1、土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影2.1 2.1 點的投影點的投影2.2 2.2 直線的投影直線的投影2.3 2.3 兩直線的相對位置兩直線的相對位置第二章 點和直線的投影土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體系中的投影 過空間點過空間點作作面的垂直線，該垂直線面的垂直線，該垂直線與與P P面的面的交點交點a a稱為空間點稱為空間點在在面上的正投面上的正投影，但是影，但是a a不能唯一確定空間點不能唯一確定空間點的具體位置。的具體位置。因為，在該垂直線上的所有點（如點因為，在該垂直線上的所有點（如點A A1 1、A

2、A、S S）的投影都在）的投影都在a a處。因此，處。因此，點在一個投影面點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置上的投影不能確定點的空間位置，它需要用，它需要用兩個兩個或或三個投影面三個投影面上的投影來確定。上的投影來確定。 如右圖所示為水平投影面和正立投影如右圖所示為水平投影面和正立投影面組成的兩投影面體系。投影面和投影面組成的兩投影面體系。投影面和投影面的交線為面的交線為OXOX軸（稱投影軸）。投影面、軸（稱投影軸）。投影面、把空間分成四個部分，分別稱之為把空間分成四個部分，分別稱之為、象限象限。Pa1AASHV土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、點在兩投影面體系中

3、的投影一、點在兩投影面體系中的投影1.1.點在第點在第象限中的投影象限中的投影xaXOVAHXOaaaaaxOXaxaaVHa) 立體圖立體圖b) 展開圖展開圖c) 投影圖投影圖土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影(2)(2)點的投影到投影軸的距離等于該點與相鄰投影面點的投影到投影軸的距離等于該點與相鄰投影面 的距離，的距離，即即aaaax x=Aa=Aa，aaaax x=Aa=Aa。(1)(1)點的投影的連線垂直于投影軸點的投影的連線垂直于投影軸，即，即aaOXaaOX ；點在兩投影面體系中的點在兩投影面體系中的投影規律投影規律：一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體

4、系中的投影1.1.點在第點在第象限中的投影象限中的投影aaXOxaXOaVaAH土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影2.2.點在其它象限中的投影點在其它象限中的投影 各點投影圖如圖各點投影圖如圖b b）所示，第）所示，第象限的點的正面投影象限的點的正面投影bb和水平投影和水平投影b b同在軸上方，第同在軸上方，第象限的點的正面投象限的點的正面投影影cc在軸下方，而水平投影在軸下方，而水平投影c c在軸上方，第在軸上方，第象限的象限的點的正面投影點的正面投影dd和水平投影和水平投影d d同在軸下方。同在軸下方。 如圖如圖a)a)所示的空間所示的空間點、分別處在點、分別處在、象限中

5、，各象限中，各點分別向、面投射，點分別向、面投射，可得其在各投影面上的可得其在各投影面上的投影。投影。一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體系中的投影1.1.點在第點在第象限中的投影象限中的投影土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影3.3.在投影面上或投影軸上的點的投影在投影面上或投影軸上的點的投影 點在軸上，則既在面上也在面上，點在軸上，則既在面上也在面上，與與bb重合，與重合，與b b重合。重合。 點位于投影點位于投影面上或投影軸面上或投影軸上時，如圖上時，如圖a a）所示。投影圖所示。投影圖如圖如圖b b）所示。）所示。 點在面上，則點到面的距離為零，即與點在面上，

6、則點到面的距離為零，即與aa重合且重合且aaaax x=O,a=O,a與與a aX X重合，點的水平投影重合，點的水平投影a a在軸上。在軸上。2.2.點在其它象限中的投影點在其它象限中的投影一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體系中的投影1.1.點在第點在第象限中的投影象限中的投影土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影 增加的增加的投影面將空間由原為投影面將空間由原為的四個象限分割為八個分角，其排的四個象限分割為八個分角，其排列順序如圖所示。列順序如圖所示。

7、在兩投影面體系的基礎上，再在兩投影面體系的基礎上，再增設一個側立投影面，并使其同增設一個側立投影面，并使其同時垂直于投影面和投影面，如時垂直于投影面和投影面，如圖所示，稱之為三投影面體系。圖所示，稱之為三投影面體系。 下面介紹點在三投影面體系的下面介紹點在三投影面體系的第一分角中的投影：第一分角中的投影：土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影yaaaxaAaazYZWHYaaxXYaHYOaWYVaZazaWHYXaaHYHYaxYWOaZaazaWXOVHWa) 立體

8、圖立體圖b) 展開圖展開圖c) 投影圖投影圖土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影YXaaHYHYaxYWOaZaazaWyaaaxaAaazYZXOVHW(2)(2)點的投影到投影軸的距離等于點的投影到投影軸的距離等于 該點與相鄰投影面的距離，該點與相鄰投影面的距離， 即即 aaaay y=Aa=aa=Aa=aaz z=x=x， aaaax x=Aa=aa=Aa=aaz z=y=y， aaaax x=Aa=aa=Aa=aay y=z=z。(1)(1)點的投影的連線垂直

9、于投影軸，點的投影的連線垂直于投影軸， 即即 aaOXaaOX ；aaOZaaOZ點在三投影面體系中的點在三投影面體系中的投影規律投影規律：土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影例例2-12-1 已知點（已知點（1515，1212，1010）, ,試作點的三面投影圖。試作點的三面投影圖。aaaOXZWYYH151210土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影二、點在三投影面體

10、系中的投影例例2-22-2 已知已知A A點的兩個投影點的兩個投影aa、a a，求其第三個投影，求其第三個投影a a。aOHYaaZYWX土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影三、兩點的相對位置三、兩點的相對位置1.1.兩點相對位置的確定兩點相對位置的確定 兩空間點的投影沿兩空間點的投影沿左右、前左右、前后、上下后、上下三個方向所反映的坐標三個方向所反映的坐標差，即兩空間點對差，即兩空間點對、面面的距離差，能確定兩點的相對位的距離差，能確定兩點的相對位置，如圖所示。置，

11、如圖所示。 顯然，若要判斷兩空間點的相對位置，只須判斷兩顯然，若要判斷兩空間點的相對位置，只須判斷兩點的坐標大小，點的坐標大小，X X坐標大的在左、坐標大的在左、Y Y坐標大的在前、坐標大的在前、Z Z坐坐標大的在上。標大的在上。YHaBAbZaXABbaObYWABXZY YZX土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、點在兩投影面體系中的投影一、點在兩投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影二、點在三投影面體系中的投影三、兩點的相對位置三、兩點的相對位置1.1.兩點相對位置的確定兩點相對位置的確定2.2.重影點的投影重影點的投影 重影點有兩對同名坐標值相等，如圖所示，、

12、兩點位重影點有兩對同名坐標值相等，如圖所示，、兩點位于垂直于面同一條投射線上，即于垂直于面同一條投射線上，即abab重合，即重合，即A A= =B B、A A= =B B但是但是A A B B，表明點，表明點位于點位于點的上方。的上方。 由于面的投影是由于面的投影是由上往下由上往下觀察，因此點在面投影為觀察，因此點在面投影為可見，點為不可見。規定重影點的標記次序是：可見，點為不可見。規定重影點的標記次序是：可見點標記可見點標記在左邊，不可見點標記在右邊在左邊，不可見點標記在右邊，如圖中的，如圖中的abab。同理，。同理，面的重面的重影點影點由前向后由前向后觀察，觀察，面的重影點面的重影點由左向

13、右由左向右觀察。觀察。ZYHaXYOWababb 兩點位于垂直于某投影面的同一兩點位于垂直于某投影面的同一條投射線上，則這兩點在該投影面上條投射線上，則這兩點在該投影面上的投影就重合在一起，稱之為的投影就重合在一起，稱之為重影點重影點。土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、直線的投影一、直線的投影 根據幾何學定理，空間兩點可以確定一條直線，所以在求作直根據幾何學定理，空間兩點可以確定一條直線，所以在求作直線的三面投影時，可分別作出直線上任意兩點（通常是直線的兩個線的三面投影時，可分別作出直線上任意兩點（通常是直線的兩個端點）的三面投影，然后將其同面投影用直線相連接，即可得到直

14、端點）的三面投影，然后將其同面投影用直線相連接，即可得到直線的三面投影。線的三面投影。一般情況下，空間直線的投影仍然為直線。一般情況下，空間直線的投影仍然為直線。bababaaaaYWYHXOZABOVZXYWHbbb 規定：直線對面的傾角用規定：直線對面的傾角用表示，對面的表示，對面的傾角用傾角用表示，對面的傾角用表示，對面的傾角用表示。表示。土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、直線的投影一、直線的投影二、各種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性1 1投影面投影面平行線平行線 平行于某一投影面且傾斜于其它投影面的直線稱平行于某一投影面且傾斜于其它投影面的直線稱為投

15、影面平行線為投影面平行線 投影面平行線有三種類型，平行于正立投影面且傾斜于投影面平行線有三種類型，平行于正立投影面且傾斜于其它投影面的直線稱為其它投影面的直線稱為正平線正平線；平行于水平投影面且傾斜于；平行于水平投影面且傾斜于其它投影面的直線稱為其它投影面的直線稱為水平線水平線；平行于側立投影面且傾斜于；平行于側立投影面且傾斜于其它投影面的直線稱為其它投影面的直線稱為側平線側平線。 根據直線對投影面的相對根據直線對投影面的相對位置，直線可分為投影面位置，直線可分為投影面平行平行線線、投影面、投影面垂直線垂直線、一般位置一般位置直線直線三種。三種。 投影面平行線的投影特性如下：投影面平行線的投影

16、特性如下：土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、直線的投影一、直線的投影二、各種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性1 1投影面投影面平行線平行線baHYbXabWYOaZbbaXaYHYWObaZYHbabXabYWOaZ土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、直線的投影一、直線的投影二、各種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性1 1投影面投影面平行線平行線2 2投影面投影面垂直線垂直線HYabXbaYWOZbaXbababaZOYWYHXbbaab aZOYWYH土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、直線的投影一、直線的投

17、影二、各種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性1 1投影面平行線投影面平行線2 2投影面垂直線投影面垂直線3 3一般位置直線一般位置直線bbaaXaObWYHYZaabAbB OabVZWYHX 與三個投影面既不垂直也不平與三個投影面既不垂直也不平行的直線稱為一般位置直線。行的直線稱為一般位置直線。 一般位置直線在三個投影面上一般位置直線在三個投影面上的投影長、對三個投影面的傾角和的投影長、對三個投影面的傾角和空間直線實長的關系為：空間直線實長的關系為： ab=ABcosab=ABcos ab= ab=ABABcoscos a ab b= =ABABcoscos。因此因此直線的三個投影

18、均小于實長。直線的三個投影均小于實長。土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、直線的投影一、直線的投影二、各種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性aabAbB OabVZWYHX 用用直角三角形直角三角形法求一般位置線實長法求一般位置線實長0AZb-ZaZb-ZaababHYZXOWYbaA0baA0aXaZbYHObYWYa-YbXa-XbYa-YbXa-Xb 以投影長為底邊、直線兩端點到該投影面的距離差作以投影長為底邊、直線兩端點到該投影面的距離差作為高建立直角三角形，直角三角形的斜邊即為直線的實長為高建立直角三角形，直角三角形的斜邊即為直線的實長斜邊與投影長的夾角

19、即為該直線對該投影面的傾角斜邊與投影長的夾角即為該直線對該投影面的傾角。土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、直線的投影一、直線的投影二、各種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性三、直線上點的投影三、直線上點的投影點在直線上，點的各個投影必在該直線的同面投影上。點在直線上，點的各個投影必在該直線的同面投影上。點分割線段之比，在投影中保持不變。點分割線段之比，在投影中保持不變。土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影XOcbabaZcaHYbabXWYO一、直線的投影一、直線的投影二、各種位置直線的投影特性二、各種位置直線的投影特性三、直線上點的投影三、直線

20、上點的投影例例2-32-3 求求C C點的水平投影。點的水平投影。C00Bcacbc用第三面投影作點的投影用第三面投影作點的投影用定比法作點的投影用定比法作點的投影土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影 平行和相交兩直線都位于同一平面上，平行和相交兩直線都位于同一平面上，稱之為稱之為“同面直線同面直線”。而交叉兩直線不位于。而交叉兩直線不位于同一平面上，稱之為同一平面上，稱之為“異面直線異面直線”。 空間兩直線的相對位置可歸結為三種，空間兩直線的相對位置可歸結為三種，即兩直線即兩直線平行平行、兩直線、兩直線相交相交和兩直線和兩直線交叉交叉。一、兩直線平行一、兩直線平行cBbcaAabCcdDdacaaXbddcYHbOcaYWbdZdbVXZWOYH土木工程制圖土木工程制圖點和直線的投影點和直線的投影一、兩直線平行一、兩直線平行二、兩直線相交二、兩直線相交若空間若空間兩直線相交兩直線相交，則其在，則其在三個投影面上的投影也都相交三個投影面上的投影也都相交，且投影的且投影的交點符合點的投影特性交點符合點的投影特性。bbbadbaCcmaBMDdcmAdcabmadbcmd