1、會計學1南大復變函數與積分南大復變函數與積分(jfn)變換單位沖激函變換單位沖激函數數第一頁，共16頁。一、為什么要引入單位一、為什么要引入單位(dnwi)沖激函沖激函數數 理由理由 (1) 在數學、物理學以及工程技術中，一些常用的重要在數學、物理學以及工程技術中，一些常用的重要 函數，如常數函數、線性函數、符號函數以及單位函數，如常數函數、線性函數、符號函數以及單位 階躍函數等等，都不能進行階躍函數等等，都不能進行 Fourier 變換。變換。 (2) 周期函數的周期函數的 Fourier 級數與非周期函數的級數與非周期函數的 Fourier 變變 換都是用來對信號進行頻譜分析的，它們之間能

2、否換都是用來對信號進行頻譜分析的，它們之間能否 統一起來。統一起來。 (3) 在工程實際問題中，有許多瞬時物理量不能用通常在工程實際問題中，有許多瞬時物理量不能用通常 的函數形式來描述，如沖擊力、脈沖電壓、質點的的函數形式來描述，如沖擊力、脈沖電壓、質點的 質量等等。質量等等。 第1頁/共15頁第二頁，共16頁。一、為什么要引入單位一、為什么要引入單位(dnwi)沖激沖激函數函數 細桿取細桿取 的結果。的結果。0a )(xP )(lim0 xPaa .0,0,0,xx 長度為長度為 a ，質量為，質量為 m 的均勻細桿放在的均勻細桿放在 x 軸的軸的 0 , a 區間區間 引例引例 )(xPa

3、 .,0,0,其它其它axam上，則它的線密度函數為上，則它的線密度函數為 質量為質量為 m 的質點放置的質點放置(fngzh)在坐標原點，則可認為它相當于在坐標原點，則可認為它相當于 顯然顯然(xinrn) , 該密度函數并沒有反映出質點的任何質量信息該密度函數并沒有反映出質點的任何質量信息 , 相應地，質點的密度函數為相應地，質點的密度函數為 P191 例例 8.5 第2頁/共15頁第三頁，共16頁。二、單位沖激函數的概念二、單位沖激函數的概念(ginin)及及性質性質 1. 單位單位(dnwi)沖激函數的概念沖激函數的概念 (1) 當當 時，時， 0 t;0)( t (2) .1d)(

4、tt 顯然，借助顯然，借助(jizh)單位沖激函數，前面引例中質點的密度函數單位沖激函數，前面引例中質點的密度函數 定義定義 )(t 單位沖激函數單位沖激函數 滿足：滿足： 單位沖激函數單位沖激函數 又稱為又稱為 Dirac 函數函數或者或者 函數函數。 )(t . )()(xmxP 就可表示為就可表示為 P192 第3頁/共15頁第四頁，共16頁。二、單位沖激函數的概念二、單位沖激函數的概念(ginin)及性質及性質 1. 單位單位(dnwi)沖激函數的概念沖激函數的概念 (1) 單位沖激函數單位沖激函數 并不是經典意義下的函數，而并不是經典意義下的函數，而是一是一 個個廣義函數廣義函數(

5、(或者或者奇異函數奇異函數) )，它不能用通常意義下的，它不能用通常意義下的 “值的對應關系值的對應關系”來理解和使用，而總是通過它的性質來理解和使用，而總是通過它的性質 注注 )(t 來使用它。來使用它。 (2) 單位沖激函數有多種單位沖激函數有多種定義方式，前面給出的定義方式定義方式，前面給出的定義方式 是由是由 Dirac( (狄拉克狄拉克) )給出的。給出的。 單位沖激函數單位沖激函數其它定義方式其它定義方式第4頁/共15頁第五頁，共16頁。二、單位沖激函數的概念二、單位沖激函數的概念(ginin)及性質及性質 2. 單位單位(dnwi)沖激函數的性質沖激函數的性質 . )(d)()(

6、00tfttftt (2) 對稱對稱(duchn)性質性質 . )()(tt 函數為偶函數，即函數為偶函數，即 (1) 篩選性質篩選性質 性質性質 設函數設函數 是定義在是定義在 上的有界函數，上的有界函數， )(tf),( 且在且在 處連續，處連續， 0 t. )0(d)()(fttft 則則 一般地，若一般地，若 在在 點連續，點連續， 0tt )(tf則則 P192性質性質 8.1 P193性質性質 8.2 第5頁/共15頁第六頁，共16頁。 函數的圖形表示方式非常特別，通常采用一個從原點函數的圖形表示方式非常特別，通常采用一個從原點 出發長度為出發長度為 1 的有向線段的有向線段(xi

7、ndun)來表示，來表示， 同樣有，函數同樣有，函數 的沖激強度為的沖激強度為 A。 )(tA 代表代表 函數的積分值，函數的積分值， 稱為稱為沖激強度沖激強度。 二、單位二、單位(dnwi)沖激函數的概念及性沖激函數的概念及性質質 3. 單位單位(dnwi)沖激函數的圖形表示沖激函數的圖形表示 t 1 )(t )(0tt t 1 0t)(tA t A 其中有向線段的長度其中有向線段的長度 第6頁/共15頁第七頁，共16頁。三、單位三、單位(dnwi)沖激函數的沖激函數的 Fourier 變換變換 .10e ttj 由此可見，單位沖激函數包含所有頻率成份由此可見，單位沖激函數包含所有頻率成份(

8、chng fn)，且它們具有，且它們具有 利用篩選性質，可得出利用篩選性質，可得出 函數的函數的 Fourier 變換：變換： tttjd)(e )(t 即即 與與 1 構成構成Fourier變換對變換對 )(t .1)(t 相等的幅度相等的幅度(fd)，稱此為均勻頻譜或白色頻譜。，稱此為均勻頻譜或白色頻譜。 t 1 )(t 1 )(t P194 第7頁/共15頁第八頁，共16頁。 重要公式重要公式 . )(2dettj 稱這種方式的稱這種方式的 Fourier 變換變換(binhun)是一種廣義的是一種廣義的Fourier變換變換(binhun)。 在在 函數的函數的 Fourier 變換中

9、，其廣義積分是根據變換中，其廣義積分是根據 函數的函數的 注注 性質直接給出的，而不是性質直接給出的，而不是(b shi)通過通常的積分方式得出來的，通過通常的積分方式得出來的， 三、單位三、單位(dnwi)沖激函數的沖激函數的 Fourier 變變換換 按照按照 Fourier 逆變換公式有逆變換公式有 第8頁/共15頁第九頁，共16頁。)(2 . )(2 )(1 F ttjd1e 解解 )(1tf(1) (2) 將等式將等式 的兩邊對的兩邊對 求導，有求導，有 ttjde )(2 tt jtjd)(e , )(2 tttjde , )(2 j )(2 F )(2tf. )(2 j即得即得

10、P194 例例8.7 修改修改 第9頁/共15頁第十頁，共16頁。. )(1j 它是工程技術中最常用它是工程技術中最常用(chn yn)的函數之一。的函數之一。 解解 tsgn已知已知 ,2j , )(2 1, )1(sgn21)( ttu又又 )(tut1 tsgn )( U得得 1(21)稱稱 為為單位階躍函數單位階躍函數，也稱為，也稱為 Heaviside 函數函數， )(tu注注 P194 例例8.8 修改修改 第10頁/共15頁第十一頁，共16頁。 ttjtjdee0 ttjd)(0e )(20 . )(20 )(1 F解解 )(1tf(1) (2) 由由 ， t0cos )(210

11、0eetjtj . )()(00 )(2 F )(2tf有有 tj0e tj0e (21 ) 0 0 )(2 FP194 例例8.7 部分部分 P195 例例8.9 第11頁/共15頁第十二頁，共16頁。四、周期函數四、周期函數(zhu q hn sh)的的 Fourier 變換變換 . )()(2)(00 nnnFF 定理定理 設設 以以 T 為周期，在為周期，在 上滿足上滿足 Dirichlet 條件，條件， )(zf,0T則則 的的 Fourier 變換為變換為)(zf其中，其中， ,/20T )(0 nF是是 的離散頻譜。的離散頻譜。)(zf由由 有有 證明證明 ntnjnFtf0e)

12、()(0 . )()(200 nnnF ttnjtnjdee0 nnFF)()(0 P195定理定理 8.3 第12頁/共15頁第十三頁，共16頁。 休息一下第13頁/共15頁第十四頁，共16頁。附：附： 單位沖激函數的其它定義方式單位沖激函數的其它定義方式 ,0,0,/1)(其它其它 tt方式一方式一 令令 . )(lim)(0tt 則則 )(t t 1 方式二方式二 ( (20 世紀世紀 50 年代，年代，Schwarz) ) )(t , )0(d)()( ttt單位沖激函數單位沖激函數 滿足滿足 其中，其中， 稱為稱為檢驗函數檢驗函數。 Ct)( ( (返回返回) )第14頁/共15頁第十五頁，共16頁。NoImage內容(nirng)總結會計學。階躍函數等等，都不能進行 Fourier