1、2022年高考數學考前保分題1.如圖，在三棱錐 4-8CQ 中，NBCD=90° , BC=CD=, ZACB=ZACD=Q.(1 )證明：ACLBD；(II)有三個條件：。=60° ；直線AC與平面BCO所成的角為45° ；V3二面角A - CD-B的余弦值為三.請你從中選擇一個作為條件，求直線BC與平面ACD所成的角的正弦值.【分析】(1 )取80的中點O,連結AO, CO,利用ABC四4OC,可以證明AO±BD, X COLBD,可證平面4OC,即可證明ACLBO；(II )建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標，若選：利用0=60°

2、 ,求出PO,得到P點坐標，然后利用待定系數法求出平面PC3 的法向量，利用向量的夾角公式以及同角三角函數關系求解即可.若選：利用線面角的定義得到，/尸CO即為直線PC與平面BCC所成的角，由邊角關 系，求出求出PO,得到點尸的坐標，然后利用待定系數法求出平面PCO的法向量，利 用向量的夾角公式以及同角三角函數關系求解即可.若選：作PM1CD,垂足為M,連結OM,則NPM。即為二面角P- C。- 8的平面角， 由邊角關系，求出求出尸O,故得到點尸的坐標，然后利用待定系數法求出平面尸CQ的 法向量，利用向量的夾角公式以及同角三角函數關系求解即可.【解答】解：(I )證明：取8。的中點O,連結A。

3、，CO,如圖所示，則 C0J_8。，又 BC=CD=1, ZACB=ZACD=Q,所以ABC四AOC,則所以 AO_L8£),又因為 AOACO=O, AO, COu平面 AOC,所以BO_L平面AOC,又ACu平面4OC,所以ACJ_ BO；（II ）在CA上取點P,使得OPLOC,連結PB, PD,由于OC和BD是平面BCD中的相交宜線，所以OP_L平面BCD,故以O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示， 在 RtZXBCO 中，BC=CD=1, BD= V2,所以 C。= B。=。=孝，則8（0,專,0） > C（- > 0, 0） > D（0,手，0）&g

4、t;所以立=（孝，孝，0）,若選：因為8=60° ,則?£>為等邊三角形，搜易PO=CO=PC=1,所以OP=¥，故P（0, 0,挈）所以而=亭 0, 一孝）,PD = （0,孝,一孝），設平面PCD的一個法向量為藍=（x, y, z）,o o = r c t D 一 p 一 p t n Tn zuk情 則V22V22nr co O= =z ZV22V22一 -X y令x=l,則 y=z=l,故n = (l, 1, 1),所以|cosV后,蔡>|=典=需=4BCn<3x1$所以宜線BC與平面PC。（即平面AC。）所成的角的正弦值為:；若選：由PO

5、_L平面8CO,可得NPCO即為宜線PC （即AC）與平面BCD所成的角, 所以NPCO=45° ,故Rt為等腰直角三角形，所以 PO=CO=¥，故P（0, 0,乎），所以而=（¥，0,務，PD = （0,孝，一孝）,設平面PCD的一個法向量為=（x, y, z）,（-or nx z 0則有幾伊=0, gpJ 22,11PC = O 孚 丫_彖=0I 2 J 2令 x=l,則 y=z=l,故n = （l, 1, 1）,所以|cosV品，n>| = lC n|-= BCn所以直線BC與平面尸CO （即平面ACC）所成的角的正弦值為瞥;若選：作PM_LC

6、3;>,垂足為M,連結。M,由尸。_L平面8C£>, C£>u平面8C0,所以PO_LC£）,又 POCPM=P, PO, PMu平 POM,又OWu平面尸OM,所以CO_LOM,則/PMO即為二面角P- CD - 8即二面角A - CO - B的平面角，因為/PMO的余弦值為日，故它的正弦值為手，所以正切值為企，立X店 1pj所以。"=_2 = 與解得。2=竽=。，故P（0, 0,孝），所以而=（苧，0, 一務，訪=（0,孝，一孝），設平面PCD的一個法向量為=（x, y, z）,'4242 n則有）丹=°,即.n-

7、 PD = 02 x 2= 04242'-y-zo令 x=l,則 y=z=l,故鼠=（L 1, 1）,所以|cosV8C, n>| =18cqi _ 呼+竽I _ 76|6C|n| Gxl 3 '所以直線8c與平面PC。（即平面BCD）所成的角的正弦值為三.【點評】本題考查了立體幾何的綜合應用，涉及了線面垂直的判定定理，在求解空間角 的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進行研 究，屬于中檔題.2 .已知正方形ABC。，E, F分別為A8, C£)的中點，將AOE沿OE折起，使AC。為 等邊三角形，如圖所示，記二面角A-OE-C的

8、大小為e (0<e<n).(1)證明：點A在平面BCDE內的射影G在直線EF上；(2)求角9的正弦值.【分析】(1)根據AC=AO即可證明A在平面BCCE內的射影G在直線EF上；(2)建系，求法向量，結合法向量的夾角大小與二面角的大小6的關系，即可求得角e 的正弦值.【解答】解：(1)證明：過點A作AG_L平面8C0E,垂足為G,連接GC, GD.A在平面BCDE內，因為AC。為等邊三角形，所以AC=AO,所以點G在CO的垂直平分線上.又因為EF是CD的垂直平線，所以點A在平面BCCE內的射影G在直線EF L.(2)解：以G為坐標原點，G4所在直線為z軸，GF所在直線為)，軸，過點

9、G作平行于DC的直線為x軸建立空間直角坐標系.設正方形A8CC的邊長為2a,連接A片貝IJA尸="，AE=a, EF=2a.Q 一2(o 以 如 3 -2/)( Q 3 -2F a (coJ (o 應 o/ (o G 以 所設平面ADE的一個法向量為m = (x, y, z),則m- AD = qx + |ay 一5qz = 0m DE = qx + 2ay = 0取 y=l,得1 = (2, 1,一弟又平面DEC的一個法向量n = (0, 0, 1)所以cosQ|m-n| _ 1T T - T17n11rli4日 n n J15 即 sinQ =.【點評】本題考查空間向量的應用，利

10、用空間向量求二面角的正弦值，考查數學運算和直觀想象的數學核心素養，屬于中檔題.3 .如圖，在直三棱柱 ABC-4BC1 中，ZBAC=90° , ABAC=AA.(1)求證:A81J平面 A1BC1；(2)若。在81cl上，滿足8iO=2OCi,求AD與平面A18C1所成的角的正弦值.【分析】(1)根據線面垂直的判定定理，證明即可；(2)以481, AiCi, 4A為x, y, z軸建立直角坐標系，設AB=a,求出G =得，竽-a)和平面48cl的法向量為I,利用夾角公式求出即可.【解答】解：(1)在直三棱柱 ABC-Ai81cl 中，N8AC=90° , AB=AC=AA,根據已知條件易得ABi_L48,由4_1_面A8814,得A8i_LAiCi,AiBDAiCi=Ai,以 ABi_L平面 48。；(2)以AiBi, AiCi, 44為x, y, z軸建立直角坐標系，設4B=a,則 A (0, 0,