1、平面基本力系22 平面共點力系合成的解析法平面共點力系合成的解析法 與平衡的解析條件與平衡的解析條件21 平面共點力系合成的幾何法平面共點力系合成的幾何法 與平衡的幾何條件與平衡的幾何條件23 兩個平行力的合成兩個平行力的合成24 平面力偶系的合成與平衡條件平面力偶系的合成與平衡條件第第二二章章 平平面面基基本本力力系系目錄 平面力系的基本類型平面力系的基本類型21合成的幾何法與平衡的幾何條件21 平面共點力系合成的幾何法平面共點力系合成的幾何法與平衡的幾何條件與平衡的幾何條件平面共點力系平面共點力系合成的幾何法合成的幾何法平面共點力系平面共點力系平衡的幾何條件平衡的幾何條件匯交力系 各力的作

2、用線均匯交于一點的力系。各力的作用線均匯交于一點的力系。共點力系 各力均作用于同一點的力系各力均作用于同一點的力系。力 偶 作用線平行、指向相反而大小相等的兩個力。作用線平行、指向相反而大小相等的兩個力。平面力系 各力的作用線都在同一平面內的力系。否則各力的作用線都在同一平面內的力系。否則 為空間力系。為空間力系。1平面力系的基本類型1. 平面力系的基本類型平面力系的類型共點力系共點力系力力 偶偶 系系任意力系任意力系AF2F1F4F3F2F1FRF3F4BCDE表達式表達式：FR = F1+ F2+ F3+ F4A2. 合成的幾何法 把各力矢首尾相接，形成一條有向折線段（稱為把各力矢首尾相接

3、，形成一條有向折線段（稱為力鏈力鏈）。）。FRF2F1F3F4BCDEA 加上一封閉邊，就得到一個多邊形，稱為加上一封閉邊，就得到一個多邊形，稱為力多邊形力多邊形。力的多邊形規則力的多邊形規則AF2F1F4F3 平面共點力系可以合成為一個力，合力作用在力系的公共平面共點力系可以合成為一個力，合力作用在力系的公共作用點，它作用點，它等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的等于這些力的矢量和，并可由這力系的力多邊形的封閉邊表示。封閉邊表示。矢量的表達式：F2FRF1F3F4BCDEA平面共點力系的合成結果平面共點力系的合成結果 AF2F1F4F3FR該該力系的力多邊形自行閉合，即力系中各力的矢

4、量和于零。力系的力多邊形自行閉合，即力系中各力的矢量和于零。F5F2F1F3F4BCDEAAF2F1F4F3F5共點力系平衡的充分必要幾何條件為：共點力系平衡的充分必要幾何條件為：3. 共點力系平衡的幾何條件F5F2F1F3F4BCDEAF5F2F1F3F4BCDEA比較下面兩力多邊形比較下面兩力多邊形A60FB30aaC例題2-1 例例 21 21 水平梁水平梁AB中點中點C作用著力作用著力F，其大小等于其大小等于2 kN，方向與梁的軸線成方向與梁的軸線成60角角，支承情況如圖所示，試求固定鉸鏈支承情況如圖所示，試求固定鉸鏈支座支座A和活動鉸鏈支座和活動鉸鏈支座B的約束力，梁的自重不計。的約

5、束力，梁的自重不計。 A60FB30aaC1. 取梁取梁AB作為研究對象。作為研究對象。FA=Fcos 30=17.3 kNFB=Fsin 30=10 kN2. 畫出受力圖。畫出受力圖。3. 應用平衡條件畫出應用平衡條件畫出F，FA 和和FB的閉合力三角形的閉合力三角形。解：解：FADBACFB3060FEFFBFA6030HK4. 解得解得例題2-2 例例22 如圖所示是汽車制動機構的一部分。司機踩到制動如圖所示是汽車制動機構的一部分。司機踩到制動蹬上的力蹬上的力F=212 N，方向與水平面成方向與水平面成=45。當平衡時，當平衡時，BC水平水平，AD鉛直，試求拉桿所受的力。已知鉛直，試求拉

6、桿所受的力。已知EA=24 cm，DE=6 cm點點E在鉛直線在鉛直線DA上上，又又B，C，D都是光滑鉸鏈，機構的都是光滑鉸鏈，機構的自重不計自重不計。F246ACBOEDFDABFBOFDJFDKFBFI1. 取制動蹬取制動蹬ABD作為研究對象。作為研究對象。2. 畫出受力圖。畫出受力圖。3. 應用平衡條件畫出應用平衡條件畫出F，FB 和和FD的閉合力三角形。的閉合力三角形。解解：F246ACBOEDFDABFBOFDJFDKFBFI4. 由幾何關系得由幾何關系得F246ACBOEDcm 24 EAOE61246tan OEDE 21441arctanFFB sin180sin 5. 代入數

7、據求得代入數據求得由力三角形可得由力三角形可得FB=750 N方向自左向右。方向自左向右。22 平面共點力系合成的解析法平面共點力系合成的解析法與平衡的解析條件與平衡的解析條件平面共點力系平面共點力系合成的解析法合成的解析法平面共點力系平面共點力系平衡的平衡的解析解析條件條件合力投影定理合力投影定理 反之，當投影反之，當投影Fx，Fy 已知時，則可求出力已知時，則可求出力 F 的大小和方向：的大小和方向：力在坐標軸上的投影力在坐標軸上的投影cosFFxcosFFy22yxFFFFFFFyx cos , cosOxyFxbaFyFBAab1. 合力投影定理AF2F1(a)F3F1F2FF3xAB

8、CD(b)證明： 以三個力組成的共點力系為例。設有三個以三個力組成的共點力系為例。設有三個共點力共點力F1，F2，F3如圖如圖a。合力投影定理合力投影定理合力合力 F 在在 x 軸上投影得軸上投影得 Fx= ad由圖知由圖知 ad = ab + bc + (-dc) Fx= F1x+ F2x+ F3xF x= F1x+ F2x+ + Fnx = FxF1F2FF3xABCD(b)F1x= ab , 推廣到任意多個推廣到任意多個力力F1，F2， Fn組成的平面組成的平面共點力系，可得共點力系，可得abcd各力在各力在 x 軸上投影軸上投影F2x= bc , F3x= -dcixnxxxxFFFF

9、F21iynyyyyFFFFF21合力的大小合力的大小222iyix2yxFFFFF合力合力F的方向余弦的方向余弦FFFFFFFFiyyixx cos , cos根據合力投影定理得根據合力投影定理得yxBFyFxFOFxFyA2.平面共點力系合成的解析法平面共點力系平衡的充要解析條件是平面共點力系平衡的充要解析條件是 平面共點力系的平衡方程平面共點力系的平衡方程3. 平面共點力系平衡的解析條件 0 xF 0yF例題2-3 例例23 如圖所示是汽車制動機構的一部分。司機踩到制動如圖所示是汽車制動機構的一部分。司機踩到制動蹬上的力蹬上的力F=212 N，方向與水平面成方向與水平面成=45。當平衡時

10、當平衡時，BC水水平平，AD鉛直，試求拉桿所受的力。已知鉛直，試求拉桿所受的力。已知EA=24 cm，DE=6 cm點點E在鉛直線在鉛直線DA上上，又又B，C，D都是光滑鉸鏈，機構的都是光滑鉸鏈，機構的自重自重不計不計。F246ACBOEDyxFDABFBOFD1. 取制動蹬取制動蹬ABD作為研究對象。作為研究對象。2. 畫出受力圖。畫出受力圖。3.列平衡方程。列平衡方程。解解：F246ACBOED, 0 xF 0 cos45 cosDBFFF, 0yF 045 sin sin FFD聯立求解，得聯立求解，得N750BF 969. 0 cos , 243. 0 sin 214已知已知例題2-4

11、 例例24 利用鉸車繞過定滑輪利用鉸車繞過定滑輪B的繩子吊起一重的繩子吊起一重W=20 kN的貨的貨物，滑輪由兩端鉸鏈的水平剛桿物，滑輪由兩端鉸鏈的水平剛桿AB和斜剛桿和斜剛桿BC支持于點支持于點B (圖圖a )。不計鉸車的自重，試求桿不計鉸車的自重，試求桿AB和和BC所受的力所受的力。30BWAC30aFBCFDFABWxy3030bB解解：1. 取滑輪取滑輪B(帶軸銷帶軸銷）作為研究對象作為研究對象。2. 畫出受力圖畫出受力圖（b)。D3.列平衡方程。列平衡方程。聯立求解聯立求解, ,得得 0 xF030sin30 cosCDABBFFF030 cos60 cosDBCFWF 0yF反力反

12、力FAB為負值，說明該力實際指向與圖上假定指向相反。為負值，說明該力實際指向與圖上假定指向相反。即桿即桿AB實際上受拉力實際上受拉力。FAB= 54.5kN , FBC= 74.5kNFBCFDFABWxy3030bB例題2-5 例例25 如圖已知如圖已知W1=100 kN， W2=250 kN。不計各不計各桿自重桿自重，A，B，C，D各點均為光滑鉸鏈各點均為光滑鉸鏈。試求平衡狀試求平衡狀態下桿態下桿AB內力及與水平的夾角。內力及與水平的夾角。45W2A30W1DCB解解：1. 取銷釘取銷釘C作為研究對象作為研究對象。45W2A30W1DCBFBCFDW2xy4530C 0 xF045cos3

13、0 cosBCDFF054 sin60 cos2BCDFWF 0yF2. 取銷釘取銷釘B作為研究對象作為研究對象。45W2A30W1DCBFBCFAW1xy 45B 0 xF0 cos45cosABCFF054 sin sin1BCAFWF 0yF由式（由式（1 1）、（）、（2 2）解得）解得tan = 1.631 , = 58.5045cos30 cosBCDFF054 sin60 cos2BCDFWF0 cos45cosABCFF054sin sin 1BCAFWFFBCFDW2xy4530CFBCFAW1xy 45B（1）（2）（3）（4）FBC= 224.23 kN代入（代入（3 3

14、）、（）、（4 4）解得）解得FA= 303.29 kN投影法的符號法則：投影法的符號法則： 當由平衡方程求得某一未知力的值當由平衡方程求得某一未知力的值為負時，表示原先假定的該力指向和實為負時，表示原先假定的該力指向和實際指向相反。際指向相反。符號法則解析法求解平面共點力系平衡問題的一般步驟:1. . 選分離體，畫受力圖。分離體選取應最好含題設的已知選分離體，畫受力圖。分離體選取應最好含題設的已知條件條件。2. . 在力系平面內選坐標系。在力系平面內選坐標系。3. . 將各力向二坐標軸投影，并應用平衡方程將各力向二坐標軸投影，并應用平衡方程 Fx=0，Fy=0 求解求解。 應用解析法求解平面

15、匯交力系平衡問題，取不同的直應用解析法求解平面匯交力系平衡問題，取不同的直 角坐標系時，所求合力是否相同？角坐標系時，所求合力是否相同？ 應用解析法求解平面匯交力系平衡問題時，所取的投應用解析法求解平面匯交力系平衡問題時，所取的投 影軸是否一定要互相垂直？影軸是否一定要互相垂直？力沿兩軸分力的大小和在該兩軸上的投影大小相等嗎？力沿兩軸分力的大小和在該兩軸上的投影大小相等嗎？OyxFFyFxFyFx 滑輪的兩種分析方法：滑輪的兩種分析方法：-帶銷釘帶銷釘-不帶銷釘不帶銷釘FFbFF 復習復習-受力分析和受力圖（受力分析和受力圖（3個基本步驟）個基本步驟）-平面力系的基本類型平面力系的基本類型 共

16、點力系共點力系 力偶系力偶系 任意力系任意力系-平面共點力系問題求解的基本步驟平面共點力系問題求解的基本步驟-平面共點力系合成的幾何法平面共點力系合成的幾何法-平面共點力系合成的解析法平面共點力系合成的解析法23 23 兩個平行力的合兩個平行力的合成成同向平行力的合成兩同向平行力的合成兩同向平行力的合成 兩大小不等反向平行力的合成兩大小不等反向平行力的合成兩同向平行力的合成F2ABF1EDF1F21. 兩同向平行力的合成兩同向平行力的合成 沿直線沿直線AB在點在點A和和點點B上各加一個力上各加一個力F1 1和和F2 2。令令F1 1 = =F2 2 ，這這一平衡力系的加入不影一平衡力系的加入不

17、影響響F1 1，F2 2對剛體的作用效對剛體的作用效果。果。 (1) 大小大小即合力的大小等于原有兩力之和。即合力的大小等于原有兩力之和。F2ABEDF1F1F2CKFFBFABAFAFB求出力求出力F1與與F1 1的合力的合力FA，力力F2與與F2的合力的合力FB。, 11FFFA22FFFBBAFFF2211FFFF)(2121FFFF21FF (2) 作用線的位置作用線的位置由三角形的相似由三角形的相似，ACKADA和和BCKBEB，可得可得F2ABEDF1F1F2CKFFBFABAFAFBBEEBADADCKCBCKACCBAC ( (內分反比關系內分反比關系) )因為因為 F2ABE

18、DF1F1F2CKFFBFABAFAFBBEEBADADCKCBCKACCBACEBADFBEFAD , , 21所以所以 12FFCBACFABFFABFCBFAC2112, 212ABFFFACABFFFCB211兩同向平行力的合成定理兩同向平行力的合成定理： 兩同向平行力的合成結果是一個力，這個力的大小等于兩同向平行力的合成結果是一個力，這個力的大小等于原兩力大小之和，作用線與原兩力平行，并內分原兩力的作原兩力大小之和，作用線與原兩力平行，并內分原兩力的作用點為兩段，使這兩段的長度與原兩力的大小成反比，合力用點為兩段，使這兩段的長度與原兩力的大小成反比，合力的指向與原兩力相同。的指向與原

19、兩力相同。 設作用剛體上的兩平行力設作用剛體上的兩平行力F1、F2，指向相反，大小不等。假指向相反，大小不等。假設設F1F2。F1F2AB兩大小不等反向平行力的合成FF1C2. 兩大小不等反向平行力的合成 先將較大的一個力先將較大的一個力F1分解成兩個同向平行力分解成兩個同向平行力F，F1，其其分力分力F1的大小等于的大小等于F2的大小，且作用點在點的大小，且作用點在點B。舍去平衡力系舍去平衡力系F2、 F1，則知則知F 就是力就是力F1、F2的合力。的合力。FF1F1F2CAB(1) 大小大小211FFFFF21FFF故得故得（外分反比關系外分反比關系） 則則FF1F1F2CABF1是是F與

20、F1的合力，由前面情況的合力，由前面情況1 1可知可知(2) 作用線位置作用線位置又因為又因為21FF 11FBCFABFCA12FFCBCA 大小不同的兩個反向平行力的合成大小不同的兩個反向平行力的合成結果是一個力，這合力的大小等于原兩結果是一個力，這合力的大小等于原兩力大小之差，作用線與原兩力平行，且力大小之差，作用線與原兩力平行，且在原兩力中較大一個的外側，并且外分在原兩力中較大一個的外側，并且外分原兩力的作用點為兩段，使這兩段的長原兩力的作用點為兩段，使這兩段的長度與原兩力的大小成反比。合力的指向度與原兩力的大小成反比。合力的指向與較大的外力相同。與較大的外力相同。平行力系中心 上述兩

21、種情況下，合力作用線通過上述兩種情況下，合力作用線通過AB連線上的連線上的C點，稱為點，稱為平行力系中心。平行力系中心。FF1F1F2CAB兩反向平行力的合成定理：24 平面力偶系的合成平面力偶系的合成與平衡條件與平衡條件平面內力偶的等效定理平面內力偶的等效定理平面力偶系的平衡條件平面力偶系的平衡條件平面力偶系的合成平面力偶系的合成力偶和力偶矩力偶和力偶矩F1F2d力偶 大小相等的二反向平行力。大小相等的二反向平行力。 作用效果：引起物體的轉動。作用效果：引起物體的轉動。 力和力偶是靜力學的二基本要素。力和力偶是靜力學的二基本要素。 力偶特性二： 力偶只能用力偶來代替（即只能和另一力偶等效），

22、因力偶只能用力偶來代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能與力偶平衡。而也只能與力偶平衡。力偶特性一： 力偶中的二個力，既不平衡，也不可能合成為一個力。力偶中的二個力，既不平衡，也不可能合成為一個力。1.力偶和力偶矩工工 程程 實實 例例工工 程程 實實 例例工工 程程 實實 例例力偶矩 力偶中任何一個力的大小與力力偶中任何一個力的大小與力偶臂偶臂d 的乘積，加上適當的正的乘積，加上適當的正負號。負號。力偶臂 力偶中兩個力的作用線之間的力偶中兩個力的作用線之間的距離。距離。 力偶矩正負規定：若力偶有使物體逆時針旋轉的趨勢，力偶矩取正號；若力偶有使物體逆時針旋轉的趨勢，力偶矩取正號；反之，取負號

23、。反之，取負號。F1F2d 必要性證明 即二力偶等效即二力偶等效 力偶矩相等。力偶矩相等。 平面力偶間的等效定理2. .平面內力偶的等效定理 作用在剛體內同一平面上的兩個力偶相互等效的充要條作用在剛體內同一平面上的兩個力偶相互等效的充要條件是二者的力偶矩代數值相等。件是二者的力偶矩代數值相等。 設在剛體的同一平面上作用著二設在剛體的同一平面上作用著二力偶力偶（F1、F1）、（F2、F2）。假假設兩力設兩力偶偶等效。等效。Bd2DF1F2F2F1d1ACBd2DF1F2F2F1d1AC=Bd2DF1F2F2F1d1AC=FFCBDF1F2F2F1ACA為了便于比較，將力為了便于比較，將力F2，F

24、2分別沿著其作用線移到點分別沿著其作用線移到點B和和D。將將F1分解成兩個力，使其中一個分力等于分解成兩個力，使其中一個分力等于F2 ，而另一個力而另一個力則是則是F。同樣分解同樣分解F1。由于這兩的力偶是等效的，力由于這兩的力偶是等效的，力F和和F必須構成平衡力系，即必須構成平衡力系，即這兩個力等值、反向，并沿同一直線這兩個力等值、反向，并沿同一直線BD。因為因為 ABD BA C ，又因為平行四邊形又因為平行四邊形ABCD面積面積 = d1 AB = d2 DA 即二等效力偶的力偶矩相等。即二等效力偶的力偶矩相等。M ( F1 , F1 ) = d1 F1 = ( d1 AB ) F1 /

25、 ABM ( F2 , F2 ) = d2 F2 = ( d2 DA ) F2 / DAFFCBDF1F2F2F1ACADAFABF21所以所以則則 M ( F1 , F1 ) = M ( F2 , F2 )，計算這兩個等效力偶的力偶矩計算這兩個等效力偶的力偶矩。FdF d因此，以后可用力偶的轉向箭頭來代替力偶。因此，以后可用力偶的轉向箭頭來代替力偶。=力偶特性三： 力偶可以在其作用面內任意搬移。即力偶在作用面內的位力偶可以在其作用面內任意搬移。即力偶在作用面內的位置不是力偶效應的特征。置不是力偶效應的特征。力偶特性四： 唯一決定平面內力偶效應的特征量是力偶矩的代數值。即唯一決定平面內力偶效應

26、的特征量是力偶矩的代數值。即保持力偶矩不變，可以改變其力或力臂的大小。保持力偶矩不變，可以改變其力或力臂的大小。由上述證明可以看出：由上述證明可以看出：M = F d=F d 假定兩力偶的力偶矩相等，我們總可以適當地改變兩力假定兩力偶的力偶矩相等，我們總可以適當地改變兩力偶中任一力偶的力偶臂和力的大小（保持原力偶矩不變），偶中任一力偶的力偶臂和力的大小（保持原力偶矩不變），使二力偶的力偶臂及力的大小相等，又二力偶轉向相同，所使二力偶的力偶臂及力的大小相等，又二力偶轉向相同，所以兩力偶等效。以兩力偶等效。(2) 充分條件證明即二力偶即二力偶矩相等矩相等 二力偶二力偶等效。等效。三力偶的矩分別為三

27、力偶的矩分別為 設剛體上作用著三設剛體上作用著三力偶力偶（F1、F1）、（F2、F2）、（F3、F3），力偶臂分別為力偶臂分別為 d1， d2， d3 ，轉向如圖，現求轉向如圖，現求其合成結果。其合成結果。3F3F2F2F1F1Fd1d2d3M1=F1d1 , M2=F2d2 , M3=F3d33.平面力偶系的合成經等效變換后，各力偶中力的大小分別為經等效變換后，各力偶中力的大小分別為dAB3F3F2F2F1F1Fd1d2d3M1=F1d1 , M2=F2d2 , M3=F3d3,11ddMF ,22ddMFdMF33dd1Fd1Fd2Fd2Fd3Fd3F假定假定Fd1+ Fd2 Fd3，其合

28、力其合力合力偶的力偶合力偶的力偶矩矩為為推廣到由任意多個力偶組成的平面力偶系推廣到由任意多個力偶組成的平面力偶系, ,合力偶矩為合力偶矩為,3d2d1dFFFF3d2d1dFFFFdABd1Fd1Fd2Fd3Fd2Fd3FFFM=Fd= (Fd1+ Fd2 Fd3)d= Fd1 d + Fd2 d +(Fd3)d= M1 + M2 +M3 M = M1 + M3 + +MniMFF4.平面力偶系平衡條件平面力偶系平衡條件在上面討論中在上面討論中，若若Fd1+ Fd2=Fd3 ，則其合力則其合力 F=0，從而有從而有推廣到由任意個力偶組成的平面力偶系推廣到由任意個力偶組成的平面力偶系, ,有有

29、結論：作用在剛體上的平面力偶系的平衡條件是力偶系中結論：作用在剛體上的平面力偶系的平衡條件是力偶系中各力偶的矩之代數和等于零。各力偶的矩之代數和等于零。 結論：平面力偶系合成的結果是一個力偶，它的矩等于原結論：平面力偶系合成的結果是一個力偶，它的矩等于原來各力偶的矩的代數和。來各力偶的矩的代數和。M1 + M2 +M3 = 0M = M1 + M3 + +Mn0iM4.平面力偶系平衡條件例題2-6 例例2-62-6 一簡支梁一簡支梁AB=d，作用一力偶作用一力偶 M ，求二支座約束力。求二支座約束力。 解：解： 梁上作用力偶梁上作用力偶 M 外，還有約束力外，還有約束力FA，FB。dMBAFA

30、因為力偶只能與力偶平衡，所以因為力偶只能與力偶平衡，所以 FA = FB。M FAd = 0 FB0iM由由即即FA = FB = M/d例題2-7解：桿桿AB為二力桿。為二力桿。 例例2-72-7 如圖所示的鉸接四連桿機構如圖所示的鉸接四連桿機構OABD，在桿在桿OA和和BD上上分別作用著矩為分別作用著矩為 M1 和和 M2 的力偶，而使機構在圖示位置處于的力偶，而使機構在圖示位置處于平衡。已知平衡。已知OA= r，DB= 2r，= 30，不計桿重，試求不計桿重，試求 M1 和和 M2 間的關系。間的關系。DM2BFDFBAFOFABOM1AOBDM1M2A由于力偶只能與力偶平衡由于力偶只能與力偶平衡，則則AO桿與桿與BD桿的受力如圖所示。桿的受力如圖所示。M1 r FAB cos= 0 M2 = 2 M1 DM2BFDFBAOM1FOFABA分別寫出桿分別寫出桿AO和和BD的平衡方程：的平衡方程： M2 + 2r F