1、 容斥問題容斥問題主講：劉文峰主講：劉文峰專題簡析：專題簡析：容斥問題涉及到一個重要原理包含與排除原理，也叫容斥原理。即當兩個計數部分有重復包含時，為了不重復計數，應從它們的和中排除重復部分。容斥原理：對n個事物，如果采用不同的分類標準，按性質a分類與性質b分類（如圖），那么具有性質a或性質b的事物的個數=NaNbNab。NabNbNa例1 、一個班有48人，班主任在班會上問：“誰做完語文作業？請舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數學作業？請舉手！”有42人舉手。最后問：“誰語文、數學作業都沒有做完？”沒有人舉手。求這個班語文、數學作業都完成的人數。 分析 解答：完成語文作業的有37人，完成

2、數學作業的有42人，一共有：3742=79人人，多于全班人數。這是因為語文、數學作業都完成的人數在統計做完語文作業的人數時算過一次，在統計做完數學作業的人數時又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個班語文、數作業都完成的有：7948=31人。人。 練練 習習 一一1，五年級有，五年級有122名學生參加語文、數學考試，每名學生參加語文、數學考試，每人至少有一門功課取得優秀成績。其中語文成績人至少有一門功課取得優秀成績。其中語文成績優秀的有優秀的有65人，數學優秀的有人，數學優秀的有87人。語文、數學人。語文、數學都優秀的有多少人？都優秀的有多少人？2，四年級一班有，四年級一班有54人，訂閱人，訂

3、閱小學生優秀作文小學生優秀作文和和數學大世界數學大世界兩種讀物的有兩種讀物的有13人，訂人，訂小學小學生優秀作文生優秀作文的有的有45人，每人至少訂一種讀物，人，每人至少訂一種讀物，訂訂數學大世界數學大世界的有多少人？的有多少人？3，學校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知，學校文藝組每人至少會演奏一種樂器，已知會拉手風琴的有會拉手風琴的有24人，會彈電子琴的有人，會彈電子琴的有17人，其人，其中兩種樂器都會演奏的有中兩種樂器都會演奏的有8人。這個文藝組一共人。這個文藝組一共有多少人？有多少人？例2 、某班有36個同學在一項測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的有23人，兩題都答對的有15人

4、。問多少個同學兩題都答得不對？分析 與解答：已知答對第一題的有25人，兩題都答對的有15人，可以求出只答對第一題的有：2515=10人。人。又已知答對第二題的有23人，用只答對第一題的人數，加上答對第二題的人數就得到至少有一題答對的人數：1023=33人。人。所以，兩題都答得不對的有：3633=3人。人。 練 習 二1，五（1）班有40個學生，其中25人參加數學小組，23人參加科技小組，有19人兩個小組都參加了。那么，有多少人兩個小組都沒有參加？2，一個班有55名學生，訂閱小學生數學報的有32人，訂閱中國少年報的有29人，兩種報紙都訂閱的有25人。兩種報紙都沒有訂閱的有多少人？3，某校選出50

5、名學生參加區作文比賽和數學比賽，結果3人兩項比賽都獲獎了，有27人兩項比賽都沒有獲獎。已知作文比賽獲獎的有14人，問數學比賽獲獎的有多少人？例例3、某班有某班有56人，參加語文人，參加語文競賽的有競賽的有28人，參加數學競人，參加數學競賽的有賽的有27人，如果兩科都沒人，如果兩科都沒有參加的有有參加的有25人，那么同時人，那么同時參加語文、數學兩科競賽的參加語文、數學兩科競賽的有多少人？有多少人？分析分析 、要求兩科競賽同時參加的人數，應先求出至少參加一科競賽的人數：5625=31人，人，再求兩科競賽同時參加的人數：282731=24人。 練練 習習 三三1，一個旅行社有，一個旅行社有36人，

6、其中會英語的有人，其中會英語的有24人，會法人，會法語的有語的有18人，兩樣都不會的有人，兩樣都不會的有4人。兩樣都會的有多人。兩樣都會的有多少人？少人？2，一個俱樂部有，一個俱樂部有103人，其中會下中國象棋的有人，其中會下中國象棋的有69人，人，會下國際象棋的有會下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會下的有人，這兩種棋都不會下的有12人。人。問這兩種棋都會下的有多少人？問這兩種棋都會下的有多少人？3，三年級一班參加合唱隊的有，三年級一班參加合唱隊的有40人，參加舞蹈隊的人，參加舞蹈隊的有有20人，既參加合唱隊又參加舞蹈隊的有人，既參加合唱隊又參加舞蹈隊的有14人。這兩人。這兩隊都沒有參加的有

7、隊都沒有參加的有10人。請算一算，這個班共有多少人。請算一算，這個班共有多少人？人？例4、在1到100的自然數中，既不是5的倍數也不是6的倍數的數有多少個？分析：從1到100的自然數中，減去5或6的倍數的個數。從1到100的自然數中，5的倍數有1005=20個，6的倍數有16個（1006=164），其中既是5的倍數又是6的倍數（即5和6的公倍數）的數有3個（10030=310）。因此，是6或5的倍數的個數是16203=33個，既不是5的倍數又不是6的倍數的數的個數是：10033=67個。 練練 習習 四四1，在1到200的全部自然數中，既不是5的倍數又不是8的倍數的數有多少個？2，在1到130

8、的全部自然數中，既不是6的倍數又不是5的倍數的數有多少個？3，五（1）班做廣播操，全班排成4行，每行的人數相等。小華排的位置是：從前面數第5個，從后面數第8個。這個班共有多少個學生？例5 、光明小學舉辦學生書法展覽。學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品，其中有24幅不是五年級的，有22幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有10幅，其他年級參展的書法作品共有多少幅？分析 ：由題意知，24幅作品是一、二、三、四、六年級參展作品的總數，22幅是一、二、三、四、五年級參展作品的總數。2422=46幅，這是一個五、六年級和兩個一、二、三、四年級參展的作品數，從其中去掉五、六兩個年級共參展的10

9、幅作品，即得到兩個一、二、三、四年級參展作品的總數，再除以2，即可求出其他年級參展作品的總數。（242210）2=18幅。 練練 習習 五五1，科技節那天，學校的科技室里展出了每個年級，科技節那天，學校的科技室里展出了每個年級學生的科技作品，其中有學生的科技作品，其中有110件不是一年級的，有件不是一年級的，有100件不是二年級的，一、二年級參展的作品共有件不是二年級的，一、二年級參展的作品共有32件。其他年級參展的作品共有多少件？件。其他年級參展的作品共有多少件？2，六（，六（1）兒童節那天，學校的畫廊里展出了每個）兒童節那天，學校的畫廊里展出了每個年級學生的圖畫作品，其中有年級學生的圖畫作品，其中有25幅畫不是三年級的，幅畫不是三年級的，有有19幅畫不是四年級的，三、四兩個年級參展的畫幅畫不是四年級的，三、四兩個年級參展的畫共有共有8幅。其他年級參展的畫共有多少幅？幅。其他年級參展的畫共有多少幅？3，實驗小學舉辦學生書法展，學校的櫥窗里展出，實驗小學舉辦學生書法展，學校的櫥窗里展出每個年級學生的書法作品，其中有每個年級學生的書法作品，其中有28幅不是五年級幅不是五年級的，有的，有24幅不是六年級的，