1、概率論與數理統計復習題一 事件及其概率1. 設為三個事件，試寫出下列事件的表達式：(1) 都不發生；(2)不都發生；(3)至少有一個發生；(4)至多有一個發生。解：(1) (2)(3)(4)2. 設為兩相互獨立的隨機事件,求。解：； 。3. 設互斥，求。解：。4. 設，求。解： 。5. 設獨立且求。解：。6. 袋中有個黃球，個白球，在袋中任取兩球，求(1) 取到兩個黃球的概率；(2) 取到一個黃球、一個白球的概率。解：(1) ；(2) 。7. 從十個數字中任意選出三個不同的數字，求三個數字中最大數為的概率。解：。8. 從中任取兩數，求兩數之和小于的概率。解：。9. 甲袋中裝有只紅球，只白球，乙

2、袋中裝有只紅球，只白球，現從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問從乙袋中取出紅球的概率為多少？解：設“從甲袋中取出的是紅球”， “從乙袋中取出的是紅球”，則： 由全概率公式得： 。10. 某大賣場供應的微波爐中，甲、乙、丙三廠產品各占50%、40%、10%，而三廠產品的合格率分別為95%、85%、80%，求(1) 買到的一臺微波爐是合格品的概率；(2) 已知買到的微波爐是合格品，則它是甲廠生產的概率為多大？解：(1) 設分別表示買到的微波爐由甲、乙、丙廠生產，表示買到合格品，則 由全概率公式得；(2) 。二 一維隨機變量及其數字特征1. 已知的概率密度函數，求。解： ，。2. 設，

3、求。解：。3. 設三次獨立隨機試驗中事件出現的概率相同，已知事件至少出現一次的概率為，求在一次試驗中出現的概率。解：三次試驗中出現的次數，由題意：。4. 某種燈管的壽命（單位：小時）的概率密度函數為，(1) 求；(2) 任取只燈管，求其中至少有只壽命大于的概率。解：(1) ；(2) 設只燈管中壽命大于的個數為，則，故 。5. 設求。解：。6. 設，求。解：， 。7. 設，求。解：，。8. 設服從上的均勻分布，求方程解：，。9. 設，求。解：。10. 設某機器生產的螺絲長度。規定長度在范圍內為合格，求螺絲不合格的概率。解：螺絲合格的概率為故螺絲不合格的概率為。11. 設，求、及的分布。解：。12

4、. 設與獨立，且求。解：。13. 設求。解：。14. 設，求的概率密度函數。解：(1) 當時，；(2) 當時，；(3) 當時，；(4) 當時，；故，。三 二維隨機變量及其數字特征1. 已知的聯合分布律為： (1) 求；(2) 求；(3) 求的邊緣分布律；(4) 求；(5) 判斷是否獨立。解：(1) ;(2) ；(3) ；(4) ；(5) ，不獨立。2. 已知的聯合分布律為： 且與相互獨立，求：(1) 的值；(2) ；(3) 的邊緣分布律；(4) ；(5) 的分布律。解：(1) ;(2) ；(3) ；(4) ；(5) 。3. 已知的概率密度函數為，求：(1) 常數；(2) 關于變量的邊緣概率密度

5、函數；(3) 。解：(1) ；(2) ；(3) 。4. 設的概率密度函數為：，(1) 求；(2) 求；(3) 判斷是否獨立；(4) 求；(5) 求。 解：(1) ；(2) ，；(3) 不獨立；(4) ，；(5) 。四 中心極限定理1. 某種電器元件的壽命服從指數分布（單位：小時），現隨機抽取只，求其壽命之和大于小時的概率。解：設第只電器元件的壽命為則。令，則。由中心極限定理得。2. 生產燈泡的合格率為，記個燈泡中合格燈泡數為，求(1) 與；(2) 合格燈泡數在之間的概率。解：(1) ；(2) 由中心極限定理得。3. 有一批建筑房屋用的木柱，其中的長度不小于，現從這批木柱中隨機地取根，問至少有根

6、短于的概率是多少？解：設這根木柱中短于的個數為，則；由中心極限定理得。4. 某單位設置一電話總機，共有架電話分機。設每個電話分機是否使用外線通話相互獨立，設每時刻每個分機有的概率要使用外線通話。問總機至少需要多少外線才能以不低于的概率保證每個分機要使用外線時可供使用?解：設至少需要條外線。使用外線的分機數，。由中心極限定理得： 。五 抽樣分布1. 從一批零件中抽取個樣本，測得其直徑為，求。解：。2. 設是來自正態總體的簡單隨機樣本，已知服從分布，求。解：。3. 總體，(1) 對容量的樣本，求樣本均值大于的概率；(2) 為使大于的概率不小于，樣本容量至少應為多少？解：(1) ；(2) 。4. 設

7、取自正態總體，求。解：由于，故。5. 設來自總體，為樣本方差，求。解： 。六 參數估計1. 設隨機變量，其中已知。為樣本均值, 求的矩估計量。解：。2. 設總體的概率密度函數為：，其中是未知參數，求的矩估計量。解：。3. 設總體的分布律為現有樣本：，求的矩估計值與最大似然估計值。解：(1) ，將代入得；(2) 似然函數 對數似然函數，令，得。4. 設總體的概率密度函數為。現測得的個數據：，求的矩估計值和最大似然估計值。解：(1) ，令，得；(2) 似然函數，對數似然函數，令，得。5. 設軸承內環的鍛壓零件的平均高度服從正態分布。現在從中抽取只內環，其平均高度毫米，求內環平均高度的置信度為的置信

8、區間。解：已知，置信區間為。將代入，得所求置信區間為。6. 為了估計一批鋼索所能承受的平均張應力(單位：千克力/平方米)，從中隨機地選取了個樣品作實驗,由實驗所得數據算得：，設鋼索所能承受的張應力服從正態分布 ,試在置信水平95%下求這批鋼索所能承受的平均張應力的置信區間。解：未知，置信區間為。將代入，得所求置信區間為。7. 冷銅絲的折斷力服從正態分布，從一批銅絲中任取根，測試折斷力，得數據為 578，572，570，568，572，570，570，596，584，572求：(1) 樣本均值和樣本方差；(2) 方差的置信區間（）。解：(1) ；(2) 未知，置信區間為。七 假設檢驗1. 某糖廠

9、用自動打包機裝糖，已知每袋糖的重量(單位：千克)服從正態總體分布，今隨機地抽查了9袋，稱出它們的重量如下： 50，48，49，52，51，47，49，50，50問在顯著性水平下能否認為袋裝糖的平均重量為50千克？解：由題意需檢驗。已知，拒絕域為，將代入，得。未落入拒絕域中，故接受，即可以認為袋裝糖的平均重量為千克。2. 某批礦砂的5個樣本的含金量為： 設測定值總體服從正態分布，問在顯著性水平0.1下能否認為這批礦砂的金含量的均值為？解：由題意需檢驗。未知，拒絕域為，將代入得。未落入拒絕域中，故接受，即可以認為這批礦砂的含金量的均值為。3. 某種螺絲的直徑，先從一批螺絲中抽取個測量其直徑，其樣本均值，方差。問能否認為這批螺絲直徑的方差仍為（）？解：由題意需檢驗。未知，拒絕域為或。將代入得。未落入拒絕域中，故接受，即可以認為這批螺絲直