1、Chapter 4 電路定理主 要 內(nèi) 容1. 疊加定理，齊性定理；2. 替代定理；3. 戴維南定理，諾頓定理；4. 特勒根定理，互易定理。4-1 疊加定理1.線(xiàn)性電路線(xiàn)性元件 + 獨(dú)立電源 = 線(xiàn)性電路 獨(dú)立電源是非線(xiàn)性單口元件,因其伏安特性曲線(xiàn)不是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。 獨(dú)立電源是電路的輸入, 起著激勵(lì)的作用，可使線(xiàn)性元件中出現(xiàn)電壓和電流（響應(yīng)）, 并且響應(yīng)與激勵(lì)之間存在線(xiàn)性關(guān)系。a.齊次性：電路中只有一個(gè)激勵(lì) 當(dāng) us 擴(kuò)大a 倍時(shí)，ij 也將隨之?dāng)U大 a 倍；1,2, , jukiSjj當(dāng)uS擴(kuò)大倍時(shí)， uj 也將隨之?dāng)U大倍。1,2, j,ukuSjj齊次性b.相加性：電路中存在多個(gè)激勵(lì)SSu

2、RRRuuRRi2111212 ,1SSiRRRRuiRRRi212112112 , uS 單獨(dú)作用:iS 單獨(dú)作用：SSSSikukuuuikukiii22211111211222 電流源置零時(shí)相當(dāng)于開(kāi)路，電壓源置零相當(dāng)于短路。 每個(gè)支路電流或支路電壓都是多個(gè)激勵(lì)共同作用產(chǎn)生的結(jié)果； 每一項(xiàng)只與一個(gè)激勵(lì)成比例，其比例系數(shù)為該激勵(lì)單獨(dú)作用，其余激勵(lì)全部置零求出的比例系數(shù)；, 2 , 1 , 2 , 1 2211221122112211jihihukukujihihukukiSjSjSjSjjSjSjSjSjj 2. 疊加定理 線(xiàn)性電阻電路中,任一電壓或電流都是電路中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí),在該

3、處產(chǎn)生的電壓或電流的疊加.mkkkjjii1 其余電源置零個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用，第 疊加定理僅適用于線(xiàn)性電路，不適用于非線(xiàn)性電路； 疊加定理在線(xiàn)性電路分析中起著重要作用，線(xiàn)性電路中很多定理都與疊加定理有關(guān)； 解：電路中含有受控源時(shí)，受控源要始終保留，單獨(dú)作用只能是獨(dú)立電源。例4-1: 試用疊加定理求下圖中 Ix例4-2: 電路如下圖所示，求電壓 u3 。 解：應(yīng)用疊加定理，作 10V、4A 單獨(dú)作用的等效電路，則有 ViiuAii6410,146101211131211 ViiuAiiAi6 .25410,4 . 24 ,6 . 14464222123212221Vuuu6 .19)2(3)1(

4、33例4-3: 電路如下圖所示，試求電壓 u3 。ViiiuAi 6 .3666410,4 .0410610)1(1)1(1)1(1)1(3)1(1 解：根據(jù)疊加定理，分為電壓源作用和電流源作用，則有Vuuu 2 .296 .256 . 3 )2(3)1(33VuAi 6 .25,6 . 1)2(3)2(1 元件的功率不等于各電源單獨(dú)作用時(shí)在該元件上所產(chǎn)生的功率之和,直接用疊加定理計(jì)算功率將失去 “交叉乘積” 項(xiàng)，因功率 p 不是電壓 u 或電流 i 的線(xiàn)性函數(shù)； 疊加時(shí)各分電路中的電壓和電流的參考方向可以取的與原電路中的相同。取和時(shí)，應(yīng)注意各分量前的 “+” “-”號(hào)。 電路中存在受控源時(shí)，

5、應(yīng)用疊加定理進(jìn)行各分電路計(jì)算時(shí)，要始終把受控源保留在各分電路中； 運(yùn)用疊加定理計(jì)算電路時(shí)，如果有多個(gè)電源，可分組置零，不必單個(gè)置零；4-2 替代定理1.替代定理（置換定理） 已知端口電壓和電流值分別為和,則 N1（或 N2 ）可以用一個(gè)電壓為 的電壓源或用一個(gè)電流為 的電流源置換,不影響 N2（或 N1 ）內(nèi)部各支路電壓、電流原有效值. a. p 點(diǎn)：直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)，電壓為 uR ，電流為 iR ; b. 直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)仍為 p 點(diǎn)(電阻R用電壓源 uR 替代); c. 直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)也是 p 點(diǎn)(電阻 R用電流源 iR 替代).2.替代定理的證明 b.方框內(nèi)（指 N1）的元件相同，特性

6、方程相同，對(duì) N2 而言, 原端口提供了 u 和 i 的一個(gè)約束（ u= A+B i ), 而電壓源卻提供了一個(gè)解答 u (且電壓源的電流可為任意值)或電流源卻提供了一個(gè)解答 i（且電流源的電壓可為任意值 )。因此, 三個(gè)電路都滿(mǎn)足相同的網(wǎng)絡(luò)方程。 三個(gè)電路都滿(mǎn)足相同的網(wǎng)絡(luò)方程( KCL, KVL以及 VCR). a. 網(wǎng)絡(luò)的有向圖相同，按KCL列寫(xiě)的電流方程和按KVL列寫(xiě)的電壓方程必然相同； 三個(gè)電路都具有唯一解(假設(shè)); c. 替代定理可推廣到非線(xiàn)性電路，只要知道端口電壓或端口電流，就可以用電壓源和電流源進(jìn)行置換。 d. 替代定理是非常有用的定理，在以后的定理證明中多次用到。當(dāng)我們把網(wǎng)絡(luò)

7、N 分解為 N1 和 N2 后，且求出了 N1 和 N2 的端口電壓和端口電流后，通過(guò)將 N1（或 N2 ）用電壓源或電流源置換，進(jìn)而可求出 N1 和 N2 中各支路電壓和電流。例4-4：求下圖所示電路中 U1 和 I ，已知 U = 3V 。 解： 根據(jù)替代定理，可將 3 電阻連同左邊網(wǎng)絡(luò)用 的電流源置換，則A133VU112)/(21 再回到原電路中，可得AUUIUUI22/ )8(, 082 114-3 戴維南定理和諾頓定理一.戴維南定理1.戴維南定理 線(xiàn)性含源單口網(wǎng)絡(luò) N，可等效為一個(gè)電壓源串聯(lián)電阻支路，電壓源電壓等于該網(wǎng)絡(luò) N 的開(kāi)路電壓 uoc , 串聯(lián)電阻 Req 等于該網(wǎng)絡(luò)中所

8、有獨(dú)立源置為零值時(shí)所得網(wǎng)絡(luò) N0 的等效電阻 Rab 。 若線(xiàn)性含源單口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓 u 和電流 i 為非關(guān)聯(lián)參考方向，則其 VCR 可表示為iRuueqoc2. 戴維南定理的證明 證明：根據(jù)替代定理，將 M 用電流源 is = i 替代，再據(jù)疊加定理，端口處電壓 u 和 電流 i 可疊加得到例4-5: 試求下圖中12k 電阻的電流 I 。SSabociiiiiiRuuuu0 )2() 1 ()2() 1 ( 因此，從網(wǎng)絡(luò) N 的兩個(gè)端鈕 a, b 來(lái)看，含源單口網(wǎng)絡(luò)可等效為一個(gè)電壓源串聯(lián)電阻的支路，其電壓源電壓為 uoc , 串聯(lián)電阻 Req . 解：據(jù)戴維南定理，除12k 電阻以外的部分

9、可等效為電壓源 uoc與電阻Req的串聯(lián)組合例4-6: 求下圖所示單口網(wǎng)絡(luò)的 VCR 。 VIumAIoc 24 1212 1 1081230kRRkRabeqab 4 4 12/6 ，又mAkkRUIeqoc 5 .11242412 解：該網(wǎng)絡(luò)的VCR可表示為iRuueqoc S1: 求 uoc3212133321212332111)()( RRRRRuRRRRRRiRRRRRiuuuusssococococ3213212321131)()( RRRuRRiRRRiRRsssS2: 求 Req321321321)(/)(RRRRRRRRRRRabeq例4-7: 試用戴維南定理求下圖 RL 的

10、電流I 。解：S1.求 uoc（斷開(kāi)RL）)()( 43213241433211RRRRRRRRuuRRRuRRRuuuussscbacaboc S2. 求Req（將電壓源置零）4321/RRRRReqLeqocRRuI解：?jiǎn)慰诰W(wǎng)絡(luò)與等效電路的 VCR 應(yīng)一致scoceqsceqocscocociuRiRuiuu ,scoceqiuR 例4-8: 試說(shuō)明：若含源單口網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓為 uoc，短路電流為 isc，則戴維南電路的等效電阻為 解：10)5 . 0(1010)5 . 0(2112iRRiRRiiuocARRisc150/1)5 . 0/(1021例4-9: 求下圖所示電路的戴維南等效電

11、路1500150/110scoceqiuR 只要得到線(xiàn)性含源單口網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)數(shù)據(jù)，開(kāi)路電壓 uoc 和短路電流 isc，即可確定戴維南等效電路； 求含受控源的戴維南等效電路時(shí)，為了計(jì)及受控源的作用, 通常采用先算開(kāi)路電壓 uoc，再算短路電流 isc 的方法獲得Req； 求含受控源電路的等效電阻 Req 時(shí)，也可采用2-7中外加電壓源求電流和外加電流源求電壓的一般方法來(lái)解決； 對(duì)電路的某一元件感興趣時(shí)(求其電壓、電流、功率等),應(yīng)用戴維南定理會(huì)帶來(lái)很大方便。 求戴維南等效電路（求戴維南等效電路（例4-6 PP91）二.諾頓定理 諾頓定理：線(xiàn)性含源單口網(wǎng)絡(luò) N , 可以等效為一個(gè)電流源并聯(lián)電阻的組

12、合,電流源的電流等于該網(wǎng)絡(luò) N 的短路電流 isc ,并聯(lián)電阻 Req 等于該網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源為零值時(shí)所得網(wǎng)絡(luò) N0 的等效電阻Rab 。 根據(jù)諾頓定理，線(xiàn)性含源單口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓 u 和 i 為非關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，則其 VCR 可表示為eqscRuii例4-10: 用諾頓定理求下圖所示電路中 3 電阻的電流 I 。 諾頓定理可由戴維南定理和等效電源定理推導(dǎo)出來(lái)； 只能等效為一個(gè)電流源的單口網(wǎng)絡(luò)（Req= 或 Geq= 0），只能用諾頓定理等效，不能用戴維南定理等效；同理，只能等效為一個(gè)電壓源的單口網(wǎng)絡(luò)（ Req = 0 或 Geq= ），只能用戴維南定理等效，不能用諾頓定理等效。 解：AiSs

13、c 10 6/312624 :1AiRRISRSsceqeqab4 10 2323 :3 26/3 :2 例4-11: 求下圖所示電路的戴維南等效電路和諾頓等效電路,一端口內(nèi)部有電流控制電流源，ic=0.75 i1 。解： S1：求uocVumAiikkikikiiiiocc 35 , 1 40 )2075.15( 40205 , 75.11121112又 S2：求iscmAiiiimAkicsc 14 75.1 ,85/40111kmAViuRscoceq5 .214/35S3：三.最大功率傳遞定理最大功率匹配)()(22LLLeqocLRfRRRuRip令 0)(22LeqLeqocLRR

14、RRudRdpp 有極值 eqLRRp 取得極大值083222eqocRRLRudRpdeqL 最大功率傳遞定理：由線(xiàn)性單口網(wǎng)絡(luò)傳遞給可變負(fù)載 RL 的功率為最大的條件是：負(fù)載 RL 應(yīng)與戴維南(或諾頓)等效電阻相等。 單口網(wǎng)絡(luò)和它的等效電路，就其內(nèi)部功率而言是不等效的，由等效電阻 Req 算得的功率一般不等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部消耗的功率，因此，實(shí)際上當(dāng)負(fù)載得到最大功率時(shí)，其功率傳遞效率未必是50%。或用諾頓等效電路42maxeqscRip用戴維南等效電路eqocRuP42max 解：可求出：uoc=4V, Req=20k, 故 R = Req=20k, 可獲得最大功率mWRupeqoc 2 . 042

15、max例4-12: 求下圖中R 為何值時(shí)能從電路中獲得最大功率? 4-4 特勒根定理（Tellegens Theorem）一.特勒根定理 1 對(duì)于一個(gè)具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)和 b 條支路的電路，假設(shè)各支路電流和電壓取關(guān)聯(lián)參考方向，并令(i1, i2, i b), (u1, u2, u b )分別為 b 條支路的電流和電壓，則對(duì)任何時(shí)間 t，有bkkkiu10 定理實(shí)際上是功率守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式，表明任何一個(gè)電路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。 說(shuō)明過(guò)程中，只根據(jù)電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和 KCL、KVL，并不涉及元件的性質(zhì)，適用于線(xiàn)性、非線(xiàn)性和時(shí)變?cè)募傠娐贰? )()()( )( )( )( 64335

16、322421163524313322211161665544332211iiiuiiiuiiiuiuiuiuuiuuiuuiuiuiuiuiuiuiuiunnnnnnnnnnnnkkk二.特勒根定理 2 兩個(gè)不同網(wǎng)絡(luò)（具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)和 b 條支路），其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同（圖完全相同），支路和結(jié)點(diǎn)編號(hào)、參考方向相同，并分別用 、 和 、 表示兩者的 b 條支路的電流和電壓，則對(duì)任何時(shí)間 t ，有) , , , (21biii) , , , (21buuu) , , ,(21biii) , , ,(21buuubkkkiu10 bkkkiu10 和000643532421iiiiiiiii說(shuō)明：上圖中

17、可有 同理可得 定理 2 說(shuō)明了兩個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同的電路，一個(gè)電路的支路電壓和另一個(gè)電路的支路電流之間必然遵循的數(shù)學(xué)關(guān)系；0 )()()(61643353224211knnnkkiiiuiiiuiiiuiu 定理 2 也說(shuō)明了同一電路不同時(shí)刻的相應(yīng)支路電壓和電流應(yīng)滿(mǎn)足的數(shù)學(xué)關(guān)系； 定理 2 不能用功率守恒來(lái)解釋?zhuān)袝r(shí)又稱(chēng)為 “擬功率定理”。4-5 互易定理 對(duì)一個(gè)僅含線(xiàn)性電阻的電路（不含任何獨(dú)立電源和受控源），在單一激勵(lì)的情況下，當(dāng)激勵(lì)和響應(yīng)互換位置時(shí)，將不改變同一激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)。一.互易定理第一形式激勵(lì)：電壓源 uS 響應(yīng)：短路電流 kkkbkkkkkkbkkkiRuiuiuiuiRuiui

18、uiu 0 0 3221132211又因22112211 iuiuiuiuSSuuuuuu ,0 ,0 ,21211221 iuuiiuiuSSSS12ii ,SSuu若 則二.互易定理第二形式激勵(lì)：電流源 iS 響應(yīng)：開(kāi)路電壓bkkkkkkbkkkkkkiRuiuiuiuiRuiuiuiu3221132211 , 0 , 0 又因221 12211 iuiuiuiuSSiiiiii , 0 , 0 ,2121121212 )()( uiiuiuiuiuiuSSSSSS,SSii 12 uu 若 則三.互易定理第三形式 N：激勵(lì)：電流源 iS 響應(yīng)：短路電流 i2 ：激勵(lì)：電壓源 響應(yīng)：開(kāi)路電壓NSu 1 ukkkbkkkkkkbkkkiRuiuiuiuiRuiuiuiu , 0 , 0 322113221122112211 iuiuiuiuSSuuiuii , 0 , 0 ,2121又因 12210 )( uuiiiuiuSSSS12 , uiuiSS則有若數(shù)值上有例4-13: 試求下圖所示電路中電流 i 。 例4-14: 由線(xiàn)性電阻元件構(gòu)成的二端口網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)輸入端口接 us=10V 電壓源，輸出端口短接時(shí)，輸入端電流為 5 A，輸出端電流 1A；如果把電壓源移至輸出端口，且輸