1、3講導數與函數的單調性極值最值問題高考定位 高考對導數計算的考查貫穿于與之有關的每一道題目之中，函數的單調性，函數的極值與最值均是高考命題的重點內容，在選擇題、填空題、解答題 中都有涉及，試題難度不大.真題感恬考,點:整合 明考向扣要點真題感悟(2015 全國 II 卷)設函數 f(x) = emx + x2 mx.證明：f(x)在(一00, 0)單調遞減，在(0, +oo )單調遞增；(2)若對于任意xi, xzC T, 1,都有| f(xi)-f(x2)| < e-1,求m的取值范圍.(1)證明 f' (x)=m(emx1)+2x.若 m>0,則當 xC(oo,0)時，

2、emx - 100,f' (x)<0;當 xC (0 , +oo )日空mx 1 > 0,fz (x)>0.若 m<0,則當 xC(oo,。)時，emx 1>0, f，(x)<0;當 xC (0 , +oo )日空mx1<0, 1 (x)>0.所以，f(x)在(8, 0)單調遞減，在(0, +oo )上單調遞增 (2)解 由(1)知，對任意的m, f(x)在-1, 0上單調遞減,在0, 1上單調遞增,故f(x)在x= 0處取得最小值.所以對于任意x，x26 T , 1, | f(x1)一f(x2)| <e-1的充要條件是f (1)

3、f (0) < e- 1,f ( 1) f (0) & e-1,即,emm & e 1, e m+ m < e-1. 設函數 g(t) = et t e + 1,貝U g '= e'一 1.當 t<0 時，g ' (t)<0;當 t>0 時，g' (t)>0.故g在(一°°, 0)上單調遞減，在(0, +8 )上單調遞增又 g(1) = 0, g(1) = e 1 + 2 e<0,故當 te t, 1時，g(t)< 0.當 mCT, 1時，g(m)&0,g( m)&

4、;0,即式成立；當 m>1 時，由 g(t)的單調性，g(m)>0,即 emm>e 1;當 m<1 時，g( m)>0,即 e m + m>e 1.綜上， m 的取值范圍是 1 ， 1.考點整合1 .導數與函數的單調性(1)函數單調性的判定方法：設函數 y = f(x)在某個區間內可導，如果f' (x)>0,則y = f(x)在該區間為增函數；如果f' (x)<0,則y = f(x)在該區間為減函數.函數單調性問題包括：求函數的單調區間，常常通過求導，轉化為解方程或不等式，常用到分類討論思想；利用單調性證明不等式或比較大小，常用構

5、造函數法.2 .極值的判別方法當函數f(x)在點x0處連續時，如果在 凡附近的左側f' (x)>0,右側f' (x)<0, 那么f(xo)是極大值；如果在xo附近的左側f' (x)<0,右側f' (x)>0,那么f(xo) 是極小值.也就是說xo是極值點的充分條件是點x。兩側導數異號，而不是f' (x) =0.此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點，而且極值是一個局部概念， 極值的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值小.3 .閉區間上函數的最值在閉區間上連續的函數，一定有最大值和最小值，其最大值是區間的端點處的函數值和在這

6、個區間內函數的所有極大值中的最大者，最小值是區間端點處的函數值和在這個區間內函數的所有極小值中的最小者.熱點聚焦題型突破 研熱點析角度熱點一導數與函數的單調性微題型1求含參函數的單調區間一 ,一，, 、一 一x 1【例11】 設函數f(x) = aln x+17，其中a為常數.x+ 1(1)若a = 0,求曲線y = f(x)在點(1 , f(1)處的切線方程；討論函數f(x)的單調性.，:， 一 x 1 一解(1)由題意知 a = 0 時，f(x)=F，x (0 , +oo ).x十1此時 f' (x)=( _21)2.可得 f' (1) 1 又 f(1) = 0, x所以曲

7、線y = f(x)在(1 , f(1)處的切線方程為x2y1=0.函數f(x)的定義域為(0, +8 ).，、a 2f(a+1)aV2rH, +8、單調遞減，在-(a+1)+723+1 -(a+1)-V2azi'上單調遞增.1aaJ探究提高討論函數的單調性其實質就是討論不等式的解集的情況.大多數情況 下，這類問題可以歸結為一個含有參數的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時依據根的大小進行分類討論，在不能通過因式分解求出根的情況時根據不等式對應方程的判別式進行分類討論.討論函數的單調性是在函數的定義域內進行的，千萬不要忽視了定義域的限制.微題型2已知單調

8、性求參數的范圍=x+ (x+1) 2 =ax 2+ (2a + 2) x+ a當a0時，f' (x)>0,函數f(x)在(0, +°° )上單調遞增當 a<0 時，令 g(x) = ax2+(2a+2)x+a ,由于 A= (2a + 2)2 4a2 = 4(2a + 1),1 /、2A= 0, f' (x)=0,2 (x 1) x (x+ 1) 2函數f(x)在(0, +°° )上單調遞減-1一當 a< 2時，A<0, g(x)<0,-1-當一a<0 時，A>0.設x1, x2(x1<x2

9、)是函數g(x)的兩個零點，則a+D+g , x2=. aa由于x尸山二恒王i=五王laMdf正>。 aa所以 xC (0 ,x1)時,g(x)<0, f' (x)<0,函數 f(x)單調遞減,xC(xi, x2)時,g(x)>0, f' (x)>0,函數 f(x)單調遞增，xC(x2, +00 )時,g(x)<0, f' (x)<0,函數 f(x)單調遞減，綜上可得：當a>0時，函數f(x)在(0, +°° )上單調遞增；當a0 -2時，函數f(x)在(0, +°° )上單調遞減；

10、,1, (a + 1) + 7 2a + 1當一；<a<0 時，f(x)在 0, ,21al_ 3x2+ax【例1 2(2015 重慶卷設函數f(x) = (a C R). e(1)若f(x)在x = 0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y = f(x)在點(1 , f(1)處的切線方程;若f(x)在3, +oo )上為減函數，求a的取值范圍.解 (1)對f(x)求導得f' (x)(6x + a) ex (3x2 +ax) ex(ex) 2二23x+ (6 a) x + a因為f(x)在x = 0處取得極值，所以f' (0) =0,即a=0.、“ i3x2,當 a

11、=0 時，f(x) = /, f (x) =3x2 + 6x一 33，故f(1)=e,f e從而f(x)在點(1, f(1)處的切線方程為y-3 = -(x-1),化簡得3x ey = 0. e e3x2+ (6 a) x+a令 g (x) = - 3x2 + (6 a )x + a , 由 g(x) = 0,“口6 a a2+ 366a + x/a2+ 36解得 x1=-6，x2=-6 當 x<x1 時，g(x)<0,即 f' (x)<0, 故f(x)為減函數;當 x1<x<x2 時，g(x)>0,即 f' (x)>0, 故f(x)為

12、增函數;當 x>x2 時，g (x) < 0, 即f' (x)<0,故f(x)為減函數.由f(x)在3, +8 )上為減函數,知x2=6 a+«a2 + 366-，9故a的取值范圍為萬，+00 .探究提高(1)當f(x)不含參數時，可通過解不等式f' (x)>0(或f' (x)<0)直接 得到單調遞增(或遞減)區間.已知函數的單調性，求參數的取值范圍，應用條件 f' (x)>0(或(x) & 0), xC(a, b)包成立，解出參數的取值范圍(一般可用不等式包成立的理論求解)， 應注意參數的取值是f'

13、 (x)不包等于0的參數的范圍.【訓練 11 函數 f(x) = ax3+3x2 + 3x(a w 0).(1)討論f(x)的單調性；若f(x)在區間(1, 2)上是增函數，求a的取值范圍.解 (1)f' (x) = 3ax2 + 6x + 3, f' (x) = 0 的判別式 A= 36(1 a).若 a> 1,則f' (x) > 0,且f' (x) = 0 當且僅當 a =1, x= 1,故此時f(x)在R上是增函數.由于a w 0,故當a<1時，f' (x)=0有兩個根， 1 + .1 _ a _ 1 一 ,1 - ax1=, x

14、2=.aa若 0<a<1,則當 xC (一0°, x2)或 xC (x1，+00 )時，f' (x)>0,故 f(x)分別在(一oo, x2), (x，+oo )上是增函數；當 xC%, x)時,f' (x)<0,故f(x)在(x2, x1)上是減函數； 若 a<0,則當 xC （ 一0°, x1）或 xC 3, +00 ）時,f' (x)<0,故f(x)分別在(一00, xi),優，+00 )上是減函數；當 xC(x1，X2)時，f' (x)>0,故f(x)在(xi, x2)上是增函數.(2)當 a

15、>0, x>0 時，f' (x) = 3ax2 + 6x+ 3>0,故當a >0時，f(x)在區間(1 , 2)上是增函數.當a<0時，f(x)在區間(1, 2)上是增函數當且僅當5f (1) f (2) >0,解得彳&a<0.，：5)綜上，a的取值范圍是4, 0 U(0, +oo ).熱點二導數與函數的極值、最值微題型1求含參函數的極值(或最值)【例2 1 (2015 -南昌模擬設函數f(x) = x3 kx2 + x(kC R).(1)當k=1時，求函數f(x)的單調區問；當k<0時，求函數f(x)在k, k上的最小值m和最大

16、值M.解 f' (x) = 3x22kx + 1.(1)當 k=1 時，f' (x) = 3x2 2x+ 1, A= 412 = 8<0,所以f' (x)>0包成立，故f(x)在R上單調遞增.故函數f(x)的單調增區間為( 8, +8),無單調減區問法一 當k<0時，f' (x) = 3x2 2kx+1, f' (x)的圖象開口向上，對稱軸為xk l一且過點(0, 1). 3當 A= 4k2 12 = 4(k+/3)(k 出)& 0,即M&k<0 時， f' (x)0,f(x)在k, k上單調遞增. 從而當

17、x=k時，f(x)取得最小值 m=f(k) = k.當乂= k 時，f(x)取得最大值 M =f( k) = k3k3 k= - 2k3k.當 A= 4k2 12 = 4(k+小)(k 小)>0,即 k< 一<3時，令 f ' (x) = 3x2 2kx+1=0, 解得x 注意到 k<x2<xi<0,12k-(汪：可用根與系數的關系判斷，由xi 乂2 =鼻，x+x2 = w>k,從而k<x2<xi33<0;或者由對稱結合圖象判斷)所以 m = min f(k), f(x1), M = max f( k), f(x2).因為 f

18、(x1) f(k) = x3 kx2+ x1 k = (x1 k)(x2 + 1)>0,所以f(x)的最小值m=f(k) = k.因為 f(x2) f( k) = x2 kx 2 + x2 ( k3 k , k2 k) = (x2+ k)( x2 k)2 + k2 + 1<0,所以 f(x)的最大值 M =f(k) = - 2k3 k.綜上所述，當k<0時，f(x)在k, k上的最小值m=f(k) = k,最大值M=f( k)= 2k3 k.法二當k<0時，對xCk, -k,都有f(x) f(k) =x3kx2 + x k3+ k3 k = (x2+ 1)(x k) &

19、gt; 0,故f(x) >f(k);f(x) f( k) =x3 kx2+ x+ k3 + k3+ k = (x+ k)(x2 2kx + 2k2+ 1)= (x + k)(x k)2 + k2+ 1 < 0, 故 f(x) &f( k).而 f(k) = k<0, f( k) = 2k3 k>0, 所以 f(x)max =f( k)= - 2k3 k, f(x)min =f(k) = k.探究提高含參數的函數的極值(最值)問題常在以下情況下需要分類討論：(1)導數為零時自變量的大小不確定需要討論；(2)導數為零的自變量是否在給定 的區間內不確定需要討論；(3)

20、端點處的函數值和極值大小不確定需要討論；(4) 參數的取值范圍不同導致函數在所給區間上的單調性的變化不確定需要討論.微題型2與極值點個數有關的參數問題【例2 2 (2015 合肥模擬)已知函數f(x) = ax2ex, a C R, f' (x)是f(x)的 導函數(e為自然對數的底數).若f(x)有兩個極值點x1，x2,求實數a的取值范圍. 解 法一 若f(x)有兩個極值點xi, x2,則x1，x2是方程f' (x)= 0的兩個根.x e f' (x)=2axe、=0,顯然 x* 0,故2a=一,xex(x-1) ex令 h(x) = ,貝 1 h，(x)=2.xx若

21、x<0,則h(x)單調遞減，且h(x)< 0.若 x>0,當 0Vx<1 時，h' (x)<0, h(x)在(0, 1)上遞減，當 x>1 時，h' (x)>0, h(x)在(1 , +8 )上遞增,h(x)min = h(1) =e.x e要使f(x)有兩個極值點，則需滿足2a=TE(0, +8 )上有兩個不同解， xe故 2a >e ,即 a >2,e、故a的取值范圍為7, +00 .2J法二 設 g(x) = f' (x)=2ax ex,貝U g ' (x)=2aex,且x1，x2是方程g (x)= 0

22、的兩個根， 當a WO時，g' (x)<0包成立，g(x)單調遞減，方程g (x)= 0不可能有兩個根;當 a>0 時，由 g ' (x)= 0 得 x = ln 2a, 當 xC(oo/n 2a)時，g' (x)>0, g(x)單調遞增；當 x C (ln 2a, +00 )時g' (x)<0, g(x)單調遞減，e g(x)max =g(ln 2a) = 2aln 2a2a >0,斛得 a >2.故a的取值范圍是+00 .2 J探究提高 極值點的個數，一般是使f' (x) = 0方程根的個數，一般情況下導函數若可以

23、化成二次函數，我們可以利用判別式研究，若不是，我們可以借助導函 數的性質及圖象研究.【訓練2】(2015 山東卷改編)設函數f(x) = ln(x+1) + a(x2 x),其中a R.討論函數f(x)極值點的個數，并說明理由解 由題意知，函數f(x)的定義域為(一1, +00 ),f ' (x) =1x+1+ a (2x- 1)=2 .2ax + ax a + 1x+1令 g (x) = 2ax2+ax a + 1, xC (T, +00 ).(1)當 a = 0 時,g(x) = 1,止匕時 f' (x) >0,函數f(x)在(一1, +00 )上單調遞增，無極值點;

24、當 a>0 時，A= a2 8a(1a) = a(9a8).8-當 0<aW6時，A< 0, g(x) > 0, f' (x)0,函數f(x)在(一1, +00 )上單調遞增，無極值點;8-當a>g時，A>0,9設方程 2ax2+ax a + 1 = 0 的兩根為 x1，x2(x1<x2),因為Xi+X2 =、1，X2> 一彳.1由 g(1) = 1>0,可行一1<x1< 4所以當xC (T, X1)時，g(x)>0, f' (x)>0,函數f(x)單調遞增；當 XC(X, X2)時，g(x)<0, f' (x)<0,函數 f(x)單調遞減；當 XC(X2, +00)時，g(x)>0, f' (x)>0,函數 f(x)單調遞增；因此函數有兩個極值點.當 a<0 時，A>0,由 g(1) = 1>0,可得 X1< 1.當 x e( t , X2)時，g(x)>0, f' (x)>0,函數 f(x)單調遞增;當 xC(X2, +00 )時。a)<0, f' (x)<0,函數 f(x)單調遞減；所以函數有