1、2015清華大學數(shù)理體驗營數(shù)學試題1、已知函數(shù) f(x)=4sin 3xcosx-2sinxcosx-1 cos4x 2(1)求f (x)的最小正周期及最大值；(2)求f (x)的單調(diào)區(qū)間.2、設(shè)函數(shù) f (x)=(2x 2- 4ax)lnx+x 2(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)問；(2)若不等式f (x)0對x?1恒成立，求a的取值范圍.3、袋中有若干枚均勻硬幣，其中一部分是普通硬幣，其余的兩面均為正面，已 知普通硬幣占總硬幣數(shù)的比例為 9 (0 9 0, an+a2n+? +ann= , (n=1,2, ?)證明:2(1) anan+1 (n=1,2, ?) (2)對于任意給定的0?m時，

2、0a-1?.36、已知集合Sn=X|X=(x 1,x 2, ? ,x n),x i 0,1,i=1,2,?,n,n ?2,A=(a1,a 2, ? ,a n) C Sn,B=(b 1,b 2, ? ,b n) Sn, 定義A與B的差為A-B=(|a 1- b1|,|a 2- b2|, ? ,|a n- bn|),且A與B之間的距離為d(A, B)(1)對任意 A,B,CC S,證明：d(A-C,B- C)=d(A,B),且 d(A,B) , d(A,C) , d(B,C) 三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；(2)設(shè)P?&, P中有m(n?2)個元素，記P中所有兩元素間的距離的平均值為mnd(P),證明

3、：d(P) -mn-.2(m 1)(3)當n=3時，若M滿足：M? &且M中元素間的距離均為2,試寫出含有元素 個數(shù)最多的所有集合M2015清華大學數(shù)理體驗營數(shù)學試題解答1、(1)因為f(x) sin(4x ),所以f(x)的最小正周期為一，最大值為史.2422(2)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一+U,5_+L ,k e z.16 2 1622、 (1) f (x)=4(x - a)(1+lnx)當a?0時，f(x)在(0, 1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增； ee當0al時，f(x)在(0, 1)(和(a,+ )上單調(diào)遞增，在(1 ,a)上單調(diào)遞減.(2)由(1)可知，當a?1時，f(x

4、)在1,+ 8)上單調(diào)遞增，故只需滿足f(1)0 即可，而此時f(1)=10恒成立，所以a? 1滿足題意.當a1時，只需滿足f(a)=a 2(1-2lna)0,即可，解得1a0對？xC 1,+8)恒成立，則a的取值范圍是(-oo,品).3、(1)根據(jù)全概率公式可得分布列為X0i j2pi-n*%(2)根據(jù)二項分布的計算方式，可得分布列為24、(1)橢圓L的方程為土y2 12(2)設(shè)A點坐標為(X1,y 1), B點坐標為(X2,y 2), C點坐標為(x3,y 3).由XFi = 1再日,AFi =刖跖 C,可得1 +工111 一町 I 1了酒=-1,匯口 =十 LAiAs由橢圓的焦準性質(zhì)可知

5、，尸段，將X2= U 1代入上式，可得入產(chǎn)2次+3;X221同理，2= U1，將X3J2X3Xi1代入上式，可得 入2=-2xi+3.所以入l+入2=6.(3)當直線AC的方程為x=1時，AFiAC的面積S取到最大值V2 .5、(1)若？kC N+,使得 0a?ak+i,則g =%+碌+4 &叫工+4H+*1 an+1(n=1,2, ?).(2)顯然 0an1(n=1,2, ?),故有1. 2 n 所(1 一明 On不=/ 斗“-I1-=； 1/3 .由于數(shù)列an單調(diào)遞減有下界，所以n一8時，數(shù)列an的極限存在.設(shè)lim Qn = A則EmK1 0nA _ 11-A 2解得a=i/3.所以對于

6、任意給定的0em時，0a-1?. 36、(1)d(A -C,B-C尸d(A,B)顯然成立.因為(ai - bi)+(bi -ci)+(ci -ai)=0 ,而(ai -bi)+(bi -ci)+(ci - ai)與|ai -bi|+|bi-ci|+|ci -ai|的奇偶性相同，故d(A,B)+d(A,C)+d(B,C)是偶數(shù).所以 d(A,B),d(A,C),d(B,C)三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù).(2)I -1d(產(chǎn))=k E *4 舊)A屎尸其中AP表示P中所有兩個元素間距離的總和.設(shè)P中所有元素的第i個位置的數(shù)字中共有ti個1, mti個0,則44聲)=4 聲 EFi122T71TlTTl由于Mm % 丁G = 12，所以 E.4角屎p4ii =1 nm2 mn從而 d(尸)=y- d(AB) W j-=不TVCm Ap4cm(3) S中含有8個元素，可將其看成正方體的8個頂點.易知集合M中的元