1、第四章第四章空間力系和物體的重心空間力系和物體的重心 空間匯交力系空間匯交力系 力對(duì)軸之矩和力對(duì)點(diǎn)之矩力對(duì)軸之矩和力對(duì)點(diǎn)之矩 空間力系的簡(jiǎn)化空間力系的簡(jiǎn)化 空間力系的平衡條件和平衡方程空間力系的平衡條件和平衡方程 物體的重心物體的重心4.1 空間匯交力系yxzFFxFyFzikj若已知力與正交坐標(biāo)系Oxyz三軸間夾角，則用直直接投影法接投影法cos(, )cos(, )cos(, )xyzFFFFFFF iF jF k4.1.1 空間力在直角坐標(biāo)軸的投影yxzFFxFyFzFxyj當(dāng)力與坐標(biāo)軸Ox 、Oy間的夾角不易確定時(shí)，可把力F先投影到坐標(biāo)平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把這個(gè)力投影到x

2、 、y軸上，這叫二次投影法二次投影法。coscoscos sinsinxyzFFFFFFjj4.1.1 空間力在直角坐標(biāo)軸的投影力沿著直角坐標(biāo)軸分解：F=Fx+Fy+Fz4.1.2 空間力在直角坐標(biāo)軸的分解xyzXYZFiFjFkXYZFi+ j+ kyxzFFxFyFzikj1. 合成將平面匯交力系合成結(jié)果推廣得：12niRFFFF 合力的大小和方向?yàn)椋?22()()()RXYZ RRRcos( , ),cos( , ),cos( , )XYZRRRFFFijk4.1.2 空間匯交力系的合成與平衡ixiyizRF iF jF k 或2. 平衡空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系的合力等

3、于零。0iR F以解析式表示為：4.1.2 空間匯交力系的合成與平衡000iiiXYZ空間匯交力系平衡的必要與充分條件是：該力系力系中所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。ABCDEPABCDEPDTCTSxyz例1 重為P的物體用桿AB和位于同一水平面的繩索AC與AD支承，如圖。已知P1000N，CEED12cm，EA24cm， 45，不計(jì)桿重；求繩索的拉力和桿所受的力。解：以鉸A為研究對(duì)象，受力如圖。0sinsin:0DCTTX0sincoscos:0STTYDC0cos:0PSZ由幾何關(guān)系：52241224cos22解得：NS1414NTTDC5594.2 力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的

4、矩4.2.1 力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB 空間力對(duì)點(diǎn)的矩的作用效果取決于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面方位。這三個(gè)因素可用一個(gè)矢量MO(F)表示，如圖。其模表示力矩的大??；指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向(符合右手螺旋法則)；方位表示力矩作用面的法線。由于力矩與矩心的位置有關(guān)，所以力矩矢的始端一定在矩心O處，是定位矢量。4.2.1 力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢以r表示力作用點(diǎn)A的矢徑，則()O MFrF以矩心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則xyzxyzFFF rijkFijk()()()()OxyzzyxzyxFxyzFFFyFzFzFxFxFyF ijkMFr=i

5、jkxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik4.2.1 力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示力矩矢力矩矢MO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為()()()OxzyOyxzOzyxyFzFzFxFxFyF MFMFMFxyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力F對(duì)z 軸的矩定義為：()()2zOxyxyOabMMF hA FF力對(duì)軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力在垂直于該軸平面上的投影對(duì)于軸與平面交點(diǎn)的矩。4.2.2 力對(duì)軸的矩xyzOFFxyhBAab符號(hào)規(guī)定：從z軸正向看，若力使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)則取正號(hào)，反之取負(fù)。也可按右手螺旋法則確定其正負(fù)號(hào)。由定義可知：(1)當(dāng)力

6、的作用線與軸平行或相交(共面)時(shí)，力對(duì)軸的矩等于零。(2)當(dāng)力沿作用線移動(dòng)時(shí)，它對(duì)于軸的矩不變。力對(duì)軸之矩實(shí)例力對(duì)軸之矩實(shí)例FzFxFy4.2.3 力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy()()()()zOxyOxOyyxMMMMxFyF FFFF設(shè)力F沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y,z)，則同理可得其它兩式。故有()()()xzyyxzzyxMyFzFMzFxFMxFyF FFF比較力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式得：即：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。4.2.4 力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)過(guò)

7、該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系()()()()()()OxxOyyOzzMMM MFFMFFMFF求力F在三軸上的投影和對(duì)三軸的矩。解：222coscosxFaFFabcj222cossinyFbFFabcj222sinzFcFFabc ()()()()xxxxyxzyMMMMF c FFFF()0yMF()()()()zzxzyzzyMMMMF a FFFFyxzFjbcaFxy22222cosababc22cosaabj4.3.1平行力系中心空間平行力系中心空間平行力系中心是空間平行力系合力的作用點(diǎn)。平行力系的中心位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無(wú)關(guān)。4.3 重心F1RF2

8、yzxOACBr1rCr2i iCiFFrr,iiiiiiCCCiiiF xF yF zxyzFFF 重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體由無(wú)數(shù)的質(zhì)點(diǎn)組成，則重力便構(gòu)成空間匯交力系。由于物體的尺寸比地球小得多，因此可近似地認(rèn)為重力是個(gè)平行力系，這力系的合力就是物體的重量。不論物體如何放置，其重力的合力的作用線相對(duì)于物體總是通過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為物體的重心物體的重心。4.3.2 重心,iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzPPP 對(duì)于均質(zhì)物體，單位體積的重力為，則整體的重力P為：,iiiiPV PPVV 4.3.2 重心由此可見(jiàn)： 均質(zhì)物體的重心位置與物體的重力無(wú)關(guān)，完全取決于物體的大

9、小和形狀。 均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心形心。,iiiiiiCCCxVyVzVxyzVVV 對(duì)于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿，其重心坐標(biāo)分別為：ddd,VVVCCCx Vy Vz VxyzVVVddd,SSSCCCx Sx Sx SxyzSSSddd,lllCCCx ly lz lxyzlll4.3.2 重心具有對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心的均質(zhì)物體，重心一具有對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心的均質(zhì)物體，重心一定在其對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心上。定在其對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心上。4.3.3 確定物體重心的方法1 簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心如果均質(zhì)物體有對(duì)稱(chēng)面，或?qū)ΨQ(chēng)軸，或?qū)ΨQ(chēng)中心，則該物體的重心必相應(yīng)地在這個(gè)

10、對(duì)稱(chēng)面，或?qū)ΨQ(chēng)軸，或?qū)ΨQ(chēng)中心上。簡(jiǎn)單形狀物體的重心可從工程手冊(cè)上查到。2 用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定重心的位置1）懸掛法2）稱(chēng)重法4.3.3 確定物體重心的方法3 用組合法求重心如果一個(gè)物體由幾個(gè)簡(jiǎn)單形狀的物體組合而成，而這些物體的重心是已知的，那么整個(gè)物體的重心可由下式求出。1）分割法,iiiiiiCCCiiiPxPyPzxyzPPP2）負(fù)面積法若在物體或薄板內(nèi)切去一部分（例如有空穴或孔的物體），則這類(lèi)物體的重心，仍可應(yīng)用與分割法相同的公式求得，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。 2）圖示弓形面積可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得到，由負(fù)面積法可求得弓形的重心。扇形和三角形的面積，重心位置查表可得；

11、故所求弓形體物塊的重心的坐標(biāo)為 例 圖示均質(zhì)等厚物塊，其橫截面積由半徑為R的圓弧AMB與弦AB所圍成的弓形，試求其重心在其對(duì)稱(chēng)面中的位置。 解 1）在物塊的對(duì)稱(chēng)面上建立圖示直角坐標(biāo)系oxy，由對(duì)稱(chēng)性知，弓形體物塊的重心必在x軸上，故yc=0。扇形OAMB的面積 cossincossin32sin3222233212211RRRRAAxAxAxc)2sin2( 3sin4)cossin( 3)cos1 (sin232RR21RA 其重心位置：sin321Rx 三角形OAB的面積cossin)cos)(sin2(2122RRRA其重心位置：)cos(322Rx 例 求圖示均質(zhì)板重心的位置。解一：（組合法）建立如圖坐標(biāo)：aaaaa