1、第二章 極限與連續極限是高等數學中最主要的概念之一，也是研究微積分的重要工具，如導數、定積分、重積分等定義都需要用極限來定義，因此，掌握極限的思想和方法是學好微積分學的基本前提 第一節 極限的定義 教學目的：1.理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系。2.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。教學重難點：1.極限的概念和左極限與右極限概念及應用；2.無窮小及無窮小的比較；本節將在中學學習過的數列的極限的基礎上學習函數的極限、極限性質、無窮小的定義及性質、無窮大的定義及其與無窮小的關系一、數列的極限定義 對于數列，如果當無

2、限增大時，無限趨近于一個確定的常數， 則稱為數列的極限記作 或 （）亦稱數列收斂于；如果數列沒有極限，就稱數列是發散的數列極限的運算法則為：如果, ，那么法則1 () ；法則2 () ；法則3 (是常數)；法則4 (以上法則1，法則2可以推廣到有限個數列的和與積的情形二、函數的極限1當時，函數的極限定義 如果當的絕對值無限增大（即）時，函數無限趨近于一個確定的常數，那么稱為函數當時的極限，記為 或 當時，如圖15（b）所示, 函數當的絕對值無限增大時, 函數的圖象無限接近于軸也就是，當時，無限地接近于常數零，即在上述定義中，自變量的絕對值無限增大指的是既取正值無限增大（記為），同時也取負值而絕

3、對值無限增大（記為）但有時自變量的變化趨勢只能或只需取這兩種變化的一種情形，為此有下面的定義：定義 如果當(或)時，函數無限趨近于一個確定的常數A，那么A稱為函數當(或)時的極限，記為 或當時，； 或當時，由圖15（b）可以看出，及，這兩個極限與相等，都是0由圖111（b）可以看出，由于當和時，函數不是無限趨近于同一個確定的常數，所以不存在由上面的討論，我們得出下面的定理：定理 的充要條件是： （證明略）2當時，函數的極限定義 設函數在點的某個近旁（點本身可以除外）內有定義，如果當趨于（但）時，函數無限趨近于一個確定的常數，那么稱為函數當時的極限，記為 或 當時，例1 考察極限 (為常數)和解

4、 因為當時，的值恒為，所以因為當時，的值無限接近于，所以3當時，的左、右極限因為有左右兩種趨勢，而當僅從某一側趨于時，只需討論函數的單邊趨勢，于是有下面的定義：定義 如果當從左側趨近（記為）時，函數無限趨近于一個確定的常數，那末稱為函數當時的左極限，記為 如果當從右側趨近（記為）時，函數無限趨近于一個確定的常數，那末稱為函數當時的右極限，記為 定理 的充要條件是：（證明略）例2 討論函數當時的極限解 觀察圖21可知：，因此，當時，的左右極限存在但不相等，由定理2知，極限 不存在例3 研究當0時, 的極限解 觀察圖22可知：由于,所以當時，的左, 右極限都存在且相等由定理2知0時, 的極限存在，

5、且等于圖2111122Ox1yy=xyx圖22Oxy三、無窮小量實際問題中，常有極限為零的變量例如，電容器放電時，其電壓隨著時間的增加而逐漸減小并趨近于零對于這樣的變量，有下面的定義：1無窮小量的定義定義 極限為零的變量稱為無窮小量，簡稱為無窮小如果，則變量是時的無窮小，如果，則稱是時的無窮小，類似的還有，等情形下的無窮小根據定義可知，無窮小是一種變化狀態，而不是一個量的大小，無論多么小的一個數都不是無窮小，只有零是唯一的一個可作為無窮小的常數，無窮小是有極限變量中最簡單而最重要的一類，在數學史上，很多數學家都致力于“無窮小分析”2無窮小量的性質定理 有限個無窮小的代數和為無窮小（證明略）注意

6、，無窮個無窮小之和未必是無窮小，如時，都是無窮小，但是，當時，所以不是無窮小定理 有界函數與無窮小的積為無窮小 （證明略）推論1 常數與無窮小的乘積是無窮小. （證明略）推論2 有限個無窮小的積為無窮?。ㄗC明略）例4 求極限解 因為是當時的無窮小，而是一個有界函數，所以3函數極限與無窮小的關系設，即時無限接近于常數A，有就接近于零，即是時的無窮小，若記，于是有定理3 （極限與無窮小的關系）的充分必要條件是，其中是的無窮小例如當時，有，其中就是時的無窮小四、 無窮大量1無窮大的定義定義6 若當（）時，函數的絕對值無限增大，則稱函數為當(或)時的無窮大.函數當（或）時為無窮大，它的極限是不存在的，

7、但為了便于描述函數的這種變化趨勢，我們也說“函數的極限為無窮大”，并記為 或 例如，當時，是一個無窮大，又例如， 當時，是一個無窮大注意，說一個函數是無窮大，必須指明自變量的變化趨向；無窮大是一個函數，而不是一個絕對值很大的常數2無窮大與無窮小的關系我們知道，當時，是無窮小，是無窮大；當時，是無窮大，是無窮小一般地，在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則是無窮??；反之，如果為無窮小，且，則是無窮大利用這個關系，可以求一些函數的極限例5 求極限解 因為，由無窮大與無窮小的關系，所以五、無窮小量比較由無窮小的性質，我們知道兩個無窮小的和、差及乘積仍是無窮小但兩個無窮小的商卻會出現不同的情況例如

8、，當時， 、均為無窮小，而，兩個無窮小之比的極限的不同情況，反映了不同的無窮小趨向于零的“快慢”程度一般地，對于兩個無窮小之比有下面定義：定義 設和都是同一過程的兩個無窮小量，即，1若，則稱是的高階無窮小量；記作，此時也稱是的低階無窮小量2若，則稱與是同階的無窮小量記作3若，則稱與是等價無窮小量記作例16 當時，比較無窮小與的階解 由于 ，且，所以當時，與是同階無窮小例17 當時，證明與等價解 由于 ，且所以，當時，與為等價無窮小習題訓練1利用函數圖像，觀察函數的變化趨勢，并寫出其極限：（1）； （2）；（3） ； （4）；（5）； （6）2設，作出它的圖象，求出當時，的左極限、右極限，并判斷

9、當時，的極限是否存在？3設，求和 ，并判斷在時的極限是否存在？4設，求，5下列函數在自變量怎樣變化時是無窮??？無窮大？（1） ； （2）； （3） ； （4）6求下列函數的極限：（1） ； （2）；（3） ； （4）第二節 極限的運算 教學目的：1.掌握極限的性質及四則運算法則;2.掌握利用兩個重要極限求極限的方法。 教學重難點：1.極限的四則運算法則；2.兩個重要極限；一、函數極限的運算法則與數列極限類似，函數的極限也有如下四則運算法則：設，則法則1 ；法則2 ；法則3 ；法則4 （法則1和法則2可以推廣到有限多個函數的情形，上述法則對于時同樣成立例1 求極限解 2由例1可見，若函數為多項式

10、，則有例2 求極限解 由例2可見，若為有理分式函數，且時，則有例3 求極限 解 本題分子分母的極限皆為零，但它們有公因式，則例4 求極限()解 當時，故不能直接應用法則1因為，所以 () 例5 求極限解 分子分母極限均不存在，不能直接運用法則分子分母同除以，則二、兩個重要極限在計算函數極限時，有時需要利用和這兩個極限 1O圖231根據在0附近的圖形（如圖23）可以看出，當時，即一般，若在某極限過程中，則在該過程中有我們來求下列函數的極限例6 求極限解 2例7 求極限解 例8 求極限 解 令, 則時，有，所以 1例9 求極限解 1例10 求極限解 令，則時，且， 則2根據表21，我們可以觀察時，

11、的變化趨勢2.704812.716922.718152.718272.708282.732002.719642.718422.718302.71828表21可以看出，當時，函數常數，它是一個無理數，即利用代換，則當時，因此有于是得到該極限的另一種常用形式：上述公式可以推廣為：我們來求下列函數的極限例11 求極限解 例12 求極限解 先將改寫成如下形式：，再令，由于當時，從而例13 求極限解 令，當時，所以例14 求極限解 例15 求極限解因為，令，則，當時，從而四、用Matlab求極限極限運算是高等數學的基礎，Matlab提供了計算函數極限的命令，對于復雜的函數求極限，用Matlab計算將既快

12、又準，而且很方便，下面用例題的形式給予演示例18 求極限解 在命令窗口中輸入： syms x %確定x為變量，沒再次確定的，計算的時候都將視為常量； y=tan(3*x2)/(2*x2+3*(sin(x)3); %確定函數； limit(y) %求極限命令輸出結果ans = 3/2說明例19 求極限解 在命令窗口輸入： syms x y=1/(x*(log(x)2)-1/(x-1)2; limit(y,x,1,right) %right為右極限 輸出結果ans = 1/12說明例20 求極限 解 在命令窗口中輸入： syms x y=(1+3/x)x; limit(y,x,inf) %inf表

13、示無窮大 輸出結果：ans = exp(3) % exp（x）表示 說明習題訓練1求函數的極限.（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）2求下列函數的極限.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）（為正整數）3當時，與相比，哪一個是高階無窮??？4當時，無窮小和是否同階？是否等價？5證明當時, 與是同階無窮小量6用Matlab求下列極限（1）； （2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）*第三節 函數的連續性教學目的：1.理解函數連續性的概念（含左連續與右連續），會判別函數間斷點的類型。2.了解連續函數的性質

14、和初等函數的連續性，了解閉區間上連續函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。 教學重難點：1.函數連續性及初等函數的連續性；2.區間上連續函數的性質;3.間斷點及其分類； 自然界中有許多現象，如氣溫的變化，河水的流動，植物的生長等，都是連續的變化著的.這些現象在函數關系上的反映，就是函數的連續性一、函數的增量如果函數在點及其近旁有定義，當自變量從變到時，函數相應地從變到，此時稱與的差為函數的增量，記為，即例1 設函數，求函數當由2變到2的增量解 二、函數的連續性1函數在點的連續性Oxyyf (x0+x)MNf (x0)x0x0+x圖24y = f (x)x現在從函

15、數的圖象來考察在給定點處及其左、右近旁函數的變化情況，如圖24所示，曲線在點處沒有斷開，即當保持不變，讓趨近零時，曲線上的點沿曲線趨近于，這時趨近于下面我們給出函數在點處連續的定義：定義1 設函數在點處及其左、右近旁有定義，如果當自變量在處的增量趨于零時，函數的增量也趨于零，即則稱函數在點處連續例2 證明函數在給定點處連續證 當自變量在處取得增量時, 函數的相應的增量為因為 所以函數在給定點處連續在上面定義1中，若把改寫為，則，于是，1xy=xO1y圖25當，就是，就是，因此在點處函數連續的定義又可以敘述為：定義2 設函數在點處及左右近旁有定義，若當時，的極限存在，且等于它在處的函數值即，則稱

16、函數在處連續例3作函數的圖象，并討論函數在點處的連續性解 數在內有定義，圖象如圖25所示，因為，于是有，又，所以函數在點處連續2函數在區間上的連續性定義3 若函數在區間內的每一點都是連續的，則稱函數在區間內連續，區間稱為函數的連續區間下面先給出函數在一點左連續與右連續的概念設函數在區間內有定義，如果左極限存在且等于，即，那么稱函數在點左連續設函數在區間內有定義，如果右極限存在且等于，即，那么稱函數在點右連續定義4 如果在上有定義，在內連續，且在右端點左連續，在左端點右連續，即，那么就稱函數在上連續連續函數的圖象是一條連綿不斷的曲線.三、函數的間斷點如果函數在點處有下列三種情形之一：（1）在沒有

17、定義；（2）雖在有定義，但不存在；（3）雖在有定義，且存在，但那么稱函數在點為不連續，而點稱為函數的不連續點或間斷點例4 求函數的間斷點解 由于函數在處沒有定義，故是函數的一個間斷點，如圖26示例5 求函數的間斷點解 分界點雖在函數的定義域內，但, ，則極限不存在，故是函數的一個間斷點，如圖27所示例6 求函數的間斷點x12O1y圖26y=x21x1xy21O1-1圖2712O1y圖28x解 函數在點處有定義，且，但是，故，所以是函數的一個間斷點，如圖28所示間斷點通?？煞譃閮深悾喝绻堑拈g斷點，但左、右極限都存在，那么稱為函數的第一類間斷點，例4、例5、例6中的間斷點都是第一類間斷點；不是第

18、一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點例如是函數的第二類間斷點，是函數的第二類間斷點四、初等函數的連續性利用函數連續性定義，可以得定理 設函數和在點處連續，則函數， 在點處連續（證明略）定理 設函數在點處連續，函數在點處連續，則復合函數在點處連續（證明略）可知一切基本初等函數在其有定義的區域內都是連續的，由初等函數的定義和上面的定理可知：一切初等函數在其定義區間內都是連續的.這個結論很重要，因為今后討論的主要是初等函數，而初等函數的連續區間就是它有定義的區間若函數是初等函數，且為其定義區間內的點，則在點處連續，即有因此求初等函數，當的極限時，只需計算的值就可以了由于函數在處連續，有 說明函數在點處連續的前提下，極限符號與函數符號可以交換運算順序，這一結論給我們求函數的極限帶來很大方便例7 求下列極限：(1) ； (2) 解 (1) 因為是初等函數，其的定義域為而，所以（2）因為是初等函數，其定義域為：，所以五、閉區間上連續函數的性質 下面介紹閉區間上連續函數的兩個重要性質定理 （最大值和最小值定理