1、精選優質文檔-傾情為你奉上課外訓練方案部分第一章、仿射坐標與仿射變換第二章、射影平面一、主要內容：基本概念： 射影直線與射影平面 ；無窮遠元素；齊次坐標；對偶原理；復元素基本定理： 德薩格定理： 如果兩個三點形對應頂點連線共點，則其對應邊的交點在一條直線上。 德薩格定理的逆定理： 如果兩個三點形對應邊的交點在一條直線上，則對應頂點連線共點 對偶原理： 在射影平面里，如果一命題成立，則它的對偶命題也成立。二、疑難解析無窮遠點：在平面上，對任何一組平行直線，引入一個新點，叫做無窮遠點.此點在這組中每一條直線上，于是平行的直線交于無窮遠點.無窮遠點記為，平面內原有的點叫做有限遠點.無窮遠直線：所有相

2、互平行的直線上引入的無窮遠點是同一個無窮遠點，不同的平行直線組上，引入不同的無窮遠點，平面上直線的方向很多，因此引入的無窮遠點也很多，這些無窮遠點的軌跡是什么呢？由于每一條直線上只有一個無窮遠點，于是這個軌跡與平面內每一直線有且只有一個交點.因此，我們規定這個軌跡是一條直線，稱為無窮遠直線.一般記為，為區別起見，平面內原有的直線叫做有窮遠直線. 平面上添加一條無窮遠直線，得到的新的平面叫做仿射平面.若對仿射平面上無窮遠元素（無窮遠點、無窮遠直線）與有窮遠元素（有窮遠點、有窮遠直線）不加區別，同等對待，則稱這個平面為射影平面.三、典型例題：1、 求直線 與直線上無窮遠點的齊次坐標解：（1）直線

3、即 它與軸平行 所以位軸上的無窮遠點 (0,1,0) (2) 由直線 得故無窮遠點為或（3，1，0）2、求證：兩直線 和 的交點與兩點三點共線證明：解方程組：的交點 因為行列式 所以三點共線3、試證：兩共軛復點的連線 是一實直線證明： 而兩點確定一條直線所以， 所以與一組實數成比例，即直線為實直線。4、德薩格定理的逆定理：如果兩個三點形對應邊的交點共線，則其對應頂點的連線共點。證明：如圖三點形與的三對應邊交點共線，證明對應頂點連線共點，考慮三點形與則有對應頂點連線共點，故對應邊的交點共線OABCLMNB1A1C1自測題1、 證明：中心投影一般不保留共線三點的單比2、 設一平面內有幾條直線用分別

4、表示與，與與間的中心投影這一串中心投影的復合把上的點對應到上的點，這種對應關系稱為射影對應舉例說明對應點之間的連線一般不共點3、 設有兩個相交平面和，如果以為中心做到的投影（不在和上），把上一已知直線投影到上直線證明：當變動時，已知直線的象總要通過一個定點，或與定直線平行4、 設是平面與之間的中心投影試討論上兩條平行直線的象在中還是否平行，不平行有什么性質？同樣在上兩條平行直線在中的原象是否為平行線？5、 試證明：中心投影不保持直線上兩個線段之比第三章、射影變換與射影坐標一、 基本內容： 交比與調和比； 一維射影變換； 一維射影坐標； 二維射影變換于二維射影坐標 二、 主要公式1、 共線四點的

5、交比：2、 共點四線的交比：3、 兩直線之間的射影變換：非齊次坐標形式：齊次坐標形式：參數形式：4、 二維射影變換： 三、 典型例題：1、 證明：的充要條件是： 證明：設 則 若 則 而 所以有 2、已知共點直線 的方程為： 且求直線的方程解：先化為齊次線坐標則有 即令 則 所以 所以方程 為 3、設一直線上的點的射影變換是證明變換有兩個自對應點，且這兩自對應點與任一對對應點的交比為常數。解：令 解得 即有兩個 自對應點 設與 對應，有為常數 注：結果 有也對，不過順序有別4、試證圓上任一點與圓內接正方形各頂點連線構成一個調和線束證ABCDPE明：如圖：為圓內接正方形，為圓上任意點。因為所以為

6、角的平分線。 同理可證明是角平分線。即是角的內外角平分線。 所以直線構成調和線束。 5、試證:雙曲型對合的任何一對對應元素 ,與其兩個二重元素調和共軛即()=-1 證明：為自對應元素，與對應 則有 而 所以 得 因為不重合 故 6、求射影變換的不變點坐標解: 由特征方程： 將 得 ,故上的點都是不變點 是不變點列。 自測題1、 設為共線三點，且求的坐標。2、 已知線束中 三直線求作直線使 3、 射影變換使直線上以0，1為坐標的點及無窮遠點順次對應-1，0，1求變換式，并判斷變換的類型。4、 求兩直線所構成角的平分線方程5、 試證在同一直線上的四點的交比值與直線上攝影坐標系的選取無關。6、 求射

7、影變換的逆變換，并求出影消線對應直線的方程。第四章 變換群與幾何學疑難解析1 變換群（1）基本定義射影變換群：射影平面上所有射影變換的集合構成射影變換群，它是一個八維群；仿射變換群：仿射平面上所有仿射變換的集合構成仿射變換群，它是一個六維群；相似變換群：平面上所有相似變換的集合構成相似變換群，它是一個四維群；正交變換群：歐氏平面上所有正交變換的集合構成正交變換群，它是一個三維群。四種變換群，就群的大小而言，它們的關系是：.（2）一一變換的集合G構成群的充要條件是：若，則（封閉性）；若，則（存在逆元）.2克萊因關于幾何學的變換群觀點正交變換群歐氏幾何；仿射變換群仿射幾何；射影變換群射影幾何；就變

8、換群的大小來看，三種變換群的關系為：；從幾何學研究的內容來看，它們的關系是：歐氏幾何仿射幾何射影幾何.名稱射影幾何仿射幾何相似幾何歐氏幾何變換群射影群仿射群相似群正交群研究對象射影性質射影不變量純仿射性質純仿射不變量射影性質射影不變量純相似性質純相似不變量純仿射性質純仿射不變量射影性質射影不變量純度量性質純度量不變量純相似性質純相似不變量純仿射性質純仿射不變量射影性質射影不變量主要不變性質結合性分割性結合性平行性結合性平行性保角性結合性平行性合同性基本不變量交比單比相似比距離例題選解例1 證明：平面內有公共旋轉中心的所有旋轉變換構成群.證明：不失一般性，可將旋轉中心取為原點，則變換的一般式為：

9、容易證明，這種變換對于乘法是封閉的，且逆變換也是以原點為中心的旋轉變換（其實就是旋轉的變換），所以這種變換的集合構成群.例2 下面所說的名稱或定理，哪些屬于射影幾何學？哪些屬于仿射幾何學？哪些屬于歐氏幾何學？（最大的）（1）梯形；（2）正方形；（3）離心率；（4）塞瓦定理與麥尼勞斯定理；（5）重心；（6）垂心；（7）平行四邊形的對角線互相平分；（8）在平面內，一般位置的四條直線有六個交點；（9）含于半圓內的圓周角是直角；（10）如果直線與相交，則與相交；（11）二次曲線的中心；（12）德薩格定理.分析：判定一個圖形或定理屬于哪一中幾何學研究的對象，主要根據圖形或定理所涉及的不變性和不變量來判定

10、，例如涉及距離，線段或角的相等就屬于歐氏幾何學研究的范圍，涉及直線的平行、線段的比例、線段的中點等就屬于仿射幾何學研究的對象，而僅與點、線、面之結合關系有關的就屬于射影幾何學研究的對象了.解：（2）、（3）、（6）、（9）屬于歐氏幾何學；（1）、（4）、（5）、（7）、（11）屬于仿射幾何學；（8）、（10）、（12）屬于射影幾何學.例3 為什么向量的數量積的概念在仿射幾何里不存在？解：因為二向量的數量積為：而在仿射變換下，向量的長度和夾角都要改變，故向量的數量積概念在仿射幾何里不存在。第五章 二次曲線的射影理論本章是應用前面學習的射影變換和仿射變換的知識，來研究二次曲線的性質的。在射影平面上

11、取定坐標系后，首先給出二階（級）曲線的代數法定義，闡明其幾何意義之后，給出二階（級）曲線的射影定義，并研究二階（級）曲線在射影變換下的不變性質。然后基于射影變換的基本不變性質（結合性）和不變量（交比），反映在二階（級）曲線上，證明了兩個著名的定理巴斯卡定理和布利安香定理，這兩個定理是相互對偶的。在此基礎上，定義了二階（級）曲線的極點和極線概念，導出了其求法。在研究二次曲線的性質時對偶原理起著重要的作用。根據對偶原理，在射影平面內可將二次曲線看作點曲線（二階點列），稱為二階曲線。也可以將曲線看作直線的包絡，也就是看作是線曲線（二級線束），稱為二級曲線，統稱二次曲線。因此，對于二階曲線的每一性質，

12、都可以對偶地得出二級曲線的對偶性質。這一點在學習的過程中要加以注意。本章最后，研究了二次曲線（只研究二階曲線）的仿射性質：二階曲線的中心、直徑、共軛直徑、漸近線，給出了二次曲線的仿射分類：橢圓型曲線、雙曲型曲線和拋物型曲線。在仿射平面上研究二階曲線性質，是以無窮遠直線在仿射變換下保持不變為基礎來進行的，因此研究仿射性質要把握住無窮遠元素。疑難解析1、二次曲線的概念教材中首先給出了二次曲線的代數法定義： 二次曲線：滿足二次方程 的全體點稱為二階曲線，二階曲線是點的軌跡. 二級曲線：滿足二次方程的直線的全體稱為二級曲線，二級曲線看成是直線的包絡.二階曲線和二級曲線統稱二次曲線。兩個不共心的射影線束

13、（兩個不共底的射影點列），對應直線的交點（對應點的連線）的全體連同兩個線束的中心（兩個點列的底）組成一條二階曲線（二級曲線）.這實際上給代數定義找到了幾何背景，由此引出了二次曲線的射影定義（也稱作幾何定義）：二階曲線：兩個射影線束對應直線交點的全體稱為二階曲線。 二級曲線：兩個射影點列對應點連線的全體稱為二級曲線. 當成射影對應的兩個線束（點列）為透視的，則此二階曲線（二級曲線）退化為二直線（二點）。此時稱該二階曲線（二級曲線）為退化的二階曲線（二級曲線）。一個由射影線束生成的二階（二級）曲線，可以由其上任意二點（二線）為中心（底）構成的射影線束（點列）生成.由此定理推出兩個重要的結論：（1）

14、 平面內給定無三點共線的五點（無三線共點的五條直線），可決定唯一一條二階曲線（二級曲線）.（2） 二階曲線上四定點（二級曲線上四條定直線）與其上任意第五點所連四直線（任意第五條直線相交）所得四線（四點）的交比不變.利用這兩個結論可以解決有關二次曲線的作圖問題。2巴斯卡（）定理和布利安香（）定理這是關于二次曲線的兩個重要定理，要注意以下幾點：（1）這兩個定理是兩個對偶的定理，因此其一的證明完全可以從另一個對偶地得出，教材中已經給出這兩個定理的證明。值得注意的是，巴斯卡定理的證明中，射影中心的選擇可以是其中的任意兩點，同理布利安香定理的證明中，點列的底的選擇也是任意的兩點。（2）這兩個定理的逆定理

15、也是成立的。 （3）這兩個定理的應用： 已知二階曲線上的五個點利用巴斯卡定理可以作出第六個點（見典型例題）；對偶地，已知二級曲線上的五條切線，利用布利安香定理的逆定理可以作出第六條切線。 可利用他們證明三點共線問題（見典型例題）；對偶地，也可用之證明三線共點問題。3二次曲線的極點與極線極點與極線是關于二次曲線的重要概念，對于討論二次曲線的仿射性質起著重要的作用。極點與極線的概念是由關于二階曲線的調和共軛點引入的。（1） 調和共軛點：如果兩點被它們連線與二階曲線的交點調和分離，即，則稱關于是調和共軛的.（2） 不在上兩點關于調和共軛當且僅當。（3） 一定點關于二階曲線：的調和共軛點的軌跡是一條直

16、線.這條直線稱為點的極線，而點稱為直線的極點。（4） 不在二階曲線上兩點，關于調和共軛的充要條件是。4二階曲線的切線 我們從討論二階曲線（二級曲線）與直線（點）的相關位置入手，推導出二階曲線（二級曲線）的切線（切點）的方程。 設兩點 的坐標為，則直線 上任意點的坐標可以寫成，其中（1）為了求直線與二階曲線 （2）的交點，我們將（1）式代入（2）式，得展開并整理，得 （3）如果點不在二階曲線上，則（3）式是關于的二次方程，有二值適合（3）式，這兩個值或實、或虛、或重合，所以直線與二階曲線或相交，或相離，或相切。由于，所以，因此（3）式可以寫成 （4）顯然當 （5）時，方程有二相等實根，即表示直線

17、與二階曲線相切。若點在二階曲線上，則切線方程為，寫成矩陣形式為此方程表示過二階曲線上一點的二階曲線的切線方程。其中A為二階曲線的系數矩陣。類似的方法，可以討論二級曲線與點的位置關系，求出切點的方程和切點的坐標。在此留給同學們自己討論。例題選解例1 求二階曲線的方程，它是由下列兩個射影線束所決定的：與，且.解：射影對應式為：.由二線束方程有：，代入射影對應式，經化簡后得：.例2 求證點坐標方程與線坐標方程表示同一條曲線.證明：將化為齊次坐標方程為：，它的線坐標方程為：，即.同理可求出的點坐標方程為：，即.其非齊次坐標方程為：.例3 求通過五點的二次曲線.解：設所求為：，將已知五點的坐標分別代入所

18、設方程，求出系數的比，即得所求：.例4 設自點至二階曲線的切線的切點為，自點至二階曲線的切線的切點為，求證：在同一個二階曲線上，其方程為.證明：因為為的過點的切線的切點，所以的坐標滿足，同理的坐標也滿足，.現構造一個二階曲線，使其通過，再確定待定系數，使二階曲線也通過另外兩點. 設二階曲線方程為：.如果二階曲線通過，則有，有，由于，所以二階曲線 也通過點.故在同一個二階曲線上，其方程為.例5 設六邊形的三對對邊互相平行，求證這個六角形內接于一條二次曲線.證明：因三對對邊互相平行，所以三對對邊的交點都是無窮遠點，所以這三點共一條無窮遠直線，故有六邊形之三對對邊交點共線，根據帕斯卡定理之逆定理，這

19、六邊形內接于一條二次曲線.例6 求兩直線和的交點關于二次曲線的極線方程.解：經解聯立方程得的交點為.點的極線為，經計算得所求為：.例7 求的動切線關于的極點的軌跡方程.解：將已知曲線方程化為齊次式：化為 化為 在上任取一點，則切線方程為： 設直線關于的極點為，則有 又因為 .所以即.此即所求極點的軌跡方程，其非齊次坐標方程為：.自測題1.試求點(-1，1)關于二階曲線的極線。2.如圖，求作直線關于二次曲線的極點。3.ABC和ABC同時外切于一二次曲線，證明它們的六個頂點在另一個二次曲線上。4.若有心二次曲線(中心為O)的一條直徑通過一定點，則其共軛直徑平行于的極線，1.設，分別表示點列l(P)中對應點的坐標參數，則下述變換為對合（ ）A B C D 2.下述點