1、求解微分方程小結張成偉 PB08207215微積分總是那么讓人琢磨不透，用了幾個月才把極限搞懂了一點。接著又是定積分和不定積分的大量運算，現在又是微分方程的令人頭暈目眩。不過，經過一段時間的學習，仔細的總結一下，不難發現，其實求解微分方程基本上是一個程序化的過程，不太需要特殊的思維技巧和各種繁瑣的運算。求導是一個“熵增”的過程，而求積分則是一個不折不扣的“熵減”過程，求解微分方程更是一個難上加難的過程。由于微分方程的特殊性質和我們除了他們的有限能力。我們只能求解其中很簡單，有規律可循的一小部分：一階微分方程，可降解的二階微分方程，二階線性微分方程和二階常系數線性微分方程 ，以及一些可用特殊代換

2、（如歐拉代換）的其他微分方程：對于更加繁雜的，我們只能望洋興嘆，無能為力了。下面我們就來簡單梳理一下求解微分方程的方法與過程。首先，求解微分方程有一定的理論基礎。課本的5.1節的三個定理得出了一階和二階線性方程解的存在性，唯一性和連續依賴性。再由疊加原理，我們知道如果y1(x) 和y2(x)是線性齊次方程的解，則c1y1(x)+c2 y2(x)都是方程的解。非齊次方程的解y等于其對應齊次方程的通解加上其非齊次方程的特解，即y=yp+yh。有了以上理論基礎，我們就對求解一階線性微分方程和可降解的二階線性微分方程得心應手了。接著，我們又在5.3節中通過定理5.3.2，5.3.3和5.3.4知道了二

3、階線性齊次微分方程的兩個線性無關解的存在性，有疊加原理可求出齊次方程的通解。求解二階線性齊次方程有迎刃而解。對于非齊次方程，我們只需再求其一個特解與其齊次方程通解結合即可得其非齊次通解。以下是求解微分方程的程序化過程： 一：判斷方程的性質。判斷它是以上我們能求的方程中的哪一種。二：“對癥下藥”：1.如方程為最簡單的一階線性微分方程，我們可以通過分離變量求解。形如y=可直接分離變量；形如y=（x/y）可通過變化y=ux轉化為分離變量型方程 ;形如y=f(a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2)( a1 b1 c1 a2,b2,c2都是常數，c1 c2 不同時為0，a1 b1 a2,b2,

4、不同時為0) 1) a1b2不等于a2b1可求方程組 a1k+b1h=c1 有唯一解 a2k+b2h=c2 于是有y=f(a1(x+k)+ b1(y+h)/( a2(x+k)+ b2(b+h)用變量代換u=x+k,v=y+h即可化為齊次方程。2）a1b2= a2b1 ，如果a1不等于0，則可取=（a2 /a1）=（b2 /b1） ，于是有y=f(a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y)+c2) 再用變量代換z= a1x+b1y即可化為齊次方程。2對于一般的一階線性微分方程y+P (x)y=Q(x)它的齊次方程 y+P (x)y=0 我們可用分離變量求解。非齊次方程，我們可以通過等號兩邊同時乘

5、以一個積分因子e容易求出其通解 y= e-Q(x)e另外，我們還可以通過“常數變易法”求解，但筆者認為阿上述方法更簡單一些對于形如y+P (x)y=Q(x)yn的Bernoulli方程，我們可以通過適當變換（除以yn）化為以上可以求解的方程形式。3若方程為可降階的二階微分方程1） 不含未知函數的二階方程f(x,y,y)=0我們只要令p=y,就有p=y,即可化為f(x,p,p)=0,即可求解。2） 對于不含自變量的方程f(y,y,y)=0 我們也可通過變換 p=y 降為一階方程，但此時要注意y=pp (此時p是關于y的方程)，于是防城就化為 f(y,p,pp)=0,先把y當成自變量求出p，再用y

6、代替p的一階微分方程。4若方程為二階線性微分方程 1） 對于齊次方程，我們可以求出兩個線性無關解，然后線性組合即得通解。我們可以通過已知或觀察得出一到兩個特解，如果只觀察出一個。我們可以通過設另一線性無關解y2(x)=zy1(x), 代入方程即可求出另一特解 y2(x)= y1(x)（y1(x)）-2e-dx 2） 于非齊次的二階線性微分方程我們已經求出其次方程的通解 yh=c1y1(x)+c2y2(x), 只需再求出非其次方程的一個特解即可。考慮用“常數變易法”設yp= c1(x)y1(x)+c2(x) y2(x) 代入方程令c1(x)y1(x)+c2(x) y2(x)=0可得c1(x)y1

7、(x) +c2(x) y2(x)=f(x) 由兩方程聯立可求出c1(x)和c2(x)，進而求出c1(x)和c2(x)的一對解即可。然后y= yp+yh即得通解5二階常系數線性微分方程1） 對于齊次方程y”+py+qy=0,只需求其特征方程2+p+q=0的根i若特征方程有兩個不等實根，1 不等于2 則有 ex1和e x2 為齊次方程兩解，易證它們線性無關，于是通解為y=c1 ex1+c2 e x2ii 若特征方程有兩個相等實根，1=-(1/2)p, 一個特解為y1(x)=e-(1/2)p,易求另一特解y2(x)=xe-(1/2)p所以方程通解y= e-(1/2)p(c1+c2x).iii. 若有共軛復根 1 =+i, 2 =-i(不等于0)。 方程通解為y=ex(c1cosx+c2sinx)。2） 對于非齊次方程y”+py+qy=f(x)我們已經會求其齊次方程的通解，只需再求該非齊次方程的一個特解即可。我們可用“常數變易法”求解，該法上面已經說明，在此不再贅述。對于某些特殊形式的f(x)可有一些特殊的解法（待定系數法），書中介紹詳細，我也不再贅述。另外：對于形如x2y”+pxy+qy=f(x)的歐拉方程。用變量代換x=et(x>0)或x=e-t(x<0)可以把上述方程化為常系數線性方程，即可由上述方法求解方程的解。 三代入驗證方