1、極限與連續的62個典型習題習題1設 ai0, i1,2, ,m，求 lim (a1nn na21 amn)Mmax aia，,am,則有/ n (a1na21 amn)n1(an)n a,lim a a.n另一方面(a/na21 amn)n1(man)n a1 (m)7.因為lim n1 mn1(lim n m)n1,故lim n1 mna.利用兩邊夾定理，知lim (a1 nna21n ; am )n其中max a1,a2, am.例如lim (1 n3n15n 9n)n9.習題lim ( n22 n n-). nn(n 1)2(n22n)n(1 n)22(n n 1)lim nn(1n)2

2、(n2 2n)lim n2nlim n1n4 nlim nn(1 n)22(n2n 1)lim n利用兩邊夾定理知lim(1n n n 12n2 n 2習題3求lim（ n 1解 lim (nlim (1 nlim(1 n1n(n 1)n 1)ni）lim (1 nlim (1 nlim(1 n(n 1)L1lim (1 n)1習題4求 limL4xx 1 1mx(m,nN).解（變量替換法）令原式tim*tim(12t)(1 t ttmt)(1t t2習題5求lim (x解（變量替換法）1)x令t,x,t1) (1 322 3(-nfnn 11時，t1)tn 1)(11.于是,t2 , 原式

3、lim(；)tt t2 11 t 1lim (1 -)(1-)tim(1 tim(1 -)1(1 t)1te0 1 .習題6求lim(x 0x2 ex)1sin x（1 型）。為了利用重要極限，對原式變形lim (x o3 ex1,n2)sinx lim(-lim(1 x oxx ox 2 x1 x e )177x2 xx 1 x ex2 xx1 e x 1尸)sin xsin x1 lim(1 -x ox 2 x x x 1x e : x ：人 d 1 x e 2 x sinx2 xe22習題7求!im0“1 x”21x 2.解原式x2)(,1 x 1 x 2)x2(, 1 x ,1x2)1

4、 lim x 0x2(,1x 21 x2 4x . 1 x 2)2(1 x2 1)x2(、.1 x 1 x 2)(. 1x21)_2x 2)(. 1 x2 1)習題limx寸4x2 6x 5 解3x 2.由于limx4x2 6x 53x 2lim6542x x3 - x而limx.4x2 6x 53x 2limx2/65、X (42)x xx(3 2)xlimx651x1(4 * *2)x(3 2) xlimx65(42 )x x(3 -) x23limx.4x2 6x 53x 2limxlimxw不存在。習題9研究下列極限原式lim 1 sin x ,(1) lim其中lim 1sin xx

5、于0,即lim xxsin x 0 x0,|sinx| 1.上式極限等limx 0x1x sin 一.x因為1|sin-| 1 ,xlimxx 00,所以limx x 0(3)lim x sin-.原式 limx.1 sin一 x Txlim1 0x.1 sin 一x.1 sin 一x iT x0.1.習題10計算lim (x1產,(a0,a1).解原式lim°a(1xax)a lim(1x xa )1 axa xa limn(1x 0xax)1xxalim aae.習題11x 1 limx 1 x 1In xln xe 1 limx 1 ln xln xx 1習題12解首先原式習題

6、習題limln x 0ln x e已知lim x2x 11 limln x(x1) 0ln1x(x 1) 11limx ，bx132 x I - 1c)(x 1)而b (1bx c1 xlimx 1c)(x(1F列演算是否正確?21x sin 2 lim-0 sin x.1lim x x 0 0 sin xx15,0,c)6)求b,c的值。二 b7.,1 csin 0.有小5,14求 lim (sin &1 sin Jx ). x解原式lim 2 sin xx 1- x x 1 xcos12 lim sin x 2( . x 1cos.x)0.習題15求limxVx2- sin x2x

7、 1limx3 1_x_ 01| sin x2| 1 ,原式=0.習題16證明lim (xm)kxk(m n) e（m,n,k,b 為常數）。x m kx lim ()x x nx n lim (xi (m n)kx b x n(令,工)x n ylim (ym)kx b nlim (1 ym n)k(y n) bylim(1yn k(m一)yyn) k nm nlim(1yn) lim(1ym n)ye"m n)ek(m n)習題173lim(1 sin x)x.x 01 3sin x解原式lim (1 ( sin x) sin xx 0習題18ln x ln a水 lim連續性法

8、）原式 limlim ln1x alnx aa 1x a ax - lim ln(-)xa x a aln lim (1x axa、T7x aa1ln ea-lne a1習題19試證方程x asinx b (其中a 0,b 0)至少有一個正根，并且它不大于a b.證 設f(x) asinx b x,此初等函數在數軸上連續，f(x)在 0,a b上必連續。: f(0) b Q 而f (a b) asin(a b) (a b) b asin(a b) 1 0 若 f(a b) 0 , 則a b就是方程x asinx b的一個正根。若f(a b) 0,則由零點存在定理可知在(0,a b)內至少存在一

9、點 (0,a b),使 f( ) 0.即 asin b.故方程 x asinx b 至少有一*正根，且不大于 a b.1習題 21 求 lim(cosx)1.x 0解 原式 lim0 1 (cosx1:11 ) cosx 1 1習題20設xn滿足xn 0且lim -xn- r 1.試證limxn nnxn 10.證 lim9r 1,取 0, n,使得當n N時有 nxn 12xnrxn 1J,即0旦 2xn 1亦即0r 1xnxn 1,2r 1,r1、2,r1、nN于ZE遞推信 0 xn xn 1(-) xn 2 . () Xn222lim (r一1)n nXn0,從而由兩邊夾準則有limxn

10、0.n 2n習題22用定義研究函數f(x) 盜 x 0的連續性。0x 0證首先，當x 0, f(x)業q是連續的。同理，當 xx 0, f(x) 0也是連續的。而在分段點x 0處lim f(x) lim 0 0 f (0), x 0x 0lim f (x) lim 1 x-10 f (0).x 0x 0 x所以 lim f (x) f (0).故 f(x) C( x 0習題23lim n135 (2n 1)1求證 n2 4 6 2n證.磊n8n1,而1.由兩邊夾定理知,11111 d 1lim n lim nlim n lim 1 -n 2n n . 2 n. n n 2 n n n 1原式成

11、立.習題 24 設 F(x,y) fV,W) f y 5.任取 “ 0，記x1 F (xo,2xo),., xn 1F(xn,2xn),.試證lim xn存在，并求極限值。證F(1,y)當1)12一(y x) 29,2f(y 1) (y 1)9,f(yx)(yx)29.x1(2x0 x。)2 9 x2 92x0-一 ,x2 2x02x12x19-,., xn要.由于xn 1 J (% 旦) 2xn9°xn 3xnxn 1xn192(1婷19(1)1232xn 1 xn.故xn單調有下界，故有極限。設lim xnA,/n由Xni x2-9A At3解出A 3(舍去A 3)。2xn2A習

12、題 25 設 xo 0,Xn 1 1 /n,n 1,2,，求 limxn. 1 Xnn解顯然X0 0, Xn1 12. Xn有上界2,有下界0.1 XnX1 X0 1 上 X0 1 X %，當 0 X0 心時1 X01 X021 X0 Xo 0,即 X1 X0,假設 Xn Xn 1,則Xn1 Xn 4”n10.故Xn單增。lim Xn1 Xn 1 Xn 1 (1 Xn)(1 Xn 1)n存在。設 lim Xn A,則由 lim Xn 1 1 lim Xn 得 a 1 A ,即nnn 1 Xn1 AA2 A 1 0, A 3 (舍去負值)。當X。3時，有為X。 22用完全類似的方法可證4單減有下

13、界0 ,同理可證-15lim Xn .n2習題26設數列Xn由下式給出X1 2, Xn 1 2 ,n 1,2，求Xnlim Xn. n解4不是單調的，但X2n1單增，并以3為上界，故有極限。設limX2n1 B.8n單減，并以2為下界，設lim x2n C.在等式 nnXn1 2工兩邊按奇偶取極限，得兩個關系B 2 -,C 2工，XnCB解出B C.由于的奇數列與偶數列的極限存在且相等，因此 4的極限存在，記lim xn A于是limxn1lim （2工）.故有A 2 ,nnnxnA解出A 1 J2,（舍去負值1 <2 ）習題27設 0, xn i &二，試證xn收斂，并求極限。

14、 xn 1證 顯然xn。，假設lim xnA,則由xn 1 xn-2令nnxn 1A 2 （舍去 2）。下面證明xn收斂于石.由于xn閩闋，遞推可得xn的（在1）2xnV2. «r2 1)n1 x172lim «12 1)n 1 0.由兩邊夾可得 nlimnxnV2。.故 lim xnJ22 .、習題28設6f (t) 0, fn 1(t)一p.試證1fn2(t)(1) t,lim fn(t)存在；(2)當 f(t) 1 時，limfn(t) 1;當 f(t) 1 時, nnlim fn(t)0；n證 n,顯然有 fn(t) 0,又 fn1(t) fn (t)fn(t)fn

15、(t)2 10.1 fn (t)t, fn(t)單減有下界。 收斂。令lim fn(t) F(t),在原式兩邊取 n極限得F(t) 2F (t) .由此可解出F(t) 0或F(t) 1.當f(t) 1時，1 F2(t)2 2f2(。一乎 一q 1.歸納假設 fk(t) 1,則 f；(t) 1, 而 1f12(t)2f 2(t)fk1(t)2 fk2(t)紅& 1, n ,有 fn(t) 1. 因止匕 f(t) 1 時1f：(t)2f：(t)F(t) 1.即 lim fn(t) 1,(f(t) 1 時)。 n當f(t)1時，由M的單減性便知即當F(t)。時，即lim fn(t) n0 (

16、當 f(t) 1 時)。習題291lim(-cosx)sinxsin2xlim (-x 0 cos2xx 0 121 sin x- 2 _sin 2x1)2sinxsin2x習題30xn習題11(1 sin2 x產砂lim -1x 0n2 ( cosx)(1 sin22x)sin2x若%收斂，則lim2收斂，設lim nB,n 1,2,因止匕031 求 nim M變量替換求極限法1e11 e3e4.xnA故2必有界(0(xn)nn!(為求lim F(x)，有時可令x a習題32求lim1 x) x解令(11x)Bn 吊 Bn,而n!n!0,lim竽0.(1 lim x 01 x)xyim0yl

17、imm1 x0)(y),而 F(x)F (y)(為自然數)因此(y 1)1lim17y 0 yc1y 1c 1y 1 1習題33求lim2x 0x2解令mix 1 y, x (y 1)m 1,且當 x0時y 0,故原式i1my (iy)yimom(y i)m i2習題 34 求 lim n2(Va n；a), a 0. n解 先求 lim x2(va x;a),令t,則上式limt 0limt 01 ata1 tt2 ln a1 tt2t2.t 1 a 17lim a 2t 0 t2lna.故原式1 lim 一 t 0In a.exp( X-lna)t1用等價無窮小替換求極限習題 35 求 l

18、im 1 n'cOsn(n ).02解記 x n； cosn，則x1 (0).lim0122(n )n 1 x ) n 1 x )lim1 0 I nI x2 nlim01 cosnnn (當u0,1 cosu1u2)22習題36設f(x)與x是等價無窮小，f(x) x,求證(1) lim f(x)x 1； lim f)-x- 1.x 0x 0 f(x) x證 f (x) x,即 f (x)1 (x 0),-f-(-x) 1(x),xx其中(x)0,當 0,即 f(x) x1(x)(當 x 0).故limf(x)xlim xx1(x)xlim xx lim 1(x)xx 0x 0x 0

19、 x 01 lim 1x 0-L- x (x)(x) (x)e01.limx 0f(x)x f(x)limx 0f) xln-f(x)xx e1 _xln3 f(x)limx 0limx 0ln elimx 0 f(x)xx Inxln x elimx 0x,f(x) x lnx_f(x) xlimx 0習題g(x)理,f(1 ln xTlim e xlim0xlnU2 e xx 0x lnlimx 0f(x)xx In f(x)ln1 f(x) xf(x)xxlimf(x)x xxx 0 f (x) x1 ln- lim , x ：01xlim xlnf±2xxln xf(x) x

20、xln lim 1x 01.1.xlnU2x 1xlim x 0 f(x) xxf(x) X76 x1.ln1In e37 設 f (x) C0,n,n1 0,n,使 f( ) f(分析(n1).f(x 1)0m科g(i),n 1i 0gn i 0知1) f(f (x)有根2)為自然數,0, n,使 f(令 g(x)f(x 1)是 g(i)f(i 1)M °max1g(i)，則n 1M,又 i 0g(i)f(n) f(0)0,n).1，使9(n 1ni 0gf(x) xx1.f(0) f(n).試證f( 1).即要證f(x),顯然在0,n 1f (i),i 1,.,n 1. 記0.對

21、函數g(x)應用介值定0,即存在1 0,n 1,使習題38設f(x) Ca,b,且a c d b,證明a,b,使()f( ) f(c) f(d).證(分析：將結果變形f( ) f)咧)記 m minf(x), M maxf(x),則 m f(x) M ,x a,b x a,bx a,b于是( )m f(c) f (d) ( )M或 m f(c) f(d) m由介值定理知a,b,使 f( ) f-()f),即()f( ) f(c) f(d).習題 39 設 f(x) C(,)且 ff(x) x.證，使 f().證 反證法。若不存在點 使f().即x (,)均有 f (x) x. f(x)連續，不

22、妨設恒有f (x) x.于是ff(x) f (x) x.此 與ff(x) x矛盾。故，使f().習題40設f(x) C(a,b)且f (x) 0.又a x1 x2xn b,證明至 少有一點 (a,b),使£( ) V f (%) f仇)f區).證 f(x) C(x1,xn),故f(x)在x,xn上有最大值M和最小值m,使 0 m f (xi) M ,i 1,2,., n.于是 m n/f (x1)f (x2)f (xn) M 由介 值定理，知x1,xn (a,b),使 f( ) y f (x1) f (x2).f (xn).習題41證明方程x 2x 1至少有一個小于1的正根。證設 f

23、(x) x 2x 1,顯然 f(x) C0,1,但f (0)1 0, f(1) 2 110,x0 (0,1),使 f(x0) x0 2x0 1 0,即方程x2x 1至少有一個小于1的正根x0存在。習題42設f(x)limn2n 12x ax2n Xbx連續,求 a, b.x 1-, x 1 xx 1x 1-2.ax bx,1a b-2n 2 2nlim n /1解 f(x)1 /1 a b2 ,1 a b, 2故 f(1 0) 1, f (1 0) a b, f ( 1 0) a b, f( 1 0)1.由于 f(x)在= 1,-1處連續，所以a b 1 a 0,b 1.a b 1習題43試證

24、方程xexx cosx至少有一個實根。2證做函數f (x) xex x cos - x.顯然2f (0)1 0, f (1) e 1 0,(0,1)，使 f() 0.即 xex x cosx 在2(0,1)內必有實根。習題44求f(x)上的連續區間。 x x(解：先改寫為分段函數，結論為：(，0) (0,1) (1,)習題45求b為何值時，函數f(x) x20x2在0,3上處bx2,2x3處連續。只需討論分段點處的連續性：f(2 0) lim (x2 1) 3 f (2), x 2f (2 0) lim (bx 2) 2b 2 f(2),要在 x 2 處連續，必有 x 252b 2 3, b

25、.2習題 46 設 a0, x10 定義xn11(3xn馬,n1,2,求 limxn4 xnn解xn 1va.5有下界va.即n N,有xn也.又2 1(3 J) -(3旦)1,即xn單減有下 xn4xn4 a界，故有極限。設lim xn A且A 4ia 0.有lim xn - lim(3xn4有 nn4nxnA (3A 3) A a a4A3(舍去負根)(注意：先證明極限的存在是必要的。)習題47設a0,x1Va,x24a弋aJax1,., xn1Jaxn,.n 1,2,.求limxn. nj(解：4單增有上界1 可解出極限A 1 I 4a )習題 48 設 f(x) C0,1,且0 f(x

26、) 1,證明0,1,使 f()證 若f(0) 0,則取0.若f(1) 1,則可取 1. f(0) 0, f1,則令g(x) f(x) x,必有g(x) C0,1且g(0) g(1) 0,由零點定理知(0,1)，使 g( ) 0,即 f()習題49 (選擇題)設f(x), 3在(，)內有定義，f(x)連續且 f (0) 0, (x)有間斷電，則(A)f(x)必有間斷點，(B) (x)2必有間斷點，(C) f (x)必有間斷點，(D) 3 必有間斷點.f(x)解選D (A)因f(x)的值域可能很小(B)反例(x)1, x 0而(x)2 1無間斷點。0,x 0(C)(x)總有定義。習題50證明方程x

27、 asin x b (a 0,b 0)至少有一個正根，且 不超過a b.證 設 f(x) asin x b x, f (x) C(,), f (x) C0,a b, 而f (0) b 0, f (a b) asin(a b) b (b a) asin( a b) 1 0.如果f(a b) 0，則a b即為f(x)的零點.如果f(a b) 0,則由介值定理知(0,a b),使f() 0,即 為所求，故原命題成立.習題51若函數f(x)可以達到最大值和最小值，求證 max f(x) min f (x).證 設 min f (x)f (Xo)，則 對任意 x有f (x)f(x0),或 有f (x)

28、f(x0)( min f (x).由x的任意性，可知max f(x)f(x0)min f (x).習題52設f(x) Ca,b且恒大于零，證明 ,在a,b上連續. f(x)證 任取 a,b由于f(x)在Xo處連續且大于 0,1 0,使當x x0 1,時(若Xo a為左端點，則應為0 x a 1,類似處理 Xo b)有，1，f(X) -f(Xo) 0 (*)20,對f 2；X0)，可找到 2 0,使當|x %2,時有f(x) f(X0)f2(X0)2(*)取 min i, 2，則當x x0|時，有1211|f (x0) f (x)| |f (x) f (x0)|2 f (x0)f(x)“xOf(

29、x)f(x0)1f(x0)2小(址)2故知，在x x0處連續。由x0的任意性，知,在a,b上連續. f(x)f(x),1c習題53設f(x) x sinx，x 0，試討論f(x)在x 0處的連續性. ex , x 0,解 f(0) 1，而f(0 0) 1,10,0f (0 0) lim x sin .x 0 x 不存在，0當0,1時，f(x)在x 0處連續，當0,1時，x 0為f(x)的跳躍間斷點(第一類間斷點).當0,時x 0為第二間斷點。f(x)在x 0處5ex cosx, x 0習題54設函數f (x) sin2xn問當, x 0tg x連續。解f (0) 5 1 4, f (0 0)

30、4, f (0 0) limx 0當 f(0-0) f (0 0) f(0),即 2 4,sin 2x 2x 2 lim .tg x x 0 x1時，“刈在乂 0處連續。 2習題55求函數f(x)上的間斷點，并判定其類型.sin x解因當x n (n為任一整數)時，sin x 0, x n是f(x)的間斷點。再細分，當n 1時，lim 上 ,不存在，故除1處的x n sin x任何整數都是f(x)的第二類間斷點。因2tcos tsinx2 1 x t 1 t2 2tt2lim lim () lim (x 1 sin x t 0 sin (t 1) t 0 sin t cos!叫(t2sin t

31、2tsin t2x2 12,hJ理 lim x 1 sin x亦即x 1是f(x)的第一類(可去)間斷點.xLAx 0習題56求函數f(x)8s萬x的間斷點并判定其類sin -, x ox 4型。解 f(x)的分段點為x 0. lim f (x) lim 必一x) 0.x 0x 0cos- x 2lim f(x) lim sin -2 sin( )-. x 0是 f(x)的第一，類 (跳x 0 x 0 x 442躍)間斷點。當x 0時，f(x) xR,在點cos- x 2x 1, 3, 5,., (2k 1),.(k 0,1,2,.)處， f(x)無意義， 故x 1, 3, 5,., (2k

32、1),.是 f(x)的間斷點。因為u -(1 x)x(1 x) 2 u 2/2u 八lim f (x)lim lim - (1)x 1x 1u 0sinucos x22是第一類(可去)間斷點。顯然x 3, 5,都是極限為 的第二類間斷點。當x 0時，f(x) sin:,在點x 2時，f(x)沒定義, x 4故x 2是f(x)的間斷點。又M2sin*,不存在,故為第二類間斷點。習題57設函數f(x) C0,),且 lim f (xx1)f(x) A,試證lim g a.x x證因為連續，所以 a,b 0,),f (x)在a,b0,)上有界。又因為 limf(x 1)xf(x) A,所以0, Ki

33、,當x K1時，恒有數n使得n x K1f(x 1)f(x) AK11,則存在自然n 1 .記lx K1l 1,且 x K1 l n,于是f(K1 l) nAf(K1xl)2 A.下面估計上式右 x邊三項的絕對值。(1)nr f (x) f(K1 l)Af(x) f (K1 l)f (K1 l n) f (K1 l)nf(K1i 1l i) f (K1 l1)Af(K1l i) f (K1 l1)1A n _n 3 3(2)因為f(x)在EM 1上有界，即 M 0,使f(x) M.故K2 3M,當x K2時，恒有f(Ki l)xMKI(3 )因為lim KA 0,故K3 0,使當x K3時恒有 x xUKA _.綜合(1),(2), (3)0,取x3K max Ki 心,則當x K時，恒有& A , lim 4 A xx x習題68若(x)和(x)為連續周期函數，當 x 時，有定義，且 l