1、 在第一篇靜力學中，我們從靜力學公理出發，通過力系在第一篇靜力學中，我們從靜力學公理出發，通過力系的簡化，得出剛體的平衡條件，用來研究剛體及剛體系統的的簡化，得出剛體的平衡條件，用來研究剛體及剛體系統的平衡問題。在這一章里，我們將介紹普遍適用于研究任意質平衡問題。在這一章里，我們將介紹普遍適用于研究任意質點系的平衡問題的一個原理，它應用功的概念分析系統的平點系的平衡問題的一個原理，它應用功的概念分析系統的平衡問題，是研究靜力學平衡問題的另一途徑。該原理叫做衡問題，是研究靜力學平衡問題的另一途徑。該原理叫做虛虛位移原理位移原理。它是研究平衡問題的最一般的原理，不僅如此，。它是研究平衡問題的最一般

2、的原理，不僅如此，將它與達朗伯原理相結合，就可得到一個解答動力學問題的將它與達朗伯原理相結合，就可得到一個解答動力學問題的動力學普遍方程。動力學普遍方程。 為求解復雜動力學問題提供另一普遍方法，為求解復雜動力學問題提供另一普遍方法，是分析力學的基礎。是分析力學的基礎。本章基本內容本章基本內容 151 約束約束虛位移虛位移虛功虛功 152 虛位移原理虛位移原理 151 約束約束虛位移虛位移虛功虛功 限制質點或質點系運動的各種條件稱為限制質點或質點系運動的各種條件稱為約束約束。將約束的限制條件以數學方程來表示，則稱為將約束的限制條件以數學方程來表示，則稱為約束方程約束方程。 xOyM(x,y)平面

3、單擺平面單擺約束方程約束方程222lyxA(xA, yA)B(xB, yB)Oxyr曲柄連桿機構曲柄連桿機構約束方程約束方程222ryxAA )()(222lyyxxABAB0 By例如例如：一、約束及其分類一、約束及其分類0,zyxf 根據約束的形式和性質，可將約束劃分為不同的類型，根據約束的形式和性質，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：通常按如下分類：1）幾何約束和運動約束幾何約束和運動約束 限制質點或質點系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束。限制質點或質點系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束。 如前述的平面單擺和曲柄連桿機構例子中的限制條件都是幾如前述的平面單擺和曲柄連桿機構例子中的

4、限制條件都是幾何約束。何約束。 當約束對質點或質點系的運動情況進行限制時，這種約當約束對質點或質點系的運動情況進行限制時，這種約束條件稱為運動約束。束條件稱為運動約束。例如：車輪沿直線軌道作純滾動時。例如：車輪沿直線軌道作純滾動時。CxyAvAr r幾何約束：幾何約束：ryA0rvA)0(rxA或或運動約束：運動約束： 約束條件不隨時間變化的約束稱為定常約束約束條件不隨時間變化的約束稱為定常約束;當約束條當約束條件隨時間變化時稱為非定常約束。件隨時間變化時稱為非定常約束。2)定常約束和非定常約束定常約束和非定常約束例如：重物例如：重物M由一條穿過固定圓環的細繩系住。初始時擺由一條穿過固定圓環的

5、細繩系住。初始時擺長長 l0 , 勻速勻速v拉動繩子。拉動繩子。前面的例子中約束條件皆不隨時間變化，它們都是定常約束。前面的例子中約束條件皆不隨時間變化，它們都是定常約束。此時單擺的約束方程為此時單擺的約束方程為xOyM(x,y) vx2+y2=( l0 -vt )2顯然，約束方程中顯含時間顯然，約束方程中顯含時間 t，為，為非定常約束。非定常約束。 如果在約束方程中含有坐標對時間的導數（例如運動如果在約束方程中含有坐標對時間的導數（例如運動約束）而且方程中的這些導數不能經過積分運算消除，即約束）而且方程中的這些導數不能經過積分運算消除，即約束方程中含有的坐標導數項不是某一函數全微分，從而約束

6、方程中含有的坐標導數項不是某一函數全微分，從而不能將約束方程積分為有限形式，這類約束稱為非完整約不能將約束方程積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達。束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達。 3）完整約束和非完整約束完整約束和非完整約束 如果約束方程中不含有坐標對時間的導數，或者約束如果約束方程中不含有坐標對時間的導數，或者約束方程中雖有坐標對時間的導數，但這些導數可以經過積分方程中雖有坐標對時間的導數，但這些導數可以經過積分運算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束。運算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束。 例如：車輪沿直線軌道作純滾動，例如：

7、車輪沿直線軌道作純滾動， 是微是微分方程，但經過積分可得到分方程，但經過積分可得到 （常數），該約（常數），該約束仍為完整約束。束仍為完整約束。 0rxAcrxA 幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。 非完整約束一定是運動約束，但運動約束未必是非完整約束。非完整約束一定是運動約束，但運動約束未必是非完整約束。 只能限制質點或質點系單一方向運動的約束稱為只能限制質點或質點系單一方向運動的約束稱為單側單側約束約束。在兩個相對的方向上同時對質點或質點系進行運動。在兩個相對的方向上同時對質點或質點系進行運動限制的約束稱為限制的約束稱為雙側

8、約束雙側約束。 4）單側約束和雙側約束單側約束和雙側約束xOyM(x,y) 222lyx剛桿剛桿雙側約束雙側約束xOyM(x,y) 繩繩x2+y2 l2單側約束單側約束 即，雙側約束的約束方即，雙側約束的約束方程為等式，單側約束的約束程為等式，單側約束的約束方程為不等式。方程為不等式。 本章只討論本章只討論定常的雙側幾定常的雙側幾何約束何約束，其約束方程的一般形，其約束方程的一般形式為式為), 2 , 1( 0),;,(111sjzyxzyxfnnnj（s為質點系所受的約束數目，為質點系所受的約束數目，n為質點系的質點個數）為質點系的質點個數）二、虛位移二、虛位移 在某瞬時，質點系在約束允許的

9、條件下，可能實現的在某瞬時，質點系在約束允許的條件下，可能實現的任意無限小的位移，稱為質點系（在該瞬時）的虛位移。任意無限小的位移，稱為質點系（在該瞬時）的虛位移。 虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號符號 表示虛位移。如下兩例中的表示虛位移。如下兩例中的 ，rA，rB都是虛位移。都是虛位移。xBAOyMFrArBxOyMs(+)(+)虛位移與真正運動時發生的實位移不同虛位移與真正運動時發生的實位移不同。 實位移是質點系在一定時間內真正實現的位移，與約束有實位移是質點系在一定時間內真正實現的位移，與約束有關，與時間、主動力、運動的初始

10、條件有關。實位移是關，與時間、主動力、運動的初始條件有關。實位移是實際發實際發生生的；虛位移是在約束容許的條件下的；虛位移是在約束容許的條件下可能發生可能發生的，與約束有關。的，與約束有關。 實位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；實位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。 實位移是在一定的時間內發生的；虛位移只是純幾何的概念，實位移是在一定的時間內發生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時間無關。完全與時間無關。 在非定常約束下，虛位移是將時間固定在非定常約束下，虛位移

11、是將時間固定后，約束所允許的虛位移，而實位移是不能后，約束所允許的虛位移，而實位移是不能固定時間的。微小實位移不再是虛位移之一。固定時間的。微小實位移不再是虛位移之一。對于無限小的實位移，一般用微分符號表示，對于無限小的實位移，一般用微分符號表示，例如例如dr，dx，d，等。等。 在定常約束下，微小的實位移必然是在定常約束下，微小的實位移必然是虛位移之一。虛位移視約束，可以有多個，虛位移之一。虛位移視約束，可以有多個，甚至無窮多個。甚至無窮多個。 力在虛位移中上所作的功稱為虛功，記為力在虛位移中上所作的功稱為虛功，記為 。WzZyYxXWrF WxBAOyMFrArB F的虛功為的虛功為F r

12、B，是負，是負功；功；M的虛功為的虛功為M ，是正功。，是正功。三、虛功三、虛功 如果在質點系的任何虛位移上，所有約束反力的虛功之如果在質點系的任何虛位移上，所有約束反力的虛功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。和等于零，則稱這種約束為理想約束。質點系受有理想約束的條件：質點系受有理想約束的條件：0 iNNNrF iiWW四、理想約束四、理想約束如右圖如右圖 應用虛位移原理的條件是質點系有理想約束，但應用虛位移原理的條件是質點系有理想約束，但也可以用于有摩擦的情況，只要把摩擦力當主動力，也可以用于有摩擦的情況，只要把摩擦力當主動力，在虛功方程中計入摩擦力的虛功。在虛功方程中計入摩擦力的虛功。理

13、想約束的典型例子如下：理想約束的典型例子如下：3、剛體在粗糙面上的純滾動、剛體在粗糙面上的純滾動0)(CNrFFNW1、光滑支承面、光滑支承面0NrFNWrFN2、光滑鉸鏈、光滑鉸鏈0NrFrFNNWFNrFNFFNC4、無重剛桿、無重剛桿5、不可伸長的柔索、不可伸長的柔索6、固定端、固定端152 虛位移原理虛位移原理 設一處于靜止平衡狀態的質點系由設一處于靜止平衡狀態的質點系由n個質點組成，個質點組成，其中任意質點其中任意質點i的質量為的質量為mi，作用于此質點上的主動力，作用于此質點上的主動力的合力的合力Fi、約束力的合力、約束力的合力FNi ，若給其以虛位移，若給其以虛位移ri。miFi

14、FNiri則：則：0NiiiirFrF0NiiiirFrF0iirF0NiiFF0FiW或或理想約束理想約束0NiirF 具有理想約束的質點系，平衡的充分必要條件是：作具有理想約束的質點系，平衡的充分必要條件是：作用于質點系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功之和用于質點系的所有主動力在任何虛位移中所作的虛功之和等于零。等于零。解析式：解析式：0)(iziiyiixizFyFxF0iirF（ ） 0FiW或或結論：結論： 上述結論稱為上述結論稱為虛位移原理虛位移原理，又稱為，又稱為虛功原理虛功原理，上面各，上面各式又稱為式又稱為虛功方程虛功方程。下面證明虛位移原理的必要性與充分性。下面證明虛位

15、移原理的必要性與充分性。 證明：證明：(1) 必要性：即質點系處于平衡時，必有必要性：即質點系處于平衡時，必有0iirF 以上的推導過程即是必要性的證明過程。以上的推導過程即是必要性的證明過程。即即 (2) 充分性：即當質點系滿足充分性：即當質點系滿足 ，質點系一定平衡。，質點系一定平衡。若若 ，而質點系不平衡，則至少有第，而質點系不平衡，則至少有第i個質點不平衡。個質點不平衡。0iirF0iirF0NiiiRFF0)(NiiiirRrFFi 在在 方向上產生實位移方向上產生實位移 ，取，取 ，則，則iirrdirdiR對質點系：對質點系：0)(NirFFii與前題條件矛盾與前題條件矛盾0ii

16、rF故故 時質點系必處于平衡。時質點系必處于平衡。0iirF理想約束下，理想約束下，0NiirF 虛位移原理的應用虛位移原理的應用1、求系統在已知主動力作用下平衡時的約束反力；、求系統在已知主動力作用下平衡時的約束反力；2、求系統在已知主動力作用下的平衡位置；、求系統在已知主動力作用下的平衡位置；3、系統在給定位置平衡時，求主動力之間的關系；、系統在給定位置平衡時，求主動力之間的關系；4、求平衡構架內二力桿的內力。、求平衡構架內二力桿的內力。例例15-1 如圖所示，在螺旋壓榨機的手柄如圖所示，在螺旋壓榨機的手柄AB上上作用一在水平面內的力偶作用一在水平面內的力偶( )，其力偶矩，其力偶矩 ，螺

17、桿的導程為，螺桿的導程為 。FF,FlM2h求：機構平衡時加在被壓物體上的力。求：機構平衡時加在被壓物體上的力。解：給虛位移解：給虛位移, s02FlsFWNF滿足如下關系：滿足如下關系：s與hs2022hFFlWNF是任意的因，故，故02hFFl2NFhlFN4例例1、如圖如圖(a)所示結構，各桿自重不計，在所示結構，各桿自重不計，在G點作用一鉛直向上點作用一鉛直向上的力的力F，AC=CE=CD=CB=DG=GE= 。求支座求支座B B的水平約束力。的水平約束力。ABCDEFG(a)yGABCDEFGxyxB(b)FBx解：解：將支座將支座B 的水平約束解除，代之以相應的的水平約束解除，代之

18、以相應的約束反力約束反力 ，把此力當作主動力，如圖，把此力當作主動力，如圖(b)。FBx用用解析法解析法。建立如圖所示坐標系。建立如圖所示坐標系。sin3 cos2GByx，cos3 sin2GByx，虛功方程：虛功方程： 0GBBxyFxF將將 代入上式，得代入上式，得 GByx ，0)cos(3 )sin2(FFBx解得解得cot23FFBx則則(a)ABCDEFG(b)GyGABCDEFxyxBFBxyCFGFC例例2 在上例的基礎上，如果在在上例的基礎上，如果在C、G兩點之兩點之間連接一自重不計、剛度系數為間連接一自重不計、剛度系數為k得彈簧，如得彈簧，如圖圖(a)示。在圖示位置彈簧已

19、有伸長量示。在圖示位置彈簧已有伸長量0，其，其它條件不變，仍求支座它條件不變，仍求支座B的水平約束力。的水平約束力。 解：解：將支座將支座B 的水平約束解除，去掉彈簧，的水平約束解除，去掉彈簧，均代之以力，如圖均代之以力，如圖(b)。這里彈性力這里彈性力 FC=FG=k0虛功方程：虛功方程： CCBBxyFxF 0GGGyFyF-同前例，求出同前例，求出xB、 yC 、yG，代入虛功，代入虛功方程，即可求出結果：方程，即可求出結果：cotcot230kFFBx 例例3 圖示橢圓規機構，連桿圖示橢圓規機構，連桿AB長長l，滑塊，滑塊A、B、桿的自、桿的自重和滑道摩擦均不計，鉸鏈為光滑的，求在圖示

20、位置平衡時，重和滑道摩擦均不計，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時，主動力主動力FA和和FB之間的關系。之間的關系。rBrAyBxFBFAAO 解：解：研究整個機構。系統的所有研究整個機構。系統的所有約束都是完整、定常、理想的。約束都是完整、定常、理想的。1、幾何法：、幾何法：使使A發生虛位移發生虛位移rA ，B的虛位移的虛位移rB，0)ant(ABArFF tanBAFF 0BBAArFrF cossinBArr而而A、B兩點的虛位移在兩點的虛位移在AB連線上的投影相等連線上的投影相等 則由虛位移原理，則由虛位移原理，列虛功方程：列虛功方程： 2、解析法、解析法 cos , sinsin ,

21、coslylxlylxABAB 故故 tan FFBA 0 BBAAxFyF 0)sincos( BAFF由虛位移原理，列虛功方程：由虛位移原理，列虛功方程：而而yyABxFBFAAO xB0BBAArFrFxyFBFArArBABOP 3、虛速度法、虛速度法vAvB 為求虛位移之間的關系，為求虛位移之間的關系，可以用所謂的可以用所謂的“虛速度法虛速度法”。由虛功方程由虛功方程0ddtrFtrFBBAA0BBAAvFvF由速度投影定理：由速度投影定理：cossinBAvvtan FFBA也可用也可用速度瞬心法速度瞬心法求速度之間的關系。求速度之間的關系。例例15-4如圖所示機構，不計各構件自重

22、如圖所示機構，不計各構件自重與各處摩擦，求機構在圖示位置平衡時，主動與各處摩擦，求機構在圖示位置平衡時，主動力偶矩力偶矩與主動力與主動力之間的關系之間的關系。 由由WF=0 ，有：，有：1、幾何法、幾何法：使：使OA桿發生虛位移桿發生虛位移 ，則，則點點C有水平虛位移有水平虛位移rC ，rCrareFOABChM例例4 如圖所示機構，不計各構件自重與各處摩擦，求機構在如圖所示機構，不計各構件自重與各處摩擦，求機構在圖示位置平衡時，主動力偶矩圖示位置平衡時，主動力偶矩M與主動力與主動力F之間的關系。之間的關系。解：解：系統的所有約束都是理想約束。系統的所有約束都是理想約束。取滑塊取滑塊B為動點，

23、動系固接在為動點，動系固接在OA上，上，sinearr 而而sinehOBr0CrFM(a)2acsinhrr(b)由由(a)、(b)兩式得：兩式得：2sinFhM rr則有：則有：建立如圖所示坐標系，由建立如圖所示坐標系，由WF=0 ，有：，有：OABxxCCFhM 2、解析法、解析法 0CxFM而而BChxCcot2sinhxC解得解得 2sinFhM OABxCrCvavevrCFhM 3、虛速度法、虛速度法而而sinehOBv2acsinhvv(b)2sinFhM 0CrFM0CFvM(a)由由(a)、(b)兩式得：兩式得：求：求：AF例例15-5求圖所示無重組合梁支座求圖所示無重組合

24、梁支座的約束力。的約束力。解：解除解：解除A處約束，代之處約束，代之 ，給虛位移，如圖（，給虛位移，如圖（b） AF代入虛功方程，得代入虛功方程，得MFFFA811411832102211sFMsFsFWAAFAMAAsssss81111,833,81AAM2sss例5 如圖如圖(a)多跨靜定梁，多跨靜定梁，求支座求支座B處約束反力。處約束反力。解：解：將支座將支座B 除去，代入除去，代入相應的約束反力相應的約束反力 ，如，如圖圖(b) 。BR0211mrPrRrPCBBBBCBBrmrrPrrPR211mP1P2AEFDBCG4m4m3m3m6m6m4m(a)由由W

25、F=0，得：，得：mP1P2AEFDBCGrBrCrEr1RB(b)假想支座假想支座B產生如圖所示虛位產生如圖所示虛位移，則在約束允許的條件下，移，則在約束允許的條件下，各點虛位移如圖所示。各點虛位移如圖所示。 811 , 211BCBrrrrmPPRB961181121 21BEBGBrrrrr16149611811121112BCrrBBCBBrmrrPrrPR2114m4m3m3m6m6m4mmP1P2AEFDBCGrBrCrEr1RB而而 例例6 均質桿均質桿OA及及AB在在A點用鉸連接，并在點用鉸連接，并在O點用鉸支承，點用鉸支承，如圖所示。兩桿各長如圖所示。兩桿各長2a和和2b，各

26、重，各重P1及及P2，設在，設在B點加水平點加水平力力 F 以維持平衡，求兩桿與鉛直線所成的角以維持平衡，求兩桿與鉛直線所成的角 及及 。ABCDOxyFP1P2對整個系統，應用虛位移原理求解。對整個系統，應用虛位移原理求解。解法一：解法一：由虛位移原理，列虛功方程由虛位移原理，列虛功方程而而 cosayC coscos2bayD sin2sin2baxB 0B21xFyPyPDC(a)cos2cos2baxBsinayCsinsin2bayD所以所以(b)由由(a)、(b)兩式得：兩式得：)cos2sin2sin(21FaaPaP0)cos2sin(2FbbP由于由于 是彼此獨立的，所以：是

27、彼此獨立的，所以： , 2212 tg, 22tgPFPPF由此解得：由此解得：0cos2sin0cos2sin2sin221bFbPaFaPaP解法二：解法二： 先使先使 保持不變，而使保持不變，而使 獲得變分獲得變分 ，得到系，得到系統的一組虛位移，如圖所示。統的一組虛位移，如圖所示。ABCDOxyFP1P2rBrD0sincos2DBrPrF而而brbrDB , 2代入上式，得代入上式，得2222tgPFbPbF虛功方程虛功方程: 再使再使 保持不變，而使保持不變，而使 獲得變分獲得變分 ，得到系，得到系統的另一組虛位移，如圖所示。統的另一組虛位移，如圖所示。ABCDOxyFP1P2rBrDrArC0sinsincos21DCBrPrPrF而而arrrarADBC2, 由上各式，得：由上各式，得：0)sin2sin2cos(21aPaPaFBDArrr圖示中：圖示中：又虛功方程為又虛功方程為: 22tg21PPF 設機構某處產生虛位移，作圖給出各處設機構某處產生虛位移，作圖給出各處虛位移，直接按幾何關系，確定各有關虛位移之間虛位移，直接按幾何關系，確定各有關虛位移之間的關系。的關系。 由以上各例可見，用虛位移原