1、第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 1.2 復數的幾種表示復數的幾種表示一、復數的幾何表示一、復數的幾何表示二、復數的三角表示和指數表示二、復數的三角表示和指數表示三、復數的乘冪與方根三、復數的乘冪與方根四、幾個關系四、幾個關系第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 一、復數的幾何表示一、復數的幾何表示1. 復平面復平面此時，此時，x 軸稱為軸稱為實軸實軸，y 軸稱為軸稱為虛軸虛軸。在平面上建立一個直角坐標系，在平面上建立一個直角坐標系，定義定義用坐標為用坐標為 的點來的點來),(yx,yixz 表示復數表示復數從而將全體復數和平面上的全部點從而將全體復數和平面上的全部點一

2、一對應起來，一一對應起來， 的平面稱為的平面稱為復平面復平面或者或者這樣表示復數這樣表示復數 zz 平面平面。P4 第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 引進復平面后，引進復平面后，復數復數 z 與與點點 z 以及以及向量向量 z 視為同一個概念。視為同一個概念。yixz 在復平面上，從原點到點在復平面上，從原點到點所引的向量與該復數所引的向量與該復數 z 也構成一一也構成一一一、復數的幾何表示一、復數的幾何表示1. 復平面復平面y 實軸實軸虛軸虛軸i yxz xO對應關系對應關系( (復數零復數零對應零向量對應零向量) )。 比如，比如，復數的加減法復數的加減法等同于等同于向量的平

3、行四邊形法則向量的平行四邊形法則。第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 將復數和向量對應之后，除了利用將復數和向量對應之后，除了利用實部與虛部來給定一個復數以外，實部與虛部來給定一個復數以外，一、復數的幾何表示一、復數的幾何表示2. 復數的模與輻角復數的模與輻角y i yxz xOxyr 定義定義 設設 z 的是一個不為的是一個不為 0 的復數，的復數，. |z(1) 向量向量 z 的長度的長度 r 稱為復數稱為復數 z 的的模模，記為，記為還可以借助向量的長度與方向來給還可以借助向量的長度與方向來給定一個復數。定一個復數。(2) 向量向量 z 的的“方向角方向角” 稱為復數稱為復數

4、 z 的的輻角輻角，記為，記為.Argz (?)P5 第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 一、復數的幾何表示一、復數的幾何表示2. 復數的模與輻角復數的模與輻角zxy - - 兩點說明兩點說明(1) 輻角是多值的，輻角是多值的，(2) 輻角的符號約定為：輻角的符號約定為：逆時針取正號，順時針取負號。逆時針取正號，順時針取負號。 相互之間可相差相互之間可相差,2 k其中其中 k 為整數。為整數。例如例如 對于復數對于復數,1iz - - 則有則有,2| z,243Argkz .,2,1,0 k復數復數 0 的模為的模為 0，輻角無意義。，輻角無意義。注注第一章 復數與復變函數 1.2

5、 復數的幾種表示 由此就有如下關系：由此就有如下關系：一、復數的幾何表示一、復數的幾何表示2. 復數的模與輻角復數的模與輻角主輻角主輻角對于給定的復數對于給定的復數 設有設有 滿足：滿足：,0 z zArg 且且, - - 則稱則稱 為復數為復數 z 的的主輻角主輻角，記作，記作 .argz,2argArgkzz .,2,1,0 k第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 )(31arctanarg- - - ziiiiz)1(212- - - - 解解.3i- - - - - ,10)1()3(|22 - - - - z31arctan - -.- -xy3- -1- -第一章 復數與

6、復變函數 1.2 復數的幾種表示 (1) 已知實部與虛部，求模與輻角已知實部與虛部，求模與輻角。一、復數的幾何表示一、復數的幾何表示3. 相互轉換關系相互轉換關系y i yxz xOxy|zzarg;22yx| z | P7 第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 (1) 已知實部與虛部，求模與輻角已知實部與虛部，求模與輻角。一、復數的幾何表示一、復數的幾何表示3. 相互轉換關系相互轉換關系(2) 已知模與輻角，求實部與虛部已知模與輻角，求實部與虛部。)cos(arg|zzx )sin(arg|zzy ; )Argcos(|zz . )Argsin(|zz 由此引出復數的三角表示式由此

7、引出復數的三角表示式。y i yxz xOxy|zzarg第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 二、復數的三角表示和指數表示二、復數的三角表示和指數表示1. 復數的三角表示復數的三角表示稱稱 為為復數復數 z 的的三角表示式三角表示式。)sin(cos irz y i yxz xOxyr 如圖，如圖，有有 sincosrirz . )sin(cos ir 定義定義 設復數設復數 r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一個輻角，的任意一個輻角，,0 z,cos rx ,sin ry 由由P9 第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 二、復數的三角表示和指數表示二、復數的三

8、角表示和指數表示2. 復數的指數表示復數的指數表示)sin(cos irz .e ir 利用歐拉公式利用歐拉公式 得得 sincoseii 稱稱 為為復數復數 z 的的指數表示式指數表示式。 irze 定義定義 設復數設復數 r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一個輻角，的任意一個輻角，,0 z但習慣上一般取為但習慣上一般取為主輻角主輻角。在復數的三角表示式與在復數的三角表示式與指數表示式中，輻角不是唯一的，指數表示式中，輻角不是唯一的，注注補補 ( (歐拉公式歐拉公式) )第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 ,4412| z解解)(122arctanarg- - zxy2

9、12- - 31arctan- - 6- - .65 . )65sin65cos(4iz 復數復數 的三角表示式為的三角表示式為z.465eiz 復數復數 的指數表示式為的指數表示式為z第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 二、復數的三角表示和指數表示二、復數的三角表示和指數表示3. 利用指數表示進行復數的乘除法運算利用指數表示進行復數的乘除法運算.)(2121eirr ,1e11 irz ,2e22 irz 設設乘法乘法21ee2121iirrzz 21zz2 1z2zxy1 , |2121zzzz 即即.ArgArg)(Arg2121zzzz ( (在集合意義下在集合意義下?)?

10、) 兩個復數乘積的兩個復數乘積的幅角等于它們幅角的和。幅角等于它們幅角的和。模等于它們的模的乘積；模等于它們的模的乘積；P10 補補 、( (集合意義集合意義) )第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 二、復數的三角表示和指數表示二、復數的三角表示和指數表示3. 利用指數表示進行復數的乘除法運算利用指數表示進行復數的乘除法運算,1e11 irz ,2e22 irz .)(2121eirr- - 設設除法除法21ee2121iirrzz 1z2z2 21zz1z2zxy1 .ArgArgArg2121)(zzzz- - ( (在在集合意義下集合意義下) ) 兩個復數的商的兩個復數的商的

11、幅角等于它們幅角的差。幅角等于它們幅角的差。模等于它們的模的商；模等于它們的模的商；,|2121zzzz 即即第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 i)42(e21 i43e21 .2121i - - .1ii- -例例 計算計算,2eii i- -1i4e2- - 解解 由由有有ii42ee2- - ii- -1附附一些一些“簡單簡單”復數的指數形式復數的指數形式,1e- - i,12e i,12e ik,2eii ,2eii- - - -.1- -i- -i1i 1i- -1i- - -1i - -1第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 i)653(e4- - i2e4

12、- - .4i- - i)653(e i67e 67sin67cosi .2123i- - - i31 ,23ei i- - -3i65e2- - 解解 由由有有ii653ee22- - )3( )31(ii- - - ii653ee22- - ii- - - 331P11 例例1.5 修改修改 第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 復數復數 z 的的乘冪乘冪，設設 z 是給定的復數，是給定的復數， n 為正整數，為正整數，n 個個 z 相乘的積稱為相乘的積稱為定義定義三、復數的乘冪與方根三、復數的乘冪與方根1. 復數的乘冪復數的乘冪,e irz .)(ee ninninrrz 設設

13、則則法則法則 利用復數的指數表示式可以很快得到乘冪法則利用復數的指數表示式可以很快得到乘冪法則。,nz.個個nnzzzz 即即記為記為P12 第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 三、復數的乘冪與方根三、復數的乘冪與方根1. 復數的乘冪復數的乘冪. )sin(cos)sin(cos ninrirznnn .sincos)sin(cos ninin ninninrrze)e( 由由以及復數的三角表示式可得以及復數的三角表示式可得在上式中令在上式中令 r = 1，則得到，則得到棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式： 棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式 進一步易得到正弦與余弦

14、函數進一步易得到正弦與余弦函數的的 n 倍倍角公式角公式。第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 23)(ei .32ei 例例22321 i33)(ei 32321 iie .1- - 33)(ei- - 32321 - -ii- - e.1- - .1)1(3- - - -此外，顯然有此外，顯然有 由此引出由此引出方根方根的概念的概念。第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 復數復數 w ，三、復數的乘冪與方根三、復數的乘冪與方根2. 復數的方根復數的方根稱為把復數稱為把復數 開開 n 次方次方，或者稱為求復數，或者稱為求復數 的的zz 復數求方根是復數乘冪的逆運算復數求方

15、根是復數乘冪的逆運算。設設 是給定的復數，是給定的復數，n 是正整數，求所有滿足是正整數，求所有滿足 的的zzwn 定義定義n 次方根次方根，記作記作 或或nzw ./1 nzw 復數復數 的的 n 次方根一般是多值的次方根一般是多值的。zP13 第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 ,2nkn . )1, 1, 0(- - nk三、復數的乘冪與方根三、復數的乘冪與方根2. 復數的方根復數的方根 利用復數的指數表示式可以很快得到開方法則。利用復數的指數表示式可以很快得到開方法則。設設推導推導,e irz ,e iw 即即, )sin(cos)sin(cos irninn ;nr ,2

16、 kn 得得,rn kk 正實數的算術根。正實數的算術根。由由zwn ,ee ininr 有有第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 三、復數的乘冪與方根三、復數的乘冪與方根2. 復數的方根復數的方根描述描述,)(2enkninnrzw . )1, 1, 0(- - nkk n在復平面上，在復平面上， 這這 n 個根均勻地個根均勻地nr為半徑的圓周上。為半徑的圓周上。. )/(n 根的輻角是根的輻角是分布在一個以原點為中心、以分布在一個以原點為中心、以其中一個其中一個方法方法 直接利用公式求根直接利用公式求根； 先找到一個特定的根，再確定出其余的根先找到一個特定的根，再確定出其余的根。

17、第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 例例 求求.83- -,28)(3233e ki - -解解. )2, 1, 0( k具體為：具體為：,2- -,23ei.23ei- -例例 求解方程求解方程.013 - -z,11)(32303e kiz 解解. )2, 1, 0( k具體為：具體為：,1,32ei.232ei- -32- -231第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 四、幾個關系四、幾個關系, |Re|zz . |Im|zz (1). |212121|zzzzzz - -(2)zIm|zzRez21zz 21zz - -1z2z; |zz .|2zzz ,arga

18、rgzz- - ; )arg(z (3)|zzzargzzarg|zP6 P8 P6 第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 2121zzzz 2221|zz )(Re221zz 2221|zz 2221|zz | )Re(|221zz 2221|zz |221zz .|221)(zz 證證)( )(|2121221zzzzzz )( )(2121zzzz 21zz 利用復數與向量的關系，可以證明一些幾何利用復數與向量的關系，可以證明一些幾何問題問題。21zz 1z2zABC比如，上例證明的結論可描述為：比如，上例證明的結論可描述為：三角形的兩邊之和大于等于第三邊。三角形的兩邊之和大于

19、等于第三邊。P8 第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 .sincose ii 1748 年，歐拉給出了著名的公式年，歐拉給出了著名的公式 令令 有有 .01e i它把五個最重要的數它把五個最重要的數 聯系起來。聯系起來。e, 0, 1i公式之一，公式之一，附：附：知識廣角知識廣角 奇妙的歐拉公式奇妙的歐拉公式克萊茵認為這是數學中最卓越的克萊茵認為這是數學中最卓越的)sin(cos)sin(cosee iiii , )sincoscos(sin)sinsincos(cos - - i, )(sin)(cos)(e ii 第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 附：附：人物介紹

20、人物介紹 歐拉歐拉瑞士數學家、自然科學家 (17071783)歐 拉Leonhard Euler十八世紀數學界最杰出的人物之一。十八世紀數學界最杰出的人物之一。 數學史上最多產的數學家。數學史上最多產的數學家。 不但為數學界作出貢獻，不但為數學界作出貢獻，而且把數學推至幾乎整個物理領域。而且把數學推至幾乎整個物理領域。第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 (牛頓全集牛頓全集 8 卷，高斯全集卷，高斯全集 12 卷卷) 彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了 47 年。年。整理出他的研究成果多達整理出他的研究成果多達 74 卷。卷。 歐拉是科學

21、史上最多產的一位杰出的數學家。歐拉是科學史上最多產的一位杰出的數學家。一生共寫下了一生共寫下了 886 本書籍和論文。本書籍和論文。以每年平均以每年平均 800 頁的速度寫出創造性論文。頁的速度寫出創造性論文。分析、代數、數論占分析、代數、數論占40%，幾何占，幾何占18%，物理和力學占物理和力學占28%，天文學占，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占彈道學、航海學、建筑學等占3%，其中其中附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 課本上常見的如課本上常見的如 i , e , sin , cos , tg , x , , f (x) 等等，等等，也

22、都是他創立并推廣的。也都是他創立并推廣的。 有的學者認為，自從有的學者認為，自從 1784 年以后，微積分的教科書年以后，微積分的教科書基本上都抄襲歐拉的書。基本上都抄襲歐拉的書。 歐拉編寫歐拉編寫了大量的力學、分析學、幾何學的教科書。了大量的力學、分析學、幾何學的教科書。無窮小分析引論無窮小分析引論、微分學原理微分學原理以及以及積分學原理積分學原理都成為數學中的經典著作。都成為數學中的經典著作。附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉 如今幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字：如今幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的

23、名字：初等幾何的初等幾何的歐拉線歐拉線多面體的多面體的歐拉定理歐拉定理解析幾何的解析幾何的歐拉變換歐拉變換四次方程的四次方程的歐拉解法歐拉解法數論中的數論中的歐拉函數歐拉函數微分方程的微分方程的歐拉方程歐拉方程級數論的級數論的歐拉常數歐拉常數變分學的變分學的歐拉方程歐拉方程復變函數的復變函數的歐拉公式歐拉公式第一章 復數與復變函數 1.2 復數的幾種表示 歐拉的記憶力驚人！歐拉的記憶力驚人！ 附：附：人物介紹人物介紹 歐拉歐拉能背誦羅馬詩人維吉爾能背誦羅馬詩人維吉爾(Virgil)的史詩的史詩Aeneil，能背誦能背誦“全部全部”的數學公式，的數學公式，直至晚年，還能復述年輕時的筆記的直至晚年，還能復述年輕時的筆記的“全部全部” 內容。內容。能背誦前一百個質數的前十次冪，能背誦前一百個質數的前十次冪，第一章 復數與