1、流體力學流體運動學及動力學基礎(chǔ)流體運動學及動力學基礎(chǔ)描述流體運動的方法描述流體運動的方法流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念流體微元的運動分析流體微元的運動分析微分形式的基本方程微分形式的基本方程（質(zhì)量守恒、動量守恒、能量守恒）（質(zhì)量守恒、動量守恒、能量守恒）積分形式的基本方程積分形式的基本方程按流動分類作進一步的具體分析按流動分類作進一步的具體分析流體運動時的基本規(guī)律流體運動時的基本規(guī)律流體力學流動分析基礎(chǔ)流動分析基礎(chǔ)流體力學描述流體運動的方法描述流體運動的方法拉格朗日法拉格朗日法描述流體運動的方法描述流體運動的方法歐拉法歐拉法 由于流體的易變形和易流動性，相對于固體而言，其由于流體

2、的易變形和易流動性，相對于固體而言，其運動形態(tài)更為復雜。運動形態(tài)更為復雜。 在研究流體的運動情況時，如果考察的著眼點不在研究流體的運動情況時，如果考察的著眼點不同，那么相應(yīng)采取的研究方法也有所不同。同，那么相應(yīng)采取的研究方法也有所不同。流體力學描述流體運動的方法描述流體運動的方法拉格朗日法拉格朗日法 拉格朗日法：著眼于流體質(zhì)點，力圖描述出每個流體拉格朗日法：著眼于流體質(zhì)點，力圖描述出每個流體質(zhì)點自始至終的運動過程，即它們的位置隨時間變化的質(zhì)點自始至終的運動過程，即它們的位置隨時間變化的規(guī)律。規(guī)律。 如果知道了所有流體質(zhì)點的運動規(guī)律，那么整個流體對如果知道了所有流體質(zhì)點的運動規(guī)律，那么整個流體對

3、象的運動狀況也就確定了。象的運動狀況也就確定了。 用拉格朗日法描述流體運動時，運動質(zhì)點的位置坐用拉格朗日法描述流體運動時，運動質(zhì)點的位置坐標標 x、y、z 是起始坐標是起始坐標 a、b、c 和時間和時間 t 的函數(shù)，即的函數(shù)，即 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t彈性力學中即彈性力學中即采用拉格朗日采用拉格朗日法來描述物體法來描述物體的變形的變形 注意在拉格朗日法中的注意在拉格朗日法中的 a、b、c 是區(qū)別不同流體質(zhì)是區(qū)別不同流體質(zhì)點的標識，而非變量。點的標識，而非變量。流體力學描述流體運動的方法描述流體運動的

4、方法 在拉格朗日觀點中，質(zhì)點的位置坐標在拉格朗日觀點中，質(zhì)點的位置坐標 x、y、z是時間和是時間和質(zhì)點初始標號的函數(shù)。質(zhì)點初始標號的函數(shù)。 拉格朗日描述法中流體質(zhì)點的速度和加速度：拉格朗日描述法中流體質(zhì)點的速度和加速度： ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xyzx a b c tuty a b c tutz a b c tut固定固定a、b、c改變改變t？改變改變a、b、c固定固定t？222222 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xyzx a b c taty a b c tatz a b c tat流體力學描述流體運動的方法描述流體運動的方法

5、歐拉法歐拉法 歐拉法：著眼點不是流體質(zhì)點，而是空間點，力圖描歐拉法：著眼點不是流體質(zhì)點，而是空間點，力圖描述出空間中每個點處的流體運動隨時間變化的情況。述出空間中每個點處的流體運動隨時間變化的情況。 如果流經(jīng)每一點的流體運動狀況都知道，那么整個流體如果流經(jīng)每一點的流體運動狀況都知道，那么整個流體對象的運動狀況也就確定了。對象的運動狀況也就確定了。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t 注意在歐拉法中的注意在歐拉法中的 x、y、z 是空間中的位置坐標，是變量；是空間中的位置坐標，是變量；但對同一質(zhì)點來說它們不

6、是獨立但對同一質(zhì)點來說它們不是獨立變量，而是時間變量，而是時間 t 的函數(shù)。的函數(shù)。什么物理量能夠最直觀的反映空間點上什么物理量能夠最直觀的反映空間點上流體運動的變化情況？流體運動的變化情況？ 速度速度流體力學描述流體運動的方法描述流體運動的方法 在歐拉觀點中，空間點上流體質(zhì)點的速度在歐拉觀點中，空間點上流體質(zhì)點的速度 ux、uy、uz（當然也可以是其它表征流體運動狀況的物理量，如壓（當然也可以是其它表征流體運動狀況的物理量，如壓強、密度、溫度等）是空間坐標和時間的函數(shù)。強、密度、溫度等）是空間坐標和時間的函數(shù)。 歐拉描述法中流體質(zhì)點的加速度：歐拉描述法中流體質(zhì)點的加速度：固定固定x、y、z改

7、變改變t？改變改變x、y、z固定固定t？ xxxxxxxxxxxyzduuuuudxdydzadttxtytztuuuuuuutxyz遷移加速度遷移加速度當?shù)丶铀俣犬數(shù)丶铀俣攘黧w力學描述流體運動的方法描述流體運動的方法兩種方法的對比兩種方法的對比拉格朗日法拉格朗日法歐拉法歐拉法直接描述結(jié)果全面直接描述結(jié)果全面給出運動軌跡給出運動軌跡反映時間歷史反映時間歷史表達式復雜表達式復雜實例：敵機追蹤實例：敵機追蹤間接描述結(jié)果有限間接描述結(jié)果有限給出瞬時參數(shù)給出瞬時參數(shù)反映空間分布反映空間分布表達式簡單表達式簡單實例：氣象觀測實例：氣象觀測流體力學最常用：流體力學最常用：機翼的空氣動力學特性機翼的空氣動力

8、學特性兩者可相互轉(zhuǎn)換兩者可相互轉(zhuǎn)換拉格朗日觀點重要性：拉格朗日觀點重要性：定義物理學基本規(guī)律定義物理學基本規(guī)律流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念例例1 歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換（由速度分布求質(zhì)點軌跡）（由速度分布求質(zhì)點軌跡）已知：已知：已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為已知用歐拉法表示的流場速度分布規(guī)律為求：求：在在 t=0 時刻位于點（時刻位于點（a, b）的流體質(zhì)點的運動軌跡。）的流體質(zhì)點的運動軌跡。解：解：對某時刻對某時刻 t 位于坐標點上位于坐標點上( (x, y) )的質(zhì)點，有的質(zhì)點，有 求解該一階常微分方程組，可得求解該一階常微分

9、方程組，可得xyuxtuyt/xyudx dtxtudy dtyt111222(1)1(1)1ttttttttttxe cte dte ctec etye cte dte ctec et c1 ，c2 為積分常數(shù)，由為積分常數(shù)，由t = 0 = 0時刻流體質(zhì)點位于時刻流體質(zhì)點位于 可確定可確定 , xa yb121, 1cacb流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念例例1 歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換歐拉描述和拉格朗日描述的轉(zhuǎn)換（由速度分布求質(zhì)點軌跡）（由速度分布求質(zhì)點軌跡）代入前式，可得拉格朗日法表示的流體質(zhì)點軌跡方程為代入前式，可得拉格朗日法表示的流體質(zhì)點軌跡方程為(1)1(

10、1)1ttxaetybet 討論：討論：本例說明，雖然題目給出的是速度分布式（歐拉法），即本例說明，雖然題目給出的是速度分布式（歐拉法），即各空間點上速度分量隨時間的變化規(guī)律，但仍可由此求出各空間點上速度分量隨時間的變化規(guī)律，但仍可由此求出指定流體質(zhì)點在不同時刻所處的空間位置，即運動軌跡指定流體質(zhì)點在不同時刻所處的空間位置，即運動軌跡（拉格朗日法）。通過本例可看到這兩種描述方法在數(shù)學（拉格朗日法）。通過本例可看到這兩種描述方法在數(shù)學上是如何相互轉(zhuǎn)換的。上是如何相互轉(zhuǎn)換的。流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念恒定流與非恒定流恒定流與非恒定流 根據(jù)流場中各運動要素是否隨時間變化，可

11、將流體根據(jù)流場中各運動要素是否隨時間變化，可將流體運動分為恒定流和非恒定流兩類。若流場中各運動要素運動分為恒定流和非恒定流兩類。若流場中各運動要素均不隨時間變化，則稱這種流動為均不隨時間變化，則稱這種流動為恒定流恒定流，否則稱之為，否則稱之為非恒定流非恒定流。 在恒定流中，一切運動要素都只是空間坐標在恒定流中，一切運動要素都只是空間坐標 x、y、z 的函數(shù)，而與時間的函數(shù)，而與時間 t 無關(guān)，故有無關(guān)，故有( )0t 在實際工程中，當非恒定流問題中所關(guān)注的運動要素隨在實際工程中，當非恒定流問題中所關(guān)注的運動要素隨時間變化非常緩慢時，即可將其近似作為恒定流處理。時間變化非常緩慢時，即可將其近似作

12、為恒定流處理。各類穩(wěn)定的自然流動各類穩(wěn)定的自然流動流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念恒定流與非恒定流恒定流與非恒定流 a. 定常流動；定常流動；b. 準定常流動準定常流動 c. 周期性諧波脈動流周期性諧波脈動流 d. 周期性非諧波脈動流周期性非諧波脈動流e. 非周期性脈動流；非周期性脈動流；f. 隨機流動隨機流動 恒定流與非恒定流的轉(zhuǎn)換恒定流與非恒定流的轉(zhuǎn)換流體力學一元流一元流二元流二元流三元流三元流流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念一元流、二元流與三元流一元流、二元流與三元流 根據(jù)流場中各運動要素與空間坐標的關(guān)系，可將流根據(jù)流場中各運動要素與空間坐標的關(guān)系，可將流

13、體運動分為體運動分為一元流一元流、二元流二元流和和三元流三元流。 實際工程中的流體力學問題一般都屬于三元流。然而由于三實際工程中的流體力學問題一般都屬于三元流。然而由于三元流的復雜性，在數(shù)學處理上存在相當大的困難，人們在研究時常元流的復雜性，在數(shù)學處理上存在相當大的困難，人們在研究時常常根據(jù)問題的具體性質(zhì)將其簡化為二元流或一元流處理。常根據(jù)問題的具體性質(zhì)將其簡化為二元流或一元流處理。流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念 在了解流體運動的兩類基本描述方法后，可以此出在了解流體運動的兩類基本描述方法后，可以此出發(fā)進一步探討流體運動的幾何表示，這有助于更直觀形發(fā)進一步探討流體運動的幾

14、何表示，這有助于更直觀形象的分析流體運動。象的分析流體運動。跡線跡線 在拉格朗日方法中，是通在拉格朗日方法中，是通過描述各個流體質(zhì)點運動規(guī)律的過描述各個流體質(zhì)點運動規(guī)律的途徑來描述整個流體運動。途徑來描述整個流體運動。 某個流體質(zhì)點在某一時段內(nèi)運動時所描繪出的空間某個流體質(zhì)點在某一時段內(nèi)運動時所描繪出的空間曲線稱為曲線稱為跡線跡線。 跡線的概念是和拉格朗日跡線的概念是和拉格朗日觀點相聯(lián)系的，它是同一流體觀點相聯(lián)系的，它是同一流體質(zhì)點運動規(guī)律的幾何表示。質(zhì)點運動規(guī)律的幾何表示。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t

15、流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念 當流體運動是以歐拉描述的方式給出時當流體運動是以歐拉描述的方式給出時 此時要得到跡線的方程，必須先將歐拉描述轉(zhuǎn)換為拉此時要得到跡線的方程，必須先將歐拉描述轉(zhuǎn)換為拉格朗日描述，亦即跡線應(yīng)滿足的微分方程組。格朗日描述，亦即跡線應(yīng)滿足的微分方程組。( , , , ), ( , , , ), ( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzdxuux y z tdtdyuux y z tdtdzuux y z tdt 其中其中 t 是自變量，是自變

16、量，x、y、z 是時間是時間 t 的函數(shù)，的函數(shù)，積分后所得的表達式實積分后所得的表達式實質(zhì)上是流體質(zhì)點空間運質(zhì)上是流體質(zhì)點空間運動曲線（軌跡）的參數(shù)動曲線（軌跡）的參數(shù)方程。方程。隕石的下墜隕石的下墜線線流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念流線流線 許多空間位置上的流體質(zhì)點在同一時刻的速度矢量所許多空間位置上的流體質(zhì)點在同一時刻的速度矢量所描繪的曲線稱為描繪的曲線稱為流線流線。 在歐拉方法中，是通過速度場來描述整個流體的運動。在歐拉方法中，是通過速度場來描述整個流體的運動。 流線的概念是和歐拉觀點流線的概念是和歐拉觀點相聯(lián)系的，它是不同流體質(zhì)點相聯(lián)系的，它是不同流體質(zhì)點速度分

17、布的幾何表示。速度分布的幾何表示。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t流線特點：不相交；流線特點：不相交；充滿整個流場；疏密充滿整個流場；疏密程度反映流速大小。程度反映流速大小。流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念 根據(jù)定義，流線上任一點的切線方向即為該點的流速根據(jù)定義，流線上任一點的切線方向即為該點的流速方向，于是方向，于是 相應(yīng)的分量形式為相應(yīng)的分量形式為( , , , )( , , , )( , , , )xyzdxdydzux y z tux y z tux y z t 此即流線應(yīng)

18、滿足的微分方程組，其中此即流線應(yīng)滿足的微分方程組，其中 x、y、z 是相互獨立是相互獨立的空間變量，時間的空間變量，時間 t 是參數(shù)，在積分時當作常數(shù)處理。是參數(shù)，在積分時當作常數(shù)處理。機翼的繞流線機翼的繞流線0udsr uu r流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念跡線和流線的對比跡線和流線的對比跡跡 線線流流 線線同一流體質(zhì)點同一流體質(zhì)點不同時刻不同時刻描繪軌跡描繪軌跡拉格朗日法拉格朗日法時間是變量時間是變量不同流體質(zhì)點不同流體質(zhì)點同一時刻同一時刻描繪分布描繪分布歐拉法歐拉法時間是參數(shù)時間是參數(shù)恒定流情況下恒定流情況下 兩者相同兩者相同流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的

19、相關(guān)基本概念例例2 非恒定流的跡線和流線。非恒定流的跡線和流線。求：求：（1）質(zhì)點）質(zhì)點A的跡線方程；（的跡線方程；（2）t = 0 時刻過原點的流線方程；時刻過原點的流線方程；（3）t = 1時刻質(zhì)點時刻質(zhì)點A的運動方向。的運動方向。解：解：此流場屬于非恒定流場。此流場屬于非恒定流場。上兩式分別積分可得上兩式分別積分可得已知：已知：設(shè)速度場為設(shè)速度場為u = t+1，v = 1，t = 0 時刻流體質(zhì)點時刻流體質(zhì)點A位于原點。位于原點。（1）由跡線方程式，本例的跡線方程組為由跡線方程式，本例的跡線方程組為11dxtdtdydt2121(1) 2dxtdtxttcdydtytct = 0時質(zhì)點

20、時質(zhì)點A位于位于x=0，y=0處處，得，得 c1= c2= 0。質(zhì)點質(zhì)點A的的跡線方程為跡線方程為21, 2xttyt流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念例例2 非恒定流的跡線和流線。非恒定流的跡線和流線。消去參數(shù)消去參數(shù) t 可得可得22111(1)222xyyy上式表明質(zhì)點上式表明質(zhì)點A的跡線是一條以的跡線是一條以（-1/2，-1）點為頂點，且通過）點為頂點，且通過原點的拋物線（見圖）。原點的拋物線（見圖）。（2）由流線微分方程式，本例的流線）由流線微分方程式，本例的流線方程組為方程組為積分可得（此處積分可得（此處 t 可當作常數(shù)處理）可當作常數(shù)處理）11dxdyt1xyc

21、t在在 t = 0時刻，流線通過原點，即時刻，流線通過原點，即x = y = 0，因此，因此C = 0，相應(yīng)的流，相應(yīng)的流線方程為線方程為xy 上式表明初始時刻過原點的流線是上式表明初始時刻過原點的流線是一、三象限的角平分線（見圖）。一、三象限的角平分線（見圖）。流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念例例2 非恒定流的跡線和流線。非恒定流的跡線和流線。（3）為了確定為了確定 t = 1 時刻質(zhì)點時刻質(zhì)點A的運動方向，需求出此時過質(zhì)點的運動方向，需求出此時過質(zhì)點A所在位置的流線方程。由跡線方程式可知，所在位置的流線方程。由跡線方程式可知，t =1時刻質(zhì)點時刻質(zhì)點A位于位于x =3/

22、2，y =1處處，代入流線方程，有，代入流線方程，有3 / 211 114cc t = 1時刻過流體質(zhì)點時刻過流體質(zhì)點A所在位置的所在位置的流線方程為流線方程為122xy這是一條與流體質(zhì)點這是一條與流體質(zhì)點A的跡線相切于的跡線相切于（3/2，1）點處的斜直線，此時）點處的斜直線，此時A的運的運動方向為：沿該直線，動方向為：沿該直線，x, y 增大的方向。增大的方向。討論：討論： 本例說明，非恒定流中，跡線與流線明顯不相同。本例說明，非恒定流中，跡線與流線明顯不相同。流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念脈線脈線 在某一瞬時將某一時段內(nèi)相繼通過某固定點的流體質(zhì)在某一瞬時將某一時段內(nèi)

23、相繼通過某固定點的流體質(zhì)相連，所得的曲線稱為相連，所得的曲線稱為脈線脈線。 除跡線與流線外，還可能運用其它的除跡線與流線外，還可能運用其它的手段來對流場中的流體運動進行幾何描述。手段來對流場中的流體運動進行幾何描述。 定常流動中脈線的形狀不變，且與流線、跡線重合，定常流動中脈線的形狀不變，且與流線、跡線重合，故常用它來表示流線，原因在于脈線在流動實驗中易于故常用它來表示流線，原因在于脈線在流動實驗中易于觀察。觀察。 在流場中某固定點在流場中某固定點施放染色源，則經(jīng)過施放染色源，則經(jīng)過該點的所有流體質(zhì)點該點的所有流體質(zhì)點均會染上色，因此脈均會染上色，因此脈線也稱線也稱染色線染色線。流體力學 例例

24、B2.3.3B2.3.3不定常流場的跡線不定常流場的跡線與與脈線脈線解：解：此流場是周期性變化的不定常流動。設(shè)此流場是周期性變化的不定常流動。設(shè)t = 0時刻起，每隔時刻起，每隔1s1s從坐從坐 標原點出發(fā)的質(zhì)點依次編號為標原點出發(fā)的質(zhì)點依次編號為a, b, c, d, e, f，每過每過6s重復循環(huán)一次。重復循環(huán)一次。 將每個質(zhì)點每隔將每個質(zhì)點每隔1s的位置數(shù)據(jù)列表如下，每行的數(shù)據(jù)構(gòu)成每個質(zhì)的位置數(shù)據(jù)列表如下，每行的數(shù)據(jù)構(gòu)成每個質(zhì) 點的跡線，每欄的數(shù)據(jù)構(gòu)成每一時刻的脈線。點的跡線，每欄的數(shù)據(jù)構(gòu)成每一時刻的脈線。 已知：已知：設(shè)速度場為設(shè)速度場為 （0t3s） t6s重復循環(huán)。重復循環(huán)。0m/

25、s1vum/s10vu（3st6s） 求：求： 試畫出：（試畫出：（1 1）0-6s內(nèi)每隔內(nèi)每隔1s從坐標原點出發(fā)的跡線；從坐標原點出發(fā)的跡線； （2 2）7-12s內(nèi)每隔內(nèi)每隔1s的時刻從坐標原點發(fā)出的脈線。的時刻從坐標原點發(fā)出的脈線。流體力學t (s)0123456789101112a(0,0)(1,0)(2,0)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)b(0,0)(1,0)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)c (0,0)(1,0)(1,1)(1,2)(1,3)(2

26、,3)(3,3)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)d(0,0)(0,1)(0,2)(0,3)(1,3)(2,3)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)e (0,0)(0,1)(0,2)(1,2)(2,2)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)f (0,0)(0,1)(1,1)(2,1)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4) 例例B2.3.3B2.3.3不定常流場的跡線不定常流場的跡線與與脈線脈線流體力學 在不定常流場中從某點發(fā)出的脈線形狀在不同時刻可以不同。本例中在不定常流場中從某點發(fā)出的脈線形狀在不同時刻可以不同。本例中 在在712s內(nèi)的每一瞬時的脈線均不相同，但在下一個內(nèi)的每一

27、瞬時的脈線均不相同，但在下一個6 6秒內(nèi)重復出現(xiàn)。秒內(nèi)重復出現(xiàn)。 例例B2.3.3B2.3.3不定常流場的跡線不定常流場的跡線與與脈線脈線(a)中分別為質(zhì)點中分別為質(zhì)點a, b, c, d, e, f 的跡線的跡線(0-6s) ，隨時間增長不斷延伸；隨時間增長不斷延伸； (b)為從原點每隔為從原點每隔1s時刻時刻(7-12s) 流出的不同質(zhì)點在每一瞬時連成的線流出的不同質(zhì)點在每一瞬時連成的線 （以后重復循環(huán)），即從坐標原點發(fā)出的脈線。（以后重復循環(huán)），即從坐標原點發(fā)出的脈線。跡線跡線脈線脈線流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念流束、元流、總流和流管流束、元流、總流和流管 在流場

28、中，過任意指定區(qū)域的所有流線的總和稱為在流場中，過任意指定區(qū)域的所有流線的總和稱為流束。流束。流束可大可小，如果指定區(qū)域取得無限小，這種流束可大可小，如果指定區(qū)域取得無限小，這種情況下的流束稱為微元流束，也稱情況下的流束稱為微元流束，也稱元流；元流；如果指定區(qū)域如果指定區(qū)域到達流場周界，所得流束稱為到達流場周界，所得流束稱為總流總流。 流束的外表面稱為流束的外表面稱為流管流管，由于流線不能相交，所以，由于流線不能相交，所以，在各個時刻流體質(zhì)點都只能在流管內(nèi)部或外部流動，而在各個時刻流體質(zhì)點都只能在流管內(nèi)部或外部流動，而不能穿越。不能穿越。 這四個都是假想這四個都是假想的概念，對于直觀理的概念，

29、對于直觀理解問題以及理論上處解問題以及理論上處理某些問題有幫助。理某些問題有幫助。流體力學過流斷面、流量與平均流速過流斷面、流量與平均流速 與流束中所有流線正交的截面稱為與流束中所有流線正交的截面稱為過流斷面過流斷面。過流。過流斷面不一定是平面，其形狀與流線的分布情況有關(guān)。斷面不一定是平面，其形狀與流線的分布情況有關(guān)。 斷面平均流速斷面平均流速是一個假想的等效流速，是指在假想是一個假想的等效流速，是指在假想的均勻分布流速下，流體流經(jīng)過流斷面的流量與實際情的均勻分布流速下，流體流經(jīng)過流斷面的流量與實際情況相等。況相等。流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念 過流斷面上各點的運動要素一般過流

30、斷面上各點的運動要素一般是不相同的。是不相同的。元流的元流的情況情況 單位時間內(nèi)通過過流斷面的流體量稱為單位時間內(nèi)通過過流斷面的流體量稱為流量流量，一般可分為體積流量和質(zhì)量流量。，一般可分為體積流量和質(zhì)量流量。 VVAdqudAqudAVAUAqudA 引入斷面平均流速后，引入斷面平均流速后，有助于在某些情況簡化問題。有助于在某些情況簡化問題。不是過流斷不是過流斷面的情況面的情況流體力學 例例B2.2.1B2.2.1直圓管粘性定常流動：流量與平均速度直圓管粘性定常流動：流量與平均速度(2-1)(2-1)求：求：兩種速度分布的（兩種速度分布的（1 1）流量）流量Q的表達式；（的表達式；（2 2）

31、截面上平均速度）截面上平均速度U。解：解：（1 1）流量計算時）流量計算時dA = 2rdr，拋物線分布的流量為，拋物線分布的流量為已知已知: :粘性流體在圓管（半徑粘性流體在圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動。設(shè)圓截面上有兩種速度分布，內(nèi)作定常流動。設(shè)圓截面上有兩種速度分布， 一種是拋物線分布一種是拋物線分布, ,另一種是另一種是1/71/7次冪分布：次冪分布：2m111Rruu7/12m21Rruu上式中上式中um1、um2分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。 AQ(1RRrRrrurrRru02301m221md2d21 vn )dA =21m02421m

32、5 . 0422RuRrruR流體力學1 / 7次冪分布的流量為分布的流量為AQ(2RrrRru07/12md2)1 ( vn )dA RRrRrRu07/87/1522m7/8)/1 (7/15/1222m22m2m28167. 012098815772RuRuuR（2 2）拋物線分布和）拋物線分布和1 / 7次冪分布的平均速度分別為次冪分布的平均速度分別為11m1210.5QUuR22m2220.8167QUuR討論：討論： 拋物線速度分布的截面平均速度為最大速度的一半，而拋物線速度分布的截面平均速度為最大速度的一半，而1/71/7次冪分布次冪分布的截面平均速度為最大速度的的截面平均速度為

33、最大速度的0.81670.8167倍，這是后者的速度廓線中部更倍，這是后者的速度廓線中部更平坦，速度分布更均勻的緣故。平坦，速度分布更均勻的緣故。 例例B2.2.1B2.2.1直圓管粘性定常流動：流量與平均速度直圓管粘性定常流動：流量與平均速度(2-2)(2-2)流體力學流動修正因子流動修正因子 使用假想的平均流速代替實際的變化流速分布，能使用假想的平均流速代替實際的變化流速分布，能夠給某些問題的考慮和求解帶來方便，但在使用時也應(yīng)夠給某些問題的考慮和求解帶來方便，但在使用時也應(yīng)注意，這種簡化給其它物理量計算可能帶來的誤差。注意，這種簡化給其它物理量計算可能帶來的誤差。流體運動的相關(guān)基本概念流體

34、運動的相關(guān)基本概念 如過流斷面動能和動量的計算偏差如過流斷面動能和動量的計算偏差 常使用常使用動能修正因子動能修正因子和和動量修正因子動量修正因子來衡量這種來衡量這種偏差。偏差。221212Au u dAUA UAu udAUA U流體力學 例例B2.2.2B2.2.2直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子(1) (1) 按單位質(zhì)量流體的動能計算，按動能修正因子的定義按單位質(zhì)量流體的動能計算，按動能修正因子的定義解：解：已知已知: :粘性流體在直圓管（半徑粘性流體在直圓管（半徑R）內(nèi)作定常流動。圓截面上有兩種速度分布，內(nèi)作定常流動。圓截面上

35、有兩種速度分布，一種是拋物線分布一種是拋物線分布, ,另一種是另一種是1/71/7次冪分布：次冪分布：2m111Rruu上式中上式中um1，um2分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。分別為兩種速度分布在管軸上的最大速度。 7/12m21Rruu求：求：（1 1）關(guān)于平均速度的動能修正因子）關(guān)于平均速度的動能修正因子 ； （2 2）關(guān)于平均速度的動量修正因子）關(guān)于平均速度的動量修正因子。2211()dA()22AuuUUA上式中上式中V為平均速度，設(shè)為平均速度，設(shè)= = 常數(shù)常數(shù), ,截面積截面積 A =R2，微元圓環(huán)面積，微元圓環(huán)面積 。rrAd2d流體力學，d2dvdqu Aur r332

36、012() d() dRAuuAr rAURU對拋物線分布對拋物線分布3432211220010216d1d2 12RRRurrr rr rRURRR 對對1/71/7次冪分布次冪分布333/7222200222120d1d1.0583898RRurr rr rRURR（2 2）按單位質(zhì)量流體的動量計算，動量修正因子）按單位質(zhì)量流體的動量計算，動量修正因子定義為定義為dAAu uU U相應(yīng)有相應(yīng)有 例例B2.2.2B2.2.2直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子流體力學可得可得222012ddRAuuAr rAURU拋物線分布拋物線分布2

37、221122001284d1d1.3333RRurr rr rRURR1/71/7次冪分布次冪分布22/7222220022212050d()1d1.0209849RRurr rr rRURR討論：討論：將例將例B2.2.1B2.2.1和本例的結(jié)果列表和本例的結(jié)果列表說明說明1/71/7次冪分布比較接近平均速度廓線，用一維流動近似計算動能和動量次冪分布比較接近平均速度廓線，用一維流動近似計算動能和動量時，可取時，可取= =1=1，即不必修正。，即不必修正。表表B2.2.1B2.2.1 圓管粘性一維定常流動修正因子m/Uu動能修正因子1.0201.0580.81671/7次冪分布1.3332.0

38、0.5拋物線分布動量修正因子速度分布類型平均速度/中心速度 例例B2.2.2B2.2.2直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子直圓管粘性定常流動：動能修正因子與動量修正因子流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念均勻流與非均勻流、漸變流與急變流均勻流與非均勻流、漸變流與急變流 根據(jù)位于同一流線中各質(zhì)點的流速是否隨沿程變化，根據(jù)位于同一流線中各質(zhì)點的流速是否隨沿程變化，可將流體運動分為均勻流和非均勻流。若流場中同一流可將流體運動分為均勻流和非均勻流。若流場中同一流線上各質(zhì)點的流速隨沿程保持不變，這種流動稱為線上各質(zhì)點的流速隨沿程保持不變，這種流動稱為均勻均勻流流，否則稱為，否

39、則稱為非均勻流非均勻流。 均勻流中各流線是彼此平行均勻流中各流線是彼此平行的直線，過流斷面為平面且其上流的直線，過流斷面為平面且其上流速分布沿程不變，無遷移加速度；速分布沿程不變，無遷移加速度；但不同流線上的流體質(zhì)點速度可以但不同流線上的流體質(zhì)點速度可以不相同。不相同。xyO1u2uR 實際工程中的流體運動大多為非均勻流。為了便于實際工程中的流體運動大多為非均勻流。為了便于研究，常常按流線變化的緩急程度，又將非均勻流分研究，常常按流線變化的緩急程度，又將非均勻流分為為漸變流漸變流和和急變流急變流。流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念質(zhì)點導數(shù)質(zhì)點導數(shù) 質(zhì)點物理量隨時間的總變化率質(zhì)

40、點物理量隨時間的總變化率稱為稱為質(zhì)點導數(shù)質(zhì)點導數(shù)，流體運動學中關(guān)，流體運動學中關(guān)注的是歐拉法表示的質(zhì)點導數(shù)。注的是歐拉法表示的質(zhì)點導數(shù)。質(zhì)點的物理量質(zhì)點的物理量 B 的歐拉表示的歐拉表示相應(yīng)的，其導數(shù)的歐拉表示相應(yīng)的，其導數(shù)的歐拉表示B = B x ( t ), y ( t ), z ( t ), t DDxyzBBBBBuuuttxyz物理意義：當?shù)刈兓饰锢硪饬x：當?shù)刈兓?+ 遷移變化率遷移變化率xuyuzu( , )u r t 位置坐標位置坐標 x、y、z 均會隨時間發(fā)生變化。均會隨時間發(fā)生變化。流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念質(zhì)點導數(shù)質(zhì)點導數(shù) 前式中的質(zhì)點物理量前

41、式中的質(zhì)點物理量 B 可以是標量，也可以是向量。可以是標量，也可以是向量。當當 B 為標量（如密度）時，質(zhì)點導數(shù)表示式為為標量（如密度）時，質(zhì)點導數(shù)表示式為當當 B 為向量（如速度）時，質(zhì)點導數(shù)表達式為為向量（如速度）時，質(zhì)點導數(shù)表達式為xyzDuuuuDttxyztr u rDuuuuDttrrr u r r( )xyzu ru r 其中其中 為為梯度算子梯度算子 相應(yīng)的，相應(yīng)的， 定義為定義為梯度梯度運算，運算， 為為散度散度運算運算 u r u r流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念例例3 由速度場求加速度由速度場求加速度求：求：（1）加速度場；（）加速度場；（2）在原點

42、和（）在原點和（1, 1, 1）點處的加速度。）點處的加速度。解：解： 由質(zhì)點導數(shù)的表達式可得由質(zhì)點導數(shù)的表達式可得已知：已知：設(shè)速度場為設(shè)速度場為u = x+t，v = ty，w = xz221() 100100(1)0()0()xyzuuuuauvwxtxttxyzvvvvauvwyty ttytxyzwwwwauvwxtzxz xxxt ztxyz 在原點在原點 在（在（1, 1, 1）點）點100 xyzataa 2212xyzatatat 流體力學流體運動的相關(guān)基本概念流體運動的相關(guān)基本概念系統(tǒng)與控制體系統(tǒng)與控制體 從理論角度分析研究流體的運動規(guī)律時，要用到系統(tǒng)從理論角度分析研究流體

43、的運動規(guī)律時，要用到系統(tǒng)和控制體的概念。和控制體的概念。 所謂系統(tǒng)，就是包含確定不變的物質(zhì)的集合。在工程所謂系統(tǒng)，就是包含確定不變的物質(zhì)的集合。在工程流體力學中，流體力學中，系統(tǒng)系統(tǒng)就是指由確定的流體質(zhì)點所組成的流就是指由確定的流體質(zhì)點所組成的流體對象。顯然，使用系統(tǒng)作為考察對象，意味著采用拉體對象。顯然，使用系統(tǒng)作為考察對象，意味著采用拉格朗日方法來研究流體運動。格朗日方法來研究流體運動。 所謂所謂控制體控制體，在工程流體力學中，是指相對于某個坐，在工程流體力學中，是指相對于某個坐標系而言，有流體流過的固定不變的空間區(qū)域，控制體標系而言，有流體流過的固定不變的空間區(qū)域，控制體的邊界面稱為控制

44、面，它總是封閉的。由此可見，使用的邊界面稱為控制面，它總是封閉的。由此可見，使用控制體作為考察對象，是與歐拉方法相對應(yīng)的研究手段。控制體作為考察對象，是與歐拉方法相對應(yīng)的研究手段。形狀改變形狀改變追蹤的流體質(zhì)點不變追蹤的流體質(zhì)點不變AA形狀不變形狀不變內(nèi)部的流體質(zhì)點改變內(nèi)部的流體質(zhì)點改變AAAA流體力學流體微團的運動分析流體微團的運動分析流體運動流體運動速度速度相互關(guān)聯(lián)相互關(guān)聯(lián)流體微團的運動分析流體微團的運動分析以平面流動為例，流場中鄰近兩點的速度以平面流動為例，流場中鄰近兩點的速度關(guān)系關(guān)系xxxxyyyyuuuudxdyxyuuuudxdyxy流體力學 前式可寫成矩陣形式前式可寫成矩陣形式

45、，其中，其中 F 稱為稱為速度梯度矩陣。再將速度梯度矩陣分解為一個速度梯度矩陣。再將速度梯度矩陣分解為一個對稱對稱矩矩陣和一個陣和一個反對稱反對稱矩陣之和，有矩陣之和，有將其代入前述速度關(guān)系式，整理得將其代入前述速度關(guān)系式，整理得流體微團的運動分析流體微團的運動分析速度分解表達式速度分解表達式uuF dr()/2()/2TTFFFFF11()()2211()()22yyxxxxxyyyxxyyuuuuuuudxdydyxyxyxuuuuuuudxdydxxyyxy 任意矩陣均可任意矩陣均可作此分解。類比：作此分解。類比：將函數(shù)分解為奇函將函數(shù)分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)之和。數(shù)和偶函數(shù)之和。流體力學

46、取流場中的一個矩形微元（取流場中的一個矩形微元（ABCD）為考察對象，其）為考察對象，其上各點的瞬時速度如圖所示。上各點的瞬時速度如圖所示。流體微團的運動分析流體微團的運動分析流體微團運動的組成分析流體微團運動的組成分析dydxxxuudxxxuyuyyuudxxxxuudyyyyuudyyxxxuuudxdyxyyyyuuudxdyxyABCDOxy 以以 A 為基準為基準點，分析經(jīng)過點，分析經(jīng)過 dt 時間后流體微元時間后流體微元的位置和形狀變的位置和形狀變化。化。流體力學平移運動平移運動： 因各點均有相同的速度部分因各點均有相同的速度部分 ux、uy，經(jīng)過時間，經(jīng)過時間 dt 后，后，流

47、體微團流體微團 ABCD 將隨基準點將隨基準點 A 平移至平移至 A1B1C1D1。流體微團的運動分析流體微團的運動分析xu dtABCDOxy1A1B1C1Dyu dt流體力學拉伸變形拉伸變形：線元：線元 dx、dy 分別沿分別沿 x、y 方向的局部相對方向的局部相對伸長速率（線應(yīng)變率）伸長速率（線應(yīng)變率）相對面積變化率相對面積變化率相對體積變化率相對體積變化率（三維）（三維）流體微團的運動分析流體微團的運動分析/xxxyyyux dxdtxuy dydty/xyuxuy /xyzuxuyuzu u r rxuxdxdtx1A1B1C1DOxy2A2B2C2Dyuydydty對應(yīng)對應(yīng)速度散度

48、速度散度流體力學 例例B2.5.2B2.5.2膨脹流動：線應(yīng)變率與面積擴張膨脹流動：線應(yīng)變率與面積擴張率率解：解：(1)(1)按流線微分方程式，因按流線微分方程式，因v =0 得得dy = 0，積分可得流線方程為積分可得流線方程為 已知：已知：設(shè)平面流場為設(shè)平面流場為 （k 0 0，為常數(shù)），為常數(shù)）0vkxu說明流線是平行于說明流線是平行于x 軸的直線族。線應(yīng)變率為軸的直線族。線應(yīng)變率為kxuxx0yvyy 求：求：（1 1）流線、線應(yīng)變率和面積擴張率表達式；）流線、線應(yīng)變率和面積擴張率表達式；y = C ( C為常數(shù)為常數(shù) ) ) （2 2）設(shè)）設(shè)k =1,t =0時刻邊長為時刻邊長為1的

49、正方形流體面的正方形流體面abcd位于圖中所示位于圖中所示 位置位置, ,求求 t = t 時刻點時刻點a(1,3)到達點到達點a(3,3)時流體面時流體面abcd 的位置和形狀。的位置和形狀。流體力學說明說明x方向的線元以恒速率方向的線元以恒速率k 伸長，伸長，y方向的線元長度保持不變。方向的線元長度保持不變。面積擴張率為面積擴張率為uvkxy 說明面元的瞬時面積相對擴張率為常數(shù)。任何單位面積的流體面均以說明面元的瞬時面積相對擴張率為常數(shù)。任何單位面積的流體面均以恒速率恒速率k 擴張，通常將這種流動稱為膨脹流（當擴張，通常將這種流動稱為膨脹流（當k 0，為常數(shù)），為常數(shù)） 求：求：試分析該流

50、場的運動學特征。試分析該流場的運動學特征。0uk yv 流場流場速度分布如圖所示。由流線微分方程速度分布如圖所示。由流線微分方程 dy = 0, 積分得流線方程積分得流線方程 y = C (C為常數(shù)為常數(shù))， 說明流線是平行于說明流線是平行于x 軸的直線族。軸的直線族。0,0,2()xxyyxyuvvukxyxyx, y方向的線應(yīng)變率和方向的線應(yīng)變率和 xOy 平面內(nèi)的角變形率分別為平面內(nèi)的角變形率分別為流體力學221kyuxv說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。說明一點鄰域內(nèi)的流體作順時針旋轉(zhuǎn)（形成速度線形增長的基礎(chǔ)）。面積擴張率為面積擴張率為0uvxy圖中四邊形流體

51、面在運動過程中面積保持不變，對角線與圖中四邊形流體面在運動過程中面積保持不變，對角線與x 軸的夾角不軸的夾角不斷減小，流體面不斷被切向扯動，進而變窄。斷減小，流體面不斷被切向扯動，進而變窄。線元既不伸長也不縮短，互相正交的線元隨時間增長夾角不斷變化。本線元既不伸長也不縮短，互相正交的線元隨時間增長夾角不斷變化。本例中例中k 0 ，即流體自左向右流動時正交線元的夾角不斷減小。流體的，即流體自左向右流動時正交線元的夾角不斷減小。流體的旋轉(zhuǎn)角速度為旋轉(zhuǎn)角速度為 例例B2.5.3B2.5.3線性剪切流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度線性剪切流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度流體力學 例例B2.5.3AB2.5.3A 剛體

52、旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度 解：解：該問題的物理來源是盛水圓筒繞中心軸作勻角該問題的物理來源是盛水圓筒繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)運動，由第二章知識可知，流體處于相對速度旋轉(zhuǎn)運動，由第二章知識可知，流體處于相對靜止狀態(tài)，但這里僅討論它的運動學特性。靜止狀態(tài)，但這里僅討論它的運動學特性。 已知：已知：設(shè)平面流場為設(shè)平面流場為 （k 0，為常數(shù)），為常數(shù)） 求：求：試分析該流場的運動學特性。試分析該流場的運動學特性。uk yvk x x2 + y2= C (C為常數(shù)為常數(shù)) 0,0,20 x xy yx yuvvukkxyxy x, y方向線應(yīng)變率和方向線應(yīng)變率和 xO

53、y 平面內(nèi)角變形率分別為平面內(nèi)角變形率分別為在圖示坐標系中速度分布如圖。由流線微分方程在圖示坐標系中速度分布如圖。由流線微分方程 k y dy = k x dx, 積積分得流線方程，為圓周線分得流線方程，為圓周線流體力學 例例B2.5.3AB2.5.3A 剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度剛體旋轉(zhuǎn)流：角變形率與旋轉(zhuǎn)角速度 說明在說明在x, ,y方向無線變形，在方向無線變形，在xOy平面內(nèi)無角變形。平面內(nèi)無角變形。面積擴張率為面積擴張率為 以上結(jié)果表明，該流動在平面上流體處處無變形，運動與剛體無異（這以上結(jié)果表明，該流動在平面上流體處處無變形，運動與剛體無異（這也與相對靜止的概念吻合）。也與相對靜

54、止的概念吻合）。0uvxy1122vukkkxy 說明流體象剛體一樣繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)，故稱為剛體旋轉(zhuǎn)流動說明流體象剛體一樣繞中心軸作勻角速度旋轉(zhuǎn)，故稱為剛體旋轉(zhuǎn)流動. .相應(yīng)的，流體的旋轉(zhuǎn)角速度為相應(yīng)的，流體的旋轉(zhuǎn)角速度為 流體力學流體微團的運動分析流體微團的運動分析速度分解表達式的物理意義速度分解表達式的物理意義 0 0 xxxyxxzyyxyyyzuudxdxuudydy平移速率平移速率變形速率變形速率旋轉(zhuǎn)速率旋轉(zhuǎn)速率拉伸拉伸剪切剪切彈性力學中的彈性力學中的幾何方程幾何方程 類似的，可定義三維情況下的線應(yīng)變率類似的，可定義三維情況下的線應(yīng)變率zzzuz1()2yzyzzyuuyz1()2xzzxxzuuzx角變形率角變形率1()2yzxuuyz1()2xzyuuzx 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)角速率角速率流體力學 0 0 0 xxxyxzzyxxyyxyyyyzzxyxzzxzyzzzuudxdxuudydydzdzuu 流體微團的運動分析流體微團的運動分析亥姆霍茲速度分解定理亥姆霍茲速度