1、現代控制理論試題B卷及答案一、1系統上：小能控的狀態變量個數是一， 0 2-1能觀測的狀態變量個數是O2試從高階微分方程y + 3； +8y = 5求得系統的狀態方程和輸出方程(4分/個)解1.能控的狀態變量個數是2,能觀測的狀態變量個數是2。狀態變量個數是2。.(4分)2.選取狀態變量*=y, x2 = y , x3 = y ,可得 (1分)X = %2=&.（1 分）& = -8* - 3工3 + 5）=玉寫成0.(1 分)x= 0-8y = 1 0 0x .（1分）二、1給出線性定常系統x(k +1) = Av(k) + Bi(k), y(k) = Cx(k)能控的定乂。(3分)2 1

2、02己知系統文=0 2 00 0-3y = 0 1 x ,判定該系統是否完全能觀（5分）解1.答：若存在控制向量序列,欣）,，9+ N-1）,時系統從第k步的狀態武幻開始，在第N步達到零狀態，即MN） = O,其中N是大于0的有限數，那么就稱此系統在第k步上是能控的。若對每一個0系統的所有狀態都是能控的，就稱系統是狀態完全能控的，簡稱能控。.（3 分）2.CA = p 121 0000 =0 2 -3一3（1分）CA2 = 0 2 -300一3= 0 4 9.（1分）U。CCACA:1-39.（1 分）rankU。= 2 0 A,=detP = 0 2-4故矩陣P是正定的。因此，系統在原點處的

3、平衡狀態是大范圍漸近穩定的。六、（10分）己知被控系統的傳遞函數是G(s) =10(5 + 1)(5 + 2)試設計一個狀態反饋控制律，使得閉環系統的極點為； jo解系統的狀態空間模型是 0 1 ox =x+ u-2 - 3L1.y = 10 0卜將控制器=-卜。女小 代入到所考慮系統的狀態方程中，得到閉環系統狀態方程該閉環系統的特征方程是期望的閉環特征方程是通過可得從上式可解出det(AZ - 4)=萬 + (3 + 占)2 + (2 + 即)(z + 1-J)(2 + 1 + 7) = 22 + 22 + 2元 + (3 + k )A + (2 + %。)=元 + 24 + 23 + k1

4、 =22 + Z()= 2k = -1 k +0因此，要設計的極點配置狀態反饋控制器是=。1廣1七、（10分）證明：等價的狀態空間模型具有相同的能控性。證明對狀態空間模型x = Ax + Buy = Cx + Du它的等價狀態空間模型具有形式x = Ax + Buy = Cx + Du其中：A=TAT-l B=TB C =CT-X D=Dr是任意的非奇異變換矩陣。利用以上的關系式，等價狀態空間模型 的能控性矩陣是rA,B = |B AB = TB TArTB . （TArYTB= TB AB . AB= TTcA,B由于矩陣r是非奇異的,故矩陣r,區，引,和中AS具有相同的秩,從 而等價的狀態

5、空間模型具有相同的能控性。八、（15分）在極點配置是控制系統設計中的一種有效方法，請問這 種方法能改善控制系統的哪些性能對系統性能是否也可能產生不利 影響如何解決解：極點配置可以改善系統的動態性能，如調節時間、峰值時間、 振蕩幅度。極點配置也有一些負面的影響，特別的，可能使得一個開環無靜差的 系統通過極點配置后，其閉環系統產生穩態誤差，從而使得系統的穩 態性能變差。改善的方法：針對階躍輸入的系統，通過引進一個積分器來消除跟蹤 誤差，其結構圖是構建增廣系統，通過極點配置方法來設計增廣系統的狀態反饋控制 器，從而使得閉環系統不僅保持期望的動態性能，而且避免了穩態誤 差的出現。現代控制理論復習題2

6、一、(10分，每小題2分)試判斷以下結論的正確性，若結論是正確 的，則在其左邊的括號里打反之打X。(X ) 1.對一個系統，只能選取一組狀態變量;(7)2.由狀態轉移矩陣可以決定系統狀態方程的狀態矩陣，進而決定系統的動態特性；(X ) 3.若傳遞函數G(s) = C(s/-A)T8存在零極相消，則對應的狀 態空間模型描述的系統是不能控不能觀的；(義)4.若一個系統是李雅普諾夫意義下穩定的，則該系統在任 意平衡狀態處都是穩定的；(7)5.狀態反饋不改變系統的能控性。二、（20分）已知系統的傳遞函數為、 2s+ 5G(s)=(s + 3)(5 + 5)（1）采用串聯分解方式，給出其狀態空間模型，并

7、畫出對應的狀態變量圖;（2）采用并聯分解方式，給出其狀態空間模型，并畫出對應的狀態變量圖。答：（1）將G（s）寫成以下形式:一、1 2s+ 5G（s）=5+3 5+5這相當于兩個環節一I和”串連，它們的狀態空間模型分別為: s + 35 + 5再=-32+和)l = Mx2 = -5x2 + u y = -5x2 + z/|由于乃=外,故可得給定傳遞函數的狀態空間實現是:工=-3占 + uU2 =工-5x2v = 2/-5、2將其寫成矩陣向量的形式，可得：對應的狀態變量圖為:串連分解所得狀態空間實現的狀態變量圖(2)將G(s)寫成以下形式:、 -0.52.5G（S） =1s+3 s+5它可以看

8、成是兩個環節-”和真的并聯，每一個環節的狀態空間 5+35+5模型分別為:x1二一3演-0.51/x2 = - 5叫 +2.5% =x. 由此可得原傳遞函數的狀態空間實現:I 芯=-3x -0.5mx. =-5x2 +2.5進一步寫成狀態向量的形式，可得：-0.52.5對應的狀態變量圖為:0.5并連分解所得狀態空間實現的狀態變量圖三、(20分)試介紹求解線性定常系統狀態轉移矩陣的方法，并以一 種方法和一個數值例子為例，求解線性定常系統的狀態轉移矩陣； 答：求解狀態轉移矩陣的方法有：方法一直接計算法：根據狀態轉移矩陣的定義(f) = ei: = I + At + A2t2 4f Atn +2!n

9、l來直接計算，只適合一些特殊矩陣4方法二通過線性變換計算狀態轉移矩陣，設法通過線性變換，將矩 陣力變換成對角矩陣或約當矩陣,進而利用方法得到要求的狀態轉移 矩陣。方法三 拉普拉斯變換法：*=L(s/-方法四凱萊-哈密爾頓方法根據凱萊-哈密爾頓定理和，可導出*具有以下形式：其中的4() %(6 - %-均是時間t的標量函數。根據矩陣公有 個不同特征值和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數。舉例：利用拉普拉斯變換法計算由狀態矩陣非奇異，則系統完全能觀。& 舉例：對于系統1 0-0一X= X4- II .1 1J 1 y = 0 lx其能觀性矩陣 。 一01 C =LM _i i_的秩為2,即是列

10、滿秩的，故系統是能觀的。五、（20分）對一個由狀態空間模型描述的系統，試回答：（1）能夠通過狀態反饋實現任意極點配置的條件是什么（2）簡單敘述兩種極點配置狀態反饋控制器的設計方法；（3）試通過數值例子說明極點配置狀態反饋控制器的設計。答：（1）能夠通過狀態反饋實現任意極點配置的條件：系統是能控 的。（2）極點配置狀態反饋控制器的設計方法有直接法、變換法、愛克 曼公式法。直接法驗證系統的能控性，若系統能控，則進行以下設計。設狀態反饋控制器U二十X,相應的閉環矩陣是八七七 閉環系統的特征 多項式為dci/tZ 一(2 5K) 0由期望極點4,，4可得期望的閉環特征多項式(% - 4)-)=儲十%獷

11、十如乃-2十十%通過讓以上兩個特征多項式相等，可以列出一組以控制器參數為變量 的線性方程組，由這組線性方程可以求出極點配置狀態反饋的增益矩 陣K。%變換法驗證系統的能控性，若系統能控，則進行以下設計。將狀態空間模型轉化為能控標準型，相應的狀態變換矩陣T = YcAj(TcA.By1設期望的特征多項式為/+%21+上2乃-2+ %而能控標準型的特征多項式為丸十4一/T+為.2產2 +十的所以，狀態反饋控制器增益矩陣是K 二四-(3)采用直接法來說明極點配置狀態反饋控制器的設計考慮以下系統一0 1 1-0一x= x+ u設計一個狀態反饋控制器，使閉環系統極點為2iriT。 該狀態空間模型的能控性矩

12、陣為1L1 - 3_ 該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統能控。 設狀態反饋控制器u = -Kx = -kQ 尢卜 將其代入系統狀態方程中，得到閉環系統狀態方程 .01x= , x2-%3-左其特征多項式為det 卬-（A-BK） = 42 + （3 +- 2 + .由期望的閉環極點-2和T,可得閉環特征多項式（兌 + 2）（幺+3）=+ 6通過十（3+才）彳一2十0 = A十5z + 6可得3 + 尢=5-2 +人=6由此方程組得到勺二8%二2因此，要設計的極點配置狀態反饋控制器u = -K=-S 2x六、（20分）給定系統狀態空間模型 =從（1）試問如何判斷該系統在李雅普諾夫意義下的穩定性（2

13、）試通過一個例子說明您給出的方法；（3）給出李雅普諾夫穩定性定理的物理解釋。答：（1）給定的系統狀態空間模型x = Ax是一個線性時不變系統，根據線 性時不變系統穩定性的李雅普諾夫定理，該系統漸近穩定的充分必要 條件是：對任意給定的對稱正定矩陣Q,矩陣方程A7P + PA = -Q有一個 對稱正定解矩陣P。因此，通過求解矩陣方程= -Q,若能得到 一個對稱正定解矩陣P,則系統是穩定的；若得不到對稱正定解矩陣P, 則系統是不穩定的。一般的，可以選取Q二/。（2）舉例：考慮由以下狀態方程描述的二階線性時不變系統：原點是該系統的惟一平衡狀態。求解李雅普諾夫方程：47P + PA = -0, 其中的未

14、知矩陣1%將矩陣人和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得為了計算簡單，選取Q=2/,則從以上矩陣方程可得:-2%=-22P12 = 0*=-2求解該線性方程組，可得：小二夕及二1, 4二即1 0p = _0 1_ 判斷可得矩陣P是正定的。因此該系統是漸近穩定的。（3）李雅普諾夫穩定性定理的物理意義：針對一個動態系統和確定 的平衡狀態，通過分析該系統運動過程中能量的變化來判斷系統的穩 定性。具體地說，就是構造一個反映系統運動過程中能量變化的虛擬 能量函數，沿系統的運動軌跡，通過該能量函數關于時間導數的取值 來判斷系統能量在運動過程中是否減少，若該導數值都是小于零的， 則表明系統能量隨著時間的增長

15、是減少的，直至消耗殆盡，表明在系 統運動上，就是系統運動逐步趨向平緩，直至在平衡狀態處穩定下來, 這就是李雅普諾夫意義下的穩定性現代控制理論復習題3一、（10分，每小題2分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確 的，則在其左邊的括號里打J,反之打X。（X ） 1.具有對角型狀態矩陣的狀態空間模型描述的系統可以看 成是由多個一階環節串聯組成的系統；（X ） 2.要使得觀測器估計的狀態盡可能快地逼近系統的實際狀態，觀測器的極點應該比系統極點快10倍以上；（X ） 3.若傳遞函數G（s） = C3-存在零極相消，則對應狀態 空間模型描述的系統是不能控的；（7）4,若線性系統是李雅普諾夫意義下穩定的，

16、則它是大范圍 漸近穩定的；（7）5.若線性二次型最優控制問題有解，則可以得到一個穩定 化狀態反饋控制器。二、（20分）（1）如何由一個傳遞函數來給出其對應的狀態空間模型，試簡述其解決思路（2）給出一個二階傳遞函數G（s） = 的兩種狀態空間實現。（5+ 3）（5+ 5）解：（1）單輸入單輸出線性時不變系統傳遞函數的一般形式是G(s) =X1-1s +怎_” . + +若“工。，則通過長除法，傳遞函數G（s）總可以轉化成G=二+”了 +d=回+ ds十%+所5+(s)將分解成等效的兩個特殊環節的串聯:可得一個狀態空間實現00一0 一%.V = h q串聯法其思想是將一個，階的傳遞函數分解成若干低

17、階傳遞函數的 乘積，然后寫出這些低階傳遞函數的狀態空間實現，最后利用串聯關 系，寫出原來系統的狀態空間模型。并聯法其的思路是把一個復雜的傳遞函數分解成若干低階傳遞函數 的和，然后對每個低階傳遞函數確定其狀態空間實現，最后根據并聯 關系給出原來傳遞函數的狀態空間實現。G(s)=2s+ 5(2)方法一：將G(s)重新寫成下述形式：每一個環節的狀態空間模型分別為:X2 = -5.丫2 + y = -5.r2 + 2u1又因為凹=%，所以心=-3,1+ u2 = X -5x2y = 2x1 - 5x2因此，若采用串聯分解方式，則系統的狀態空間模型為:-3 01 一 5v = 2 -5方法二：將G重新寫

18、成下述形式:G(s) =-0.5 2.5$+3 5+5每一個環節的狀態空間模型分別為:又由于司-3.Vj-O.5i/X, = -5.%2 + 2.52 =5x1 = 一3占 一05 1 - 2-1 A1-43-41-21-4一 t le-2A故矩陣P是正定的。因此，系統在原點處的平衡狀態是大范圍漸近穩 定的。評分標準：問題（1）完整敘述線性時不變系統的李雅普諾夫穩定性 定理5分；問題（2）穩定性判斷方法和結果正確5分。現代控制理論復習題4一、（10分，每小題1分）試判斷以下結論的正確性，若結論是正確 的，則在其左邊的括號里打J,反之打義。（7）1.相比于經典控制理論，現代控制理論的一個顯著優點

19、是 可以用時域法直接進行系統的分析和設計。（J ） 2.傳遞函數的狀態空間實現不唯一的一個主要原因是狀態 變量選取不唯一。（X ） 3.狀態變量是用于完全描述系統動態行為的一組變量，因 此都是具有物理意義。（X ） 4.輸出變量是狀態變量的部分信息，因此一個系統狀態能 控意味著系統輸出能控。（V ） 5.等價的狀態空間模型具有相同的傳遞函數。（義）6.互為對偶的狀態空間模型具有相同的能控性。（X ） 7. 一個系統的平衡狀態可能有多個，因此系統的李雅普諾夫穩定性與系統受擾前所處的平衡位置無關。（7）8.若一線性定常系統的平衡狀態是漸近穩定的，則從系統 的任意一個狀態出發的狀態軌跡隨著時間的推移

20、都將收斂到該平衡 狀態。（X ） 9.反饋控制可改變系統的穩定性、動態性能，但不改變系 統的能控性和能觀性。（X ） 10.如果一個系統的李雅普諾夫函數確實不存在，那么我們 就可以斷定該系統是不穩定的。二、（15分）建立一個合理的系統模型是進行系統分析和設計的基礎。己知一單輸入單輸出線性定常系統的微分方程為：y（t） + 4y（r） + 3y（f） = ii（t） + 8M（f）（1）采用串聯分解方式，給出其狀態空間模型，并畫出對應的狀態變量圖；（7分+ 3分）（2）歸納總結上述的實現過程，試簡述由一個系統的階微分方程建立系統狀態空間模型的思路。（5分） 解：（1）方法一: 由微分方程可得G(

21、$)=+ 6s + 8 ” 4 4s 4 32s+ 5s-2 +4s + 3GG)=2s十5? +4s + 32s+ 55 + 3每一個環節的狀態空間模型分別為：二-xL + u fx2 = -3x2 + %Vi = AI和 jy =十 2%又因為yl二ul,所以因此，采用串聯分解方式可得系統的狀態空間模型為:對應的狀態變量圖為:方法二: 由微分方程可得、s：+65+ 8 s + 4 s + 2G(s)=-=s+4$+ 3 s + 1 s + 3每一個環節的狀態空間模型分別為：上1 - +11 yx = 3M + uI x2 = -3x2 +又因為yl二ul,所以 = xi + u B = (

22、A2- ABK - BKA + BKBK)B= B- AB(KB) - B(KAB - KBKB) 以此類推，(4-總可以寫成ABA”E8.A8,8的線性組合。因此,存在一個適當非奇異的矩陣U,使得rcK(A-BKlB = rcA.BU由此可得：若rank(r；A,8)=，即有個線性無關的列向量，則 KA-8K）也有“個線性無關的列向量，ife rank（rc J（ A - BK B） = n , 命題得證。六、（20分）雙足直立機器人可以近似為一個倒立擺裝置，如圖所示。 假設倒立擺系統的一個平衡點線性化狀態空間模型如下：0000=1100000-10110 ox其中，狀態變量工=Uy 6網丁

23、，y是小車的位移，。是擺桿的偏移角，U是作用在小車上的動力。試回答（1）雙足直立機器人在行走過程中被人推了一把而偏離垂直面，那么根據倒立擺原理，請問雙足直立機器人在該擾動推力消失后還能回 到垂直而位置嗎（2分）（2）如果不能，那么請你從控制學的角度，給出兩種能夠使雙足直立機器人在擾動推力消失后回到垂直面位置的方法。（4分）（3）請結合倒立擺模型，簡單敘述雙足直立機器人能控性的含義。（4分）（4）在狀態反饋控制器設計中，需要用到系統的所有狀態信息，但根據倒立擺原理，可測量的狀態信息只有水平移動的位移y,那么你 有什么方法可以實現這個狀態反饋控制器的設計你所用方法的條件 是什么依據是什么請結合倒立

24、擺模型，給出你使用方法的實現過程。（10 分） 答：（1）不能，因為倒立擺是一個開環不穩定系統；（2）對于給定的倒立擺模型，是一線性時不變系統，因此可以用如 下方法使雙足直立機器人在擾動推力消失后回到垂直面位置（即穩定 化控制器設計）：極點配置方法；基于李雅普諾夫穩定性理論的直接 設計法；線性二次型最優控制器設計方法。（3）當雙足直立機器人由于受初始擾動而稍稍偏離垂直面位置時， 總可以通過對其施加一個適當的外力，使得將它推回到垂直面位置（將非零的初始狀態轉移到零狀態）。（4）如果被控系統是狀態能觀的，那么通過設計（降維）狀態觀測 器將不可測量狀態變量觀測輸出，再應用線性定常系統的分離性原 理，

25、實現狀態反饋控制器設計。結合倒立擺模型，則檢驗上述狀態空 間模型的能觀性；系統完全能觀，則對系統設計狀態觀測器（或對不 可測量子系統S，,e和8設計降維狀態觀測器）；應用線性定常系統的 分離性原理，將狀態反饋控制器“二-6中的狀態x替換為觀測狀態從 實現基于狀態觀測器的狀態反饋控制器設計。使用方法的條件是：系統完全能觀或不可觀子系統是漸進穩定的； 使用方法的依據是：線性定常系統的分離性原理。七、（15分）考慮線性定常系統和性能指標如下：/其中實數。為性能指標可調參數。試回答（1）當參數廠固定時，求使得性能指標，最小化的最優狀態反饋控制器。（10分）(2)當參數增大時，分析閉環系統性能的變化。（

26、5分）解:（1）系統性能指標J等價為廠1I令正定對稱矩陣c cc0T 1 0卜 + rudt = x1 Ox + ir Rudt代入黎卡提矩陣方程pa+atp - pbbtbf+0 = 0=0可得: I通過矩陣計算，得到:一昂格一月2 耳2-鳥211 r昂舄2Pnr 42g2=0進一步，可得下面三個代數方程:- 2耳2 +1 = 0-舄2 + %-，召262=0r1320 %2=。廠據此，可解得：P|2=T + E不（這里取正值，若取負值，則相應的矩陣P不是正定的），P22 = -2r2 4- 2rfj 2 + r , 召=-2r2 +2jyJr +r 使得性能指標J最小化的最優狀態反饋控制器為:u = -RxBtPx =yj-2r2 + Iryjr2 +r（2）將上述最優控制律代入系統，得最優閉環系統狀態矩陣0 1-1 0A = A-BRBtP-1-51則閉環系統特征多項式為Z -1a1-A = r、 p、=A2 +-/l + l + 可得最優閉環極點為;_ 一呂2,士川仍2）2 -4（1 + W） _ 72 2 _ . j2z + 212 9-0 上 J