1、第三章第三章 導數與微分導數與微分 第二節第二節 求導法則求導法則 第三節第三節 微分及其在近似計算中的應用微分及其在近似計算中的應用 第一節第一節 導數的概念導數的概念 一、一、兩個實例兩個實例 二、二、導數的概念導數的概念 三、三、可導與連續可導與連續 第一節第一節 導數的概念導數的概念四、四、求導舉例求導舉例第一節第一節 導數的概念導數的概念 1 .1 .變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度 于是比值于是比值 ,00ttsttsts O)(0ts)(0ttss一、兩個實例一、兩個實例 .00ttsttstsv即 .limlimlim)(000000ttsttstsvtvttt 就

2、是說，物體運動的瞬時速度是路程函數的增量就是說，物體運動的瞬時速度是路程函數的增量和時間的增量之比當時間增量趨于零時的極限和時間的增量之比當時間增量趨于零時的極限. . 2 .2 .平面曲線的切線斜率平面曲線的切線斜率 設函數設函數)(xfy 的圖像為曲線的圖像為曲線 L（如上圖） ，（如上圖） ， 000(,()Mxf x和和 ( ,( )M x f x為曲線為曲線 L 上的兩點，它們到上的兩點，它們到 x軸的垂足分別為軸的垂足分別為 A 和和 B, ,作作0M N垂直垂直BM并交并交 BM于于 N，則則 A B T N L M o y x ) ( x f y 0 M 在在曲曲線線 L 上上

3、點點0M附附近近， 再再取取一一點點M , ,作作割割線線0M M，當當點點 M沿沿曲曲線線 L 移移動動而而趨趨向向于于0M時時，割割線線 0M M的的極極限限位位置置0M T就就定定義義為為曲曲線線 L 在在點點 0M處處的的切切線線. . 平面曲線的切線幾何演示平面曲線的切線幾何演示 0000,fxfxfxxfxyxxxx 而比值而比值1.1.導數的定義導數的定義 二、導數的概念二、導數的概念定理定理 函數函數)(xfy 在點在點0 x的左、右導數存的左、右導數存 在且相等是在且相等是)(xf在點在點0 x處可導的充分必要條件處可導的充分必要條件. . 2左、右導數左、右導數 如如果果函

4、函數數)(xfy 在在區區間間)b,(a內內每每一一點點都都可可導導， 稱稱)(xfy 在在區區間間)b,(a內內可可導導. . 如如果果)(xf在在)b,(a內內可可導導，那那么么對對應應于于)b,(a中中的的 每每一一個個確確定定的的x值值，對對應應著著一一個個確確定定的的導導數數值值)(xf ， 這樣就確定了一個新的函數，此函數稱為函數這樣就確定了一個新的函數，此函數稱為函數)(xfy 的導函數的導函數. . 記作記作)(xf ，y,xydd,xxfd)(d ， 在不致發生混淆的情在不致發生混淆的情況下，導函數也簡稱為導數況下，導函數也簡稱為導數. . 顯然，函數顯然，函數)(xfy 在

5、點在點0 x處的導數處的導數)(0 xf ，就，就 是導函數是導函數)(xf 在點在點0 xx 處的函數值，即處的函數值，即 0)()(0 xxxfxf. . 例例 1 1 求求函函數數2xy 在在任任意意點點 x 處處的的導導數數. . 曲線切線方程：曲線曲線切線方程：曲線 L 上點上點),(00yxM處的切線方程就是處的切線方程就是 )(000 xxxfyy. .特別地，若特別地，若)(0 xf，則切線垂直于，則切線垂直于 x 軸，切線方程就是軸，切線方程就是 x 軸的垂線軸的垂線0 xx . . 解解 因為因為xxy2)(2，由導數的幾何意義又知，由導數的幾何意義又知， 曲線曲線2xy

6、, ,在點在點(1,1)(1,1)處的切線斜率為處的切線斜率為2211xxxy. . 所以，所求的切線方程為所以，所求的切線方程為) 1(21xy , , 即即 12 xy. . 法線方程為法線方程為 ) 1(211xy 即即 2321xy . . 導數的幾何意義：函數導數的幾何意義：函數)(xfy 在點在點0 x處的導數等于函處的導數等于函 數所表示的曲線數所表示的曲線 L 在相應點在相應點),(00yx處的切線斜率處的切線斜率. . 例例 2 2 求求拋拋物物線線2xy 在在點點( (1 1, ,1 1) )處處的的切切線線方方程程和和法法線線方方程程. . 3.導數的幾何意義導數的幾何意

7、義 4.變化率模型變化率模型 關于變化率模型的例子很多，如比熱容、角速度、生物關于變化率模型的例子很多，如比熱容、角速度、生物繁殖率等等，在這里就不再一一列舉了繁殖率等等，在這里就不再一一列舉了. . 設函數設函數)(xfy 在點在點 x 處可導處可導, ,有有)(lim0 xfxyx根根 據函數的極限與無窮小的關系據函數的極限與無窮小的關系, ,可得可得)()(xxfxy. . 其中其中 )( x是是0 x的無窮小，兩端各乘以的無窮小，兩端各乘以 x, ,即得即得 xxxxfy)()(, ,由此可見由此可見 0lim0yx. . 這就是說這就是說)(xfy 在點在點 x 處連續處連續. .也

8、即，如果函數也即，如果函數)(xfy 在在 x 處可導，那么在處可導，那么在 x 處必連續處必連續. .但反過來不一定成立，但反過來不一定成立， 即在即在 x 處連續的函數未必在處連續的函數未必在 x 處可導處可導. . 例如，函數例如，函數0,0,xxxxxy顯然在顯然在 x0 0 處連續，處連續， 但是在該點不可導但是在該點不可導. . 三、可導與連續三、可導與連續 因為因為xxfxfy)()0(, , 所以在所以在0 x點的點的右導數右導數: : 1limlimlim)0(000 xxxxxyfxxx. . 而左導數是而左導數是: :1limlimlim)0(000 xxxxxyfxxx

9、. . 左右導數不相等，故函數在該點不可導左右導數不相等，故函數在該點不可導. .所以，函數連續所以，函數連續 是可導的必要條件而不是充分條件是可導的必要條件而不是充分條件. . 求函數求函數)(xfy 的導數的導數 y的步驟：的步驟： （1 1）求增）求增)()(xfxxfy , , （2 2）算比值：）算比值：xxfxxfxy)()( , , （3 3）取極限：）取極限：xyyx0lim . . 四、求導舉例四、求導舉例 解解 (1) (1)求增量：因為求增量：因為Cy ，即不論，即不論 x取什么值，取什么值，y的值總等于的值總等于 C，所以，所以0y ； (2)(2)算比值：算比值：xy

10、0； (3)(3)取極限：取極限：00limlim00 xxxyy. . 即常數函數的導數等于零即常數函數的導數等于零. . 解解 （1 1）求增量：）求增量： xxxxfxxfysin)sin()()(， 由和差化積公式有：由和差化積公式有： 2)(sin2)(cos2xxxxxxy .2sin)2cos(2xxx例例 7 7 求函數求函數Cy （C是常數）的導數是常數）的導數. . 例例 8 8 求函數求函數xysin的導數的導數. . 解解（1 1）求增量：）求增量： xxxxxxyaaaloglog)(log xxa1log, , （2 2）算比值算比值：xxaaxxxxxxxy1lo

11、g11log, , （3 3）取極限取極限：xxaxxxxxxyxy1log1limlimdd00 axxaln1elog1 , , 即即 axxaln1)(log. .特別地，當特別地，當ea時，得自然對數時，得自然對數 的導數的導數 xx1)(ln. . 例例 9 9 求求對對數數函函數數)0, 0, 0(logxaaxya的的導導數數. . 解解 ( (1 1) )求求增增量量：由由二二項項式式定定理理有有 nnxxxy)(nnnxxxnnxnx)()(! 2) 1(221, , ( (2 2) )算算比比值值：121)(! 2) 1(nnnxxxnnnxxy, , ( (3 3) )取

12、取極極限限： 12100d(1)limlim()d2!nnnxxyyn nnxxxxxx 1nnx, , 即即 1nnnxx. .（n 為為正正整整數數） 一一般般地地，對對 xy（是是實實數數） ，也也有有 1xx. .這這個個公公式式 在在后后面面將將給給出出證證明明. .例例如如： xxx2121 ，2111xxx. . 例例 1010 求函數求函數nxy （n 為正整數）的導數為正整數）的導數. . 1.1.思考下列命題是否正確？如不正確舉出反例思考下列命題是否正確？如不正確舉出反例. . (1)(1) 若函數若函數)(xfy 在點在點0 x處不可導，則處不可導，則)(xf在點在點0

13、x 一定不連續；一定不連續； (2)(2) 若曲線若曲線)(xfy 處處有切線，則處處有切線，則)(xfy 必處處必處處 可導可導. . 2.2.若若Aaxafxfax)()(lim（A 為常數） ，試判斷下列命為常數） ，試判斷下列命 題是否正確題是否正確. . （1 1）)(xf在點在點 x=a 處可導；處可導； （2 2）)(xf在點在點 x=a 處連續；處連續； （3 3）)()()()(axoaxAafxf. . 思考題思考題： 第二節第二節 求導法則求導法則 一、一、函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則 二、二、復合函數的求導法則復合函數的求導法則 四、四、

14、初等函數的求導公式初等函數的求導公式 三、三、反函數的求導法則反函數的求導法則 五、五、三個求導方法三個求導方法六、六、高階導數高階導數定理定理 1 1 設函數設函數 ）（xuu 與與 ）（xvv 在點在點 x處處可導可導, , 則函數則函數）（）（xvxu, , ）（）（xvxu, ,）（）（）（0 xvxvxu也也 在點在點 x處可導處可導, ,且有以下法則且有以下法則: : (1) (1) ）（）（）（）（xvxuxvxu; ; (2) (2) )()()()( )()(xvxuxvxuxvxu, , 特別地特別地）（）（xuCxCu ( (C為常數為常數);); (3(3) )）（）（

15、）（）（）（）（）（xxxuxxuxxu2 )0)(xv, , 特別地特別地, ,當當Cxu）（( (C為常數為常數) )時時, ,有有 ）（）（）（xvxvCxvC2 第二節第二節 求導法則求導法則一、函數的和、差、積、商的求導法則一、函數的和、差、積、商的求導法則 下面我們給出法則（下面我們給出法則（2 2）的證明，法則（）的證明，法則（1 1） ， （） ， （3 3）的證略）的證略 證證 令令 ）（）（xvxuy , , (1)(1)求函數求函數y的增量的增量: :給給 x以增量以增量 x, ,相應地函數相應地函數 ）（xu, , ）（xv各有增量各有增量u與與v, ,從而從而y有增量

16、有增量 ,vxuxxuvxvxxvxuxxvxuxxuxvxuxxvxxuy）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（ (2)(2)算比值算比值: : xuxuxxvxuxy）（）（ , , (3)(3)取極限取極限: :由于由于）（xu與與）（xv均在均在 x 處可導處可導, ,所以所以 ）（），（xvxvxuxuxx00limlim . . 又又, ,函數函數）（xv在在x處可導處可導, ,就必在就必在 x處連續處連續, ,因此因此 )()(lim0 xvxxvx, , 從而根據和與乘積的極限運算法則有從而根據和與乘積的極限運算法則有 .limlimlimlim0000）（）（）（）

17、（）（）（xvxuxvxuxvxuxxvxuxyxxxx 這就是說這就是說, , ）（）（xvxuy 也在也在 x 處可導且有處可導且有 ）（）（）（）（）（）（xvxuxvxuxvxu . . 例例 1 1 設設7sinln4cosxxxy, ,求求y 解解 .4sin2cosln4coscos7sinln4cosxxxxxxxxxxxxxy）（）（）（）（）（）（ 解解 ,seccos1cossincoscoscossincossincossintan222222xxxxxxxxxxxxxy）（）（）（）（ 即即 xx2sectan ）（ . . 用類似的方法可得用類似的方法可得 xx2c

18、sccot ）（ . . 例例 2 2 求求xytan的導數的導數 例例 3 3 設設 xysec, ,求求y 解解 221cosseccoscossinsec tancosxyxxxxxxx （）（） 用類似的方法可求得用類似的方法可求得 xxxcotcsccsc ）（ . . 二、復合函數的求導法則二、復合函數的求導法則 于是于是 d()dyyuuuxuxx . . 因為因為( )ux在點在點x處可導處可導, ,又根據函數在某點可導必又根據函數在某點可導必 在該點連續在該點連續, ,可知可知( )ux在點在點 x 處也是連續的處也是連續的, ,故有故有 0dlimdxuuxx . . 且當

19、且當0 x時時0u, ,從而從而00lim()lim()0 xuu 所以所以 00000dlimlim()ddd dlimlim()lim,dddxxxxxyyuuuxuxxyuuyuuuxxux 解解 函數函數xysin可以看作由函數可以看作由函數uysin與與xu 復復 合而成合而成因此因此xxxuxuy2cos21cos)()(sin . . 例例 5 5 求求xysin的導數的導數 解解 .cscsin121.2cos1.2sin2cos)2(sec2tan12tan2tan1)2tan(ln22xxxxxxxxxxy 例例 7 7 求函數求函數2tanlnxy 的導數的導數 對于復合

20、函數的分解比較熟悉后對于復合函數的分解比較熟悉后, ,就不必再寫出中就不必再寫出中間間變量變量,而可以采用下列例題的方式來計算而可以采用下列例題的方式來計算 解解 因為因為xxysine可以看作由指數函數可以看作由指數函數ue與對數與對數 函數函數xuln復合而成復合而成由復合函數求導法則由復合函數求導法則 有有 1ln11eln)e (xxxxxyxu , , 即即 1)(xx . . 解解 分兩種情況來考慮分兩種情況來考慮: : 當當0)(xf時時, , )()()()(1 )(ln),(lnxfxfxfxfxfyxfy 當當0)(xf時時, , )()( )()(1),(ln(xfxfx

21、fxfyxfy 例例9 9 設設)(xf 存在存在, ,求求| )(|lnxfy 的導數的導數( (0)(xf) ) 例例 8 8 設設 xy( (為實數為實數),),求求y 解解 設在時刻設在時刻 t 時時, ,氣球的體積與半徑分別為氣球的體積與半徑分別為 v 和和 r 顯然顯然 )(,343trrrV . . 所以所以V通過中間變量通過中間變量 r 與時間與時間 t 發生聯系發生聯系, ,是一個復合函數是一個復合函數 3)(34trV . . 所以所以 )()( | )(|lnxfxfxf . . 復合函數求導法則熟練后復合函數求導法則熟練后, ,可以按照復合的前后次序可以按照復合的前后次

22、序, ,層層 層求導直接得出最后結果層求導直接得出最后結果 解解 1212lncos2122112112lncosxxxxxy 例例 1 10 0 求求函函數數12lnsinxy的的導導數數 例例 1111 設氣體以設氣體以3100cm /s的常速注入球狀的氣球的常速注入球狀的氣球, ,假定氣假定氣 體的壓力不變體的壓力不變, ,那么當半徑為那么當半徑為 1010cm時時, ,氣球半徑增加的速率是氣球半徑增加的速率是 多少多少? ? 按題意按題意, ,已知已知3d100cm /sdVt, ,要求當要求當10cmr 時時trdd的值的值. .根據復合函數求導法則根據復合函數求導法則, ,得得tr

23、trtVdd)( 334dd2 , ,將已知數將已知數據代入上式據代入上式, ,得得trdd1041002 . .所以所以d1cm/sd4rt, ,即在即在10cmr 瞬間瞬間, ,半徑以半徑以1cm/s4的速率增加的速率增加 定理定理 3 3 如果單調連續函數如果單調連續函數( )xy在點在點 y處可導處可導, ,而且而且 ( )0y那么它的反函數那么它的反函數)(xfy 在對應的點在對應的點 x 處可導處可導, , 且有且有 1d1( )d( )ddyfxxyxy或 . . 三、反函數的求導法則三、反函數的求導法則證證 由于由于( )xy單調連續單調連續, ,所以它的反函數所以它的反函數

24、)(xfy 也單調連續也單調連續, ,給給 x以增量以增量0 x, ,從從)(xfy 的的單調性可知單調性可知 0)()(xfxxfy, , 因而有因而有 yxxy1 , , 根據根據)(xfy 的連續性，當的連續性，當0 x時，必有時，必有0y， 而而( )xy可導，于是可導，于是 0lim( )0yyyx , , 所以所以 000111limlim( )limyyyyxxxyyy , , 這就是說，這就是說，)(xfy 在點在點 x 處可導，處可導， 且有且有 1( )( )fxy . . 解解 xay 是是yxalog的反函數， 且的反函數， 且yxalog在在 ), 0( 內單調、可導

25、，又內單調、可導，又 0ln1ddayyx , , 所以所以 aaayyxyxlnlndd1 , , 即即 aaaxxln)( . . 特別地，特別地， 有有xxe)e ( 解解 xyarcsin是是yxsin的反函數，的反函數，yxsin在在區間區間2,2內單調、可導，且內單調、可導，且 0cosddyyx 例例 1 13 3 求求xyarcsin的導數的導數 例例 1 12 2 求求) 1, 0(aaayx的導數的導數 所所以以 2211sin11cos1dd1xyyyxy , , 即即 211)(arcsinxx , , 類類似似地地，有有 211)(arccosxx . . 解解 xy

26、arctan是是yxtan的反函數，的反函數，yxtan在區間在區間 2,2內單調、可導，且內單調、可導，且0secdd2yyx, , 所以所以 22211tan11sec1dd1xyyyxy , , 例例 1 14 4 求求xyarctan的導數的導數 即即 211)(arctanxx . . 類似地，有類似地，有 211)cotarc(xx . . 解解 )1 (2e21)(11earctan2arctanxxxxyxx . . 解解 22111arcsin221 ()yxxxxx . . 例例 1 15 5 xyarcsin求求 y 例例 1 16 6 設設xyarctane求求 y 2

27、2220(1log);ln()ln ;(sin )cos ;1(tan )sec;cos(sec )sectan ;1(arcsin );11(arctan );1axxCCxxaaaaxxxxxxxxxxxx 為常數）；為常數）；（ 12222()(1ln|);(e )e ;(cos )sin ;1(cot )csc;sin(csc )csccot ;1(arccos );11(arccot );1xxxxxxxxxxxxxxxxxx 為實數）；為實數）；（ 1.基本初等函數的導數公式基本初等函數的導數公式 四、初等函數的求導公式四、初等函數的求導公式 ）（）（）（）（xvxuxvxu, ,

28、 ）（）（）（）（）（）（xvxuxvxuxvxu , , ）（）（xuCxCu ( (C是常數是常數) ), , ）（）（）（）（）（）（）（）（02xvxvxvxuxvxuxvxu, , ）（）（）（xvxvCxvC2（0)(xv，C是常數）是常數） 設設)(ufy ，( )ux, ,則則復復合合函函數數 ( )yfx的的導導數數為為 dd ddddyyuxux或或 ( )( )( )fxf ux . . 3復合函數的求導法則復合函數的求導法則 2函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則 設方程設方程0),(yxF所確定的隱函數為所確定的隱函數為)(xfy ， 求導數，

29、 求導數 xydd 解法：把方程解法：把方程0),(yxF所確定的隱函數所確定的隱函數)(xfy 代入原方代入原方 程得恒等式程得恒等式0)(,xfxF, ,把這個恒等式的兩端對把這個恒等式的兩端對 x 求導求導, ,所得所得的結果也必然相等的結果也必然相等, ,但應注意但應注意, ,左端左端)(,xfxF是將是將)(xfy 代入代入),(yxF后所得的結果后所得的結果, ,所以所以, ,當方程當方程0),(yxF的兩端對的兩端對 x 求導求導時時, ,要記住要記住y是是x的函數的函數, ,然后用復合函數求導法則去求導然后用復合函數求導法則去求導, ,這樣這樣, ,便可得到欲求的導數便可得到欲

30、求的導數下面舉例說明這種方法下面舉例說明這種方法 4 4反函數的求導法則反函數的求導法則 設設)(xfy 是是( )xy的反函數，則的反函數，則 1( )( )fxy( ( )0y) ). . 1 1隱函數求導法隱函數求導法 五、三個求導方法五、三個求導方法 解解 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導, ,可得可得 xxyy2362 , , 于是得于是得 )0(6232yyxxy , ,所以所以 34|)2, 2( y , , 因而所求切線方程為因而所求切線方程為 )2(342xy , , 即即 0234 yx . . 解解 把方程把方程0eeyxxy的兩端對的兩端對 x 求導求導, ,記住記住

31、 y 是是 x 的的 函數函數, ,得得 0eeyyxyxx , , 由上式解出由上式解出y, ,便得隱函數的導數為便得隱函數的導數為)0e(eeyyxxxyy. . 例例 1 17 7 求求由由方方程程 0eeyxxy所所確確定定的的隱隱函函數數的的導導數數 xydd 例例 1 18 8 求曲線求曲線) 1(322xxy在點在點(2,2)(2,2)處的切線方程處的切線方程 解解 先在等式兩邊取絕對值先在等式兩邊取絕對值, ,再取對數再取對數, ,得得 |2|ln31| 13|ln32| 1|ln|lnxxxy, , 兩邊對兩邊對 x 求導求導, ,得得 213113332111xxxyy,

32、, 所以所以 y= =32)2() 13() 1(xxx 21311333211xxx. . 以后解題時以后解題時, ,為了方便起見為了方便起見, ,取絕對值可以略去取絕對值可以略去 例例 1919 設設32)2() 13() 1(xxxy, ,求求 y 對數求導法：適合于由幾個因子通過乘、除、乘方、開對數求導法：適合于由幾個因子通過乘、除、乘方、開方所構成的比較復雜的函數（包括冪指函數），對數求導法方所構成的比較復雜的函數（包括冪指函數），對數求導法過程是先取對數過程是先取對數, ,化乘、除、乘方、開方為乘積化乘、除、乘方、開方為乘積, ,然后利用隱然后利用隱函函數求導法求導數求導法求導 2

33、對數求導法對數求導法 解解 對于對于) 0(sinxxyx兩邊取對數兩邊取對數, , 得得 xxylnsinln, , 兩邊求導兩邊求導, ,得得 xxxxyylncossin1 , , 所以所以 yy)lncossin(xxxx= =xxsin)lncossin(xxxx. . 設參數方程設參數方程( )( )xtyt確定確定 y 與與 x 之間的函數關系之間的函數關系, , 則稱此函數關系所表示的函數為由參數方程所確定則稱此函數關系所表示的函數為由參數方程所確定 的函數的函數 3由參數方程所確定的函數求導法由參數方程所確定的函數求導法 例例 2 20 0 求求) 0(sinxxyx的導數的

34、導數 對于參數方程所確定的函數的求導對于參數方程所確定的函數的求導, ,通常也并不通常也并不需要首先由參數方程消去參數需要首先由參數方程消去參數 t 化為化為 y 與與 x 之間的直之間的直接函數關系后再求導接函數關系后再求導 如果函數如果函數 x= =( ) t, ,( )yt都可導都可導, ,且且( )0t, ,又又x= =( ) t具有單調連續的反函數具有單調連續的反函數1( )tx , ,則參數方程則參數方程確定的函數可以看成確定的函數可以看成( )yt與與1( )tx復合而成的復合而成的函數函數. . 根據復合函數與反函數的求導法則根據復合函數與反函數的求導法則, ,有有 dd dd

35、11( )( ).ddd dd( )( )dyytyttxxtxtttt解解 (1) (1) 擺線在任意點的切線斜率為擺線在任意點的切線斜率為 dsincotd(cos )12yattxat , , (2) (2) 當當2t時時, ,擺線上對應點為擺線上對應點為aa,12, ,在此點在此點的切線斜率為的切線斜率為 12cotdd22tttxy , , 例例 2 21 1 求擺線求擺線 (sin ),(1 cos )xa ttyat ( (0 0t t2 2 ) ) (1) (1) 在任何點的切線斜率在任何點的切線斜率;(2) ;(2) 在在 2t處的切線方程處的切線方程 如果函數如果函數)(x

36、fy 的導數的導數)(xfy仍是仍是 x 的可導函的可導函數數, ,就稱就稱)(xfy的導數為函數的導數為函數)(xfy 的二階導數的二階導數, ,記記作作 y , ,f 或或 22ddxy, , 即即 )()(xfyy 或或xyxxydddddd22. . 類似地類似地, ,二二階導數的導數叫做三階導數階導數的導數叫做三階導數, ,三階導數的三階導數的導數叫做四階導數導數叫做四階導數,一般地一般地, ,函數函數)(xf的的1n階導階導數的導數叫做數的導數叫做 n 階導數階導數. . 于是于是, ,切線方程為切線方程為 12axay , , 即即 22axy . . 六、高階導數六、高階導數分

37、別記作分別記作)(),.,(),.,(;,.,)()4()()4(xfxfxfyyynn , , 或或 nnxyxyxydd,.,dd,dd4433. . 且有且有)1()(nnyy, ,或或()dddddd11nnnnyyxxx, , 解解 e(cos )e( sin )e(cossin ),xxxyxxxx e(cossin )e( sincos )esin ,esinecose(cossin ).2222xxxxxxyxxxxxyxxxx 二階及二階以上的導數統稱為高階導數雖然二階及二階以上的導數統稱為高階導數雖然,求高階求高階導數并不需要更新的方法導數并不需要更新的方法,只要逐階求導只

38、要逐階求導,直到所要求的階數直到所要求的階數即可即可,所以仍可用前面學過的求導方法來計算高階導數所以仍可用前面學過的求導方法來計算高階導數 例例 2 22 2 求求函函數數xyxcose的的二二階階及及三三階階導導數數 解解 12110) 1(nnnaxanxnay , , 231202)2)(1() 1( nnnaxannxanny, , 可見每經過一次求導運算可見每經過一次求導運算, ,多項式的次數就降低一次多項式的次數就降低一次, ,繼續繼續求導得求導得 0)(!anyn, ,這是一個常數這是一個常數, , 因而因而 0)2()1(nnyy 這就是說這就是說, ,n 次多項式的一切高于次

39、多項式的一切高于 n 階的導數都是零階的導數都是零 解解 axye ，axaye，axaye2 ，axaye3 ， 依此類推依此類推, ,可得可得 axnnaye)(，即，即 axnnaxa e)e ()(. . 特別地特別地xnxe)e ()(, , 對對xay ，lnxyaa ，ln2xyaa , ,aayx3ln , , 依此類推依此類推, , aaynxnln)(，即，即( )()lnxnxnaaa . . 例例 2 24 4 求指數函數求指數函數axye與與xay 的的 n 階導數階導數 例例2 23 3求求n次次多多項項式式nnnaxaxay110的的各各階階導導數數 解解 xys

40、in, , ,23sin22cos,22sin22sin2cos,2sincos xxyxxxyxxy 依此類推依此類推, ,可得可得 2sin)(nxyn, , 即即 2sin)(sin)(nxxn. . 用類似的方法用類似的方法, ,可得可得 2cos)(cos)(nxxn. . 例例 2 25 5 求求xysin與與xycos的的 n 階導數階導數 解解 ,)1 (21,)1 (1,11),1ln(32xyxyxyxy 4)4()1 (321xy, , 依此類推依此類推, ,可得可得 nnxnyn)1 ()!1() 1(1)(, , 即即 nnxnxn)1 ()!1() 1()1ln(1

41、)(. . 通常我們規定通常我們規定1! 0 , ,所以這個公式當所以這個公式當 1n時也成立時也成立 例例 2 26 6 求對數函數求對數函數)1ln(xy的的 n 階導數階導數 解解 將方程兩邊對將方程兩邊對 x 求導求導, ,得得 0ddcos21dd1xyyxy , , 式兩邊再對式兩邊再對 x 求導求導, ,得得 0ddcos21ddsin21dd22222xyyxyyxy, , 于是于是 2cosddsindd222yxyyxy, , 由由式可得式可得 yxycos22dd, , 例例 2 27 7 求求由由方方程程0sin21yyx所所確確定定的的隱隱函函數數 y 的的二二階階導

42、導數數22ddxy 從而從而322) 2(cossin4ddyyxy, ,此式右端分式中的此式右端分式中的 y 是由方程是由方程0sin21yyx所確定的隱函數所確定的隱函數 解解 dcoscotdsinybtbtxata , , cscdddd/ddddsinsin22223btyyxbaxtxtatat . . 例例 2 28 8 求方程求方程cos ,sinxatybt（0 0t t2 2 ）所確定的函數的）所確定的函數的 一階導數一階導數 xydd及二階導數及二階導數 22ddxy 1. 1. 思考下列命題是否成立思考下列命題是否成立? ? (1)(1) 若若)(xf，)(xg在點在點

43、 0 x處都不可導處都不可導, ,則則 )()(xgxf在點在點 0 x處也一定不可導處也一定不可導: : (2)(2) 若若)(xf在點在點 0 x處可導處可導, , )(xg在點在點 0 x 處不可導處不可導, ,則則)()(xgxf在點在點 0 x處一定不可導處一定不可導 2 2 )(0 xf 與與 )(0 xf有無區別有無區別? ?為什么為什么? ? 思考題思考題 第三節第三節 微分及其在近似計算中的應用微分及其在近似計算中的應用 一、一、兩個實例兩個實例 二、二、微分的概念微分的概念 三、三、微分的幾何意義微分的幾何意義 四、四、微分的運算法則微分的運算法則 五、五、微分在近似計算中

44、的應用微分在近似計算中的應用 解解: :設此薄片的邊長為設此薄片的邊長為 x，面積為，面積為 A，則，則 A 是是 x 的函數：的函數： 2xA，薄片受溫度變化影響時，面積的改變量可以看成是當，薄片受溫度變化影響時，面積的改變量可以看成是當自變量自變量 x 自自 0 x取得增量取得增量 x時，函數時，函數 A 相應的增量相應的增量 A， 即即 202020)(2)(xxxxxxA, , 從上式可以看出，從上式可以看出，A可分成兩部分：一部分是可分成兩部分：一部分是xx 02，它，它 是是x 的線性函數，即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和；另的線性函數，即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和；另 一部分

45、是一部分是2)( x， 在圖中是帶有交叉線的小正方形的面積 顯然， 在圖中是帶有交叉線的小正方形的面積 顯然，如圖所示，如圖所示，xx 02是面積增量是面積增量A的主要部分，而的主要部分，而2)( x是次要部是次要部 分，當分，當| x很小時很小時2)( x部分比部分比xx 02要小得多也就是說，當要小得多也就是說，當 | x很小時，面積增量很小時，面積增量A可以近似地用可以近似地用xx 02表示，表示， 例例1 1、 一塊正方形金屬薄片受溫度變化影響時，其邊長由一塊正方形金屬薄片受溫度變化影響時，其邊長由 0 x變到變到xx0（如下頁圖） ，問此薄片的面積改變了多少？（如下頁圖） ，問此薄片

46、的面積改變了多少？ 第三節第三節 微分及其在近似計算中的應用微分及其在近似計算中的應用一、兩個實例一、兩個實例即即 xxA02. . 有此式作為有此式作為A的近似值，略去的部分的近似值，略去的部分 2)( x 是比是比x高階的無窮小，即高階的無窮小，即 0lim)(lim020 xxxxx, , 又因為又因為0202)()(0 xxxAxx， 所以有所以有 0()AA xx . . 解解 自由落體的路程自由落體的路程 s 與時間與時間 t 的關系是的關系是221gts ，當時，當時 間從間從 t 變到變到tt時，路程時，路程 s 有相應的改變量有相應的改變量 222)(2121)(21ttgt

47、gtttgs, , 2 0 x A 0 x x x 0 x x 0 x 2 x 例例 求自由落體由時刻求自由落體由時刻 t 到到tt所經過路程的近似值所經過路程的近似值 上式右邊第一部分是上式右邊第一部分是 t的線性函數，第二部分當的線性函數，第二部分當0t時是一個比時是一個比 t高階的無窮小量，因此，當高階的無窮小量，因此，當 |t很小時，我們很小時，我們可以把第二部分忽略，而得到路程改變量的近似值可以把第二部分忽略，而得到路程改變量的近似值 tgts, , 又因為又因為gtgts221, ,所以所以 ttss)(. . 事實上，上式表明當事實上，上式表明當 |t很小時，從很小時，從 t 到

48、到 tt這段時間這段時間內物體運動的速度的變化也很小內物體運動的速度的變化也很小. .因此，在這段時間內，物體因此，在這段時間內，物體的運動可以近似地看作速度為的運動可以近似地看作速度為)(ts的勻速運動，于是路程改變的勻速運動，于是路程改變量的近似值為量的近似值為ttss)(. . 一般地，設函數一般地，設函數)(xfy 在點在點 x 處可導，對于處可導，對于 x 處的改變處的改變量量x，相應地有改變量，相應地有改變量y 由由)(lim0 xfxyx，根據極限與無窮小的關系，我們有，根據極限與無窮小的關系，我們有( )yfxx（其中（其中 為無窮小） ，為無窮小） ，0lim0 x . .

49、于是于是 ( )yfxxx . . 而上式右端的第一部分而上式右端的第一部分xxf)(是是 x的線性函數；第二部分，的線性函數；第二部分，因為因為0lim0 xxax，所以第二部分是比，所以第二部分是比 x高階的無窮小，因此高階的無窮小，因此當當| x很小時， 第二部分可以忽略， 于是第一部分就成了很小時， 第二部分可以忽略， 于是第一部分就成了 y的的主要部分，從而有近似公式主要部分，從而有近似公式 xxfy)(, ,通常稱通常稱xxf)(為為y的線性主部反之，如果函數的改變量的線性主部反之，如果函數的改變量 y可以表示成可以表示成 )( xoxAy （其中（其中0)(lim0 xxox）,

50、 , 則有則有 xxoAxy）（, , 這樣這樣 AxxoAxyxx）（00limlim , , 即即 )()(xoxxfy . . 其中其中)( xo 為比為比)0(xx高階的無窮小，則稱函數高階的無窮小，則稱函數 )(xf在點在點 x 處可微，并稱其線性主部處可微，并稱其線性主部 xA為函數為函數)(xfy 在點在點 x 處的微分，記為處的微分，記為yd或或)(dxf，即，即xAyd且有且有)(xfA，這樣，這樣xxfy)(d 由上面的討論和微分定義可知：一元函數的可導與可由上面的討論和微分定義可知：一元函數的可導與可 微是等價的， 且其關系為微是等價的， 且其關系為xxfy)(d 當函數

51、 當函數xxf)(時，時，函數的微分函數的微分xxxxxxxfdd)(d即因此因此 我們規我們規定自變量的微分等于自變量的增量，這樣函數定自變量的微分等于自變量的增量，這樣函數)(xfy 的的微分可以寫成微分可以寫成 xxfxxfyd)()(d, ,或上式兩邊同除以或上式兩邊同除以xd，有，有)(ddxfxy. . 定義定義 若函數若函數)(xfy 在點在點 x 處的改變量處的改變量 )()(xfxxfy可以表示成可以表示成 )( xoxAy. . 二、微分的概念二、微分的概念 由此可見，導數等于函數的微分與自變量的微分由此可見，導數等于函數的微分與自變量的微分之之商商， 即即xyxfdd)(

52、，正因為這樣，導數也稱為微商，而微分，正因為這樣，導數也稱為微商，而微分的分式的分式xydd也常常被用作導數的符號也常常被用作導數的符號 解解 21. 011 . 1)(2222xxxy 在點在點 1x處，處， 2211xxxy， 所以所以 2 . 01 . 02d xyy . . 說明：微分與導數雖然有著密切的聯系，但它們是有說明：微分與導數雖然有著密切的聯系，但它們是有 區別的：導數是函數在一點處的變化率，而微分是函數在區別的：導數是函數在一點處的變化率，而微分是函數在一點處由變量增量所引起的函數變化量的主要部分；導數一點處由變量增量所引起的函數變化量的主要部分；導數的值只與的值只與 x

53、有關，而微分的值與有關，而微分的值與 x 和和x都有關都有關 例例 求函數求函數 2xy 在在 1 . 0, 1xx時的改變量及微分時的改變量及微分 解解 體積的改變量體積的改變量 32233)(34)(4434)(34rrrrrrrrV, , 顯然有顯然有 )(42rorrV, , 體積微分為體積微分為 rrV24d. . 設數設數)(xfy 的圖形（如下頁圖所示） ，的圖形（如下頁圖所示） ，MP是曲線上點是曲線上點),(00yxM處的切線，設處的切線，設 MP的傾角為的傾角為 ，當自變量，當自變量 x 有改變有改變量量x時，得到曲線上另一點時，得到曲線上另一點),(00yyxxN， 例例

54、 半半徑徑為為 r 的的球球，其其體體積積為為334rV ，當當半半徑徑增增 大大r時時，求求體體積積的的改改變變量量及及微微分分 三、微分的幾何意義三、微分的幾何意義 微分微分xxfy)(d0, , 是當自變量是當自變量 x 有改變量有改變量 x時，時， 曲線曲線)(xfy 在點在點 ),(00yx處的切線的縱坐標的改變量用處的切線的縱坐標的改變量用 yd近似代近似代替替y就是用點就是用點),(00yxM處的切線縱坐標的改變量處的切線縱坐標的改變量 PQ來來近似代替曲線近似代替曲線 )(xfy 的縱坐標的改變量的縱坐標的改變量 NQ，并且有，并且有PNyy|d| y dy y x y o M

55、 N P Q x ) ( x f y x0 x0+x 從右圖可知，從右圖可知， ,MxNy QQ, , 則則xxfMP)(tan0QQ, , 即即 dyPQ. . 由此可知，由此可知， .d11)cotd(arc;d11)(arccosd;dcotcsc)(cscd;dcsc)(cotd;dsin)(cosd;de)d(e;d1)(lnd;d)(d;(0)(d2221xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCCxx為常數） .d11)(arctand;d11)(arcsind;dtansec)(secd;dsec)(tand;dcos)(sind;dln)d(;dln1)(logdd)(

56、d222xxxxxxxxxxxxxxxxxaaaxaxxxxxxa； 因因為為函函數數)(xfy 的的微微分分等等于于導導數數)(xf 乘乘以以xd，所所以以根根據據導導數數公公式式和和導導數數運運算算法法則則，就就能能得得到到相相應應的的微微分分公公式式和和微微分分運運算算法法則則 1.微分基本公式微分基本公式 四、微分的運算法則四、微分的運算法則 設函數設函數)(ufy ，根據微分的定義，當，根據微分的定義，當 u 是自變是自變 量時量時, ,函數函數)(ufy 的微分是的微分是 uufyd)(d, , 如果如果 u 不是自變量，而是不是自變量，而是 x 的導函數的導函數( )ux 則復合

57、函數則復合函數 ( )yfx的導數為的導數為 ( )( )yf ux. . 2d( ( )( )d ( )d ( );d( ( ) ( )( )d ( )( )d ( );d( )d ( )(;( )( )d ( )( )d ( )d( ( )0)( )( )u xv xu xv xu x v xv xu xu xv xCu xC u x Cu xv xu xu xv xv xv xvx為常數） 2.函數的和、差、積、商的微分運算法則函數的和、差、積、商的微分運算法則 3.復合函數的微分法則復合函數的微分法則 于是于是, ,復合函數復合函數 ( )yfx的微分為的微分為 d( )( )dyfu

58、xx, , 由于由于 ( )ddxxu, , 所以所以 uufyd)(d. . 由此可見，不論由此可見，不論 u 是自變量還是函數（中間變量） ，是自變量還是函數（中間變量） ， 函數函數)(ufy 的微分總保持同一形式的微分總保持同一形式uufyd)(d，這，這 一性質稱為一階微分形式不變性有時，利用一階微一性質稱為一階微分形式不變性有時，利用一階微 分形式不變性求復合函數的微分形式不變性求復合函數的微分比較方便分比較方便 解解 （）用公式（）用公式xxfyd)(d，得，得 xxxxxydsin21d)(cosd. . 例例 設設xycos，求，求yd 解解 (1) (1)用公式用公式xxfyd)(d，得，得 ,dcosed)e (dsinsinxxxyxx (2)(2)用一階微分形式不變性，得用