1、小學五年級下冊基礎培優教程15講（含答案）第一講等差數列例1下面各數的和是多少？0 1 2 3 4 548491 2 3 4 5 649502 3 4 5 6 75051 4849505152539697 4950515253549798解：先逐行求和，再化簡。(049)×50÷2(150)×50÷2(4998)×50÷225×(4951147)25×(49147)×50÷225×25×196625×200625×41250002500122500例2一本

2、圖書除了封面和封底以外，每張紙的兩面都標有頁碼，如果中央一張紙兩面的頁碼之積是2450，則這本書的所有頁碼之和是多少？解：根據題意，2450應該是兩個相鄰自然數的積。試算發現245049×50，所以中央這張紙兩面的頁碼分別是49和50，由此可以想到這一張是全書的第25張，全書共有2412449(張)，合計共2×4998(頁)。這樣就可以用等差數列的求和公式，計算出所有頁碼之和是：12398(198)×98÷24851。答：這本書的所有頁碼之和是4851。例3盒子里放有編號為1到10的十個球，小明先后三次從盒中共取出9個球。如果從第二次開始，每次取出的球的

3、編號之和都是前一次的2倍，那么未取出的球的編號是多少？解：這了便于思考，設第一次取出的球的編號是a，第二次取出的球的編號之和就是2a，第三次取出的球的編號之和就是4a，三次共取出的9個球的編號之和就是a2a4a7a，即三次共取出的9個球的編號之和是7的倍數。10個球的編號之和是1234567891055, 55除以7余6，余數是6，說明未取出的球的編號是6。答：未取出的球的編號是6。例4有10張長3cm、寬2cm的紙片，將它們按照下圖的樣子擺在桌面上，這10張紙片所蓋住的桌面面積是多少平方厘米？解：觀察發現：紙片蓋住的桌面面積成等差數列(單位：cm2)。6，8，10，12，公差是2。所以，這1

4、0張紙片所蓋住的桌面面積是62×924(cm2)。練 習 一1計算：23.9137.7851.6565.5279.3993.26107.13？2計算123246369100200300。3計算：13467910121366676970。4計算100×9595×9090×8585×8080×7575×7020×1515×1010×5。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）5計算（19941992199042）。6計算（20041）（20032）（20023）（10031002

5、）。（吉林省第九屆小學數學邀請賽試題）7如圖，照這樣擺下去，若擺到80層，一共需要多少個？多少個？8一個等邊三角形邊長1m，每隔2cm在邊上取一點，再從這些點出發，分別作與其他兩邊平行的直線，并且與其他兩邊相交：(1)求邊長為2cm的三角形的個數；(2)求所作平行線的總長度。 9. 一些邊長為 1 cm的正方體, 像下圖那樣層層重疊放置, 那么, 當重疊到 5 層時, 這個立體圖形的表面積是_ cm2。(1994 年全國小學數學奧林匹克決賽題)10一只猴子每天都要吃桃子，如果它每天吃桃子的數量互不相同，那么100個桃子最多夠這只猴子吃多少天？11某同學把他最喜愛的書順序編號為1, 2，3，所有

6、編號之和是100的倍數且小于1000，則他編號的最大數是多少？(2002年小學數學奧林匹克預賽題) 12. 有若干人的年齡的和是 4476 歲, 其中年齡最大的不超過 79 歲, 最小的不低于 30 歲, 而年齡相同的人不超過 3 人, 則這些人中至少有多少位老年人(年齡不低于 60 歲的為老年人)? (2001 年小學數學奧林匹克預賽題)第二講圖形問題例1圖中有多少三角形？解：頂點向上的小三角形有1234567836(個)；頂點向上的由4個小三角形組成的三角形有12728(個)；頂點向上的由9個小三角形組成的三角形有12621(個)；頂點向上的由16個小三角形組成的三角形有12515(個)；

7、頂點向上的由25個小三角形組成的三角形有123410(個)；頂點向上的由36個小三角形組成的三角形有1236(個)；頂點向上的由49個小三角形組成的三角形有123(個)；頂點向上的由64個小三角形組成的三角形有1個；頂點向下的小三角形有123456728(個)；頂點向下的由4個小三角形組成的三角形有12515(個)；頂點向下的由9個小三角形組成的三角形有1236(個)；頂點向下的由16個小三角形組成的三角形有1個；總共有3628211510631281561170(個)。例2圖中每個小正方形的邊長都是1，圖中陰影部分的面積是多少？解法一：用大長方形的面積，減去陰影周圍空白部分的面積。長方形的面

8、積是6×530，左上角三角形的面積是2×2÷22，左下角三角形的面積是3×1÷21.5，右下角左邊三角形的面積是2×1÷21，右邊梯形的面積是(14)×3÷27.5，右上角左邊三角形的面積是2×1÷21，右邊梯形的面積是(12)×3÷24.5，所以陰影部分的面積是30(21.517.514.5)12.5。解法二：用四年級下期培訓班上學過的格點圖形面積計算公式：SNL÷21計算。公式中，S表示格點圖形的面積，N表示圖形內部的點數，L表示圖形邊界上的點數。本題

9、中，N9，L9，所以，S99÷2112.5。例3下圖是一片剛剛收割過的稻田，每個小正方形的邊長是1米，A、B、C三點周圍的陰影部分是水洼。一只小鳥飛來飛去四處覓食，它最初停留在0號位，過了一會兒它躍過水洼，飛到關于A點對稱的1號位；不久，它又飛到關于B點對稱的2號位；接著，它又飛到關于C點對稱的3號位；再飛到關于A點對稱的4號位；再飛到關于B點對稱的位置；如此繼續對稱地飛下去。由此推斷，2004號位和0號位之間的距離是多少米？ 2 5 C 30 BA 4 1解：觀察發現6號位與0號位重合，即小鳥每飛6次就要回到0號位。2004被6除無余，所以2004號位與6號位重合，它們之間的距離是

10、0米。例4已知正方形的一條對角線是13厘米，正方形的面積是多少平方厘米？解：再取一個同樣的正方形，沿各自的對角線把每個正方形分成兩個等腰直角三角形，然后拼成一個大正方形，大正方形的面積是13×13169(cm2)，所以原來正方形的面積是169÷284.5(cm2)。順便還得到一個用正方形對角線的長度L求正方形面積S的計算公式：SL2÷2。練習二1如圖，在一條直線上有依次排列的四個汽車站甲、乙、丙、丁，現在要在A、B、或C處建一個加油站，使這四個汽車站到加油站的距離總和最小，加油站應建在哪里？ 甲 乙 丙 丁 A B C2長方形的地里有4棵樹，如圖，要把這塊地分成形

11、狀相同的4塊，并且每塊里都有一棵樹，應該怎樣分？ · · · ·3下圖是一個經過改造的臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔。如果一個球按圖中所示的方向被擊出(球可以經過多次反射)，那么該球最后將落入幾號球袋？ 1號袋2號袋 3號袋4號袋4如圖，正方形池塘的周圍是草地，池塘邊A、B、C、D處各有一棵樹，且ABBCCD3m。現用4m長的繩子將一只羊拴在其中的一棵樹上，為了使羊在草地上活動區域的面積最大，應將繩子拴在哪棵樹上？ 池塘 A B C D5如圖，長方形ABCD的對角線相交于O，過O點作一條直線MN。長方形的長是10cm，寬是6c

12、m。那么梯形ABMN的面積是多少平方厘米？ A N D O B M C6下圖中小正方形的面積都是1 cm2，星形的面積是多少？7圖中，長方形的長和寬分別是12cm、9cm，把三角形的三條邊平均分成三段，得到A、B、C、D、E、F六個點，連接AF、BC、DE，得到一個六邊形，這個六邊形的面積是多少平方厘米？8一個由若干個小等邊三角形組成的花園如圖，在每個小等邊三角形的每條邊上均勻地栽了15株花(每條邊的端點上都栽有花)。這個花園共栽花多少株？9如圖，陰影部分是一個長方形，它的四周是四個正方形，如果陰影部分的面積是200 cm2，且四周的四個正方形的周長的和是240cm，那么四周的四個正方形的面積

13、的和是多少平方厘米？10設計一種方案，把一個直角三角形分成兩塊，再拼成一個與原三角形面積相等的長方形。11在一幅長80cm、寬50cm的矩形圖畫的四周鑲一條寬為整數厘米的金色紙邊(寬度保持不變)，制成一幅面積為5400 cm2的掛圖，求金色紙邊的寬度。12小明爸爸的風箏廠準備購進甲、乙兩種規格相同的布料生產一批如右圖形狀的風箏。圖中長方形的四個頂點分別在外圍四邊形各邊的中點。長方形用甲種布料，其余部分用乙種布料(剪裁兩種布料時不計余料)，如果生產這批風箏需要甲種布料30匹，請問需要乙種布料多少匹？第三講解決問題(一)例1小李買了兩條魚，他把一條魚的標價的小數點看錯了位置，付給售貨員18元，售貨

14、員讓他再付40.95元。請你算算看，這兩條魚的標價分別是多少？解：因為他付的款比應付的款少，可見他無意中是把小數點的位置向左移動了，假如他向左移動了一位，這樣一來，那條魚的標價就縮小了10倍，相差的數等于縮小后的數的9倍，所以那條魚的標價是(40.9518)÷9×1025.5(元)，另一條魚的標價是40.9525.515.45(元)。驗算一下：按他的看法，只付給售貨員2.5515.4518(元)，說明假設正確。所以兩條魚的標價分別是25.50元和15.45元。答：兩條魚的標價分別是25.50元和15.45元。例2班長計劃用班費買一些日記本作為文娛活動的獎品。如果買每本3.5

15、元的日記本，將剩余2.5元；如果買每本4.2元的同樣數量的日記本，將缺少2.4元。那么，班長計劃買多少本日記本？解：改變了所買日記本的品種之后，從剩余2.5元變成缺少2.4元，相差2.52.44.9(元)，這是由于每本多用了4.23.50.7(元)的結果，所以班長計劃買日記本4.9÷0.77(本)。答：班長計劃買7本日記本。例3小偉和小麗計劃用50天假期練習書法，將3755個一級常用漢字練習一遍。小偉每天練73個漢字，小麗練80本漢字，每天只有一人練習，每人每天練習的字各不相同，這樣，他們正好在假期結束時完成計劃。他們各練了多少天？解：假設每天只有小偉一個人練習，那么假期結束時還會有

16、375573×50105(個)字沒有練。為了彌補不足，用小麗替換小偉，因為小麗每天比小偉多練80737(個)字，替換105÷715(天)，正好可以補足所缺的105個字，所以，小麗練了15天，小偉練了501535(天)。答：小麗練了15天，小偉練了35天。例4一家四口人，爸爸比媽媽大3歲，哥哥比妹妹大3歲，15年前他們一家人的年齡之和是68歲，現在他們一家人的年齡之和是126歲，妹妹今年多少歲？解：15年前他們一家人的年齡之和是68歲，15年間四口人增加15×460(歲)，今年全家四口人的年齡之和應該是6860128(歲)，而實際只有126歲，說明15年前妹妹還沒有

17、出生。1281262(歲)，所以妹妹今年15213(歲)。答：妹妹今年13歲。練習三1在一個四位數的某位數字前面添一個小數點，再和原來的四位數相減，差是1803.6，則原來的四位數是多少？2商店里有6桶啤酒，它們的重量分別是15kg、16kg、18kg、19kg、20kg、31kg。兩天共賣出5桶，其中第一天賣出的是第二天賣出的2倍。那么商店沒有賣出的那桶啤酒是多少千克？3甲、乙兩個書架中擺放的書一樣多，從甲書架中拿走18本，從乙書架中拿走42本后，甲書架中余下的書是乙書架中余下的書的4倍。則甲、乙兩個書架中原來共擺放多少本書？4母親今年的年齡比兒子大28歲，4年前母親年齡是兒子的4.5倍，那

18、么幾年前母親年齡是兒子的8倍？5甲、乙兩人環繞400m的跑道跑步，如果兩人從同一地點出發相背而行，那么經過2分鐘相遇；如果二人從同一地點出發同向而行，那么經過20分鐘兩人相遇，已知甲的速度比乙快，甲、乙二人跑步的速度各是多少？6有一堆南瓜和幾只竹筐，如果每只筐里裝5個南瓜，就會剩下4個南瓜裝不下；如果每只筐里裝6個南瓜，就還可以再多裝2個南瓜。這堆南瓜有多少個？7一個商店進了一些高檔筆記本，想探探銷路。如果筆記本定價每本8元，要虧損17.50元；如果每本14元，可盈利24.50元。由此推知該商店進了此種筆記本多少本？8全班有50名學生參加冬季長跑鍛練，共跑了100天，2240km。男生平均每天

19、跑500m，女生平均每天跑400m。則男女生各有多少人？9兩種飲水器若干個，一種容量12升，一種容量15升。153升水恰好裝滿這些飲水器，其中15升容量的有多少個？10一家三口人，爸爸比媽媽大3歲，現在他們一家人的年齡之和是80歲，如果10年前全家人的年齡之和是51歲，那么，今年爸爸、媽媽、女兒各多少歲？11研究生甲對中學生乙說：“我現在比你大10歲。”乙對甲說：“4年前你的年齡比我的年齡大一倍。”現在他們倆的年齡各是多少歲？12三個汽車司機走進路旁的小食品店，第一個司機買了4根火腿腸、1瓶汽水和10個面包，付款16.90元；第二個司機買了3根火腿腸、1瓶汽水7個面包，付款12.60元；第三個

20、司機買了2根火腿腸、2瓶汽水、2個面包，需付多少元？第四講解決問題(二)例1列車通過250m的隧道用25秒，通過210m的隧道用23秒。又知列車的前方有一輛與它同向行駛的貨車，貨車車身長320m，速度為每秒17m。列車與貨車從相遇到相離需要行多少秒？解：列車的速度是每秒(250210)÷(2523)20(m)，列車車身長20×25250250(m)，所以列車與貨車從相遇到相離需要行(250320)÷(2017)190(秒)。答：列車與貨車從相遇到相離需要行190秒。例2老師提倡同學們在假期學習英語日常用語，并向他們推薦了一本英語圖書。甲同學計劃前10天每天學習2句

21、，以后每天學習3句，在開學前正好學完。而乙同學計劃前10天每天學習3句，以后每天學習4句，在開學前就能留出10天的復習時間。這本英語圖書共有多少句日常用語，假期共有多少天？解：當乙同學正好學完時，比甲同學多學了3×1030(句)，其中有前10天多學習的(32)×1010(句)，其余301020(句)是后來多學的，因為每天只多學431(句)，所以又學習了20÷120(天)，因此，乙一共學習了102030(天)，說明假期是301040(天)。這本英語圖書共有3×104×20110(句)日常用語。答：這本英語圖書共有110句日常用語，假期共有40天。

22、例3一次測驗，共兩道測驗題，45人參加測驗。答對第一題的有18人，兩題都沒答對的有15人，答對第二題沒答對第一題的人數是兩題都答對的人數的1.5倍，答對第二題的有多少人？解：答對第一題的和答對第二題的(其中包括兩題都答對的)共有451530(人)。答對第二題沒答對第一題的有301812(人)。兩題都答對的有12÷1.58(人)，所以答對第二題的(其中包括兩題都答對的)共有12820(人)。答：答對第二題的有20人。例4小宇以均勻速度走路上學，他觀察來往的同一路電車，發現每隔12分鐘有一輛電車從后面超過他，每隔4分鐘有一輛電車迎面開來。如果電車也是勻速行駛的，那么起點站和終點站每隔多少

23、分鐘發一輛電車？解：設起點站和終點站每隔x分鐘發一輛電車，那么小宇12分鐘所走的路電車只需12x分鐘，小宇4分鐘所走的路電車只需x4分鐘。所以小宇的速度×12電車的速度×(12x)，即，小宇的速度÷電車的速度(12x)÷12小宇的速度×4電車的速度×(x4)即，小宇的速度÷電車的速度(x4)÷4因此，(12x)÷12(x4)÷4，x6。答：起點站和終點站每隔6分鐘發一輛電車。練習四1某列車通過500m長的隧道用40秒，通過200m長的橋梁用25秒，假設列車通過隧道和橋梁的平均速度相同，那么列車長

24、多少米？2某獵狗發現一只狐貍在它的前方16m，于是直撲上去追捕，而狐貍馬上聞風而逃，當狐貍前逃1m時，獵狗趕上了9m，如果獵狗和狐貍前進路線相同，那么當獵狗抓到狐貍時，獵狗總共跑了多少米？32004年4月我國鐵路大提速。假設從A地到B地的某次空調快車列車的平均速度比提速前了44km，提速前的列車時刻表如下：行駛區間起始時刻到站時刻歷時全程里程A地B地8：0012：004小時264km假如提速后從A地到B地的這次空調快車仍然8：00出發，那么這次列車歷時多久于何時到達B地？4一艘輪船往返于A、B碼頭之間，它在靜水中船速不變，當河水流速增加時，該船往返一次比河水流速增加前所用時間多還是少？5一輛轎

25、車在一次旅行中用1.5小時行了80km，后因交通堵塞停了30分鐘，然后又用2小時行了100km，這輛車在整個過程中的平均速度是每小時多少千米？6租用倉庫堆放2t貨物，每月租金6000元，這些貨物原來估計要銷售2個月，實際降低了價格，結果1個月就銷售完了，由于節約了租金，結算下來，反而多賺了1000元。那么每千克貨物降低了多少元？7把一根竹竿垂直插入水底，竹竿濕了40cm，然后將竹竿轉過來插入水底，這時竹竿濕的部分比它的一半長13cm，則竹竿長多少厘米？8在60m賽跑中，甲到達終點時領先乙10m，領先丙20m。如果乙和丙速度不變，當乙到達終點時，乙領先丙多少米？9在數學競賽中，小明的準考證號是一

26、個三位數，個位數字是十位數字的2倍，十位數字是百位數字的2倍，三個數字的和是14，小明的準考證號是多少？10一只螞蟻外出覓食，發現一大塊面包。它立刻回洞喚來10個伙伴，可是抬不動。每只螞蟻回洞各找來10只伙伴，大家再抬，還是抬不動。于是，每只螞蟻又回洞各找來10只伙伴，但仍然抬不動。于是，所有螞蟻又都回去搬兵，每只螞蟻又叫來10個伙伴。這次，終于把大面包抬回洞里。那么抬這塊面包的螞蟻一共有多少只？11有一種電子游戲，從第一關開始打，打完一關進入下一關，一共有10關。每關最多得800分，另外每滿1000分就可以獲得一次獎勵，每一次獎勵為500分。要得到12000分，至少要打到第幾關？1215把椅

27、子放成一排，客人隨時來到，并在空椅子上就坐，而每當此時，與他相鄰的客人就起身離去。如果開始時所有椅子都是空的，那么椅子上客人最多時坐多少人？第五講枚舉與周期性例1計劃將甲、乙、丙三種不同的樹苗種在一條直路的同一側，要求相鄰的兩棵樹苗不能相同，那么第1棵與第5棵樹同是甲種樹苗的種法共有多少種？解：根據題意畫出示意圖：甲乙丙甲丙甲乙乙丙甲乙乙丙甲丙甲丙甲乙乙丙甲丙甲丙甲乙乙丙甲乙可見，第1棵與第5棵樹同是甲種樹苗的有：甲乙甲乙甲；甲乙甲丙甲；甲乙丙乙甲；甲丙甲乙甲；甲丙甲丙甲；甲丙乙丙甲。所以，共有6種不同的種法：答：第1棵與第5棵樹同是甲種樹苗的種法共有6種。例2如圖，從豆豆家到學校，有4條縱向

28、的路，3條橫向的路。如果豆豆上學時只能由上向下，從左到右，那么有多少種不同的走法？豆豆家學校解：為了便于說明，給圖中的每個交點都標上字母如左下圖：豆豆家A B C D豆豆家A 1 1 1 EFGH1 2 3 4 I J K L 學校1 3 6 10 學校從A到B有1種走法，在B處記1，從A到E有1種走法，在E處記1，顯然到F有從上邊來的1種走法和從左邊來的1種走法，所以到F有112種走法。圖中的每個交點有從上邊來和從左邊來兩種情況時，到那個交點的走法就等于到它上邊的點的走法與到它左邊的點的走法的和。這樣，到各點的走法數就如右上圖所示，因此從豆豆家到學校共有10種不同的走法。答：從豆豆家到學校按

29、照要求共有10種不同的走法。例3把小數0.987654321變成循環小數：(1)如果把表示循環節的兩個點加在7和1上面，則此循環小數的小數部分的第200位上的數字是幾？(2)如果它的小數部分的第100位上的數是5，那么表示循環節的兩個點應分別加在哪兩個數字上？解：(1)循環小數是0.9865432，在小數點后的200位中，前兩位不循環，循環的只有2002198(位)，因為每個循環節是7位數字，198除以7余2，所以第200位上的數字是6。(2)顯然有一個循環點必須點在1上面。小數點后第100位上是5，加上5后面的4、3、2、1一共是1004104(位)，為了避開不循環部分的干擾，減去最前面的9

30、位，從第二個循環節開始算起，還有104995(位)。955×19，說明循環節只能是5位，因此，另一個循環點應點在5上面。答：(1)這個循環小數的小數部分的第200位上的數字是6。(2)一個循環點應點在1上面，另一個循環點應點在5上面。例4某年的二月份有5個星期日，這年的六月一日是星期幾？(全國小學數學競賽預賽題)解：二月份只可能有28天或29天，因為5個星期日至少要有7×4129(天)，說明這年的二月份有29天，因此2月1日和2月29日都是星期日。從2月1日到6月1日，其間共經過29313031121(天)，121÷7余2，所以，6月1日是星期二。也可以這樣算：從

31、2月29日到6月1日，其間共經過131303193(天)，93÷7余2，所以，6月1日是星期二。答：這年有六月一日是星期二。練習五1一個小于200的自然數，它每位上的數字都是奇數，且它是兩個兩位奇數的乘積。這個自然數是多少？2所有個位數字與十位數字都是奇數的兩位數的和是多少？3由1、2、3、4四個數字中的兩個數字可以組成許多兩位數，所有這些兩位數的和是多少？4某電視臺在2分鐘黃金時段的2分鐘廣告時間內，計劃插播長度為15秒和30秒的兩種廣告。15秒廣告每播一次收費0.6萬元，30秒廣告每播一次收費1萬元。若要求每種廣告播放不少于2次，那么兩種廣告的播放次數有多少種安排方式？5用0,

32、1，2, 3，4這五個數字可以組成多少個無重復數字且小于300的偶數？6三個不同的一位數的和等于10，用這三個一位數組成三位數，其中最大的是多少？7用一只只有刻度0°、4°、10°、16°、43°、89°、180°的量角器量角度，最多有多少個角度能夠一次測量出來？8用1元、5元、10元、50元、100元人民幣各一張，2元、20元人民幣各兩張，在不找錢的情況下，最多可以支付多少不同的款額？96個相同的球放在A、B、C、D四個不同的盒內，若每個盒內都不空，共有多少種不同的放法？10用1、2、3、4這四張數字卡片可以組成24個不同

33、的四位數，如果把它們從小到大依次排列出來，第一個數是1234，第二個數是1243，第15個數是多少？11一個四位數，各位數字互不相同，且都不為0，若這四個數字之和是12，則這樣的四位數有多少個？12將0.1234567加上兩個表示循環節的點，變成循環小數，使小數點后第2003位上的數字為5，則這個循環小數是多少？第六講推理與判斷例1有人問甲、乙、丙三人的年齡：甲說：“我22歲，比乙小2歲，比丙大1歲。”乙說：“我不是年齡最小的，丙和我差3歲，丙25歲。”丙說：“我比甲年齡小，甲23歲，乙比甲大3歲。”以上每人說的三句話中，都只有一句是錯誤的。你知道這三人的年齡到底是多大嗎？解：甲說的“我22歲

34、”與丙說的“甲23歲”必有一句不正確，假設丙說的“甲23歲”不正確，那么丙所說的“我比甲年齡小，乙比甲大3歲”正確，于是甲說的“我比乙小3歲”不正確，而另兩句“我22歲，比丙大1歲”正確。從而甲22歲，乙25歲，丙21歲，這樣，乙說的“丙和我差3歲，丙25歲”兩句就都是錯誤的，所以假設不成立。因此，丙說的“甲23歲”正確，而甲說的“我22歲”不正確，另兩句正確，于是推知甲23歲，乙25歲，丙22歲。答：甲23歲，乙25歲，丙22歲。例2A、B、C、D四支球隊進行循環賽(即每兩隊賽一場)，比賽進行一段時間后，A賽了3場，B賽了2場，C賽了1場，這時，D賽了幾場？解：如圖，用兩點間的連線表示已進行

35、過比賽， D C A B可見D賽了2場。答：D賽了2場。例3下面是三個數的加法算式，每個“內有一個數字，則三個加數中最大的是多少？ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解：第二個加數的個位數字是9；十位上兩個中的數字之和是9，百位上中的數字是8，所以最大的加數是819。答：三個加數中最大的是819。例4下面的乘法算式中，每個一個數字，那么計算所得的乘積應該是多少？ 5× 41 0 5解：顯然，乘數的十位數是0，第一個部分積是405，第二個部分積的百位數是1，乘數的百位數是1，被乘數的百位數是1。由被乘數的個位數是5和第一個部分積是405判斷，這個部分積只能是135×3得來的

36、，所以乘數是103，積是135×10313905。答：乘積是135×10313905。練習六1設、分別表示三種不同的物體，現用天平稱了兩次，情況如下圖，那么、按質量從小到大排列的順序應該是怎樣的？2某校五年級學生在頒獎大會上得知該年級獲獎情況如下：三好學生優秀學生干部學生優秀少先隊員市級(人)425校級(人)10820已知該年級共有30人獲獎，其中恰好得兩項獎勵的有16人，那么該年級獲獎勵最多的一位同學獲獎幾項？3小芳和爸爸、媽媽玩蹺蹺板，三人的體重一共為150kg，爸爸坐在蹺蹺板的一端，體重只有媽媽一半的小芳和媽媽一同坐在的另一端。這時，爸爸的那一端仍然著地，則小芳的體重

37、應小于多少千克？4小白兔、小黑兔、小灰兔在商場各買了一條裙子。三條裙子的顏色分別是白色、黑色、灰色。回家路上，一只小兔說：“我想了好久白裙子，今天可算是買到了！”說到這里，她好像發現了什么，驚喜地對同伴說：“今天我們可真有意思，白兔沒買白裙子，黑兔沒買黑裙子，灰兔沒買灰裙子。”小黑兔說：“真是這樣的，你要是不說，我還真沒注意到呢！”你能根據她們的對話，猜出小白兔、小黑兔和小灰兔各買了什么顏色的裙子嗎？5一只皮箱的密碼是一個三位數，小光說：“它是954。”小明說：“它是358。”小亮說：“它是214。”小強說：“你們每人都只猜對了位置不同的一個數字。”這只皮箱的密碼是多少？6某校五年級的三個班舉

38、行羽毛球混合雙打表演，每班男、女生各出一名，男生是甲、乙、丙，女生是A、B、C。規定同班的男、女生不能配對，且每場比賽中配對的選手各不相同。已知：第一盤：“甲和A”對“丙和B”；第二盤：“丙和C”對“甲和某班女生”那么，乙的同班女生是誰？7小強、小明、小勇三人參加數學競賽，他們分別來自甲、乙、丙三個學校，并分別獲得一、二、三等獎。已知：(1)小強不是甲校選手；(2)小明不是乙校選手；(3)甲校的選手不是一等獎；(4)乙校的選手得二等獎。(5)小明不是三等獎。根據上述情況，請判斷小勇是哪個學校的選手，他得了幾等獎？8在一次僅由A、B、C、D四名同學參加的比賽中，每名學生各得一個不同的名次。賽前甲

39、、乙、丙三位老師作了預測：甲說：“A第一，C第二。”乙說“A第二，C第三。”丙說“D第一，B第二。”比賽公布后，發現每位老師都只猜中一人，則四個人各得了什么名次？9同學們都想知道王老師家的電話號碼。風趣的王老師告訴大家：“我家的電話號碼是一個六位數，前面三個數字是相同的，后面三個數字是由大到小排列的三個連續的自然數，六個數字的和就是這個電話號碼的最后兩位數。”王老師家的電話號碼是多少？10五只小貓去河邊釣魚，回家后，當貓媽媽問他們誰釣的魚多時，小貓們便七嘴八舌地說起來：“老五釣的魚恰好是老三和老二釣的魚的數量和的一半。”“老二比老四釣的多。”“老大老二釣的和老三、老四釣的總數一樣。”“老五比老

40、四釣的少。”貓媽媽糊涂了。聰明的小朋友，你知道哪只小貓釣魚最多，那只又釣魚最少呢？11在下面的加法算式中，每個“”內有一個數字，所有“”內的數字之和最大可達到多少？ 2 0 0 412下面豎式中的乘積是多少？× 2 2 2第七講綜合練習(一)1計算：2481014162022929498100。2把50個乒乓球放進一些盒子里，如果要求每個盒子里乒乓球的數量互不相同并且不空，那么最多可以放盒。3用1、0、3、7這四張數字卡片可以組成個不同的四位數，如果把它們從小到大依次排列出來，第9個數是。 4一根繩子，先把它折成相等的5段，再對折一次，然后從中間剪開，一共可以剪成段。5小明、小亮、小

41、光三人進行賽跑，跑完后有人問他們比賽的結果。小明說：“我是第一。”小亮說：“我是第二。”小光說：“我不是第一。”實際上，他們中有一個說了假話，那么，是第一，是第二，是第三。6下式中的每個方框里都有一個適當的數字，那么乘積是 。 2× 6 0 4 7 0 7下圖中的三角形有個。8如果下圖中每個方格的面積都是1 cm2，那么, 陰影部分的面積是cm2。9大、小兩桶水，原來水一樣多，如果從小桶倒7千克到大桶，這時大桶里的水是小桶里的3倍，大桶里原來有水kg。10六年級同學乘汽車到某地旅游，買車票99張，共花了280元。其中單程票每張2元，票每張4元。那么單程票和往返票相差張。11幼兒園將一

42、筐蘋果分給小朋友，如果分給大班的小朋友每人5個缺6個，如果分給小班的小朋友每人4個余4個，已知大班比小班少2個小朋友，這筐蘋果共有個。12鐵路旁的一條平行小路上，有一行人和一騎車人同時向南行進，行人速度為3.6千米時，騎車人速度為10.8千米時。這時，有一列火車從他們背后開來，火車通過行人用了22秒鐘，通過騎車人用了26秒鐘。這列火車的車身總長是米。第八講連續自然數連續自然數(通常不包括0)是等差數列的特殊情況，所以求從1開始的連續n個自然數的和Sn，可以用公式Sn(1n)×n÷2計算。這些都是我們已經熟知的。現在提出一個相反的問題：能否把一個自然數N寫成若干個連續自然數的

43、和？在連續自然數的求和公式Sn(1n)×n÷2中，n是連續自然數的個數，因此n只有兩種情況：要么是偶數，要么是奇數。(1)當n是偶數時，我們把Sn(1n)×n÷2改寫成Sn(1n)×(n÷2)，(1n)是奇數，(n÷2)是奇數或偶數；(2)當n是奇數時，我們把Sn(1n)×n÷2改寫成Sn(1n)÷2×n，n是奇數，(1n)÷2是奇數或偶數。這就是說，當我們把一個自然數N分解成兩個因數的積時，至少有一個因數是奇數，N才有可能寫成若干個連續自然數的和。為了進一步發現規律，先從比

44、較簡單的情況入手。(1)設N5×6，取n5，6就是5個連續自然數的中間數，5個連續自然數是4，5，6，7，8。(2)設N5×4，取n5，4就是5個連續自然數的中間數，5個連續自然數是2，3，4，5，6。(3)設N5×3，取n5，3就是5個連續自然數的中間數，5個連續自然數是1，2，3，4，5。(4)設N5×2，取n5，2不可能成為5個連續自然數的中間數，無解。一般地說，當Npq，其中p、q都是自然數，并且p是奇數，p2q時，N可以寫成p個連續自然數的和，q是中間數，最小的自然數是q(p1)÷2，最大的自然數是q(p1)÷2。對于上面的

45、(4)，N5×2，把它改寫成N(5÷2)×(2×2)，取n2×24，5÷2是中間兩個自然數的平均數，中間的兩個數是5÷20.52和5÷20.53，4個連續自然數是1，2，3，4。一般地說，當Npq，其中p、q都是自然數，并且p是奇數，p2q時，N可以寫成2q個連續自然數的和，p÷2的結果是中間兩個數的平均數，中間兩個數是p÷20.5和p÷20.5，最小的自然數是(p1)÷2(q1)，最大的自然數是(p1)÷2(q1)。在實際應用中，當所求連續自然數的個數不多時，可以

46、先寫出中間數，再根據自然數的個數向兩邊續寫，不必先求出最小數和最大數。例1把64寫成若干個連續自然數的和。解：6426，不含有除了1以外的奇數因數，無解。例2把35寫成若干個連續自然數的和。解：(1)355×7，并且52×7，所以35可以寫成5個連續自然數的和，中間數是7，最小的自然數是7(51)÷25，最大的自然數是7(51)÷29，這5個連續自然數是5，6，7，8，9。(2)357×5，并且72×5，所以35可以寫成7個連續自然數的和，中間數是5，最小的自然數是5(71)÷22，最大的自然數是5(71)÷28，

47、這7個連續自然數是2，3，4，5，6，7，8。例3把92寫成若干個連續自然數的和。解：924×23，并且232×4，所以92可以寫成2×48個連續自然數的和，中間兩個數是23÷20.511和23÷20.512，最小的自然數是(231)÷2418，最大的自然數是(231)÷24115，這8個連續自然數是8，9，10，11，12，13，14，15。例4把108寫成若干個連續自然數的和。解：(1)1083×36,并且32×36，可以寫成3個連續自然數的和，中間數是36，這3個連續自然數是35，36，37。(2)

48、1084×27，并且272×4，108可以寫成2×48個連續自然數的和，最小的自然數是(271)÷24110，最大的自然數是(271)÷24117，這8個連續自然數是10，11，12，13，14，15，16，17。(3)1089×12，并且92×12，所以108可以寫成9個連續自然數的和，最小的自然數是12(91)÷28，最大的自然數是12(91)÷216，這9個連續自然數是8，9，10，11，12，13，14，15，16。例5某個自然數，可以表示成9個連續自然數的和，也可以表示成10個連續自然數的和，還

49、可以表示成11個連續自然數的和。那么符合以上條件的最小的自然數是多少？(2005年小學數學奧林匹克決賽試題)解：試算發現，奇數個連續自然數的和，能被自然數的個數整除；偶數個連續自然數的和能被自然數的個數的一半整除。題中連續自然數的個數分別是9、10、11，所以，這些連續自然數的和應該同時能被9、11和10的一半5整除，因此，符合條件的最小的自然數是9、11和5的最小公倍數9×11×5495。4959×55，9個連續自然數是：51、52、53、54、55、56、57、58、59；4955×99，10個連續自然數是：45、46、47、48、49、50、51、

50、52、53、54；49511×45，11個連續自然數是：40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50。例6有許多連續自然數的和是1000，那么符合條件的自然數最多有多少個？解：把1000分解成兩個最接近的因數的積，100025×40，因為25是奇數，所以，可以把40看作25個連續自然數的中間數，這25個自然數中最小的是40(251)÷228，最大的是40(251)÷252，這25個自然數是28，29，30，52。因此，符合條件的自然數最多有25個。現在讓我們從求連續自然數的和Sn，引申到求連續自然數的平方和S平方與立方和S立方。為了發

51、現規律，取n1，2，3，4，5。(1)求連續自然數的立方和：S立方132333n3。 n 1 2 3 4 5Sn 1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15S立方 1 1+8=9 1+8+27=36 1+8+27+64=100 1+8+27+64+125=225觀察發現：S立方(Sn)2，即S立方n(n1)÷22。(2)求連續自然數的平方和：S122232n2。 n 1 2 3 4 5Sn 1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15S平方 1 1+4=5 1+4+9=14 1+4+9+16=30 1+4+9+16+25=55試算發現：S平方Sn×(2n1)÷3n(n1)(2n1)÷6。例7計算132333103？解：原式10×(101)÷223025。例8計算122232102?解：原式10×(101)×(2×101)÷6385。練習八1把60寫成若干個連續自然數的和，有哪些不同的方法？2某個自然數，可以表示成7個連續自然數的和，也可以表示成8個連續自然數的和，還可以表示成9個連續自然數的和。那么符合以上條件的最小的自然數是多少？3600最多可以寫成多少個連續自然數的和？寫出這些