1、 排隊論排隊論 pM/M/1/GD/排隊系統排隊系統pM/M/1/GD/c/排隊系統排隊系統 pM/M/s/GD/排隊系統排隊系統 pM/M/s/GD/c/排隊系統排隊系統 01sc-1css+1s-12(s-1)sss（4 4）M/M/s/GD/c/排隊系統排隊系統c (0,1, -1)0jjc，。 (0,1, ) (1,2, ),0 (1,)jjjjjssjsscjc，001 1()( )!1sscisssssissis ！0jj-s (0)! ()s!sjjjsjsjcjjjc21110jjc010jj021()(1)!(1)sc scsqssssLcsss ,(1)qeceeLLWW有

2、效到達率有效到達率)1 (11ccsnnsnnSsnL/p例：某旅館有例：某旅館有10個床位，旅客到達服從泊松服務，個床位，旅客到達服從泊松服務，平均到達速率為平均到達速率為6人人/天，旅客平均逗留時間為天，旅客平均逗留時間為2天，天，求：求： (1) 旅館客滿的概率。旅館客滿的概率。 (2) 每天客房平均占用數。每天客房平均占用數。p解：解：c=s=10，=6，=0.5，=12，Lq=0。 0=0.0018； 10=0.3019。 (1) 旅館旅館10個床位全滿的概率為個床位全滿的概率為0.3019。 (2) L=Lq+(1-10)=12(1-0.3019)=8.3772。 平均占用平均占用

3、8.3772個床位。客房占用率為個床位。客房占用率為83.77%。p當當s=cs=c時，系統的等待隊列長度為時，系統的等待隊列長度為0 0。即顧客到。即顧客到達時，如果服務臺有空閑，則進入服務臺接受達時，如果服務臺有空閑，則進入服務臺接受服務。如果服務臺沒有空，顧客則當即離開。服務。如果服務臺沒有空，顧客則當即離開。許多服務系統具有這樣的特征。如服務設施、許多服務系統具有這樣的特征。如服務設施、停車場、旅館等。停車場、旅館等。p設顧客源為有限個設顧客源為有限個m個，服務臺個數為個，服務臺個數為s。且。且ms。顧客到達率為顧客到達率為（如一臺機器在單位時間內發生故（如一臺機器在單位時間內發生故障

4、的期望次數）。障的期望次數）。p系統外的顧客數為：系統外的顧客數為：m-Lp系統的有效到達率為：系統的有效到達率為： e=(m-L)pn= (m-n), ns0101 !( )!()!()! !iismi sii smmmiimi s s！系統客源有限的排隊模型系統客源有限的排隊模型0j0j-s! (0)()! ! ()()! !sjjmjsmjjmsjcmj s()eqqsLLLmL,qeeLLWWp例：車間有本例：車間有本5 5臺機器，每臺機器的故障率為臺機器，每臺機器的故障率為1 1次次/ /小時，有小時，有2 2個修理工負責修理這個修理工負責修理這5 5臺機器，工作效臺機器，工作效率相

5、同，為率相同，為4 4臺臺/ /小時。求：小時。求： （1 1）等待修理的平均機器數；）等待修理的平均機器數； （2 2）等待修理及正在修理的平均機器數；）等待修理及正在修理的平均機器數； （3 3）每小時發生故障的平均機器數；）每小時發生故障的平均機器數； （4 4）平均等待修理的時間；）平均等待修理的時間； （5 5）平均停工時間。）平均停工時間。p解：解：m=5,=1，=4，=1/4pLq=0.118, L=1.092, e=(m-L)=3.908; pWq=Lq/e =1.8(分鐘分鐘), W=L/e=16.8(分鐘分鐘)例例 題題1L12qL)(2sLWLqqWLssWL10)1 (

6、jj系統中沒有顧客的概率系統中j個顧客的概率系統中平均顧客的數量正在排隊的平均顧客數量正在接受服務的平均顧客數量單位時間內進入系統的平均顧客數量單位時間內進入系統的平均顧客數量單位時間內接受服務的平均顧客數量單位時間內接受服務的平均顧客數量sqLLL 例例1 1、某理發店只有一個理發師，來理發的顧客按、某理發店只有一個理發師，來理發的顧客按PoissonPoisson分布到達，平均每小時分布到達，平均每小時4 4人，理發時間服人，理發時間服從指數分布，平均需從指數分布，平均需6 6分鐘，求分鐘，求（1 1）理發店空閑時間的概率；）理發店空閑時間的概率；（2 2）店里有）店里有3 3個顧客的概率

7、；個顧客的概率；（3 3）店里至少有）店里至少有1 1個顧客的概率；個顧客的概率；（4 4）在店內顧客的平均數；）在店內顧客的平均數；（5 5）在店內平均逗留的時間；）在店內平均逗留的時間；（6 6）等待服務的顧客平均數；）等待服務的顧客平均數；（7 7）平均等待服務時間；）平均等待服務時間；（8 8）必須在店內消耗）必須在店內消耗1515分鐘以上的概率。分鐘以上的概率。 解解1 1：=4/60=0.067=4/60=0.067人人/ /分；分；=1/6=1/6人人/ /分；分；=0.4=0.4。（1 1）0 0=1-=1-0.4=0.6=1-=1-0.4=0.6；33(1)0.0384 0(

8、1) 1(1) 11 (1)0.4P nP n 67. 01L101W（2 2）（3 3）（4 4）（5 5）268. 0LLq4)1 (qW （8 8） 用用 T T 表示顧客在系統中逗留的時間，則表示顧客在系統中逗留的時間，則 T T服從參數為服從參數為-的指數分布，于是的指數分布，于是 1515)()(233. 0|)()15(xxedxeTP（6 6）（7 7） 例例2 2、某電話亭有一部電話，來打電話的顧客數服、某電話亭有一部電話，來打電話的顧客數服從從PoissonPoisson分布，相繼兩人到達間隔的平均時間為分布，相繼兩人到達間隔的平均時間為1010分鐘，通話時間服從指數分布，

9、平均通話時間為分鐘，通話時間服從指數分布，平均通話時間為3 3分鐘。求分鐘。求 （1 1）顧客到達電話亭要等待的概率。）顧客到達電話亭要等待的概率。 （2 2）等待打電話的平均顧客數。）等待打電話的平均顧客數。 （3 3）當一個顧客至少要等）當一個顧客至少要等3 3分鐘才能打電話時，電分鐘才能打電話時，電信局打算增設一臺電話機，問平均每分鐘到多少顧信局打算增設一臺電話機，問平均每分鐘到多少顧客，裝第二臺電話機才合算？客，裝第二臺電話機才合算？ （4 4）等）等1010分鐘以上才能打上次電話的概率是多少？分鐘以上才能打上次電話的概率是多少？ （5 5）第二臺電話機安裝后，顧客的平均等待時間是）第

10、二臺電話機安裝后，顧客的平均等待時間是多少？多少？解解2 2：=0.1=0.1人人/ /分鐘，分鐘，=0.3333=0.3333人人/ /分鐘，則分鐘，則=0.3=0.3（1 1）顧客必須等待的概率為：）顧客必須等待的概率為： P(n1)=1-P(n1.25X60=75W1.25X60=75分鐘。則分鐘。則 11751/15W053. 0人人/ /分鐘。分鐘。 例例7 7、某航運局擬建、某航運局擬建1 1個港口，根據資料貨船按個港口，根據資料貨船按PoissonPoisson流到達，平均每小時到達流到達，平均每小時到達2121艘船，卸貨艘船，卸貨時間服從指數分布，平均卸貨時間為時間服從指數分布

11、，平均卸貨時間為2 2分鐘。每分鐘。每艘船獲利為艘船獲利為8 8萬元，每建一個泊位需投資萬元，每建一個泊位需投資1212萬元，萬元，問建設多少個泊位合理？問建設多少個泊位合理？解解7 7：此問題可看成多服務臺、容量無限的問題，：此問題可看成多服務臺、容量無限的問題，現求需泊位數現求需泊位數s s。 =21=21艘艘/ /小時小時,=30,=30艘艘/ /小時，小時，（1 1）s=1s=1時，時， ； 系統內貨船的平均數為系統內貨船的平均數為（2 2）s=2s=2時，時， ； 系統內貨船的平均數為系統內貨船的平均數為（3 3）s=3s=3時，時， ； 系統內貨船的平均數為系統內貨船的平均數為 7 . 030/21010.3 3 . 211L35. 0)302/(2100.482202()0.7