1、第八章第八章 系統的狀態變量分析系統的狀態變量分析 前面幾章的分析方法稱為前面幾章的分析方法稱為外部法外部法，它強調用系統，它強調用系統的輸入、輸出之間的關系來描述系統的特性。的輸入、輸出之間的關系來描述系統的特性。其其特點特點：（1）適用于單輸入單輸出系統，對于多輸入多輸出系）適用于單輸入單輸出系統，對于多輸入多輸出系統，將增加復雜性；統，將增加復雜性；（2）只研究系統輸出與輸入的外部特性，而對系統的）只研究系統輸出與輸入的外部特性，而對系統的內部情況一無所知，也無法控制。內部情況一無所知，也無法控制。 本章將介紹的本章將介紹的內部法內部法狀態變量法狀態變量法是用是用n個狀態個狀態變量的一階

2、微分或差分方程組（狀態方程）來描述系變量的一階微分或差分方程組（狀態方程）來描述系統。統。優點優點有：有：（1）提供系統的內部特性以便研究。）提供系統的內部特性以便研究。（2）便于分析多輸入多輸出系統；）便于分析多輸入多輸出系統；（3）一階方程組便于計算機數值求解。并容易推廣用）一階方程組便于計算機數值求解。并容易推廣用于時變系統和非線性系統。于時變系統和非線性系統。 內部法內部法狀態變量法狀態變量法8.1 狀態變量與狀態方程狀態變量與狀態方程一、狀態與狀態變量的概念一、狀態與狀態變量的概念從一個電路系統實例引入從一個電路系統實例引入R1R2L1L2iL1iL2iCuCus1us2au以以u(

3、t)和和iC(t)為輸出為輸出 若還想了解內部三個若還想了解內部三個變量變量uC(t), iL1(t), iL2(t)的變化情況。的變化情況。這時可列出方程這時可列出方程0dd12LLCiituCa0dd11111SCLLuutiLiR0dd22222CSLLuuiRtiL222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtu 222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtuR1R2L1L2iL1iL2iCuCus1us2au 這是由三個內部變量

4、這是由三個內部變量uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)構成的一構成的一階微分方程組。階微分方程組。 若初始值若初始值uC(t0)、iL1(t0)和和iL2(t0)已知，則根據已知，則根據tt0時時的給定激勵的給定激勵uS1(t)和和uS2(t)就可惟一地確定在就可惟一地確定在tt0時的解時的解uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)。 )()()()()()(21222titititutiRtuLLCSL 系統的輸出容易地由三系統的輸出容易地由三個內部變量和激勵求出：個內部變量和激勵求出：一組代數方程一組代數方程 狀態與狀態變量的定義狀態與狀態變量的定義 系統在某一時刻系統在某一時刻t0的

5、的狀態狀態是指表示該系統所必需是指表示該系統所必需最少的一組數值最少的一組數值，已知這組數值和，已知這組數值和tt0時系統的激勵，時系統的激勵，就能完全確定就能完全確定tt0時系統的全部工作情況。時系統的全部工作情況。 狀態變量狀態變量是描述狀態隨時間是描述狀態隨時間t 變化的一組變量，變化的一組變量，它們在某時刻的值就組成了系統在該時刻的它們在某時刻的值就組成了系統在該時刻的狀態狀態。222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtu 對對n階動態系統需有階動態系統需有n個獨立的狀態變量，通常用個獨立的狀態變量，通常

6、用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。表示。 說明說明：（1）系統中任何響應均可表示成狀態變量及輸入）系統中任何響應均可表示成狀態變量及輸入的線性組合；的線性組合；（2）狀態變量應線性獨立；）狀態變量應線性獨立；（3）狀態變量的選擇并不是唯一的）狀態變量的選擇并不是唯一的 。在初始時刻的值稱為在初始時刻的值稱為初始狀態初始狀態。二、狀態方程和輸出方程二、狀態方程和輸出方程在選定狀態變量的情況下在選定狀態變量的情況下 ，用狀態變量分析系統時，用狀態變量分析系統時，一般分一般分兩步兩步進行：進行：（1）第一步第一步是根據系統的初始狀態求出狀態變量；是根據系統的初始狀態求出狀態變量； （2）第二

7、步第二步是用這些狀態變量來確定初始時刻以后的是用這些狀態變量來確定初始時刻以后的系統輸出。系統輸出。 狀態變量狀態變量是通過求解由狀態變量構成的一階微分方是通過求解由狀態變量構成的一階微分方程組來得到，該程組來得到，該一階微分方程組一階微分方程組稱為稱為狀態方程狀態方程。 狀態方程狀態方程描述了描述了狀態變量的一階導數狀態變量的一階導數與與狀態變量和狀態變量和激勵激勵之間的關系之間的關系 。 而描述而描述輸出輸出與狀態變量和激勵與狀態變量和激勵之間關系的一組之間關系的一組代數方程代數方程稱為稱為輸出方程輸出方程 。通常將狀態方程和輸出方程總稱為通常將狀態方程和輸出方程總稱為動態方程或系統方程動

8、態方程或系統方程。 動態方程的一般形式 n階多輸入階多輸入-多輸出多輸出LTI連續系統，如圖連續系統，如圖 。xi(t0)f1(t)f2(t)fp(t)y1(t)y2(t)yq(t)其狀態方程和輸出方程為其狀態方程和輸出方程為 pnpnnnnnnnnppnnppnnfbfbfbxaxaxaxfbfbfbxaxaxaxfbfbfbxaxaxax22112211222212122221212121211112121111pqpqqnqnqqqppnnppnnfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcy22112211222212122221212121211112

9、121111矩陣形式矩陣形式狀態方程狀態方程)()()(tttBfAxx輸出方程輸出方程)()()(tttDfCxy其中其中A為為nn方陣，稱為方陣，稱為系統矩陣系統矩陣，B為為np矩陣，稱為矩陣，稱為控制矩陣控制矩陣，C為為qn矩陣，稱為矩陣，稱為輸出矩陣輸出矩陣，D為為qp矩陣矩陣 對離散系統，類似有對離散系統，類似有狀態方程狀態方程)()() 1(kkkBfAxx輸出方程輸出方程)()()(kkkDfCxy狀態變量分析的關鍵在于狀態變量的選取以及狀態方程的建立。狀態變量分析的關鍵在于狀態變量的選取以及狀態方程的建立。8.2 連續系統狀態方程的建立連續系統狀態方程的建立一、一、由電路圖直接

10、建立狀態方程由電路圖直接建立狀態方程 首先選擇狀態變量首先選擇狀態變量 。通常選通常選電容電壓電容電壓和和電電感電流感電流為為狀態變量狀態變量。 必須保證所選狀態變必須保證所選狀態變量為量為獨立獨立的電容電壓的電容電壓和獨立的電感電流。和獨立的電感電流。 (a) 任選兩個電容電壓獨立(b) 任選一個電容電壓獨立(c) 任選兩個電感電流獨立(d) 任選一個電感電流獨立uC1uC2uC3uC1uC2usiL1iL2iL3iL2iL1is四種非獨立的電路結構四種非獨立的電路結構狀態方程的建立：狀態方程的建立：根據電路列出各狀態變量的一階微分方程。根據電路列出各狀態變量的一階微分方程。由于由于tuCi

11、CCddtiLuLLdd為使方程中含有狀態變量為使方程中含有狀態變量uC的一階導數的一階導數 ，可對接有該可對接有該電容的獨立結點電容的獨立結點列寫列寫KCL電流方程；電流方程； 為使方程中含有狀態變量為使方程中含有狀態變量iL的一階導數的一階導數 ，可對含有該可對含有該電感的獨立回路電感的獨立回路列寫列寫KVL電壓方程。電壓方程。 對列出的方程，只保留對列出的方程，只保留狀態變量和輸入激勵狀態變量和輸入激勵，設法，設法消消去去其它其它中間的變量中間的變量，經整理即可給出標準的狀態方程。，經整理即可給出標準的狀態方程。 對于對于輸出輸出方程，通常可用方程，通常可用觀察法觀察法由電路直接列出。由

12、電路直接列出。由電路圖直接列寫狀態方程和輸出方程的步驟：由電路圖直接列寫狀態方程和輸出方程的步驟：（1）選電路中所有）選電路中所有獨立的電容電壓和電感電流作為獨立的電容電壓和電感電流作為狀態變量狀態變量；（2）對接有所選）對接有所選電容的獨立結點電容的獨立結點列出列出KCL電流方程，電流方程，對含有所選對含有所選電感的獨立回路電感的獨立回路列寫列寫KVL電壓方程；電壓方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激勵以外的非狀）若上一步所列的方程中含有除激勵以外的非狀態變量，則利用適當的態變量，則利用適當的KCL、KVL方程將它們方程將它們消去消去，然后整理給出然后整理給出標準的狀態方程標準的狀態方

13、程形式；形式；（4）用）用觀察法觀察法由電路或前面已推導出的一些關系直由電路或前面已推導出的一些關系直接接列寫輸出方程列寫輸出方程，并整理成標準形式。，并整理成標準形式。 例例：電路如圖，以電阻電路如圖，以電阻R1上的電壓上的電壓uR1和電阻和電阻R2上的電上的電流流iR2為輸出，列寫電路的狀態方程和輸出方程。為輸出，列寫電路的狀態方程和輸出方程。uCiLuR1iR2uS1uS2LCR1R2a解解 選狀態變量選狀態變量x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t) L 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) x aC 2(t) + iR2(t) = x1(t) x 消

14、去消去 iR2(t),列右網孔列右網孔KVL方程：方程： R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0 代入整理得代入整理得)()(1001)()(111)()(212212121tutuCRLtxtxCRCLLRtxtxss輸出方程：輸出方程：uR1(t) = R1x1(t) )()(1000)()(100)()(212212121tutuRtxtxRRtitussRR二、由輸入二、由輸入-輸出方程建立狀態方程輸出方程建立狀態方程 這里需要解決的問題是這里需要解決的問題是：已知系統的外部描述（已知系統的外部描述（輸入輸入-輸出方程、系統函數、輸出方程、系統函數、模擬框圖、信號流

15、圖等模擬框圖、信號流圖等）；如何寫出其）；如何寫出其狀態方程狀態方程及輸及輸出方程。出方程。具體方法具體方法：（1）由系統的輸入）由系統的輸入-輸出方程或系統函數，首先畫出輸出方程或系統函數，首先畫出其其信號流圖或框圖信號流圖或框圖；（2）選）選一階子系統一階子系統(積分器）的輸出積分器）的輸出作為作為狀態變量狀態變量；（3）根據每個一階子系統的）根據每個一階子系統的輸入輸出關系輸入輸出關系列狀態方列狀態方程；程；（4）在）在系統的輸出端系統的輸出端列輸出方程。列輸出方程。例例1 某系統的微分方程為某系統的微分方程為y (t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8 f

16、(t)試求該系統的狀態方程和輸出方程。試求該系統的狀態方程和輸出方程。解：解：由微分方程不難寫出其系統函數由微分方程不難寫出其系統函數 23)4(2)(2ssssH方法一方法一：畫出直接形式的信號流圖：畫出直接形式的信號流圖1s1s1-3-228f(t)y(t)設狀態變量設狀態變量x1(t)、 x2(t)x1x2由后一個積分器，有由后一個積分器，有21xx fxxx21232由前一個積分器，有由前一個積分器，有系統輸出端，有系統輸出端，有 y(t) =8 x1+2 x2方法二：方法二：221423)4(2)(2sssssssH畫出串聯形式的信號流圖畫出串聯形式的信號流圖1s-1f(t)1141

17、sy(t)-221設狀態變量設狀態變量x1(t)、 x2(t)x2x1fxx11設中間變量設中間變量 y1(t)y1fxxxy1111341x 2x fxxxyx21212232系統輸出端，有系統輸出端，有 y(t) =2 x21123012121fxxxx方法三方法三241623)4(2)(2ssssssH畫出并聯形式的信號流圖畫出并聯形式的信號流圖1s-1161s-2-41f(t)y(t)設狀態變量設狀態變量x1(t)、 x2(t)x1x21x fxx112x fxx2221120012121fxxxx系統輸出端，有系統輸出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2可見可見H(s)相同的系統

18、，相同的系統，狀態變量的選擇并不狀態變量的選擇并不唯一。唯一。例例2 某系統框圖如圖，狀態變量如圖標示，試列某系統框圖如圖，狀態變量如圖標示，試列出其狀態方程和輸出方程。出其狀態方程和輸出方程。f(t)11s24ss31sy1(t)y2(t)x2(t)x1(t)x3(t)解解 對三個一階系統對三個一階系統211yxx其中，其中， y2= f - x3fxxx311112242xxxxfxx313fxxxx3212232333xxx3233xxx輸出方程輸出方程 y1(t) = x2y2(t) = -x3 + f三、由狀態方程列輸入三、由狀態方程列輸入- -輸出方程輸出方程例例3 已知某系統的動

19、態已知某系統的動態方程如下，列出描述方程如下，列出描述y(t)與與f(t)之間的微分方程。之間的微分方程。)(01)()(11)(0314)(ttytfttxxx解法一解法一 由輸出方程得由輸出方程得 y(t)=x1(t)y (t)=x1 (t) = 4 x1(t) + x2(t)+ f(t)y (t)= 4 x1 (t) + x2 (t)+ f (t)=44 x1(t) + x2(t)+ f (t) + 3 x1(t) + f (t) + f (t)=13 x1(t) 4x2(t) 3 f (t) + f (t)y +a y + by=(13 4a +b) x1+(4+a) x2+ f (t

20、) +(a3) f (t) a=4，b=3y +4 y + 3y= f (t) + f (t) 解法二解法二對方程取拉氏變換，零狀態。對方程取拉氏變換，零狀態。)(11)(0314)(tfttxx )(11)(0314)(sFsssXX)(11)()0314(sFssXI)(11)0314()(1sFssIX)(01)(ssYX)(11)0314(01)(1sFssYI 11)0314(01)()()(1I ssFsYsH34431314)0314(211sssssssI34134111113443101)(222sssssssssssHy +4 y + 3y= f (t) + f (t) 8

21、.3 離散系統狀態方程的建立離散系統狀態方程的建立與連續系統類似，具體方法為：與連續系統類似，具體方法為：（1）由系統的）由系統的輸入輸入-輸出方程輸出方程或或系統函數系統函數，首先首先畫出其畫出其信信號流圖號流圖或或框圖；框圖；（2）選）選一階子系統一階子系統(遲延器）的遲延器）的輸出輸出作為作為狀態變量狀態變量；（3）根據每個）根據每個一階子系統一階子系統的的輸入輸出關系輸入輸出關系列狀態方程；列狀態方程；（4）在）在系統的輸出端系統的輸出端列輸出方程。列輸出方程。例例1 某離散系統的差分方程為某離散系統的差分方程為 y(k) + 2y(k 1) y(k 2) = f(k 1) f(k 2

22、) 列出其動態方程。列出其動態方程。解：解：不難寫出系統函數不難寫出系統函數 212121)(zzzzzH畫信號流圖：畫信號流圖：1-21-1y(k)1z1z1f(k)設狀態變量設狀態變量x1 (k) ，x2 (k) ：x1x2x1(k+1)=x2 (k) ：x2(k+1)x2(k+1)= x1 (k) 2x2(k) + f(k) ：輸出方程輸出方程y (k)=x1 (k) + x2(k)例例2某離散系統有兩個輸入某離散系統有兩個輸入f1(k)、f2(k)和兩個輸出和兩個輸出y1(k)、y2(k)，其信號流圖如圖示。列寫該系統的狀態方程和，其信號流圖如圖示。列寫該系統的狀態方程和輸出方程。輸出

23、方程。 解解 p1(k) = 2x1(k) +2x3(k)p2(k) =3p1(k)-x3(k) +f2(k) = 6x1(k) +5x3(k) + f2(k) )()(101100)()()(706527013) 1() 1() 1(21321321kfkfkxkxkxkxkxkx)()()(202001)()(32121kxkxkxkyky二、由狀態方程進行系統模擬二、由狀態方程進行系統模擬例：例：某離散系統的狀態方程和輸出方程為某離散系統的狀態方程和輸出方程為 )(001)()()(030021321) 1() 1() 1(321321kfkxkxkxkxkxkx)()()(531)(3

24、21kxkxkxky畫出該系統的信號流圖畫出該系統的信號流圖 結果8.4 連續系統狀態方程的求解連續系統狀態方程的求解狀態方程和輸出方程的一般形式為狀態方程和輸出方程的一般形式為 )()()(tttBfAxx)()()(tttDfCxy用拉普拉斯變換法求解狀態方程用拉普拉斯變換法求解狀態方程 sX(s) -x(0-) = A X(s) + BF(s) ( sI -A )X(s) = x(0-) +BF(s) X(s)=(sI -A )-1x(0-) +(sI -A )-1BF(s)=(s)x(0-) +(s)BF(s) 式中式中(s) = ( sI -A )-1常稱為常稱為預解矩陣預解矩陣 。

25、Y(s) = CX(s) +DF(s)Yzi(s) = C(s)x(0-) Yzs(s) = C(s)B +D F(s) H(s) = C(s)B +D (s)的極點就是的極點就是H(s)的極點的極點.即即| sI-A|=0的根。的根。=C(s)x(0-) + C(s)B +D F(s)例例1 描述描述LTI因果系統的狀態方程和輸出方程為因果系統的狀態方程和輸出方程為)(10)()(4121)()(2121tftxtxtxtx)( 1 )()(11)(21tftxtxty解解412141211001)(ssssAI)det()adj()()(1AIAIAIssss1124)3)(2(1ssssX(s) = (s)x(0-) +BF(s) 1 10231124)3)(2(1ssss起始狀態起始狀態x1(0-)=3，x2(0-)=2，輸入，輸入f(t) =(t)。求狀態變。求狀態變量和輸出。并判斷該系統是否穩定。量和輸出。并判斷該系統是否穩定。263939212)3)(2(3)3)(2()6(3ssssssssss y(t) = 1 1x(t) + f(t) = )(e6e9e9e12)(2332ttttttx)()(e6e9e9e12112332tttttt=(t)+ 6e-2t(t) 由