1、 隱函數是對顯函數而言的一個概念，它的隱函數是對顯函數而言的一個概念，它的因變量與自變量的關系通常不能由自變量的初因變量與自變量的關系通常不能由自變量的初等函數式給出，而是由方程關系給出。等函數式給出，而是由方程關系給出。 隱函數也是一類常見的函數形式，隱函數隱函數也是一類常見的函數形式，隱函數求導問題就是要在不解出因變量的情形下計算求導問題就是要在不解出因變量的情形下計算函數的導數。函數的導數。 簡單地講，隱函數就是由方程所確定的函數，即由簡單地講，隱函數就是由方程所確定的函數，即由方程解出的函數表達式。由于方程形式的不同，其確定方程解出的函數表達式。由于方程形式的不同，其確定隱函數的情形及

2、相應隱函數的情形及相應隱函數隱函數的形式也有所不同。的形式也有所不同。 由于方程未必總有解，因而由給定的方程未必總能由于方程未必總有解，因而由給定的方程未必總能解出相應的隱函數。解出相應的隱函數。 在方程有解的條件下，其解在方程有解的條件下，其解也未必能由解析式表出也未必能由解析式表出，隱函隱函數求導問題就是要考慮在不解數求導問題就是要考慮在不解出隱函數表達式的情形下，如出隱函數表達式的情形下，如何確定隱函數的導數。何確定隱函數的導數。 設有二元方程設有二元方程 F( x , ,y )= 0，若對于若對于 x 0 ( a , ,b )，總存在總存在 y = y0，使得使得 F( x 0 , ,

3、y0 )= 0 能能成立成立，就稱方程就稱方程 F( x , ,y )= 0 在區間在區間( a , ,b )內確了一元隱函數內確了一元隱函數 y = f( x ). . 類似地，設有三元方程類似地，設有三元方程 F( x , ,y , ,z )= 0，如果對于如果對于 ( x 0 , ,y0 ) D，總存在總存在 z = z0，使得，使得 F( x 0 , ,y0 , ,z 0 )= 0 能能成成立，就稱方程立，就稱方程 F( x , ,y , ,z )= 0 在區域在區域 D 內確了一個內確了一個二元二元隱函數隱函數 z = f( x , ,y ). . 隱函數討論的首要問題也是最基本的一

4、個問題是隱隱函數討論的首要問題也是最基本的一個問題是隱函數的存在性問題。因為只有在隱函數存在的條件下對函數的存在性問題。因為只有在隱函數存在的條件下對其各種性質的研究才有意義。其各種性質的研究才有意義。 微積分所研究的通常是單值、微積分所研究的通常是單值、可導的函數，因此隱函數討論首先可導的函數，因此隱函數討論首先要考慮的問題就是由方程能否確定要考慮的問題就是由方程能否確定單值、可導的隱函數，或者說要先考慮單值、可導的隱函數，或者說要先考慮在什么的條件下，由方程可確定單值、可導的隱函數。在什么的條件下，由方程可確定單值、可導的隱函數。 對于給定的二元方程對于給定的二元方程 F( x , ,y

5、)= 0，考慮在什么條件，考慮在什么條件下，由方程可確定一個單值可導的一元隱函數下，由方程可確定一個單值可導的一元隱函數 y = f( x ). . 從代數角度考慮，此隱函數存在性問題就是對從代數角度考慮，此隱函數存在性問題就是對 x ( a , ,b )，方程方程 F( x , ,y )= 0 總有相應解的總有相應解的 y = f( x )，且解得的且解得的 y = f( x )是是( a , ,b )內的單值、可導的函數。內的單值、可導的函數。 由方程理論知，對于一般的方程由方程理論知，對于一般的方程 F( x , ,y )= 0，其解，其解的存在性判別及求解都存在根本性困難，故從代數角度

6、的存在性判別及求解都存在根本性困難，故從代數角度討論此問題是難以進行的。討論此問題是難以進行的。 從幾何直觀考慮，二元從幾何直觀考慮，二元方程方程 F( x , ,y )= 0 對應于一對應于一個二元函數個二元函數 z = F( x , ,y )，而二元函數而二元函數 z = F( x , ,y )通常通常對應于空間的一張曲面對應于空間的一張曲面 . . 于是于是二元二元方程方程 F( x , ,y )= 0 能否確定單值、可導的隱能否確定單值、可導的隱函數函數 y = f( x )問題可歸結為：問題可歸結為： 曲面曲面 : :z = F( x , ,y )與與 xOy 平面是否平面是否相交，

7、且其交線是否是一條光滑的曲相交，且其交線是否是一條光滑的曲線線 y = f( x )的問題。的問題。 zOyx zF x y, 由直觀容易看出，曲面由直觀容易看出，曲面 z = F( x , ,y )若與若與 xOy 平面相平面相交且交線為一條連續曲線，則其必需滿足以下條件：交且交線為一條連續曲線，則其必需滿足以下條件： 曲面曲面 z = F( x , ,y )與與 xOy 平面至少有一個交點平面至少有一個交點，即存即存在點在點( x 0 , ,y0 )，使得使得 F( x 0 , ,y0 )= 0 . . 為使曲面為使曲面 z = F( x , ,y )與與 xOy 平面能交出一條曲線，平面

8、能交出一條曲線，曲面需在點曲面需在點( x 0 , ,y0 )的某鄰域內穿過的某鄰域內穿過 xOy 平面平面，故曲面故曲面在該鄰域內沿在該鄰域內沿 x 軸或軸或 y 軸方向需是軸方向需是“傾斜的傾斜的”。 由偏導數的幾何意義知，曲面在一點由偏導數的幾何意義知，曲面在一點傾斜的代數條傾斜的代數條件可寫作件可寫作 Fy( x 0 , ,y0 ) 0 或或 Fx( x 0 , ,y0 ) 0，故，故曲面方程曲面方程z = F( x , ,y )需滿足兩條件之一。需滿足兩條件之一。 zOyx zF x y, 為使曲面為使曲面 z = F( x , ,y )與與 xOy 平面的交線平面的交線 y = f

9、( x )是一是一條條光滑曲線，光滑曲線，曲面曲面自身自身在點在點( x 0 , ,y0 )的某鄰域內的某鄰域內必須是必須是光滑的，曲面光滑的代數條件是其在點光滑的，曲面光滑的代數條件是其在點( x 0 , ,y0 )的某鄰的某鄰域內具有連續的偏導數域內具有連續的偏導數 Fy( x , ,y )或或 Fx( x , ,y ). . 曲面曲面 z = F( x , ,y )與與 xOy 平面的交線平面的交線 y = f( x )是是光滑曲光滑曲線的分析條件是函數線的分析條件是函數 y = f( x )具有連續導數，且其滿足具有連續導數，且其滿足通過點通過點( x 0 , ,y0 )，即即 y 0

10、 = f( x 0 ). . 由于由于 y = f( x )滿足方程滿足方程 F( x , ,y )= 0 ，即有即有 F x , ,y( x )= 0 . . 由多元復合函數求導法則，方程兩邊對由多元復合函數求導法則，方程兩邊對 x 求導有求導有 Fx + Fy y ( x )= 0 ，解得解得 設函數設函數 z = F( x , ,y )在點在點( x 0 , ,y0 )的某一鄰域內具有的某一鄰域內具有一階連續偏導數一階連續偏導數 Fy( x , ,y ), , Fx( x , ,y )，且且 F( x 0 , ,y0 )= 0 , , Fy( x 0 , ,y0 ) 0，則方程則方程 F

11、( x , ,y )= 0 在點在點( x 0 , ,y0 )的某一的某一鄰域內鄰域內恒能唯一確定一個單值、連續且具有連續導數的恒能唯一確定一個單值、連續且具有連續導數的函數函數 y = f( x )，它滿足條件，它滿足條件 y0 = f( x0 )，并有，并有 隱函數存在定理不僅指出了可導隱函數的存在性隱函數存在定理不僅指出了可導隱函數的存在性, ,也給出了求隱函數導數的公式和方法。在應用中用得也給出了求隱函數導數的公式和方法。在應用中用得更多的常常并不是隱函數導數公式更多的常常并不是隱函數導數公式 y = - -Fx/ /Fy 本身，本身，而是推導該導數公式的方法，即復合函數求導法：而是推

12、導該導數公式的方法，即復合函數求導法： 求導公式是將方程求導公式是將方程 F x , ,y( x )= 0 左端視作左端視作二元二元復合函數求導而導出的。復合函數求導而導出的。 需注意的是，該導數公式中的需注意的是，該導數公式中的 Fx , ,Fy 均是二元函均是二元函數數 z = F( x , ,y )對中間變量的導數，而不是二元復合函對中間變量的導數，而不是二元復合函數數 F x , ,y( x )對自變量的導數。對自變量的導數。 定理中隱函數是以定理中隱函數是以 y = f( x )的形式敘述的，若將定的形式敘述的，若將定理條件理條件 Fy( x 0 , ,y0 ) 0 改成改成 Fx(

13、 x 0 , ,y0 ) 0 ，其幾何意其幾何意義是義是曲面曲面 z = F( x , ,y )沿沿 x 軸方向是傾斜的，此時由方軸方向是傾斜的，此時由方程程 F( x , ,y )= 0 可確定相應的隱函數可確定相應的隱函數 x = ( y )，它，它滿足滿足條件條件 x 0 = ( y0 )，并有并有 Oyzx zF x y, 若若 z = F( x, ,y )具有二階連續偏導數，則由二元方具有二階連續偏導數，則由二元方程程 F( x, ,y )= 0 確定的隱函數確定的隱函數 y = f( x )也具有二階連續也具有二階連續偏導數，其計算過程如下：偏導數，其計算過程如下： 此法的錯誤在于

14、錯誤地理解方程中的變量身份，此法的錯誤在于錯誤地理解方程中的變量身份，將將 y 當作自變量對待了。當作自變量對待了。 因為已知隱函數因為已知隱函數 y = f( x )滿足滿足方程方程 F( x, ,y )= 0，故方程中的二元函數形式故方程中的二元函數形式 F( x, ,y )實際是關于實際是關于 x 的一元的一元復合函數復合函數 F x , ,y( x )，而方程兩邊求導所進行的應實，而方程兩邊求導所進行的應實際是關于兩個中間變量，一個自變量的一元復合函數際是關于兩個中間變量，一個自變量的一元復合函數對自變量對自變量 x 求導求導。此時此時 y 是是中間變量，不是中間變量，不是自變量，自變

15、量，因而因而求導時不能視作常數求導時不能視作常數。 比照一元隱函數存在定理可寫出以下結果：比照一元隱函數存在定理可寫出以下結果： 設三元函數設三元函數 F( x , ,y , ,z )在點在點( x 0 , ,y0 , ,z 0 )的某一鄰的某一鄰域內具有一階連續的偏導數域內具有一階連續的偏導數 Fx( x , ,y , ,z ), , Fy( x , ,y , ,z ), ,Fz( x , ,y , ,z )，且且 F( x 0 , ,y0 , ,z 0 )= 0 , , Fz( x 0 , ,y0 , ,z 0 ) 0，則方程則方程 F( x , ,y , ,z )= 0 在點在點( x0

16、 , ,y0 , ,z0 )的某一鄰域內的某一鄰域內恒恒能唯一確定一個單值、連續且具有連續能唯一確定一個單值、連續且具有連續偏偏導數的二元函導數的二元函數數 z = f( x , ,y )，它滿足條件它滿足條件 z 0 = f( x 0 , ,y0 )，并有，并有 假定由方程假定由方程 F( x , ,y , ,z )= 0 可確定可導的二元隱函可確定可導的二元隱函數數 z = f( x , ,y )，將其代入方程有將其代入方程有 F x , , y , , f( x , ,y )= 0 則此二元方程左端為以則此二元方程左端為以 u = x , , v = y , , w = f( x , ,

17、y )為中間為中間變量，變量，x、y 為為自變量復合函數。自變量復合函數。 由假設由假設 F( u , ,v , ,w )具有連續偏導數，方程兩邊分別具有連續偏導數，方程兩邊分別對自變量對自變量 x 、y 求導有求導有 00uvwuvwuvwFFFxxxuvwFFFyyy ,. 由于由于 Fu = Fx，Fv = Fy，Fw = Fz，故有，故有 于是有于是有故求得故求得 dd10ddfuuxvwzxxxxxxx , , , dd01ddyfuvvwzyyyyyyy , , . . 100010uvwuvwzFFFxzFFFy ,. 00 xzyzzFFxzFFy ,. 隱函數存在定理隱函數存

18、在定理 2 2 不僅指出了可導的二元隱函數不僅指出了可導的二元隱函數的存在性，也給出了求隱函數導數的公式和方法。的存在性，也給出了求隱函數導數的公式和方法。 應用中用得更多的常常并不是隱函數導數公式本應用中用得更多的常常并不是隱函數導數公式本身，而是這種求導的方法，即復合函數求導法。身，而是這種求導的方法，即復合函數求導法。 求導公式是將方程求導公式是將方程 F x , , y , , f( x , ,y )= 0 左端視作左端視作復合函數求導而導出的。其中復合函數求導而導出的。其中 Fx , ,Fy , ,Fz 均是三元函均是三元函數數 u = F( x , ,y , ,z )對中間變量對中

19、間變量 x , ,y , ,z 的導數，而不是復的導數，而不是復合函數合函數 F x , , y , , f( x , ,y )對自變量對自變量 x , ,y 的導數。的導數。例：例：設設 條件給出了一個條件給出了一個 x 、y 、z 的三元方程的三元方程，由隱由隱函函z = f( x , ,y ). . 作輔助函數作輔助函數 由隱函數求導公式，為求由隱函數求導公式，為求 z / / x， z / / y，只需求，只需求 Fx，Fy，Fz . . 對三元函數對三元函數 u = F( x , ,y , ,z )而言，而言，x、y、z 都是獨都是獨立的變量，故這三個偏導數計算均是簡單函數求導。立的

20、變量，故這三個偏導數計算均是簡單函數求導。 lnxzzzzyxy : .: .求求, , lnxzuF x y zzy,. .視視 y，z 為常數求得：為常數求得： 視視 x，z 為常數求得：為常數求得： 視視 x，y 為常數求得：為常數求得： 于是于是求得求得11ln0 xxxzFzyzz;21ln0 yyyxzzFzyzyy ; 222111lnzzyxzxxFxzzyzyzzzz ;21 xzzFzzxFzxzxz ; 221 .yzFzzzyFyxzyxz 若方程若方程 F( x , ,y , ,z )= 0 確定了隱函數確定了隱函數 z = f( x , ,y )，則將此則將此隱函數

21、代入隱函數代入方程有方程有 F x , ,y , , f( x , ,y )= 0 對方程左端的復合函數對方程左端的復合函數 F x , ,y , , f( x , ,y ) 而言，變而言，變量量 x 、 y 既充當自變量，又充當中間變量。因此若方程既充當自變量，又充當中間變量。因此若方程兩邊分別對自變量兩邊分別對自變量 x、y 求導，則導數式必是求導，則導數式必是 z / / x、 z / / y 的線性式，從導數式可解出這的線性式，從導數式可解出這兩個偏導數兩個偏導數。 仍視仍視 z = f( x , ,y )為為 x 、 y 的函數的函數，將求得的，將求得的偏導數偏導數 z / / x 再再對自變量對自變量 y 求導便可求得二階導數求導