1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 第二節一、對坐標的曲線積分的概念一、對坐標的曲線積分的概念 與性質與性質二、二、 對坐標的曲線積分的計算法對坐標的曲線積分的計算法 三、兩類曲線積分之間的聯系三、兩類曲線積分之間的聯系 對坐標的曲線積分 目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、一、 對坐標的曲線積分的概念與性質對坐標的曲線積分的概念與性質1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功.設一質點受如下變力作用在 xOy 平面內從點 A 沿光滑曲線弧 L 移動到點 B, 求移cosABFW “大化小” “常代變”“近似和” “取極限”變力沿直線所作的功解決辦法:動過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),()

2、,(yxQyxPyxFABLxyO目錄 上頁 下頁 返回 結束 1kMkMABxy1) “大化小大化小”.2) “常代變常代變”L把L分成 n 個小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk則有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功為,kWF 沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1則用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點在kykxO目錄 上頁 下頁 返回 結束 3) “近似和近似和”4) “取極限取極限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10lim(,kkkkkkP ) xQ( ) y(其中 為 n 個小弧段的 最大長度)1kMkM

3、ABxyL),(kkFkykxO目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 定義定義. 設 L 為xOy 平面內從 A 到B 的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對 L 的任意分割和在局部弧段上任意取點, 都存在,在有向曲線弧 L 上對坐標的曲線積分坐標的曲線積分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim則稱此極限為函數或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中, ),(yxPL 稱為積分弧段積分弧段 或 積分曲線積分曲線 .稱為被積函數被積函數 , 在L 上定義了一個向量函數極限),(, ),(),(yxQyxPyxF記作),(yxF),(yxQ目錄 上頁 下頁 返回

4、 結束 LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 為空間曲線弧 , 記稱為對 x 的曲線積分;稱為對 y 的曲線積分.若記, 對坐標的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 類似地, 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 性質性質(1) 若 L 可分成 k 條有向光滑曲線弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1

5、d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 則LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(則 定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: : 對坐標的曲線積分必須注意積分弧段的方向方向 !目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、對坐標的曲線積分的計算法二、對坐標的曲線積分的計算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數方程為)()(tytx,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續,存在, 且有目錄 上頁 下頁 返回 結束 特別是, 如果 L 的方程為,:),(baxxy

6、則xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(對空間光滑曲線弧 :類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 計算,dLxyx其中L 為沿拋物線xy 2解法解法1 取 x 為參數, 則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 為參數,

7、 則11:,:2yyxL54d2114yy從點xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A目錄 上頁 下頁 返回 結束 yxO例例2. 計算其中 L 為,:, 0aaxyBAaa(1) 半徑為 a 圓心在原點的 上半圓周, 方向為逆時針方向;(2) 從點 A ( a , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則目錄 上頁 下

8、頁 返回 結束 例例3. 計算,dd22yxxyxL其中L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO目錄 上頁 下頁 返回 結束 BAyxzO例例4. 設在力場作用下, 質點由沿 移動到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022

9、d)(2) 的參數方程為kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d試求力場對質點所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk222k其中 為 ),(zxyFsFWdsFWd目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx從 z 軸正向看為順時針方向.解解: 取 的參數方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2zyxO目錄 上頁 下頁

10、返回 結束 三、兩類曲線積分之間的聯系三、兩類曲線積分之間的聯系設有向光滑弧 L 以弧長為參數 的參數方程為)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦為sysxddcos,ddcos則兩類曲線積分有如下聯系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(目錄 上頁 下頁 返回 結束 類似地, 在空間曲線 上的兩類曲線積分的聯系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. .將積分yyxQx

11、yxPLd),(d),(化為對弧長的積分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到從解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圓周目錄 上頁 下頁 返回 結束 O)0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Cxyz2. 已知為折線 ABCOA(如圖), 計算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd目錄 上頁 下頁 返回 結束 1.解解:OzxyABzkLzyxz