1、有限元方法（FEA）2015-9第一部分：有限元簡介簡介有限元方法是求解數學物理問題的一種數值計算方法，起源于固體力學，然后迅速擴展到流體力學、傳熱學、電磁學等其他物理領域。有限元分析是利用數學近似的方法對真實物理系統（幾何和載荷工況）進行模擬。利用簡單而又相互作用的元素，即單元，用有限數量的未知量去逼近無限未知量的真實系統。有限元模型 是真實系統理想化的數學抽象。真實系統真實系統有限元模型有限元模型有限元模型由一些簡單形狀的單元組成，單元之間通過節點連接，并承受一定載荷。節點具有一定的自由度。齒輪有限元模型齒輪有限元模型自由度(DOFs) 用于描述一個物理場的響應特性。結構結構 DOFs 結

2、構結構 位移位移 熱熱 溫度溫度 電電 電位電位 流體流體 壓力壓力 磁磁 磁位磁位 分析對象分析對象 自由度自由度ROTZUYROTYUXROTXUZFEAFEA基本思路：分割基本思路：分割- -組合組合 將連續系統分割成有限個分區或單元（離散化） 用標準方法對每個單元提出一個近似解（單元分析） 將所有單元按標準方法組合成一個與原有系統近似的系統（整體分析） 這種分割-組合思想古而有之，如求圓面積。圓面積自重作用下等截面直桿的解受自重作用的等截面直桿如圖所示，桿的長度為L，截面積為A，彈性模量為E，單位長度的重量為q，桿的內力為N。試求：桿的位移分布，桿的應變和應力。)()(xLqxN2(

3、)()2qxu xLxEA( )()xdu xqLxdxEA( )()xN xqLxAA材料力學解答()xxqLxEEA有限元法解答（1）離散化將直桿劃分成n個有限段，有限段之間通過一個鉸接點連接。兩段之間的連接點稱為節點，每個有限段稱為單元。第i個單元的長度為Li，包含第i，i+1個節點。X（2）單元分析用單元節點位移表示單元內部位移第i個單元中的位移用所包含的結點位移來表示。)()(1iiiiixxLuuuxu第i結點的位移iuix第i結點的坐標線性插值得到的線性插值得到的iiiiLuudxdu1第i個單元的應變iiiiiLuuEE)(1iiiiiLuuEAAN)(1應力內力（3）整體分析

4、首先把外載荷集中到節點上：把第i單元和第i+1單元重量的一半，集中到第i+1結點上2)(11iiiiLLqNN建立結點的力平衡方程：對于第i+1結點，由力的平衡方程可得1iiiLL令221)11 (2)1 (iiiiiiiLEAquuu)(2)()(11121iiiiiiiiLLqLuuEALuuEA(i=1,n-1)01u對于第n+1個結點，第n個單元的內力與第n+1個結點上的外載荷平衡，EAqLuunnn221因此可以得到n+1個方程構成的方程組，可解出n+1個結點的位移。再加上約束條件1()2nnnnnnEA uuqLNAL有限元分析主要應用領域結構分析結構分析熱分析熱分析電磁分析電磁分

5、析流體分析流體分析 耦合場分析耦合場分析 - 多物理場多物理場結構分析結構分析結構分析是有限元分析方法最常用的一個應用領域。結構這個術語是一個廣義的概念，它包括土木工程結構，如橋梁和建筑物；汽車結構，如車身骨架；海洋結構，如船舶結構；航空結構，如飛機機身等；同時還包括機械零部件，如活塞，傳動軸等等。結構分析中計算得出的基本未知量（節點自由度）是位移，其他的一些未知量，如應變，應力，和反力可通過節點位移導出。結構分析結構分析- -分類分類n靜力分析 -用于靜態載荷. 可以考慮結構的線性及非線性行為，例如: 大變形、大應變、應力剛化、接觸、塑性、超彈及蠕變等. n動力分析 -動力學分析是用來確定慣

6、性（質量效應）和阻尼起著重要作用時結構或構件動力學特性的技術。“動力學特性” 可能指的是下面的一種或幾種類型:振動特性 - （結構振動方式和振動頻率）周期（振動）載荷的效應隨時間變化載荷的效應n屈曲分析 -用于計算屈曲載荷和確定屈曲模態。包括線性（特征值）和非線性屈曲分析。靜力分析靜力分析轉向機構支架的強度分析（MSC/Nastran）常用有限元分析軟件介紹常用大型通用有限元軟件ADINA、 ABAQUS、 ANSYS、 MSC/Marc、 MSC/Nastran一些專用有限元軟件LS_DYNA、 PAM-CRASH、 MSC/Dytran (碰撞）、Autoform、 DYNAFORM、PA

7、M-STAMP（沖壓）、 DEFORM(體積成形)、 SysWeld（焊接）、MOLDFLOW(注塑)、 ProCast (鑄造)、AdvantEdge (切削)、SimFact(體積成形)ABAQUS1978年，三位著名學者Hibbitt, Karlsson和Sorensen成立HKS公司，推出有限元產品為ABAQUS。總部位于美國的羅德島州（Rhode Island）。國際上最先進的大型通用有限元分析軟件之一。特別是它的非線性力學分析功能具有世界領先水平。兩個主要分析模塊： ABAQUS/Standard和ABAQUS/ExplicitANSYS1970年由John Swanson博士在美

8、國匹茲堡創辦，Swanson公司，后改名ANSYS公司。集結構、熱、流體、電磁于一體的大型通用有限元分析軟件。在全球擁有最大的用戶群，是國際上最流行的主流軟件之一。有限元分析的作用現代工業的進步，完全得力于計算機科技的突飛猛進。將計算機、計算機軟件應用于產品的開發、設計、分析與制造，已成為近代工業提升競爭力的主要方法。CADCAMCAE：在產品研發過程中，利用計算機建模及性能仿真分析，對設計進行評判和優化，提高設計品質。高效率、低成本第二部分：數理力學基礎2.2 彈性力學基礎關于彈性力學五個基本假定外力和內力應力、應變、位移平面問題基本方程及邊界條件三維問題基本方程及邊界條件關于彈性力學彈性力

9、學是研究彈性體在約束和外載荷作用下內力和變形分布規律的一門學科。力學學科研究對象特征中學力學質點無變形理論力學質點系及剛體無變形材料力學簡單變形體(構件)小變形結構力學數量眾多的簡單變形體小變形彈性力學任意變形體小變形彈塑性力學任意變形體任意變形力學學科各分支的關系五個基本假定連續性：無空隙，能用連續函數描述均勻性：各個位置物質特性相同各向同性：同一位置的物質各個方向上具有相同特性線彈性：變形和外力的關系是線性的，外力去除后，物體可恢復原狀小變形：變形遠小于物體的幾何尺寸，建立基本方程時可以忽略高階小量。外力和內力體力分布在物體體積內的力，例如重力和慣性力。面力分布在物體表面上的力，例如接觸壓

10、力、流體壓力。分布力：連續分布在表面某一范圍內集中力：分布力的作用面積很小時的簡化內力外力作用下，物體內部相連各部分之間產生的相互作用力。位移、應力、應變對變形體受力和變形進行描述的基本變量位移物體變形后的形狀應力物體的受力狀態應變物體的變形程度位移位移就是位置的移動。物體內任意一點的位移，用位移在x，y，z坐標軸上的投影u、v、w表示。應力物體內某一點的內力SAQA0limF1F2F3 應力S在其作用截面上的法向分量為正應力，切向分量稱為剪應力，用表示。ANsinsinNAsincosNA顯然，點p在不同截面上的應力是不同的。為分析點p的應力狀態，即通過p點的各個截面上的應力的大小和方向，在

11、p點取出的一個無窮小平行六面體。用六面體表面的應力分量來表示p點的應力狀態。 一點的應力狀態無窮小正六面體,六面體的各棱邊邊平行于坐標軸第一個下標表示應力的作用面，第二個下標表示應力的作用方向。正應力由于作用表面與作用方向垂直，通常用一個下標。 應力分量的方向定義 ：如果某截面上的外法線是沿坐標軸的正方向，這個截面上的應力分量以沿坐標軸正方向為正；如果某截面上的外法線是沿坐標軸的負方向，這個截面上的應力分量以沿坐標軸負方向為正。剪應力互等 物體內任意一點的應力狀態可以用六個獨立的應力分量來表示 xzzxzyyzyxxy,或xyzxyyzzx、123122331、應變物體的形狀改變可以歸結為長度

12、和角度的改變。各線段的單位長度的伸縮，稱為正應變，用表示。兩個垂直線段之間的直角的改變，用弧度表示，稱為剪應變，用表示。dudLdL+dudL與應力的定義類似，物體內任意一點的變形，可以用六個應變分量表示：zxyzxyzyx、123122331、 、 、或平面問題及其基本方程彈性體在滿足一定條件時，其變形和應力的分布規律可以用在某一平面內的變形和應力的分布規律來代替，這類問題稱為平面問題。平面問題分為平面應力問題和平面應變問題。平面應力問題很薄的等厚薄板，只在板邊上受到平行于板面并且不沿厚度變化的面力，體力也平行于板面且不沿厚度變化。 0z0zx0zy平面應變問題很長的柱形體，支承情況不沿長度

13、變化，在柱面上受到平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，體力也如此分布。 0z0zx0zy三大類基本方程 在彈性力學中針對微小的單元體建立基本方程，把復雜形狀彈性體的受力和變形分析問題歸結為偏微分方程組的邊值問題。彈性力學的基本方程包括平衡方程：內力和外力的關系幾何方程：應變和位移的關系物理方程（本構方程）：應力和應變的關系平衡方程ab=dxad=dy000 xyoFFM00yxxxyxyybxybyx00 xyxxyyxybxybyx習慣上張量指標形式：ib單位體積力幾何方程xyxyuxvyuvyx張量指標形式：物理方程 yxxE1xyyE1xyxyE)1 (2平面應力問題：平面應變問題：yx

14、xE112xyyE112xyxyE)1 (2張量指標形式：邊界條件oxyds外法線n的方向余弦 l=dy/ds m=dx/ds位移BC力 BC張量指標形式：00 xyFF三維問題基本方程及邊界條件 可以將平面問題的基本方程推廣到三維問題。基本變量如下： xyzxyyzzxxyzxyyzzxuvw位移：應變：應力：平衡方程幾何方程物理方程邊界條件三維問題基本方程的張量指標形式平衡方程：幾何方程：物理方程：邊界條件：第三部分：有限元建模有限元分析過程有限元建模的一般步驟有限元建模的基本原則一致性的單位系統單元選擇網格劃分應力集中問題56有限元分析過程三個階段：前處理、計算及后處理57前處理（建模）

15、前處理（建模）計算計算后處理后處理評估、修改評估、修改實際問題或設計方案實際問題或設計方案有限元建模有限元建模：建立有限元模型的過程，是整個有限元分析過程的關鍵。模型合理與否直接影響：精度、效率、存儲容量及過程能否完成。有限元模型：是進行有限元分析的計算模型，為有限元計算提供必須的原始數據。一般包括三類數據節點數據單元數據邊界條件數據58建模的一般步驟59問題分析幾何模型建立單元類型選擇單元特性定義網格劃分模型檢查邊界條件定義計算結果比較實際問題設計方案修改測試有限元模型問題分析分析類型結構分析 靜力還是動力分析？線性還是非線性分析？ 熱分析電磁場分析流體分析耦合場60靜力還是動力分析？ 如果

16、施加的荷載隨時間快速變化，則慣性力和阻尼力通常是重要的因此可以通過載荷是否是時間相關來選擇是靜力還是動力分析如果在相對較長的時間內載荷是一個常數，請選擇靜態分析。否則，選擇動態分析總之，如果激勵頻率小于結構最低階固有頻率的1/3，則可以進行靜力分析。61線性還是非線性分析？線性分析假設忽略荷載對結構剛度變化的影響。典型的特征是：小變形彈性范圍內的應變和應力沒有諸如兩物體接觸或分離時的剛度突變。如果加載引起結構剛度的顯著變化，必須進行非線性分析。引起結構剛度顯著變化的典型因素有：應變超過彈性范圍（塑性）大變形，例如承載的魚竿兩體之間的接觸62幾何模型建立幾何模型是對分析對象形狀和尺寸的描述，是實

17、現自動分網的基礎。線框、曲面、實體模型？應該考慮多少細節？是否應用對稱性？63細節在分析模型中不應該包括對分析無足輕重的細節。但是，對一些結構 “細節”可能很重要，如倒角或孔洞處，將會出現最大應力。是否保留這些細節取決于你的分析目標。64對稱性許多結構在形狀上是對稱的，這就允許只取其中有代表性的部分或截面去建立模型。應用對稱模型的主要優點是：通常更易于建立模型允許你創建一個更好更細的模型，以便獲得比全模型可能更好的結果65要利用對稱性，下列因素必須對稱：幾何形狀材料屬性荷載工況幾種不同類型的對稱：軸對稱旋轉對稱平面或鏡面對稱重復或平移對稱66有限元建模的基本原則2個基本原則保證計算結果的精度（

18、必須的）適當控制模型的規模（必要的）有限元分析結果誤差來源模型誤差有限元模型與實際問題之間的差異計算誤差舍入誤差有效數字截斷誤差數值積分67模型誤差幾何離散誤差復雜曲線、曲面邊界采用較多的單元邊界條件誤差盡量與實際工況接近單元誤差提高單元階次增加單元數量盡量采用規則的單元形狀（特別是應力集中部位） 直觀上：單元各棱邊或各內角相差不大的形狀是較好的形狀68計算誤差運算次數越多、誤差累積越大舍入誤差采用雙精度運算 例如：采用動力顯式算法計算拉彎成形，出現剛體夾鉗變形的情況截斷誤差采用高斯積分、增加積分點數 例如沖壓成形中回彈的計算，要求成形結束時應力場的計算必須具有較高的精度69一致性的單位系統Q

19、uantitySISI (mm)(mm)LengthmmmmmForceNNKNMasskgtonne (103 kg)kgTimessmsStressPa (N/m2)MPa (N/mm2)GPa(KN/mm2)EnergyJmJ (103 J)JDensitykg/m3tonne/mm3kg/mm3單元選擇單元類型實體單元結構單元(梁單元，殼單元等）插值階數（節點數）一次單元（線性）、二次單元積分方式完全積分減縮積分非協調單元單元類型實體單元3維實體單元六面體楔形四面體2維實體單元平面應力平面應變軸對稱 平面應變(plain strain)單元假設離面應變為零，可以用來模擬厚結構。 平面應

20、力(plain stress)單元假設離面應力為零，適合用來模擬薄結構。 軸對稱單元CAX類單元可模擬360o的環,適合于分析具有軸對稱幾何形狀和承受軸對稱載荷的結構。關于結果輸出默認情況下，變量輸出為整體坐標方向。解釋困難。建立局部隨動坐標系，結果容易解釋。結構單元殼單元用來模擬那些一個方向的尺寸(厚度)遠小于其他方向的尺寸，并且沿厚度方向的應力可以忽略的結構。桿件單元用來模擬那些一個方向的尺寸（長度）遠大于其他兩個方向的尺寸，并且僅沿長度方向的應力比較顯著的構件。梁單元（Beam）桁架單元 (Truss)：不能承受彎曲，鉸接框架結構 近似模擬纜索、彈簧實體單元建立有限元模型通常規模較大，尤

21、其對于三維實體單元如果選用適當的結構單元 (shells and beams) 會得到一個更經濟的解決方案模擬相同的問題，用結構體單元通常需要的單元數量比實體單元少很多要由結構單元得到合理的結果需要滿足一定要求：殼的厚度或梁的截面尺寸必須小于典型結構整體尺寸的1/10。插值的階數通常插值的階數由單元采用的節點數目決定。僅在角點處布置節點的單元，如8節點實體單元，在每一方向上采用線性插值，常常稱它們為線性單元或一階單元。在每條邊上有中間節點的單元，如20節點實體單元，采用二次插值，常常稱它們為二次單元或二階單元。在每條邊上有中間節點的修正三角形或四面體單元，如10節點四面體單元，采用修正的二階插

22、值，常常稱它們為修正的單元或修正的二次單元或二階單元。積分選擇(模擬彎曲問題)完全積分減縮積分非協調模式單元完全積分完全積分：在等參元內，采用的高斯積分點數足以對單元剛度矩陣中的多項式進行精確積分。一次二次剪力自鎖剪力自鎖減縮積分減縮積分：比完全積分單元在每個方向上少用一個積分點。只有四變形和六面體單元才能采用減縮積分方法。線性單元只在單元中心有一個積分點。線性減縮積分單元存在沙漏(hourglassing)問題而過于柔軟。引入小量的人工“沙漏剛度”以限制沙漏模式的擴展。建議沿厚度方向至少采用4個單元。Same load and displacement magnification (1000

23、)減縮積分單元厚度方向至少采用4個單元非協調模式單元非協調模式單元的目的是克服在完全積分、一階單元中的剪力自鎖問題。由于剪力自鎖是單元的位移場不能模擬與彎曲相關的變形而引起的，所以在一階單元中引人了一個增強單元變形梯度的附加自由度。這種對變形梯度的增強允許一階單元在單元域上對于變形梯度有一個線性變化。優點使用非協調單元模擬彎曲問題 (CPS4I, )對于模擬以彎曲變形為主的問題或許是最高效且低成本的一種實體單元綜合了一階和二階單元的優點正確模擬剪切行為純彎曲變形下不存在剪切變形。厚度方向只需一個單元即可模擬彎曲問題。不存在沙漏模式。 在單元過分扭曲的情況下，模擬精度下降（低于一次減縮積分單元）

24、；然而， 所有單元在單元形狀過分扭曲的情況下都將下降。單元扭曲的影響：懸臂梁彎曲Parallel distortionTrapezoidal distortion總結單元類型單元類型 xx yy xy備注備注Physical behavior 000Second-order 000OKFirst-order, full integration 0 0 0Shear lockingFirst-order, reduced integration000Hourglassing if too few elements through thickness 000OK if enough element

25、s through the thicknessIncompatible mode 000OK if not overly distorted網格劃分應用足夠細密的網格以保證模擬的結果具有足夠的精度是非常重要的。粗糙網格可能會產生不精確的結果。隨著網格密度的增加，模擬分析所產生的數值結果會趨于一個唯一解但是運行模型所需耍的計算機資源也會增加。學會判斷網格細分到何種程度所得的結果是可以接受的。當進一步細分網格所得到的解的變化可以忽略不計時，可以說網格已經收斂了。 數值解是所模擬的物理問題的近似解答，取決于模型的幾何形狀、材料特性、邊界條件等描述的準確程度。四種不同的網格密度通過模型的三個特定結果來

26、考察網格密度的影響： 孔底部的位移； 孔底部的Mises應力峰值； 連接環與母體結構連接處的Mises應力峰值； 粗網格預測的孔底部位移是不準確的，但是，采用正常網格、細網格和很細的網格預測了基本相同的結果。因此，正常網格對所關注的位移而言是收斂的。 孔底部應力峰值的收斂比位移慢得多，這是因為應力和應變是由位移的梯度計算得到的。而要預測準確的位移梯度比計算準確的位移所需的網格更密。 網格的細分明顯地改變了連接環在固定端處的應力計算值。隨著網格的細分應力值繼續增加。在連接環與母結構連接的角點處存在應力奇異性。從理論上講，在這個區域的應力是無限大的，因此，在此處增加網格密度不會產生一個收斂的應力。

27、所有的結果值都與由粗網格預測的結果值進行了無量綱化對比。建議 對復雜的三維模擬而言，實際上可利用的計算機資源常常限制了所采用的網格密度。在這種情況下，必須非常小心地應用從分析中得到的結果。粗糙的網格足以用來預測趨勢。然而，應用由粗糙網格計算得到的位移和應力的具體量值應該很謹慎。一般來說，沒有必要對所分析的結構全部采用均勻的細劃網格。應該在出現高應力梯度的地方采用細網格，而在低應力梯度或應力量值不被關注的地方采用粗網格。例如，細劃的網格僅應用在高應力梯度的區域，而在其他地方則采用粗網格。例如：從表中可見，結果與整體劃分很細網格的結果相近。但是這種局部細劃網格的模擬與應用很細網格的分析相比大大節省

28、了計算需要的CPU時間：l應力奇異是指在有限元模型中那些應力值無限大的點處。例如：l點荷載，如集中力或力矩作用處l孤立的約束點導致支反力如同點荷載。l尖角（零倒角半徑）處l在應力奇異點處網格越細化，應力值也隨之增加且不收斂關于應力奇異 應力奇異的處理如果離感興趣區域較遠，可以在查看結果時通過不激活受影響的區域忽略它的影響如果位于感興趣區域，需要如下糾正:在尖角處增加倒角重新進行分析代替點力載荷為等效壓力載荷“散布” 位移約束至一個節點集 應力集中問題二次單元處理應力集中問題，明顯優于一次單元無論是完全積分還是減縮積分都可以很好的反映應力集中減縮積分效率更高，而且計算結果往往優于完全積分。二次單元可以以更少的單元更好的反應結構的幾何特征Physical mod