鄰項合并消去 2 個變量，個變量，化簡結果為相同變量相化簡結果為相同變量相與與。8 個相鄰項合并消去個相鄰項合并消去 3 個變量個變量AABCD+ABCD=ABD例如例如第第

57、2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎畫包圍圈規則畫包圍圈規則 包圍圈必須包含包圍圈必須包含 2n 個相鄰個相鄰 1 1 方格。先圈小再圈大，方格。先圈小再圈大，圈越大越好；圈越大越好；1 1 方格可重復圈，但必須每圈有新方格可重復圈，但必須每圈有新 1 1；每；每個個 1 1 方方格必須圈到，孤立格必須圈到，孤立 1 1 方格也不能漏掉。方格也不能漏掉。同一列最上邊和最下邊循環相鄰，可畫圈；同一列最上邊和最下邊循環相鄰，可畫圈； 同一行最左邊和最右邊循環相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環相鄰，可畫圈；四個角上的四個角上的 1 1 方格也循環相鄰，可畫圈。方格也循環相鄰，可畫圈。 注意注意 卡

58、諾卡諾 圖化圖化 簡法簡法 步驟步驟 畫函數卡諾圖畫函數卡諾圖 將各圈分別化簡將各圈分別化簡 對填對填 1 1 的相鄰最小項方格畫包圍圈的相鄰最小項方格畫包圍圈 將各圈化簡結果邏輯加將各圈化簡結果邏輯加 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎循環相鄰循環相鄰 m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：( (1) )畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖 例例 用卡諾圖化簡邏輯用卡諾圖化簡邏輯函數。函數。 Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD000001011111101000 01 00 01 1111 10 10( (2) )填卡諾圖填卡諾圖 1 1 1

59、1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( (3) )畫包圍圈畫包圍圈abcd( (4) )將各包圍圈分別化簡將各包圍圈分別化簡圈圈 2 個個1 1可消去可消去 1 個變量，個變量，化簡為化簡為 3 個相同變量相個相同變量相與與。Yb = BCD圈圈 4 個個1 1可消去可消去 2 個變量，個變量，化簡為化簡為 2 個相同變量相個相同變量相與與。孤立項孤立項 Ya=ABCDYc = ABYd = AD( (5) )將各圖化簡結果邏輯加，得最簡將各圖化簡結果邏輯加，得最簡與與- -或或式式DABABCDDCBAY 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎解：解：( (1) )畫變量卡諾

60、圖畫變量卡諾圖 例例 用卡諾圖化簡邏輯用卡諾圖化簡邏輯函數。函數。 Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD000001011111101000 01 00 01 1111 10 10( (2) )填卡諾圖填卡諾圖 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( (4) )求最簡求最簡與與- -或或式式 Y= 1 1BDA消消 1 個剩個剩 3 個個( (3) )畫包圍圈畫包圍圈BCD 消消 2 個剩個剩 2 個個DA 4 個角上的最小個角上的最小項循環相鄰項循環相鄰DB 第第 2 章章 邏輯代數基礎邏輯代數基礎ABCD00000101