1、7:391yxfy求已知, )( 積分問題 yy求及其若干階導數的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推廣 7:392微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 幾何問題幾何問題物理問題物理問題7:393一一. 兩個例子兩個例子例例6.1.1 已知一曲線過點A(1,3),且該曲線上任意點P(x,y)處的切線斜率為2x,求此曲線的方程。例例6.1.2 質量為m的物體從空中自由落下,若略去空氣的阻力，求物體下落的距離s與時間t的函數關系s s(t)。7:3941. 微分方程2. 微分方程的階3. 微分方程的解4. 微分方程的通解5. 微分方程的特解6. 初始條件7:395一、可分離變量的微分

2、方程一、可分離變量的微分方程程為可分離變量的微分方形如)()( :ygxfdxdydxxfygdy)()(7:396例例6.2.1 (細菌繁殖模型)在一個理想的環境中,細胞的繁殖率與細菌的數目成正比,若t0時細菌的數目為x0,求系統的細菌繁殖規律。兩邊積分 解：解： 設x(t)表示在t時刻細菌數目,依題意有 10CeCC 或又因0) 0 (xx為已知,故特解為ktexx0)0( kkxdtdxkdtxdx即 (C為任意常數) 1lnCktxktCex 7:397例例6.2.2 (自然生長模型) yy(t)表示一種生物在時間t時種群總數,開始時種群總數y(0)y0, n,m分別表示該總群的出生率

3、和死亡率,實踐證明nmrky,其中r0, k0,試求該總群自然生長規律。 解解：在t到t+t這段時間內種群總數改變量為 ttmyttnytytty)()()()()()()()(lim0tymnttyttydtdyt采用可分離變量后,積分得trCekyry7:398 rtCekryrteykyrkry00tkry由y(0)y0確定常數C,可得生物總群自然增長規律此式稱為Logistic方程,其曲線參考圖為7:399例例6.2.3 (腫瘤生長模型)設V(t)是腫瘤體積。免疫系統非常脆弱時,V呈指數式增長,但V長大到一定程度后,因獲取的營養不足使其增長受限制。描述V的一種數學模型是：確定腫瘤生長規

4、律。akeVVaVVVVaVdtdV00 , 0 ,)0( ,ln7:3910adtVVVdVadtVVVdV)ln(ln)ln(ln ：解atCeVVCatVVln)lnln(ln1akCeVVCVVVVak ,lnln ,)0( 0000atateakeakeVVeVV此為貢柏茨方程)1(0ateakeVV7:3911)(xydxdy1. 齊次方程齊次方程 形如: , , , :得求導數兩端對則令xxuyxyuxdxuududxduxudxdy)(則稱原方程為齊次微分方程。7:3912例例6.2.4 解微分方程解解:xyxydxdytan, ,uxuyxyu則令代入原方程得uuuxutan

5、分離變量xdxduuusincos兩邊積分xdxduuusincos得xCuCxusinlnlnsinln故原方程的通解為CxxyxCxyarcsinsin( 當C0時, y0也是方程的解)7:3913解微分方程解解:yxyxdxdyxyxydxdy11uxuyxyu則令 ,代入原方程得uuudxduxuuuxu121112xdxuuduu221)1 (12ln21ln21Cxuu222)21 (lnCxuuCxuu22)21 (Cyxyx222 7:3914型方程)( . 2cbyaxfdxdy作變換cbyaxzdxdybadxdz)( zbfadxdzdxzbfadz)( 7:3915例例

6、6.2.6 解微分方程解解:2)(yxdxdydxdydxdzyxz1令dxzdzzdxdz2211)tan(arctanCxzCxz)tan(Cxxy7:3916一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程定義定義3 如果方程中未知函數的導數(微分)的最高階數是一階的,且所含未知函數及導數(微分)都是一次冪的,則稱這種方程為一階線性微分方程。一階線性微分方程標準形式:)()(xQyxPdxdy若Q(x) 0,稱為非齊次方程。非齊次方程。若Q(x) 0,稱為齊次方程齊次方程 ;7:39171. 解齊次方程0)(yxPdxdy分離變量dxxPydy)(兩邊積分得1)(lnCdxxPy故通解為dxxP

7、Cey)(僅表示P(x)的一個原函數dxxP)(7:39182. 解非齊次方程)()(xQyxPdxdy改寫為dxxPdxyxQydy)()(兩邊積分dxxPdxyxQy)()(lndxxPxueeyxudxyxQ)()()()( 令(1) )()( )()(dxxPxuexhyexh令下面求h(x), 對(1)求導, 得：dxxPdxxPexhxPexhy)()()()()(7:3919)()()()()()()(xQyxPexhxPexhdxxPdxxP代入標準方程dxxPdxxPexQxhxQexh)()()()()()(CdxexQxhdxxP)()()(CdxexQeydxxPdxx

8、P)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(齊次方程通解非齊次方程特解7:3920例例6.2.7 用常數變異法求一階線性方程通解xexydxdysincos解解：齊次方程通解：xdxxCeCeysincos用常數變異法,將C看作h(x)：xexhysin)(xxexhxexhysinsin)(cos)(代入原方程得Cxxhxheexhxx)(1)()(sinsinxeCxysin)(7:3921例例6.2.8 用通解公式求一階線性方程通解21xyxdxdy解解：2)( ,1)(xxQxxPCdxexeydxxdxx121Cdxexexxln2lnCxxCxdxx221

9、7:3922(飲食與體重模型)某人每天從食物中獲取10500J熱量,其中5040J用于基礎代謝。他每天的活動強度，相當于每千克體重消耗67.2J。此外,余下的熱量均以脂肪的形式儲存起來,每42000J可轉化為1kg脂肪。問：這個人的體重是怎樣隨時間變化的,會達到平衡嗎? 例例6.2.9解解：設體重w是時間t的連續函數,依題意：活動消耗67.2/42000 0.0016kg基礎代謝5040/42000 0.12kgtww)0016. 012. 025. 0(wtw0016. 013. 0進食增加10500/42000 0.25kg7:392313. 00016. 0 ：, 0wdtdwt有令Cd

10、teewdtdt0016. 00016. 013. 0Cdteett0016. 00016. 013. 0Ceett 0016. 0 0016. 025.81tCew 0016. 025.81假定w(0) w0,代入上式：C w081.25teww 0016. 00)25.81(25.81當t時, w81.257:3924(藥代動力學模型)假定藥物以恒定速率K0向一個同質單元進行靜脈滴注,K0的單位為單位時間的藥量,并且藥物在同質單元內按一級消除速率常數K的過程消除。K的單位為時間的倒數。試求此系統藥物隨時間變化規律。例例6.2.10解解：設靜脈滴注t時刻的系統藥量為x(t),依題意單位時間內

11、藥物變化率應該等于輸入與輸出之差KxKdtdx0CdteKexdtKdtK0CeKKexKtKt0KteKKxKKCx1 , , 0)0(00由7:3925(細菌繁殖非理想環境模型)除系統本身的繁殖外有的細菌向系統外遷移,其遷移速率是時間t的線性函數,即AtB,系統內繁殖率與細菌的數目成正比,并假定t0時,測得的細菌的數目為x0,求系統的細菌繁殖規律。例例6.2.11解解：設x(t)為t時刻細菌數目,則BAtKxdtdxCdteBAtexdtKdtK)(2KAKBAtCeKt200 ,)0(KAKBxCxx由220KAKBAteKAKBxxKt7:3926) 1 , 0( ,)()(nyxQy

12、xPdxdyn解法：解法：兩端同乘以yn,)()(1xQyxPdxdyynn令zy1n,dxdzndxdyydxdyyndxdznn11)1 (代入上式,得)()(11xQzxPdxdzn)()1 ()()1 (xQnzxPndxdzCdxexQnezydxxPndxxPnn)()1 ()()1 (1)()1 (7:3927例例6.2.12 求微分方程的通解26xyyxdxdy解解：2 ,)( ,6)(nxxQxxPCdxxeeydxxdxx6)21(6)21(21)21 (Cdxxeedxxdxx66Cdxxeexxln6ln6Cdxxx76cxx868162811 cxxy7:3928)(

13、xfy、 一),(:PxfPPy 則),(yxfy、 二dydPPdxdydydPdxdPy :則),(PyfdydPP),(yyfy、 三yP令yP令7:3929例例6.3.1 求微分方程的通解解解:兩邊積分得xy2sin4 12cos22sin4Cxdxxy212cos2CdxCxy212sinCxCx7:3930例例6.3.2 求微分方程的通解解解：設yP,原方程化為xyy xPP11CdxxeeCdxxeePxxdxdx111xeCexeCexxxx11xeCdxdyx22121CxxeCyx7:3931例例6.3.3 求微分方程的通解解：解：013 yydydPPyPy , 設原方程

14、化為221122311yyCCyPydydPPyyCP211yyCdxdy211dxyCydy21121211CxCyC1)(21221yCCxC7:3932例例6.3.4 求微分方程的特解。解解：dydPPyPy , 設原方程化為2)0( , 1)0( , 2 yyyyyydydPyPdydPP2212 CyP由初始條件：C11dxydy12)tan(arctan22CxyCxy由初始條件：42C)4tan(xy7:3933定義定義5 如果方程中未知函數的導數(或微分)的最高階數是二階的，且所含未知函數及其各階導數(或微分)都是一次冪的，則稱這種方程為二階線性微分方程，一般形式為：A(x)y

15、B(x)yC(x)y f (x)其中A(x),B(x),C(x)均為x的函數, A(x)0。若f (x) 0,稱為二階線性齊次微分方程。若f (x) 0,稱為二階線性非齊次微分方程。7:3934對以下方程：aybycy f (x)其中a,b,c均為常數, a 0。若f (x) 0,稱為二階線性常系數齊次微分方程。若f (x) 0,稱為二階線性常系數非齊次微分方程。7:3935aybycy f (x)(1)aybycy 0(2)定理定理1(疊加原理)若y1(x), y2(x)是(2)的兩個解,則它們的線性組合 yC1 y1(x) C2 y2(x)也是(2)的解。線性無關，線性相關定理定理2 若y

16、1(x), y2(x)是(2)的兩個線性無關的特解,則：yC1 y1(x)C2 y2(x) 是(2)的通解。定理定理3 設y*是(1)的一個特解, y1是(2)的通解, 則yy*y1是(1)的通解。7:3936aybycy 0(2)因為r為常數時,函數erx和它的導數只相差一個因子,所以令(2)解為yerx (r為待定常數),代入(2)得： erx(ar2brc)0ar2brc0(3)稱(3)為(2)的特征方程。其根稱為(2)的特征根特征根。aacbbr2422, 17:39371. b24ac0有兩個相異實根：r1 r2 , 則微分方程有兩個線性無關的特解xrey11xrey22因此方程的通

17、解為xrxreCeCy21217:39382. b24ac 0特征方程有兩個相等實根：r1r2 , 則微分方程有一個特解xrey11設另一特解xrexuxuyy1)()(12(u (x)待定)代入方程0)()2(12111 ucbrarubrauaexrBAxuu 0取ux , 則得：xrexy12因此原方程的通解為xrexCCy1)(210)()2(1211 ucrbraubraua得：7:39393. b24ac0特征方程有一對共軛復根：r1,2i,這時原方程有兩個復數解,利用歐拉公式：eixcosxisinx 有：xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxi

18、xex利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解：)(21211yyyxexcos)(21212yyiyxexsin因此原方程的通解為) sin cos(21xCxCeyx7:3940例例6.3.5 求通解： y4y3y 00342 rr解：解：3 , 121rr所求通解是xxeCeCy3217:3941例例6.3.6 求通解 y2y2y 00222 rr解：解：ir 12, 1所求通解是xCxCeyxsincos217:3942例例6.3.7 求特解 y6y9y 0 , y(0) 0 , y(0) 10962 rr解：解：32, 1r所求通解是xexCCy321xxexCCeCy32132

19、)(3由初始條件：y(0)0 , y(0)1,得：C10, C21所求特解是xxey37:3943通解為 y(x) Y(x)y*, 找出 y* 即可。某些方程，觀察即可找到特解。y3y4y 4 ，y* 1yyy x1，y* x特解特解y*的形式：的形式：(1) f (x) Pn(x)ex, 可設 y* xkQn(x)ex。不是特征方程的根時取k 0；是特征方程的單根時取k 1；是特征方程的重根時取k 2。7:3944例例1 求微分方程 y 3y2y e2x 的通解。解解：相應的齊次方程為： y 3y2y 0其特征方程為：r2 3r2 0特征根：r1 1 , r2 2齊次方程的通解為：Y c1e

20、2xc2exPn(x) 1, 2。取Qn(x) A , k 1 。有 y* Axe2x 是原方程的解，代入原方程，得到：A 1。即：y* xe2x 原方程的通解為：y c1e2xc2exxe2x 7:3945例例2 求微分方程 y2y2y x 的通解。解解： 相應的齊次方程為： y2y2y 0其特征方程為：r22r2 0特征根：r1,2 1 i齊次方程的通解為：Y ex(c1cos xc2sin x)Pn(x) x, 0。取Qn(x)AxB, k0。有y*AxB 是原方程的解,代入原方程,得到：2A2(AxB) x。即：2A 1 , 2(AB) 02121*xy2121)sincos(21xx

21、cxceyx7:3946例例3 求微分方程 y2yy (6x2)ex 的通解。解解： 相應的齊次方程為： y2yy 0其特征方程為：r22r1 0特征根：r1,2 1齊次方程的通解為：Y (c1c2 x)exPn(x) (6x2), 1。取Qn(x)AxB, k2。有y*x2(AxB )ex是原方程的解，代入原方程，得到：6Ax2B 6x2。即：A 1 , B 1 。y* ( x3x2 ) ex原方程的通解為：y (c1c2 x)ex ( x3x2 )ex7:3947(2) f (x) exPn(x)cosxQm(x)sinx可設： y* xk exRl(x)cosxGl(x)sinx l maxn,m; i不是特征方程的根時取 k 0;i是特征方程的根時取 k 1。7:3948例例4 求微分方程 y 2y2y ex sinx 的通解。解解： 相應的齊次方程為： y2y2y 0其特征方程為：r2 2r2 0特征根：r1,2 1